數學《幾種不同增長的函數模型》（新人教A版）

函數模型及其應用幾種不同增長的函數模型例題：例1、假設你有一筆資金用于投資，現有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：方案一：每天回報40元；方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多 回報10元；方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前 一天翻一番。請問，你會選擇哪種投資方案呢？思考投資方案選擇原則：投入資金相同，回報量多者為優(yōu)

比較三種方案每天回報量(2)比較三種方案一段時間內的總回報量

哪個方案在某段時間內的總回報量最多，我們就在那段時間選擇該方案。分析

我們可以先建立三種投資方案所對應的函數模型，再通過比較它們的增長情況，為選擇投資方案提供依據。解：設第x天所得回報為y元，則方案一：每天回報40元；y=40(x∈N*)方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回 報10元； y=10x(x∈N*)方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番。

y=0.4×2x-1(x∈N*)x/天方案一方案二方案三y/元增長量/元y/元增長量/元y/元增長量/元1400100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.2…………………3040030010214748364.8107374182.4圖112-1從每天的回報量來看： 第1~4天，方案一最多： 每5~8天，方案二最多： 第9天以后，方案三最多；有人認為投資1~4天選擇方案一；5~8天選擇方案二；9天以后選擇方案三？畫圖累積回報表

天數方案1234567891011一4080120160200240280320360400440二103060100150210280360450550660三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2816.8結論

投資1~6天，應選擇第一種投資方案；投資7天，應選擇第一或二種投資方案；投資8~10天，應選擇第二種投資方案；投資11天（含11天）以上，應選擇第三種投資方案。

例題的啟示解決實際問題的步驟：實際問題讀懂問題抽象概括數學問題演算推理數學問題的解還原說明實際問題的解例2、某公司為了實現1000萬元利潤的目標，準備制定一個激勵銷售部門的獎勵方案：在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金y(單位：萬元)隨著銷售利潤x(單位：萬元)的增加而增加，但資金數不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%。現有三個獎勵模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪個模型能符合公司的要求呢？(1)、由函數圖象可以看出，它在區(qū)間[10,1000]上遞增，而且當x=1000時，y=log71000+1≈4.55<5,所以它符合獎金不超過5萬元的要求。模型y=log7x+1(2)、再計算按模型y=log7x+1獎勵時，獎金是否不超過利潤的25%，即當x∈[10,1000]時，是否有成立。令f(x)=log7x+1-0.25x，x∈[10,1000].利用計算機作出函數f(x)的圖象，由圖象可知它是遞減的，因此f(x)<f(10)≈-0.3167<0,即

log7x+1<0.25x所以，當x∈[10,1000]，例3.探究函數的增長情況并分析差異1.列表：幾何畫板演示2.作圖：結論1：一般地，對于指數函數y=ax(a>1)和冪函數y=xn(n>0)，通過探索可以發(fā)現：在區(qū)間(0,+∞)上，無論n比a大多少，盡管在x的一定范圍內，ax會小xn，但由于ax的增長快于xn的增長，因此總存在一個x0，當x>x0時，就會有ax>xn.結論2：一般地，對于對數函數y=logax(a>1)和冪函數y=xn(n>0)，通過探索可以發(fā)現：在區(qū)間(0,+∞)上，隨著x的增大，logax增大得越來越慢，圖象就像是漸漸地與x軸平行一樣。盡管在x的一定范圍內，logax可能會小xn，但由于logax的增長慢于xn的增長，因此總存在一個x0，當x>x0時，就會有l(wèi)ogax<xn.綜上所述：(1)、在區(qū)間(0,+∞)上，y=ax(a>1)，y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函數。(2)、隨著x的增大，y=ax(a>1)的增長速度越來越快，會遠遠大于y=xn(n>0)的增長速度。(3)、隨著x的增大，y=logax(a>1)的增長速度越來越慢，會遠遠小于y=xn(n>0)的增長速度?？偞嬖谝粋€x0，當x>x0時，就有

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