聚焦中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)第34課直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系

第34課直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系

基礎(chǔ)知識(shí)題型分類(lèi)要點(diǎn)梳理題型一判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系基礎(chǔ)自測(cè)題型二圓的切線(xiàn)性質(zhì)題型三圓的切線(xiàn)判定易錯(cuò)警示25.忽視弦與圓心之間的位置關(guān)系

造成漏解知識(shí)點(diǎn)索引要點(diǎn)梳理基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引1.直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系

(1)設(shè)r是⊙O的半徑，d是圓心O到直線(xiàn)L的距離．直線(xiàn)和圓的位置圖形公共點(diǎn)個(gè)數(shù)圓心到直線(xiàn)距離d與半徑r的關(guān)系公共點(diǎn)名稱(chēng)直線(xiàn)名稱(chēng)相交____________交點(diǎn)_____2d<r割線(xiàn)要點(diǎn)梳理基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引直線(xiàn)和圓的位置圖形公共點(diǎn)個(gè)數(shù)圓心到直線(xiàn)距離d與半徑r的關(guān)系公共點(diǎn)名稱(chēng)直線(xiàn)名稱(chēng)相切____________切點(diǎn)_____相離

____________無(wú)無(wú)1d＝r切線(xiàn)0d>r要點(diǎn)梳理基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引(2)切線(xiàn)的性質(zhì)：①切線(xiàn)的性質(zhì)定理：圓的切線(xiàn)________經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．②推論1：經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)______．③推論2：經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)______．(3)切線(xiàn)的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且________這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)．垂直于圓心切點(diǎn)垂直于要點(diǎn)梳理基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引(4)三角形的內(nèi)切圓：和三角形三邊都________的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心是____________________________________，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的

________，內(nèi)切圓的半徑是內(nèi)心到三邊的距離．相切三角形三條內(nèi)心角平分線(xiàn)的交點(diǎn)要點(diǎn)梳理基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引2.相關(guān)輔助線(xiàn)直線(xiàn)與圓相切的問(wèn)題，常連接過(guò)切點(diǎn)的半徑，得到垂直關(guān)系；或選圓周角，找出等角關(guān)系．如下圖是常添加的輔助線(xiàn)：基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引1.(中考真題-邵陽(yáng))如圖，△ABC的邊AC與⊙O相交于C、D兩點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)圓心O，邊AB與⊙O相切，切點(diǎn)為B.已知∠A＝

30°，則∠C的大小是(

)A.30°B.45°C.60°D.40°基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引解析連接OB，如圖，∵AB與⊙O相切，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵∠A＝30°，∴∠AOB＝60°，∵∠AOB＝∠C＋∠OBC，且∠C＝∠OBC，基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引1.(中考真題-邵陽(yáng))如圖，△ABC的邊AC與⊙O相交于C、D兩點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)圓心O，邊AB與⊙O相切，切點(diǎn)為B.已知∠A＝

30°，則∠C的大小是(

)A.30°B.45°C.60°D.40°A基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引2.(中考真題-益陽(yáng))如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為2的⊙P的圓心P的坐標(biāo)為(－3，0)，將⊙P沿x軸正方向平移，使⊙P與y軸相切，則平移的距離為(

)A.1 B.1或5C.3 D.5B解析當(dāng)⊙P位于y軸的左側(cè)且與y軸相切時(shí)，平移的距離為1；當(dāng)⊙P位于y軸的右側(cè)且與y軸相切時(shí)，平移的距離為5.故選B.基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引3.(中考真題-哈爾濱)如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線(xiàn)，連接OC交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，∠C＝40°，則∠ABD的度數(shù)是(

)A.30° B.25°C.20° D.15°解析∵AC是⊙O的切線(xiàn)，∴∠OAC＝90°，∵∠C＝40°，∴∠AOC＝50°，∵OB＝OD，∴∠ABD＝∠BDO，∵∠ABD＋∠BDO＝∠AOC，∴∠ABD＝25°.故選B.B基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引解析由正方形的邊長(zhǎng)、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑正好組成一個(gè)直角三角形，從而求得它們的長(zhǎng)度．∵正方形的邊長(zhǎng)為6，∴AB＝3，又∵∠AOB＝45°，∴OB＝3，基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引B基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引5.(中考真題-廣安)如圖，矩形ABCD的長(zhǎng)為6，寬為3，點(diǎn)O1為矩形的中心，⊙O2的半徑為1，O1O2⊥AB于點(diǎn)P，O1O2＝6.

若⊙O2繞點(diǎn)P按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)360°，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，⊙O2與矩形的邊只有一個(gè)公共點(diǎn)的情況一共出現(xiàn)(

)A.3次 B.4次

C.5次 D.6次基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引解析如圖，⊙O2與矩形的邊只有一個(gè)公共點(diǎn)的情況一共出現(xiàn)4次．故選B.基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引5.(中考真題-廣安)如圖，矩形ABCD的長(zhǎng)為6，寬為3，點(diǎn)O1為矩形的中心，⊙O2的半徑為1，O1O2⊥AB于點(diǎn)P，O1O2＝6.

若⊙O2繞點(diǎn)P按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)360°，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，⊙O2與矩形的邊只有一個(gè)公共點(diǎn)的情況一共出現(xiàn)(

)A.3次 B.4次

C.5次 D.6次B題型一判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系題型分類(lèi)·深度剖析知識(shí)點(diǎn)索引【例1】

(中考真題-盤(pán)錦)如圖，△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC

＝10，D、E分別是AC、AB的中點(diǎn)，則以DE為直徑的圓與

BC的位置關(guān)系是(

)A.相交 B.相切

C.相離 D.無(wú)法確定題型一判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系題型分類(lèi)·深度剖析知識(shí)點(diǎn)索引解析過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，交DE于點(diǎn)N，∵AB2＋AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∵D、E分別是AC、AB的中點(diǎn)，∴以DE為直徑的圓的半徑為2.5，∵r＝2.5＞2.4，∴以DE為直徑的圓與BC的位置關(guān)系是相交．故選A.題型一判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系題型分類(lèi)·深度剖析知識(shí)點(diǎn)索引【例1】

(中考真題-盤(pán)錦)如圖，△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC

＝10，D、E分別是AC、AB的中點(diǎn)，則以DE為直徑的圓與

BC的位置關(guān)系是(

)A.相交 B.相切

C.相離 D.無(wú)法確定A題型一判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系題型分類(lèi)·深度剖析知識(shí)點(diǎn)索引探究提高根據(jù)圓心到直線(xiàn)的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系作判斷，d>r直線(xiàn)與圓相離；d＝r直線(xiàn)與圓相切；d<r直線(xiàn)與圓相交．本題考查了直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系，利用中位線(xiàn)定理比較出BC到圓心的距離與半徑的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．題型一判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系題型分類(lèi)·深度剖析知識(shí)點(diǎn)索引變式訓(xùn)練1

(中考真題-德州)如圖，⊙O的直徑AB為10cm，弦BC

為5cm，D、E分別是∠ACB的平分線(xiàn)與⊙O、AB的交點(diǎn)，P

為AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且PC＝PE.(1)求AC、AD的長(zhǎng)；

(2)試判斷直線(xiàn)PC與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．題型一判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系題型分類(lèi)·深度剖析知識(shí)點(diǎn)索引解

(1)①如圖1，連接BD，∵AB是直徑，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，②∵CD平分∠ACB，∴AD＝BD，∴Rt△ABD是直角等腰三角形，題型一判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系題型分類(lèi)·深度剖析知識(shí)點(diǎn)索引(2)直線(xiàn)PC與⊙O相切．理由如下：連接OC，如圖2，∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA，∵PC＝PE，∴∠PCE＝∠PEC，∵∠PEC＝∠OAC＋∠ACE，CD平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ECB，∴∠PCB＝∠DCA，∵∠ACB＝90°，∴∠OCP＝∠OCB＋∠PCB＝∠OCB＋∠OCA＝∠ACB＝90°，∴OC⊥PC，∴直線(xiàn)PC與⊙O相切．題型二圓的切線(xiàn)性質(zhì)

題型分類(lèi)·深度剖析知識(shí)點(diǎn)索引【例

2】

(中考真題-揚(yáng)州)如圖，⊙O與Rt△ABC的斜邊AB相切于點(diǎn)D，與直角邊AC相交于E、F兩點(diǎn)，連接DE，已知∠B

＝30°，⊙O的半徑為12，弧DE的長(zhǎng)度為4π.(1)求證：DE∥BC；

(2)若AF＝CE，求線(xiàn)段BC的長(zhǎng)度．題型二圓的切線(xiàn)性質(zhì)

題型分類(lèi)·深度剖析知識(shí)點(diǎn)索引解

(1)證明：連接OD、OE，∵OD是⊙O的切線(xiàn)，∴OD⊥AB，∴∠ODA＝90°，又∵弧DE的長(zhǎng)度為4π，∴△ODE是等邊三角形，∴∠ODE＝60°，∴∠EDA＝30°，∴∠B＝∠EDA，∴DE∥BC.題型二圓的切線(xiàn)性質(zhì)

題型分類(lèi)·深度剖析知識(shí)點(diǎn)索引(2)連接FD，∵DE∥BC，∴∠DEF＝90°，∴FD是⊙O的直徑，又∵AF＝CE，∴AE＝CF，∴BC＝60.題型二圓的切線(xiàn)性質(zhì)

題型分類(lèi)·深度剖析知識(shí)點(diǎn)索引探究提高遇到切點(diǎn)，通常作的輔助線(xiàn)是連接圓心和切點(diǎn)，這樣運(yùn)用切線(xiàn)的性質(zhì)，構(gòu)造出直角三角形，再進(jìn)一步解答．記住：由切線(xiàn)聯(lián)想到直角，從而充實(shí)題中的已知條件．本題考查了勾股定理以及圓的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵在于90°的圓周角對(duì)的弦是直徑這一性質(zhì)的靈活運(yùn)用．題型二圓的切線(xiàn)性質(zhì)

題型分類(lèi)·深度剖析知識(shí)點(diǎn)索引變式訓(xùn)練2

(中考真題-麗水)如圖，AB為⊙O的直徑，EF切⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥EF于點(diǎn)H，交⊙O于點(diǎn)C，連接BD.(1)求證：BD平分∠ABH；

(2)如果AB＝12，BC＝8，求圓心O到BC的距離．題型二圓的切線(xiàn)性質(zhì)

題型分類(lèi)·深度剖析知識(shí)點(diǎn)索引解

(1)證明：連接OD，∵EF是⊙O的切線(xiàn)，∴OD⊥EF，又∵BH⊥EF，∴OD∥BH，∴∠ODB＝∠DBH，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠OBD＝∠DBH，∴BD平分∠ABH.題型三圓的切線(xiàn)判定

題型分類(lèi)·深度剖析知識(shí)點(diǎn)索引【例3】

(中考真題-新疆)如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)F、C是⊙O上兩點(diǎn)，且，連接AC、AF，過(guò)點(diǎn)C作

CD⊥AF交AF延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，垂足為D.(1)求證：CD是⊙O的切線(xiàn)；

(2)若CD＝2，求⊙O的半徑．題型三圓的切線(xiàn)判定

題型分類(lèi)·深度剖析知識(shí)點(diǎn)索引解

(1)證明：連接OC，如圖，∵，∴∠FAC＝∠BAC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠FAC＝∠OCA，∴OC∥AF，∵CD⊥AF，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切線(xiàn)．∵，題型三圓的切線(xiàn)判定

題型分類(lèi)·深度剖析知識(shí)點(diǎn)索引(2)連接BC，如圖，∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，∴AB＝2BC＝8，∴⊙O的半徑為4.題型三圓的切線(xiàn)判定

題型分類(lèi)·深度剖析知識(shí)點(diǎn)索引探究提高要證明過(guò)圓上已知點(diǎn)的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)時(shí)，只需連接圓心和這點(diǎn)，再證過(guò)已知點(diǎn)的半徑垂直于這條直線(xiàn)即可．當(dāng)已知條件中給出直線(xiàn)與圓有公共點(diǎn)時(shí)，只要證明圓心與公共點(diǎn)的連線(xiàn)垂直于這條直線(xiàn)，就可以判定直線(xiàn)與圓相切，連接圓心和公共點(diǎn)是常作的輔助線(xiàn)．本題考查了切線(xiàn)的判定定理，也考查了圓周角定理和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．題型三圓的切線(xiàn)判定

題型分類(lèi)·深度剖析知識(shí)點(diǎn)索引變式訓(xùn)練3

(中考真題-東營(yíng))如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O

上一點(diǎn)，若∠BAC＝∠CAM，過(guò)點(diǎn)C作直線(xiàn)l垂直于射線(xiàn)AM，垂足為點(diǎn)D.(1)試判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)若直線(xiàn)l與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)E，⊙O的半徑為