2023學年完整公開課版基本不等式

第一講不等式和絕對值不等式2、基本不等式及其應(yīng)用a2+b2≥2ab一、重要不等式：文字語言：兩個數(shù)的平方和不小于它們積的2倍

（當且僅當a=b時，取“=”號）一般地，對于任意實數(shù)a,b，我們有

當且僅當a=b時，等號成立。

兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。二、定理2（基本不等式）如果a,b>0,那么如果a,b都是正數(shù)，我們就稱為a,b的算術(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)這樣，基本不等式可以表述為：注意：1、重要不等式與基本不等式有什么區(qū)別與聯(lián)系？基本不等式可以看作是重要不等式的變形，但它們的前提條件不同。重要不等式中a,b屬于全體實數(shù)，而基本不等式中a,b均為大于0的實數(shù)。2、重要不等式與基本不等式的幾個推廣公式：（當且僅當a=b時，取“=”號）算術(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)平方平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)例2：若，則（）（1）（2）（3）B例1：設(shè)a>0，b>0，給出下列不等式其中成立的是

等號能成立的是

。（1）（2）（3）(4)題型一：利用基本不等式判斷代數(shù)式的大小關(guān)系題型二：解決最大（小）值問題（1）一正：各項均為正數(shù)（2）二定：兩個正數(shù)積為定值，和有最小值。兩個正數(shù)和為定值，積有最大值。（3）三相等：求最值時一定要考慮不等式是否能取“＝”。結(jié)論：利用求最值時要注意下面三條：積定，和最小和定，積最大2、已知則xy的最大值是

。1、當x>0時，的最小值為

，此時x=

。21

3、若實數(shù)，且，則的最小值是（）

A、10B、C、D、D練習：例4、求函數(shù)的最小值題型三：構(gòu)造積為定值，利用基本不等式求最值例5、求函數(shù)的最小值例6、已知正數(shù)x、y滿足2x+y=1，求的最小值例7、求函數(shù)的值域題型四：利用基本不等式證明不等式三個正數(shù)算數(shù)——幾何平均不等式一、知識掃描:上述推導(dǎo)體現(xiàn)了數(shù)學中由一般到特殊的思想問題1

基本不等式給出了兩個正數(shù)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系，這個不等式能否推廣呢？例如，對于3個正數(shù)，會有怎樣的不等式成立呢？類比思想應(yīng)用問題2問題2語言表述：三個正數(shù)的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均。1.從代數(shù)結(jié)構(gòu)（數(shù)運算角度）：和與積的相互轉(zhuǎn)化，可用于含和積不等式的證明。2.積定和最小，和定積最大，可用于最值求解。在求最值時仍然應(yīng)該注意條件：一正，二定，三相等，缺一不可3.推廣

≥

當且僅當ａ1＝a2＝…=an時，等號成立．一、用基本不等式證明不等式例２:解:構(gòu)造三個數(shù)相加等于定值.一、用基本不等式求最值（2）求函數(shù)的最小值．下面甲、乙、丙三為同學解法誰對？試說明理由甲：由知，則

(錯解原因是等號取不到)(錯解原因是不滿足積定)丙：構(gòu)造三個數(shù)相乘等于定值.小結(jié)：利用三個正實數(shù)的基本不等式求最值時注意：2、不能直接利用定理時，注意拆項、配項湊定值的技巧1、一正、二定、三相等；缺一不可（拆項時常拆成兩個相同項）。A、6

B、C、9