第08課 特殊二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)（解析版）

更多資料添加微信號：DEM2008更多資料添加微信號：DEM2008淘寶搜索店鋪：優(yōu)尖升教育網(wǎng)址：第08課特殊二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)2.2.1課后培優(yōu)練課后培優(yōu)練級練培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練一、單選題1．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由拋物線解析式可得頂點(diǎn)坐標(biāo)．【解析】解：，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．2．二次函數(shù)y=x2+2的對稱軸為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．【解析】二次函數(shù)y=x2+2的對稱軸為直線．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)y=a(x-h)2+k(a，b，c為常數(shù)，a≠0)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．y=a(x-h)2+k是拋物線的頂點(diǎn)式，a決定拋物線的形狀和開口方向，其頂點(diǎn)是（h，k），對稱軸是x=h．3．拋物線與拋物線的相同點(diǎn)是（）A．頂點(diǎn)相同 B．對稱軸相同C．開口方向相同 D．頂點(diǎn)都在x軸上【答案】B【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)分別判斷兩個函數(shù)圖象的開口向上、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到答案．【解析】解：拋物線的開口向上，對稱軸為y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），拋物線的開口向下，對稱軸為y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），∴兩條拋物線對稱軸相同，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與性質(zhì)．4．二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（1，3） B．（－1，3） C．（1，－3） D．（－1，－3）【答案】A【分析】直接根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可．【解析】∵，∴其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，3)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)頂點(diǎn)式的性質(zhì)，正確理解知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．5．將拋物線：向右平移3個單位，再向上平移2個單位得到拋物線，則拋物線的函數(shù)表達(dá)式為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平移變化,求出新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo),判斷即可．【解析】解：的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0），向右平移3個單位，再向上平移2個單位，頂點(diǎn)坐標(biāo)變?yōu)椋?,2），∴得到拋物線解析式為：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線平移，解題關(guān)鍵是熟知拋物線平移的變化規(guī)律,會利用頂點(diǎn)坐標(biāo)變化寫拋物線解析式．6．若，，為二次函數(shù)圖像上的一點(diǎn)，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，二次函數(shù)圖像開口向上，對稱軸為，結(jié)合，，到對稱軸的距離與開口方向即可得到結(jié)論．【解析】解：二次函數(shù)的開口向上，對稱軸為，二次函數(shù)有最小值，且點(diǎn)到對稱軸距離越近，函數(shù)值越小，到對稱軸的距離為，到對稱軸的距離為，到對稱軸的距離為，即，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，涉及求二次函數(shù)開口方向、對稱軸等知識，掌握二次函數(shù)開口向上，有最小值，且點(diǎn)到對稱軸距離越近，函數(shù)值越小是解決問題的關(guān)鍵．7．對于二次函數(shù)的圖象，下列說法正確的是（

）A．開口向上 B．對稱軸是直線C．當(dāng)時，隨x的增大而減小 D．頂點(diǎn)坐標(biāo)為【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)解析式可直接得出該二次函數(shù)圖象開口向下，對稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，從而可判斷A，B，D；再由該二次函數(shù)圖象開口向下，對稱軸是直線，得出當(dāng)時，y隨x的增大而增大，時，y隨x的增大而增大減小，可判斷C．【解析】∵，∴該二次函數(shù)圖象開口向下，故A錯誤，不符合題意；由二次函數(shù)解析式可直接得出其對稱軸是直線，故B錯誤，不符合題意；∵該二次函數(shù)圖象開口向下，對稱軸是直線，∴當(dāng)時，y隨x的增大而增大，時，y隨x的增大而增大減小，故C錯誤，不符合題意；由二次函數(shù)解析式可直接得出其頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故D正確，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．掌握二次函數(shù)的圖象的對稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時，圖象開口向上，當(dāng)時，圖象開口向下是解題關(guān)鍵．8．拋物線y=x2，y=﹣3x2，y=﹣x2，y=2x2的圖象開口最大的是（）A．y=x2 B．y=﹣3x2 C．y=﹣x2 D．y=2x2【答案】A【分析】根據(jù)二次函數(shù)中|a|的值越小，則函數(shù)圖象的開口也越大，可以得出那個選項(xiàng)是正確的．【解析】解：∵二次函數(shù)中|a|的值越小，則函數(shù)圖象的開口也越大，又∵，∴拋物線y=x2，y=﹣3x2，y=﹣x2，y=2x2的圖象開口最大的是y=x2，故選A．【點(diǎn)睛】考查二次函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是明確二次函數(shù)圖象的特點(diǎn)，知道|a|的值越小，則開口越大．9．已知，是拋物線上兩點(diǎn)，則正數(shù)（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可得，代入二次函數(shù)解析式即可求解．【解析】解：∵，是拋物線上兩點(diǎn)，∴，∴且n為正數(shù)，解得，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．若二次函數(shù)y=mx2-（m2-3m）x+1-m的圖象關(guān)于y軸對稱，則m的值為（

）A．0 B．3 C．1 D．0或3【答案】B【分析】由于函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，則函數(shù)的解析式形式應(yīng)該是y=ax2+c型，由此求得問題的答案．【解析】解：∵二次函數(shù)y=mx2-（m2-3m）x+1-m的圖象關(guān)于y軸對稱，∴函數(shù)的解析式形式應(yīng)該是y=ax2+c型，∴-（m2-3m）=0，解得：m=0或m=3，∵二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)m不能為0，∴m=3．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查關(guān)于y軸對稱的拋物線的表達(dá)式是y=ax2+c，（a≠0，a、c為常數(shù)）．熟練掌握此類型二次函數(shù)的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．11．如圖，直線y＝2x與直線x＝2相交于點(diǎn)A，將拋物線y＝x2沿線段OA從點(diǎn)O運(yùn)動到點(diǎn)A，使其頂點(diǎn)始終在線段OA上，拋物線與直線x＝2相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P移動的路徑長為（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)M在y＝2x上可得相應(yīng)坐標(biāo)，即可用頂點(diǎn)式表示出相應(yīng)的二次函數(shù)解析式，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題即可．【解析】解：∵設(shè)拋物線的頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，且在線段OA上移動，∴y＝2m（0≤m≤2）．∴當(dāng)拋物線運(yùn)動到A點(diǎn)時，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，2m），∴拋物線函數(shù)解析式為y＝（x-m）2+2m．∴當(dāng)x＝2時，y＝（2-m）2+2m＝m2-2m+4（0≤m≤2），∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，m2-2m+4）．∵對于二次函數(shù)y′＝m2-2m+4＝（m-1）2+3當(dāng)0≤m≤2時，∴m＝1時，y′有最小值3，當(dāng)m＝0或2時，y′的值為4，∴點(diǎn)P移動的路徑長為2×（4-3）＝2，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象的性質(zhì)及平移問題，利用二次函數(shù)的最值和界點(diǎn)值求解是解答此題的關(guān)鍵.12．如圖，拋物線y1=(x+1)2+1與y2=a(x﹣4)2﹣3交于點(diǎn)A(1，3)，過點(diǎn)A作x軸的平行線，分別交兩條拋物線于B，C兩點(diǎn)，且D，E分別為頂點(diǎn).則下列結(jié)論：①a=；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④當(dāng)x＞1時y1＞y2.其中正確的結(jié)論是()A．①③④ B．①③ C．①②④ D．②【答案】B【分析】把點(diǎn)A坐標(biāo)代入y2，求出a的值，即可得到函數(shù)解析式；令y=3，求出A、B、C的橫坐標(biāo)，然后求出BD、AD的長，利用勾股定理的逆定理以及結(jié)合二次函數(shù)圖象分析得出答案．【解析】拋物線y1=（x+1）2+1與y2=a（x-4）2-3交于點(diǎn)A（1，3），∴3=a（1-4）2-3，解得：a=，故①正確；過點(diǎn)E作EF⊥AC于點(diǎn)F，∵E是拋物線的頂點(diǎn)，∴AE=EC，E（4，-3），∴AF=3，EF=6，∴AE=，AC=2AF=6，∴AC≠AE，故②錯誤；當(dāng)y=3時，3=（x+1）2+1，解得：x1=1，x2=-3，故B（-3，3），D（-1，1），則AB=4，AD=BD=2，∴AD2+BD2=AB2，∴③△ABD是等腰直角三角形，正確；∵（x+1）2+1=（x-4）2-3時，解得：x1=1，x2=37，∴當(dāng)37＞x＞1時，y1＞y2，故④錯誤．故選B．【點(diǎn)睛】考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，已知函數(shù)值求自變量的值．二、填空題13．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是________．【答案】（1，2）【分析】根據(jù)題目中拋物線的解析式，可以直接寫出該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．【解析】解：∵拋物線y=-（x-1）2+2，∴該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），故答案為：（1，2）．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．14．拋物線與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為______.【答案】【分析】令x=0，求出y的值即可．【解析】解：∵當(dāng)x=0，則y=-1+3=2，∴拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）．故答案為（0，2）【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，熟知y軸上點(diǎn)的特點(diǎn)，即y軸上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0是解答此題的關(guān)鍵．15．二次函數(shù)：①；②；③；④；⑤；⑥．（1）以上二次函數(shù)的圖象的對稱軸為直線x=－1的是__________(只填序號)；（2）以上二次函數(shù)有最大值的是_______________(只填序號)﹔（3）以上二次函數(shù)的圖象中關(guān)于x軸對稱的是________________(只填序號)．【答案】

②③

①③⑤

⑤⑥【分析】因?yàn)槎魏瘮?shù)的解析式均已確定﹐所以可結(jié)合二次函數(shù)解析式的特征對其性質(zhì)作出判斷．【解析】（1）二次函數(shù)的圖象的對稱軸為直線x=-1，也就是在頂點(diǎn)式中h=-1，故滿足條件的函數(shù)有②③．（2）二次函數(shù)有最大值，也就是其函數(shù)圖象是開口向下的，即a<0，故滿足條件的函數(shù)有①③⑤．（3）二次函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對稱，也就是兩個二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)x互為相反數(shù)，且h，k的值相同，故滿足條件的函數(shù)為⑤和⑥．故答案為：（1）②③，（2）①③⑤，（3）⑤⑥【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，觀察所給二次函數(shù)的解析式可知全為二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，熟悉掌握二次函數(shù)頂點(diǎn)，和對稱軸是解題的關(guān)鍵．16．已知a＜﹣1，點(diǎn)（a﹣1，y1）、（a，y2）、（a+1，y3）都在函數(shù)y＝x2+5的圖象上，則y1、y2、y3按從小到大排列為___．【答案】【分析】拋物線y=x2+5的對稱軸為y軸，即直線x=0，圖象開口向上，當(dāng)a＜﹣1時，a﹣1＜a＜a+1＜0，在對稱軸左邊，y隨x的增大而減小，由此可判斷y1，y2，y3的大小關(guān)系．【解析】解：∵當(dāng)a＜﹣1時，a﹣1＜a＜a+1＜0，而拋物線y=x2+5的對稱軸為直線x=0，開口向上，∴三點(diǎn)都在對稱軸的左邊，y隨x的增大而減小，∴y3＜y2＜y1．故答案為：y3＜y2＜y1．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的增減性．當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)a＞0時，在對稱軸的左邊，y隨x的增大而減小，在對稱軸的右邊，y隨x的增大而增大；a＜0時，在對稱軸的左邊，y隨x的增大而增大，在對稱軸的右邊，y隨x的增大而減?。?7．拋物線沿某條直線平移一段距離，我們把平移后得到的新拋物線叫做原拋物線的“同簇拋物線”．如果把拋物線沿直線向上平移，平移距離為時，那么它的“同簇拋物線”的表達(dá)式是_____．【答案】【分析】沿直線y=x向上平移，平移距離為則相當(dāng)于拋物線y=ax2(a≠0)向右平移1個單位，向上平移1個單位，即可得到平移后拋物線的表達(dá)式．【解析】解:∵拋物線沿直線向上平移，平移距離為，相當(dāng)于拋物線向右平移1個單位，向上平移1個單位，∴根據(jù)平移的規(guī)律得到:“同簇拋物線”的表達(dá)式是．故答案為:．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的幾何變換:由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．18．如圖，拋物線y＝ax2+c與直線y＝3相交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣1），若∠ACB為直角，則當(dāng)ax2+c＜0時自變量x的取值范圍是_____．【答案】﹣2＜x＜2．【分析】設(shè)直線y＝3與y軸交于D點(diǎn)，則D（0，3），由C(0，﹣1),可設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y=ax2﹣1；由∠ACB為直角，則△ABC為等腰直角三角形，可求點(diǎn)B(4，3)，由點(diǎn)B在拋物線上，可求解析式，由y=0，解方程即可求解．【解析】設(shè)直線y＝3與y軸交于D點(diǎn)，則D（0，3）∠ACB為直角，則△ABC為等腰直角三角形，由C(0，﹣1)，則拋物線的表達(dá)式為：y=ax2﹣1；CD=3﹣(﹣1)=4，AD=BD=CD=4則點(diǎn)B(4，3)，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式并解得：∴a=，故拋物線的表達(dá)式為：y=x2﹣1，令y=0，則x=±2，故y＜0時，﹣2＜x＜2，故答案為：﹣2＜x＜2．【點(diǎn)睛】本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)，主要考查函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，要求學(xué)生非常熟悉函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、頂點(diǎn)等坐標(biāo)的求法及這些點(diǎn)代表的意義及函數(shù)特征．19．已知二次函數(shù)y＝（x－m）2＋m2＋1，且．（1）當(dāng)m＝1時，函數(shù)y有最大值__________．（2）當(dāng)函數(shù)值y恒不大于4時，實(shí)數(shù)m的范圍為__________．【答案】

2

【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)式將代入解析式即可求得最大值；（2）根據(jù)頂點(diǎn)式求得最大值，根據(jù)頂點(diǎn)的位置以及自變量的取值范圍，分情況討論求得最值，進(jìn)而求得的范圍．【解析】（1）當(dāng)m＝1時，二次函數(shù)y＝（x－1）2＋12＋1，則頂點(diǎn)為則函數(shù)有最大值，故答案為：（2）二次函數(shù)y＝（x－m）2＋m2＋1，且．對稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為①當(dāng)時，時，函數(shù)取得最大值即解得，不符合題意，舍去②當(dāng)，時，函數(shù)取得最大值解得③當(dāng)時，時，函數(shù)取得最大值解得綜上所述，【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．如圖，已知P是函數(shù)y1圖象上的動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時，作PH⊥x軸于點(diǎn)H，連接PO．小華用幾何畫板軟件對PO，PH的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行了探討，發(fā)現(xiàn)PO﹣PH是個定值，則這個定值為_____．【答案】2【分析】設(shè)p(x，x2-1)，則OH=|x|，PH=|x2-1|，因點(diǎn)P在x軸上方，所以x2-1>0，由勾股定理求得OP=x2+1，即可求得OP-PH=2，得出答案．【解析】解：設(shè)p(x，x2-1)，則OH=|x|，PH=|x2-1|，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時，∴x2-1>0,∴PH=|x2-1|=x2-1，在Rt△OHP中，由勾股定理，得OP2=OH2+PH2=x2+(x2-1)2=(x2+1)2，∴OP=x2+1，∴OP-PH=（x2+1）-（x2-1）=2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，勾股定理，利用坐標(biāo)求線段長度是解題的關(guān)鍵．三、解答題21．在同一直角坐標(biāo)系中，畫出下列三條拋物線：，，．（1）觀察三條拋物線的相互關(guān)系，并分別指出它們的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）請你說出拋物線的開口方向，對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）拋物線，與開口都向上，對稱軸都是y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)依次是（0，0）、（0，3）和（0，-3）．（2）開口向上，對稱軸是y軸（或直線），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）．【分析】（1）首先利用取值、描點(diǎn)、連線的方法作出三個函數(shù)的圖象，根據(jù)二次函數(shù)圖象，可得二次函數(shù)的開口方向，對稱抽，頂點(diǎn)坐標(biāo)，通過觀察歸納它們之間的關(guān)系．（2）由（1）的規(guī)律可得拋物線的開口方向，對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)．【解析】解：（1）列表：…-3-2-10123……202…描點(diǎn)、連線，可得拋物線．將的圖象分別向上和向下平移3個單位，就分別得到與的圖象（如圖所示）．拋物線，與開口都向上，對稱軸都是y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)依次是（0，0）、（0，3）和（0，-3）．（2）拋物線的開口向上，對稱軸是y軸（或直線），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，畫出圖象，發(fā)現(xiàn)圖象的變化規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．22．說出下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．(1)(2)(3)【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3)答案見解析【分析】二次函數(shù)通過配方可以化為頂點(diǎn)式，即y=a(x－h(huán))2+k，其中a決定了拋物線的開口方向，對稱軸是x=h，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h，k)；根據(jù)所給出的三個函數(shù)解析式，對照以上規(guī)律確定答案．（1）開口向下，對稱軸為直線x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)．（2）開口向上，對稱軸為y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，-7)．（3）開口向上，對稱軸為直線x=-3，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-3，6)【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的“頂點(diǎn)式”以及各個系數(shù)與拋物線的關(guān)系．23．根據(jù)下列條件求a的取值范圍：（1）函數(shù)y＝(a-2)x2，當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而減小，當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而增大；（2）函數(shù)y＝(3a-2)x2有最大值；（3）拋物線y＝(a+2)x2與拋物線的形狀相同；（4）函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線．【答案】（1）a＜2；（2）；（3），；（4）a＝1【分析】（1）由題意根據(jù)二次項(xiàng)的系數(shù)小于0，對稱軸左邊y隨x增大而減小，對稱軸右邊y隨x增大而增大，可得答案；（2）由題意根據(jù)二次函數(shù)有最大值，可得二次項(xiàng)的系數(shù)小于0；（3）由題意根據(jù)拋物線的形狀相同，可得兩個二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)相同或互為相反數(shù)；（4）由題意根據(jù)函數(shù)圖象開口向上，可得二次項(xiàng)系數(shù)與0的關(guān)系．【解析】解：(1)由題意得，a-2＜0，解得a＜2；(2)由題意得，3a-2＜0，解得；(3)由題意得，，解得，；(4)由題意得，，解得a1＝-2，a2＝1，但a＞0，∴a＝1．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)大于0，開口向上，有最小值，二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)小于0，開口向下，有最大值.24．如圖，直線l過x軸上一點(diǎn)，且與拋物線相交于B、C兩點(diǎn)．B點(diǎn)坐標(biāo)為．(1)求拋物線解析式；(2)若拋物線上有一點(diǎn)D（在第一象限內(nèi)），使得，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．【答案】(1)拋物線解析式為(2)【分析】(1)把B(1,1)代入得，從而得到拋物線解析式；(2)先根據(jù)待定系數(shù)法求直線AB的解析式，再聯(lián)立直線和拋物線解析式解方程組，求出C的坐標(biāo)，然后求出，再根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可設(shè)，利用三角形面積公式，解出t的值即可得到D點(diǎn)坐標(biāo)．（1）把代入得：，∴拋物線解析式為；（2）設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為，把，代入得：，，∴直線AB的解析式為，將與聯(lián)立得：或，∴，，∴，設(shè)，∵，∴，解得：，（舍），∴．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解.也考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．25．已知二次函數(shù)y＝﹣（x﹣2）2+3．（1）寫出此函數(shù)圖象的開口方向和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)y隨x增大而減小時，寫出x的取值范圍；（3）當(dāng)1＜x＜4時，求出y的取值范圍．【答案】（1）開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，3）；（2）x＞2；（3）﹣1＜y≤3【分析】（1）根據(jù)a的符號判斷拋物線的開口方向；根據(jù)頂點(diǎn)式可求頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)二次函數(shù)的增減性，當(dāng)a＞0時，在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而減??；（3）因?yàn)轫旤c(diǎn)坐標(biāo)（2，3）在1＜x＜4的范圍內(nèi)，開口向下，所以y最的大值為3；當(dāng)x＝1時，y＝2；當(dāng)x＝4時，y＝﹣1，即可確定函數(shù)值y的范圍．【解析】解：（1）∵a＝﹣1＜0，∴圖象開口向向下；∵y＝﹣（x﹣2）2+3，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，3）；（2）∵對稱軸x＝2，圖象開口向選，y隨x增大而減小∴x的取值范圍為x＞2；（3）∵拋物線的對稱軸x＝2，滿足1＜x＜4，∴此時y的最大值為3，∵當(dāng)x＝1時，y＝2；當(dāng)x＝4時，y＝﹣1，∴當(dāng)1＜x＜4時，y的取值范圍是﹣1＜y≤3．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，頂點(diǎn)坐標(biāo)，對稱軸，開口方向；還考查了二次函數(shù)的增減性．26．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）在拋物線y＝ax2+2ax（0＜a＜3）上，其中x1＜x2．（1）求拋物線的對稱軸；（2）若A（﹣2，y1），B（0，y2），直接寫出y1，y2的大小關(guān)系；（3）若x1+x2＝1﹣a，比較y1，y2的大小，并說明理由．【答案】（1）x=-1；（2）=；（3）<．【分析】（1）根據(jù)對稱軸與系數(shù)的關(guān)系可以直接求得對稱軸為：x==-1；（2）利用對稱軸到點(diǎn)的距離進(jìn)行判定y值即可；（3）利用作差法，將表示出來，再進(jìn)行判斷正負(fù)，據(jù)此判斷大小即可．【解析】解：（1）由題意得：對稱軸x==-1；（2）∵0＜a＜3，∴拋物線開口向上，又∵對稱軸x=-1，∴，∴A、B兩點(diǎn)到對稱軸的距離相等，即：=（3）由題意得：====∵0＜a＜3，x1＜x2∴<0，即：<．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)中系數(shù)的運(yùn)用，以及比較函數(shù)值的大小，熟練掌握二次函數(shù)的基礎(chǔ)運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．培優(yōu)第二階——拓展培優(yōu)練一、單選題1．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到m+1＜3-m或m≤-1，解得即可．【解析】解：∵二次函數(shù)，∴它的圖象開口向上，對稱軸為直線．∵圖象經(jīng)過點(diǎn)，且，∴或，解得．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．二次函數(shù)的圖象過四個點(diǎn)，下列說法一定正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】求出拋物線的對稱軸，根據(jù)拋物線的開口方向和增減性，根據(jù)橫坐標(biāo)的值，可判斷出各點(diǎn)縱坐標(biāo)值的大小關(guān)系，從而可以求解．【解析】解：二次函數(shù)的對稱軸為：，且開口向上，距離對稱軸越近，函數(shù)值越小，，A，若，則不一定成立，故選項(xiàng)錯誤，不符合題意；B,若，則不一定成立，故選項(xiàng)錯誤，不符合題意；C，若，所以，則一定成立，故選項(xiàng)正確，符合題意；D，若，則不一定成立，故選項(xiàng)錯誤，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及不等式，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸及開口方向，確定各點(diǎn)縱坐標(biāo)值的大小關(guān)系，再進(jìn)行分論討論判斷即可．3．已知二次函數(shù)，如果當(dāng)時，，則下列說法正確的是（

）A．有最大值，也有最小值 B．有最大值，沒有最小值C．沒有最大值，有最小值 D．沒有最大值，也沒有最小值【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，表示出、的值，即可求解．【解析】解：二次函數(shù)．開口向上，對稱軸為，當(dāng)時，隨增大而增大．．．即是的一次函數(shù)．，一次函數(shù)上升趨勢．．有最小值，沒有最大值．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)．關(guān)鍵在于表示出的代數(shù)值，從而轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)的性質(zhì)．比較綜合．4．如圖，Rt△OAB的頂點(diǎn)A（-2，4）在拋物線y=ax2上，將Rt△OAB繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△OCD，邊CD與該拋物線交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

）A．(,) B．(2,2) C．(,2) D．(2,)【答案】C【分析】先根據(jù)待定系數(shù)法求得拋物線的解析式，然后根據(jù)題意求得D（0，2），且DC∥x軸，從而求得P的縱坐標(biāo)為2，代入求得的解析式即可求得P的坐標(biāo)．【解析】∵Rt△OAB的頂點(diǎn)A（?2，4）在拋物線y=ax2上，∴4＝4a，解得a＝1，∴拋物線為y=x2，∵點(diǎn)A（?2，4），∴B（?2，0），∴OB＝2，∵將Rt△OAB繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△OCD，∴D點(diǎn)在y軸上，且OD＝OB＝2，∴D（0，2），∵DC⊥OD，∴DC∥x軸，∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，令y=2，得2=x2，解得：x=±∵點(diǎn)P在第一象限，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（，2）故答案為：C．【點(diǎn)睛】考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，坐標(biāo)與圖形變化－旋轉(zhuǎn)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（﹣2，4）、P（﹣1，0），B為y軸上的動點(diǎn)，以AB為邊構(gòu)造△ABC，使點(diǎn)C在x軸上，∠BAC＝90°，M為BC的中點(diǎn)，則PM的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作AH⊥y軸，CE⊥AH，證明△AHB∽△CEA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AE＝2BH，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式用x表示出PM，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．【解析】解：如圖，過點(diǎn)A作AH⊥y軸于H，過點(diǎn)C作CE⊥AH于E，則四邊形CEHO是矩形，∴OH＝CE＝4，∵∠BAC＝∠AHB＝∠AEC＝90°，∴∠ABH＋∠HAB＝90°，∠HAB＋∠EAC＝90°，∴∠ABH＝∠EAC，∴△AHB∽△CEA，∴，即，∴AE＝2BH，設(shè)BH＝x，則AE＝2x，∴OC＝HE＝2＋2x，OB＝4?x，∴B（0，4?x），C（-2-2x，0），∵BM＝CM，∴M（-1-x，），∵P（-1，0），∴PM＝最小值為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、兩點(diǎn)間距離公式、二次函數(shù)的性質(zhì)，正確添加輔助線、掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．6．如圖，拋物線G：（常數(shù)a為正數(shù)）．下列關(guān)于G的四個命題：①G的最低點(diǎn)坐標(biāo)為；②b是任意實(shí)數(shù)，x=2+b時的函數(shù)值大于x=2－b時的函數(shù)值；③當(dāng)a=1時，G經(jīng)過點(diǎn)（1，－1）；④當(dāng)G經(jīng)過原點(diǎn)時，G與x軸圍成的封閉區(qū)域（邊界除外）內(nèi)的整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)）的個數(shù)為1．其中正確的是（

）A．①③ B．②③ C．②④ D．①④【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的開口方向和頂點(diǎn)坐標(biāo)可判斷①；根據(jù)拋物線的對稱軸可判斷②；將a=1和x=1代入拋物線的解析式中，求出y值即可判斷③；將點(diǎn)（0，0）代入拋物線解析式中求得a值，進(jìn)而求得與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖象可判斷④．【解析】解：①根據(jù)圖象，拋物線G開口向上，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴G的最低點(diǎn)坐標(biāo)為，故①正確；②∵拋物線G的對稱軸為直線x=2，∴x=2+b時的函數(shù)值等于x=2－b時的函數(shù)值，故②錯誤；③當(dāng)a=1時，，當(dāng)x=1時，y=1﹣=≠﹣1，∴當(dāng)a=1時，G不經(jīng)過點(diǎn)（1，－1），故③錯誤；④當(dāng)G經(jīng)過原點(diǎn)時，則，解得：，∴拋物線G：，令y=0，由得：，，當(dāng)x=1時，y=﹣1，當(dāng)x=2時，y=，當(dāng)x=3時，y=﹣1，∴滿足條件的整點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣1），只有一個，故④正確，綜上，正確的為①④，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解一元二次方程、解一元一次方程，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．二、填空題7．對于二次函數(shù)y＝ax2和y＝bx2，其自變和函數(shù)值的兩組對應(yīng)值如表所示：x﹣1m（m≠﹣1）y＝ax2ccy＝bx2c+3d根據(jù)二次函數(shù)圖象的相關(guān)性質(zhì)可知：m＝___，c﹣d＝___．【答案】

1，

-3【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以求得m和c-d的值．【解析】解：由表格可知，x=-1和x=m時的函數(shù)值相等，∵表格中的兩個函數(shù)對稱軸都是直線x=0，∴m+（-1）=0，c+3=d，∴m=1，c﹣d=-3，故答案為：1，-3．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．8．已知的三個頂點(diǎn)為，將向右平移個單位后，某一邊的中點(diǎn)恰好落在二次函數(shù)的圖象上，則的值為____________.【答案】【分析】求得三角形三邊中點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)平移規(guī)律可得平移后的中點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)平移后的中點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，進(jìn)而算出m的值．【解析】解：∵△ABC的三個頂點(diǎn)為A(-1，-1)，B(-1，3)，C(-3，-3)，∴AB邊的中點(diǎn)(-1，1)，BC邊的中點(diǎn)(-2，0)，AC邊的中點(diǎn)(-2，-2)，∵將△ABC向右平移m(m＞0)個單位后，∴AB邊的中點(diǎn)平移后的坐標(biāo)為(-1+m，1)，BC邊的中點(diǎn)平移后的坐標(biāo)為(-2+m，0)，AC邊的中點(diǎn)平移后的坐標(biāo)為(-2+m，-2)，∵二次函數(shù)的圖象在x軸的下方，點(diǎn)(-1+m，1)在x軸的上方，∴AB邊的中點(diǎn)不可能在二次函數(shù)的圖象上，把(-2+m，0)代入，得-2(-2+m)2=0，解得m=2；把(-2+m，-2)代入，得-2(-2+m)2=-2，解得m1=1，m2=3；∴的值為1，2，3，故答案為1，2，3．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平移的性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)(x，y)的橫縱坐標(biāo)滿足二次函數(shù)解析式．9．二次函數(shù)的圖象如圖，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)，在二次函數(shù)的圖象上，四邊形為菱形，且，則菱形的面積為_________．【答案】【分析】連接BC交OA于D，根據(jù)菱形的性質(zhì)得，得到，，設(shè)，則，得到，把代入算出（舍去），，則，，得到，，根據(jù)菱形的面積公式即可得出答案．【解析】連接BC交OA于D，如圖，∵四邊形為菱形，∴，，，，BC平分，∵∴∴∴設(shè)，則∴把代入得：解得：（舍去），，∴，∴，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，熟練掌握性質(zhì)和特征是本題的關(guān)鍵．10．把二次函數(shù)的圖象作關(guān)于x軸的對稱變換，所得圖象的解析式為，若，則m的最大值是________________．【答案】6【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征得出原二次函數(shù)的頂點(diǎn)為（1，?4a），即可得出原二次函數(shù)為y＝a（x?1）2?4a＝ax2?2ax?3a，和y＝ax2＋bx＋c比較即可得出b＝?2a，c＝?3a，代入（m?1）a＋b＋c≤0，即可得到m≤6．【解析】解：∵把二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的圖象作關(guān)于x軸的對稱變換，所得圖象的解析式為y＝?a（x?1）2＋4a，∴原二次函數(shù)的頂點(diǎn)為（1，?4a），∴原二次函數(shù)為y＝a（x?1）2?4a＝ax2?2ax?3a，∴b＝?2a，c＝?3a，∵（m?1）a＋b＋c≤0，∴（m?1）a?2a?3a≤0，∵a＞0，∴m?1?2?3≤0，即m≤6，∴m的最大值為6，故答案是：6．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的圖象與幾何變換，得到b＝?2a，c＝?3a是解題的關(guān)鍵．11．已知函數(shù)y的圖象如圖所示，若直線y＝kx﹣3與該圖象有公共點(diǎn)，則k的最大值與最小值的和為_____．【答案】17【分析】根據(jù)題意可知，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)（1，12）時，直線y=kx-3與該圖象有公共點(diǎn)；當(dāng)直線與拋物線只有一個交點(diǎn)時，（x-5）2+8=kx-3，可得出k的最大值是15，最小值是2，即可得它們的和為17．【解析】解：當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)（1，12）時，12=k-3，解得k=15；當(dāng)直線與拋物線只有一個交點(diǎn)時，（x-5）2+8=kx-3，整理得x2-（10+k）x+36=0，∴10+k=±12，解得k=2或k=-22（舍去），∴k的最大值是15，最小值是2，∴k的最大值與最小值的和為15+2=17．故答案為：17．【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，結(jié)合圖象求出k的最大值和最小值是解題的關(guān)鍵．12．記實(shí)數(shù)，中的最小值為，例如，當(dāng)取任意實(shí)數(shù)時，則的最大值為___________．【答案】3【分析】在同一坐標(biāo)系中畫出兩個函數(shù)的圖象，觀察最大值的位置，通過求函數(shù)值，求出最大值．【解析】畫出函數(shù)和的圖象，如圖：由圖可知：當(dāng)x＝1時，函數(shù)有最大值，最大值為3，所以的最大值為3，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和正比例函數(shù)的性質(zhì)，畫出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合容易求解．三、解答題13．已知拋物線是拋物線上的兩點(diǎn)．(1)當(dāng)時，直接寫出y的取值范圍是____________；(2)當(dāng)時．____________；(3)當(dāng)m在不斷增大時，在不斷減小，而在不斷增大，且，求m的取值范圍．【答案】(1)(2)0(3)－1<m<0【分析】（1）求出對稱軸，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出當(dāng)時y的最大值和最小值即可；（2）根據(jù)列出關(guān)于m的方程求解即可；（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)列出不等式組求解即可．（1）解：∵1>0，∴拋物線開口向上．∵對稱軸是直線x=，∴當(dāng)x=1時函數(shù)取得最小值，當(dāng)x=4時函數(shù)取得最大值，當(dāng)x=1時，，當(dāng)x=4時，，∴當(dāng)時，y的取值范圍是．（2）解：把代入得，把代入得，，∵，∴=，解得m=0．故答案為：0．（3）解：∵當(dāng)m在不斷增大時，在不斷減小，而在不斷增大，對稱軸是直線x=1，∴m<1，m+2>1．∵，∴比離對稱軸遠(yuǎn)，∴1-m>m+2-1．∴，解得－1<m<0．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對于二次函數(shù)（a，b，c為常數(shù)，a≠0），當(dāng)a>0時，開口向上，在對稱軸的左側(cè)y隨x的增大而減小，在對稱軸的右側(cè)y隨x的增大而增大；當(dāng)a<0時，開口向下，在對稱軸的左側(cè)y隨x的增大而增大，在對稱軸的右側(cè)y隨x的增大而減小．14．如圖，拋物線與軸交于A，B兩點(diǎn)點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，其頂點(diǎn)為C，點(diǎn)P為線段上一點(diǎn)，且過點(diǎn)P作，分別交拋物線于，兩點(diǎn)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，連接，．(1)直接寫出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；用含，的式子表示(2)猜想線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(3)若，，求的值．【答案】(1)點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為、、(2)，理由見解析(3)【分析】（1），求出x的值，可得點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，令，求出y的值，可得點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）根據(jù)求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，代入解析式，求出點(diǎn)D，E的橫坐標(biāo),進(jìn)而求出DE的長度，再根據(jù)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)求出AB的長度，即可得出；（3）當(dāng)時，求出OP，PC，PD，再通過導(dǎo)角證明，得出，進(jìn)而得出，代入即可求解．（1）解：對于，令，解得，令，則，故點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為、、；（2）解：，理由：∵，點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸，∴，∴，則，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)時，則，解得，則，由點(diǎn)A，B的坐標(biāo)得：，∴；（3）解：當(dāng)時，由知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，，∴，，，，∵，∴，又∵，，，∴，即，∴，解得．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，有一定的綜合性，難度適中，第三問利用三角函數(shù)或三角形相似均可得出，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)．15．如圖，拋物線的頂點(diǎn)為A，對稱軸與x軸交于點(diǎn)C，當(dāng)以為對角線的正方形的另外兩個頂點(diǎn)B、D恰好在拋物線上時，我們把這樣的拋物線稱為“美麗拋物線”，正方形為它的內(nèi)接正方形．(1)當(dāng)拋物線是“美麗拋物線”時，則；(2)當(dāng)拋物線是“美麗拋物線”時，則；(3)若拋物線是“美麗拋物線”，求a，k之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)4(3)【分析】（1）畫出函數(shù)的圖像，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，即可求解；（2）求得頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，即可求解；（3）同（2）求得頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，即可求解．（1）解：函數(shù)的圖像如下：拋物線是美麗拋物線時，則AC=2，∵四邊形ABCD為正方形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，1），將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入得：，解得；故答案為：；（2）解：∵，∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為，同理，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入得：,解得；故答案為：4；（3）解：∵，∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為，同理，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入得：,解得．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、新定義等，正確理解新定義、利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答，是解題的關(guān)鍵．16．定義：若二次函數(shù)的圖象記為，其頂點(diǎn)為，二次函數(shù)的圖象記為，其頂點(diǎn)為，我們稱這樣的兩個二次函數(shù)互為“反頂二次函數(shù)”．分類一：若二次函數(shù)經(jīng)過的頂點(diǎn)B，且經(jīng)過的頂點(diǎn)A，我們就稱它們互為“反頂伴侶二次函數(shù)”．(1)所有二次函數(shù)都有“反頂伴侶二次函數(shù)”是______命題．（填“真”或“假”）(2)試求出的“反頂伴侶二次函數(shù)”．(3)若二次函數(shù)與互為“反頂伴侶二次函數(shù)”，試探究與的關(guān)系，并說明理由．(4)分類二：若二次函數(shù)可以繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°得到二次函數(shù)；，我們就稱它們互為“反頂旋轉(zhuǎn)二次函數(shù)”．①任意二次函數(shù)都有“反頂旋轉(zhuǎn)二次函數(shù)”是______命題．（填“真”或“假”）②互為“反頂旋轉(zhuǎn)二次函數(shù)”的對稱中心點(diǎn)M有什么特點(diǎn)？③如圖，，互為“反頂旋轉(zhuǎn)二次函數(shù)”，點(diǎn)E，F(xiàn)的對稱點(diǎn)分別是點(diǎn)Q，G，且軸，當(dāng)四邊形EFQG為矩形時，試探究二次函數(shù)，的頂點(diǎn)有什么關(guān)系．并說明理由．【答案】(1)假(2)(3)見解析(4)①真；②見解析；③見解析【分析】（1）根據(jù)題意舉反例驗(yàn)證求解即可；（2），則“反頂伴侶二次函數(shù)”為，再將（2，1）代入求出a值，即可得出解析式；（3）根據(jù)題意，分別表示出過頂點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)解析式，進(jìn)行相加化簡即可得出結(jié)果；（4）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，找到對稱中心M，可知對于任意二次函數(shù)都有“反頂旋轉(zhuǎn)二次函數(shù)”；②利用A，B坐標(biāo)求出中點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而得出結(jié)論；③根據(jù)矩形的性質(zhì)和平行的性質(zhì)，得出AB∥y軸，進(jìn)而得出A，B點(diǎn)的坐標(biāo)均為（h，h），最后得出結(jié)論．(1)解：令的頂點(diǎn)坐標(biāo)A為（1，4），開口向上，則的頂點(diǎn)坐標(biāo)B為（4，1），此時C1不經(jīng)過B（4，1），∴所有二次函數(shù)都有“反頂伴侶二次函數(shù)”是假命題．故答案為：假．(2)解：，則“反頂伴侶二次函數(shù)”為，由題意，得將（2，1）代入，得，解得a=-1，∴的“反頂伴侶二次函數(shù)”為．(3)解：∵二次函數(shù)經(jīng)過的頂點(diǎn)B，且經(jīng)過的頂點(diǎn)A，∴①，②，①+②，得，當(dāng)h=k時，與任意非零實(shí)數(shù)；當(dāng)h≠k時，=0．(4)解：①如圖∵A，B的中點(diǎn)為M，∴對稱中心為M，∴任意二次函數(shù)都有“反頂旋轉(zhuǎn)二次函數(shù)”．故答案為：真；②∵M(jìn)為A，B的中點(diǎn)，∴M的坐標(biāo)為，即M在直線y=x上．③解：∵軸，四邊形EFQG為矩形，∴AB∥y軸，∴h=k，即A，B的坐標(biāo)均為（h，h），∴A，B兩點(diǎn)重合在直線y=x上．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，以及矩形的性質(zhì)，讀懂題意，理解新定義是解決問題的關(guān)鍵．培優(yōu)第三階——中考沙場點(diǎn)兵一、單選題1．（2022·浙江麗水·一模）關(guān)于二次函數(shù)的最大值或最小值，下列說法正確的是（

）A．有最大值2 B．有最小值2 C．有最大值5 D．有最小值5【答案】C【分析】由拋物線解析式可求得開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)，可求得答案．【解析】解：∵二次函數(shù)，∴拋物線開口向下，對稱軸為x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，5），∴當(dāng)x=2時，y有最大值為5；∴選項(xiàng)A，B，D錯誤，C正確，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵，即在y=a（x-h）2+k中，對稱軸為x=h，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k）．2．（2022·貴州銅仁·二模）函數(shù)y＝ax－a和（a為常數(shù)，且），在同一平面直角坐標(biāo)系中的大致圖象可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為判斷A，B不符合題意，再由C，D中的二次函數(shù)的圖象判斷則從而可得答案．【解析】解：由的頂點(diǎn)坐標(biāo)為故A，B不符合題意；由C，D中二次函數(shù)的圖象可得：函數(shù)y＝ax－a過一，二，四象限，故C符合題意，D不符合題意，故選C【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象共存的問題，掌握“一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)”是解本題的關(guān)鍵．3．（2022·陜西·隴縣教學(xué)研究室二模）下列關(guān)于二次函數(shù)（m為常數(shù)）的結(jié)論錯誤的是（

）A．當(dāng)時，y隨x的增大而減小 B．該函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點(diǎn)C．該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在函數(shù)的圖象上 D．該函數(shù)圖象與函數(shù)的圖象形狀相同【答案】A【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可．【解析】解：A．∵y＝﹣（x﹣m）2+m2+1，∴拋物線開口向下，對稱軸為直線x＝m，當(dāng)x＞m時，y隨x的增大而減小，故選項(xiàng)錯誤，符合題意；B．∵在函數(shù)y＝﹣（x﹣m）2+m2+1中，令x＝0，則y＝﹣m2+m2+1＝1，∴該函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點(diǎn)（0，1），故選項(xiàng)正確，不符合題意；C．∵拋物線開口向下，當(dāng)x＝m時，函數(shù)y有最大值m2+1，函數(shù)圖像的頂點(diǎn)為（m，m2+1），對于函數(shù)y＝x2+1，當(dāng)x＝m時，y＝x2+1，∴該函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)在函數(shù)y＝x2+1的圖象上．故選項(xiàng)正確，不符合題意；D．∵二次函數(shù)y＝﹣（x﹣m）2+m+1（m為常數(shù)）與函數(shù)y＝﹣x2的二次項(xiàng)系數(shù)相同，∴該函數(shù)的圖象與函數(shù)y＝﹣x2的圖象形狀相同，故選項(xiàng)正確，不符合題意；故選：A【點(diǎn)睛】此題考查二次函數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中考常考題型．4．（2020·福建福州·二模）小明在研究拋物線（為常數(shù)）時，得到如下結(jié)論，其中正確的是（

）A．無論取何實(shí)數(shù)，的值都小于0B．該拋物線的頂點(diǎn)始終在直線上C．當(dāng)時，隨的增大而增大，則D．該拋物線上有兩點(diǎn)，，若，，則【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的解析式的性質(zhì)，對每個選項(xiàng)進(jìn)行分析即可．【解析】A、由函數(shù)表達(dá)式的性質(zhì)可得，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，-h+1），拋物線的最大值為-h+1，若h<1，則y>0，故A項(xiàng)錯誤；B、由題可得出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，-h+1），當(dāng)x=h時，代入y=x-1得，故B項(xiàng)錯誤；C、由題意得，拋物線在x=h左側(cè)時，隨的增大而增大，∴，故C項(xiàng)錯誤；D、∵x1<x2，x1+x2>2h，∴x1在x=h左側(cè)且更靠近x=h，∵在中，x離x=h越近，y值越大，∴y1>y2，故D項(xiàng)正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵．5．（2021·天津南開·二模）二次函數(shù)，當(dāng)且時，y的最小值為，最大值為，則的值為（

）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】由且可得，根據(jù)題意畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像分情況討論；當(dāng)時，y隨x的增大而增大，可得當(dāng)時y有最小值，當(dāng)時y有最大值，代入并驗(yàn)證；當(dāng)時分兩種情況：當(dāng)時y有最小值，當(dāng)時y有最大值，或當(dāng)時y有最大值，當(dāng)時y有最小值，得出符合情況的值即可得出答案.【解析】解：如圖，二次函數(shù)的大致圖像如下：且時，，①當(dāng)時，y隨x的增大而增大，當(dāng)時y有最小值，即：，解得：或（舍去）；當(dāng)時y有最大值，即：，解得：或（均不符合題意，舍去）；②當(dāng)時，當(dāng)時y有最小值，即：，解得：或（舍去）；當(dāng)時y有最大值，即：，解得：，或：當(dāng)時y有最大值，即：，解得：，當(dāng)時y有最小值，即：，將代入解得：，，此種情形不合題意；，；故答案選：D.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖像及其性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的增減性，先判斷在取值范圍內(nèi)的最大值及最小值在何處取得，再代入求解；熟練掌握分析函數(shù)最值的方法是本題解題關(guān)鍵.6．（2020·遼寧鞍山·二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，矩形CDEF的頂點(diǎn)E在邊AB上，D，F(xiàn)兩點(diǎn)分別在邊AC，BC上，且，將矩形CDEF以每秒1個單位長度的速度沿射線CB方向勻速運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)B重合時停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，矩形CDEF與△ABC重疊部分的面積為S，則反映S與t的函數(shù)關(guān)系的圖象為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】證明△DEF≌△BFE（AAS），則；分0≤t≤4、4＜t≤8兩種情況，分別求出函數(shù)表達(dá)式，即可求解．【解析】如圖1，連接DF，∵，即tanB＝tan∠EDF，∴∠B＝∠EDF，而∠DEF＝∠EFB＝90°，EF＝EF，∴△DEF≌△BFE（AAS），∴，即點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，，故矩形DCFE的面積為3×4＝12；當(dāng)0≤t≤4時，如圖2，設(shè)直線AB交D′C′F′E′于點(diǎn)H，則EE′＝t，，，該函數(shù)為開口向下的拋物線，當(dāng)t＝4時，S＝6；當(dāng)4＜t≤8時，同理可得：，該函數(shù)為開口向上的拋物線；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是動點(diǎn)圖象問題，涉及到二次函數(shù)、三角形全等、解直角三角形等知識，此類問題關(guān)鍵是：弄清楚不同時間段，圖象和圖形的對應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而求解．二、填空題7．（2021·江蘇南通·一模）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為______．【答案】【分析】根據(jù)頂點(diǎn)式的頂點(diǎn)坐標(biāo)為求解即可．【解析】解：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)頂點(diǎn)式的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，掌握頂點(diǎn)式求頂點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．8．（2022·河南安陽·一模）若點(diǎn)在拋物線上，則、、的大小關(guān)系為______．（答案用“>”連接）【答案】【分析】根據(jù)點(diǎn)A、B、C的橫坐標(biāo)利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出y1、y2、y3的值，比較后即可得出結(jié)論．【解析】∵，，是拋物線y＝?（x＋1）2＋3上的三點(diǎn)，∴y1＝-1，y2＝2，y3＝?6，∵2＞-1＞?6，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出縱坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．9．（2020·上海虹口·一模）如圖，拋物線的對稱軸為直線x＝1，點(diǎn)P、Q是拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)，點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右側(cè)，如果點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，0），那么點(diǎn)Q的坐標(biāo)為_____．【答案】（﹣2，0）．【分析】根據(jù)拋物線的對稱軸結(jié)合點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，即可求出點(diǎn)Q的橫坐即可；【解析】解：∵拋物線的對稱軸為直線x＝1，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，0），∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為1×2﹣4＝﹣2，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣2，0）．故答案為：（﹣2，0）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象，掌握二次函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵.10．（2020·浙江·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在自變量的范圍內(nèi)，相應(yīng)的函數(shù)最小值為0，則的取值范圍是________．【答案】1≤m≤3【分析】畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)函數(shù)的圖象即可求得．【解析】解：畫出函數(shù)y=的圖象如圖：在自變量x≤m的范圍內(nèi)，相應(yīng)的函數(shù)最小值為0，由圖象可知：m的取值范圍是1≤m≤3，故答案為1≤m≤3．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象求得m的取值是解題的關(guān)鍵．11．（2021·上海奉賢·一模）當(dāng)兩條曲線關(guān)于某直線對稱時，我們把這兩條曲線叫做關(guān)于直線的對稱曲線，如果拋物線與拋物線關(guān)于直線的對稱曲線，那么拋物線的表達(dá)式為_______________________．【答案】【分析】先把拋物線的解析式寫成頂點(diǎn)式得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)對稱的關(guān)系得到的頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到的解析式．【解析】解：，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是，點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)是，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)．12．（2022·吉林·農(nóng)安縣第一中學(xué)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是拋物線與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B是這條拋物線上的另一點(diǎn)，且AB∥x軸，則以AB為邊的等邊三角形ABC的周長為____【答案】18．【解析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線的對稱軸為x=3．∵A是拋物線與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B是這條拋物線上的另一點(diǎn)，且AB∥x軸．∴A，B關(guān)于x=3對稱．∴AB=6．又∵△ABC是等邊三角形，∴以AB為邊的等邊三角形ABC的周長為6×3=18．三、解答題13．（2022·浙江·寧波市興寧中學(xué)一模）已知二次函數(shù)（是實(shí)數(shù)）．(1)小明說：當(dāng)?shù)闹底兓瘯r，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)始終在一條直線上運(yùn)動，你認(rèn)為他的說法對嗎？為什么？(2)已知點(diǎn)，都在該二次函數(shù)圖象上，求證：．【答案】(1)對的，理由見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)即可得到當(dāng)?shù)闹底兓瘯r，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)始終在一條直線上運(yùn)動；（2）由P，Q的縱坐標(biāo)相同，即可求出對稱軸為直線x=a+2m-1，則可得方程a+2m-1=2m，從而求出a的值，得出P坐標(biāo)為（-4，c），代入解析式可得c==，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可證得結(jié)論．(1)解：設(shè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）∵已知二次函數(shù)（是實(shí)數(shù)），∴x=2m，y=3-4m，∴2x+y=3，即y=-2x+3，∴當(dāng)?shù)闹底兓瘯r，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)始終在直線y=-2x+3上運(yùn)動，故小明的說法是對的．(2)證明：點(diǎn)，都在該二次函數(shù)圖象上，∴對稱軸為直線，∴，∴