1998年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及詳細(xì)解析

一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）若a>1,b>1,且lg(a+b)=lga+lgb,則lg(a–1)+lg(b–1)的值()（A）等于lg2 （B）等于1(C)等于0(D)不是與a,b無(wú)關(guān)的常數(shù)2.若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a–5},B={x|3≤x≤22},則能使AA∩B成立的所有a的集合是()（A）{a|1≤a≤9} (B){a|6≤a≤9}(C){a|a≤9} (D)?6.在正方體的8個(gè)頂點(diǎn),12條棱的中點(diǎn),6個(gè)面的中心及正方體的中心共27個(gè)點(diǎn)中,共線的三點(diǎn)組的個(gè)數(shù)是()(A)57(B)49(C)43(D)37二、填空題(本題滿分54分,每小題9分)各小題只要求直接填寫結(jié)果.1．若f(x)(xR)是以2為周期的偶函數(shù),當(dāng)x[0,1]時(shí),f(x)=xeq\s\up6(\f(1,1000))，則f(eq\f(98,19))，f(eq\f(101,17))，f(eq\f(104,15))由小到大排列是．2．設(shè)復(fù)數(shù)z=cosθ+isinθ(0≤θ≤180°)，復(fù)數(shù)z，(1+i)z，2eq\o(\s\up4(－),z)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的三個(gè)點(diǎn)分別是P,Q,R.當(dāng)P,Q,R不共線時(shí),以線段PQ,PR為兩邊的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)為S,點(diǎn)S到原點(diǎn)距離的最大值是___________.3．從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這10個(gè)數(shù)中取出3個(gè)數(shù),使其和為不小于10的偶數(shù),不同的取法有________種.4．各項(xiàng)為實(shí)數(shù)的等差數(shù)列的公差為4,其首項(xiàng)的平方與其余各項(xiàng)之和不超過(guò)100,這樣的數(shù)列至多有_______項(xiàng).5．若橢圓x2+4(y－a)2=4與拋物線x2=2y有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．6．ABC中,C=90o,B=30o,AC=2,M是AB的中點(diǎn).將ACM沿CM折起,使A,B兩點(diǎn)間的距離為2EQ\R(,2)，此時(shí)三棱錐A-BCM的體積等于__________.三、（本題滿分20分）已知復(fù)數(shù)z=1－sinθ+icosθ(eq\f(π,2)<θ<π)，求z的共軛復(fù)數(shù)eq\o(\s\up4(－),z)的輻角主值．四、（本題滿分20分）設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+8x+3(a<0)．對(duì)于給定的負(fù)數(shù)a,有一個(gè)最大的正數(shù)l(a),使得在整個(gè)區(qū)間[0,l(a)]上,不等式|f(x)|5都成立．問(wèn)：a為何值時(shí)l(a)最大?求出這個(gè)最大的l(a)．證明你的結(jié)論.五、（本題滿分20分）已知拋物線y2=2px及定點(diǎn)A(a,b),B(–a,0),(ab0,b22pa)．M是拋物線上的點(diǎn),設(shè)直線AM,BM與拋物線的另一交點(diǎn)分別為M1,M2．求證：當(dāng)M點(diǎn)在拋物線上變動(dòng)時(shí)(只要M1,M2存在且M1M2)，直線M1M2恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)．并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)．第二試二、（滿分50分）設(shè)a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn∈[1，2]且eq\o(\s\up15(n),\s\do4(Σ),\s\do10(i=1))aeq\a(2,i)=eq\o(\s\up15(n),\s\do4(Σ),\s\do10(i=1))beq\a(2,i)，求證：eq\o(\s\up15(n),\s\do4(Σ),\s\do10(i=1))eq\f(a\a(3,i),bi)≤eq\f(17,10)eq\o(\s\up15(n),\s\do4(Σ),\s\do10(i=1))aeq\a(2,i)．并問(wèn)：等號(hào)成立的充要條件．三、（滿分50分）對(duì)于正整數(shù)a、n，定義Fn(a)=q＋r，其中q、r為非負(fù)整數(shù)，a=qn＋r，且0≤r＜n．求最大的正整數(shù)A，使得存在正整數(shù)n1，n2，n3，n4，n5，n6，對(duì)于任意的正整數(shù)a≤A，都有Feq\s\do4(n6)(Feq\s\do4(n5)(Feq\s\do4(n4)(Feq\s\do4(n3)(Feq\s\do4(n2)(Feq\s\do4(n1)(a))))))=1．證明你的結(jié)論．一九九八年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽解答第一試一．選擇題（本題滿分36分，每小題6分）2．若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a–5},B={x|3≤x≤22},則能使AA∩B成立的所有a的集合是()（A）{a|1≤a≤9} (B){a|6≤a≤9}(C){a|a≤9} (D)?【答案】B【解析】AB，A≠?．3≤2a+1≤3a－5≤22，6≤a≤9．故選B．4.設(shè)命題P：關(guān)于x的不等式a1x2+b1x2+c1>0與a2x2+b2x+c2>0的解集相同;命題Q：eq\f(a1,a2)=eq\f(b1,b2)=eq\f(c1,c2)．則命題Q()(A)是命題P的充分必要條件(B)是命題P的充分條件但不是必要條件(C)是命題P的必要條件但不是充分條件(D)既不是是命題P的充分條件也不是命題P的必要條件【答案】D【解析】若兩個(gè)不等式的解集都是R，否定A、C，若比值為－1，否定A、B，選D．5.設(shè)E,F,G分別是正四面體ABCD的棱AB,BC,CD的中點(diǎn),則二面角C—FG—E的大小是()(A)arcsineq\f(\r(6),3)(B)eq\f(π,2)+arccoseq\f(\r(3),3)(C)eq\f(π,2)－arctaneq\r(2)(D)π－arccoteq\f(\r(2),2)6.在正方體的8個(gè)頂點(diǎn),12條棱的中點(diǎn),6個(gè)面的中心及正方體的中心共27個(gè)點(diǎn)中,共線的三點(diǎn)組的個(gè)數(shù)是()(A)57(B)49(C)43(D)37【答案】B【解析】8個(gè)頂點(diǎn)中無(wú)3點(diǎn)共線，故共線的三點(diǎn)組中至少有一個(gè)是棱中點(diǎn)或面中心或體中心．⑴體中心為中點(diǎn)：4對(duì)頂點(diǎn)，6對(duì)棱中點(diǎn)，3對(duì)面中心；共13組；⑵面中心為中點(diǎn)：4×6=24組；⑶棱中點(diǎn)為中點(diǎn)：12個(gè)．共49個(gè)，選B．二、填空題(本題滿分54分,每小題9分)各小題只要求直接填寫結(jié)果.1．若f(x)(xR)是以2為周期的偶函數(shù),當(dāng)x[0,1]時(shí),f(x)=xeq\s\up6(\f(1,1000))，則f(eq\f(98,19))，f(eq\f(101,17))，f(eq\f(104,15))由小到大排列是．2．設(shè)復(fù)數(shù)z=cosθ+isinθ(0≤θ≤180°)，復(fù)數(shù)z，(1+i)z，2eq\o(\s\up4(－),z)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的三個(gè)點(diǎn)分別是P,Q,R.當(dāng)P,Q,R不共線時(shí),以線段PQ,PR為兩邊的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)為S,點(diǎn)S到原點(diǎn)距離的最大值是___________.【答案】3【解析】eq\o(\s\up7(→),OS)=eq\o(\s\up7(→),OP)+eq\o(\s\up7(→),PQ)+eq\o(\s\up7(→),PR)=eq\o(\s\up7(→),OP)+eq\o(\s\up7(→),OQ)－eq\o(\s\up7(→),OP)+eq\o(\s\up7(→),OR)－eq\o(\s\up7(→),OP)=eq\o(\s\up7(→),OQ)+eq\o(\s\up7(→),OR)－eq\o(\s\up7(→),OP)=(1+i)z+2eq\o(\s\up4(－),z)－z=iz+2eq\o(\s\up4(－),z)=(2cosθ－sinθ)+i(cosθ－2sinθ)．∴|OS|2=5－4sin2θ≤9．即|OS|≤3，當(dāng)sin2θ=1，即θ=eq\f(π,4)時(shí)，|OS|=3．4．各項(xiàng)為實(shí)數(shù)的等差數(shù)列的公差為4,其首項(xiàng)的平方與其余各項(xiàng)之和不超過(guò)100,這樣的數(shù)列至多有_______項(xiàng).【答案】8【解析】設(shè)其首項(xiàng)為a，項(xiàng)數(shù)為n．則得a2+(n－1)a+2n2－2n－100≤0．△=(n－1)2－4(2n2－2n－100)=－7n2+6n+401≥0．∴n≤8．取n=8，則－4≤a≤－3．即至多8項(xiàng)．(也可直接配方：(a+eq\f(n－1,2))2+2n2－2n－100－(eq\f(n－1,2))2≤0．解2n2－2n－100－(eq\f(n－1,2))2≤0仍得n≤8．)6．ABC中,C=90o,B=30o,AC=2,M是AB的中點(diǎn).將ACM沿CM折起,使A,B兩點(diǎn)間的距離為2EQ\R(,2)，此時(shí)三棱錐A－BCM的體積等于．【答案】eq\f(2\r(2),3)【解析】由已知，得AB=4，AM=MB=MC=2，BC=2eq\r(3)，由△AMC為等邊三角形，取CM中點(diǎn)，則AD⊥CM，AD交BC于E，則AD=eq\r(3)，DE=eq\f(\r(3),3)，CE=eq\f(2\r(3),3)．折起后，由BC2=AC2+AB2，知∠BAC=90°，cos∠ECA=eq\f(\r(3),3)．∴AE2=CA2+CE2－2CA·CEcos∠ECA=eq\f(8,3)，于是AC2=AE2+CE2．∠AEC=90°．∵AD2=AE2+ED2，AE⊥平面BCM，即AE是三棱錐A－BCM的高，AE=eq\f(2\r(6),3)．S△BCM=eq\r(3)，VA—BCM=eq\f(2\r(2),3)．三、（本題滿分20分）四、（本題滿分20分）設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+8x+3(a<0)．對(duì)于給定的負(fù)數(shù)a,有一個(gè)最大的正數(shù)l(a),使得在整個(gè)區(qū)間[0,l(a)]上,不等式|f(x)|5都成立．問(wèn)：a為何值時(shí)l(a)最大?求出這個(gè)最大的l(a)．證明你的結(jié)論．五、（本題滿分20分）已知拋物線y2=2px及定點(diǎn)A(a,b),B(–a,0),(ab0,b22pa).M是拋物線上的點(diǎn),設(shè)直線AM,BM與拋物線的另一交點(diǎn)分別為M1,M2．求證：當(dāng)M點(diǎn)在拋物線上變動(dòng)時(shí)(只要M1,M2存在且M1M2.)直線M1M2恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)．并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo).第二試一、（滿分50分）如圖，O、I分別為△ABC的外心和內(nèi)心，AD是BC邊上的高，I在線段OD上。求證：△ABC的外接圓半徑等于BC邊上的旁切圓半徑。注：△ABC的BC邊上的旁切圓是與邊AB、AC的延長(zhǎng)線以及邊BC都相切的圓?！窘馕觥坑膳郧袌A半徑公式，有ra=eq\f(2S,b+c－a)=eq\f(aha,b+c－a)，故只須證明eq\f(R,ha)=eq\f(a,b+c－a)即可。連AI并延長(zhǎng)交⊙O于K，連OK交BC于M，則K、M分別為弧BC及弦BC的中點(diǎn)。且OK⊥BC。于是OK∥AD，又OK=R，故eq\f(R,ha)=eq\f(OK,AD)=eq\f(IK,IA)=eq\f(KB,IA)，故只須證eq\f(KB,IA)=eq\f(aha,b+c－a)=eq\f(BM,\f(1,2)(b+c－a))．作IN⊥AB，交AB于N，則AN=eq\f(1,2)(b+c－a),而由⊿AIN∽⊿BKM，可證eq\f(KB,IA)=eq\f(BM,AN)成立，故證。二、（滿分50分）設(shè)a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn∈[1，2]且eq\o(\s\up15(n),\s\do4(Σ),\s\do10(i=1))aeq\a(2,i)=eq\o(\s\up15(n),\s\do4(Σ),\s\do10(i=1))beq\a(2,i)，求證：eq\o(\s\up15(n),\s\do4(Σ),\s\do10(i=1))eq\f(a\a(3,i),bi)≤eq\f(17,10)eq\o(\s\up15(n),\s\do4(Σ),\s\do10(i=1))aeq\a(2,i)．并問(wèn)：等號(hào)成立的充要條件．三、（滿分50分）對(duì)于正整數(shù)a、n，定義Fn（a）=q＋r，其中q、r為非負(fù)整數(shù)，a=qn＋r，且0≤r＜n．求最大的正整數(shù)A，使得存在正整數(shù)n1，n2，n3，n4，n5，n6，對(duì)于任意的正整數(shù)a≤A，都有Feq\s\do4(n6)(Feq\s\do4(n5)(Feq\s\do4(n4)(Feq\s\do4(n3)(Feq\s\do4(n2)(Feq\s\do4(