復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章-2

§2.3初等函數(shù)1

對(duì)于復(fù)數(shù)，稱為指數(shù)函數(shù)。對(duì)于任意的實(shí)數(shù)y有,即，歐拉(Euler)公式。指數(shù)函數(shù)

在全平面上有定義。定義等價(jià)于：指數(shù)函數(shù)

在全平面上解析，且

。復(fù)變量的指數(shù)函數(shù)是實(shí)變量指數(shù)函數(shù)在復(fù)平面上的解析拓廣。當(dāng)y=0時(shí)，有?！?.3.1指數(shù)函數(shù)2指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

指數(shù)函數(shù)的非零性，即總有由于，所以，總有。加法定理：

由定義有即設(shè)[證]3從歐拉公式可知，對(duì)于任意整數(shù)k有再由指數(shù)運(yùn)算法則得到復(fù)變量指數(shù)函數(shù)當(dāng)趨向時(shí)沒有極限。因?yàn)椋?dāng)z沿實(shí)軸正向趨向于

時(shí),有而當(dāng)z沿實(shí)軸負(fù)向趨向于

時(shí)，有周期性：指數(shù)函數(shù)是以2kπi為周期的周期函數(shù).因此，z趨向∞時(shí)的極限不存在。[證]4【例2.15】計(jì)算和的值。解:根據(jù)指數(shù)定義5【例2.16】利用復(fù)數(shù)的指數(shù)表示計(jì)算。解因?yàn)楣仕笾涤?個(gè)，即，及,也就是6§2.3.2對(duì)數(shù)函數(shù)復(fù)變量的對(duì)數(shù)函數(shù)也是定義為指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。定義

滿足方程的函數(shù)，稱為對(duì)數(shù)函數(shù)。記作。令，，則所以即由于，而

是z的輻角，故恰有，故有7其中：是通常正數(shù)的自然對(duì)數(shù)。

對(duì)數(shù)函數(shù)為多值函數(shù)。并且每?jī)蓚€(gè)值相差

的整數(shù)倍。

如果規(guī)定取主值，就得的一個(gè)單值

“分支”，記作，把它稱為的主值。

故因此，可表示為對(duì)于每一個(gè)固定的k,上式為一單值函數(shù),稱為

的一個(gè)分支。

當(dāng)時(shí)的主值，這就是實(shí)變數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)。

8【例2.17】求

,

及它們相對(duì)應(yīng)的主值。解:1)因?yàn)椤纠?.18】求。解:因?yàn)樗灾髦禐椋?/p>

2)（k=0,±1,±2,…）

主值為：

，故(k=0,±1,±2,…)(k=0,±1,±2,…)9【例2.19】計(jì)算及解根據(jù)定義，10遇到的三種對(duì)數(shù)函數(shù):1)實(shí)變量的對(duì)數(shù)函數(shù)。它對(duì)一切正數(shù)x有定義，且是單值的；2)復(fù)變量的對(duì)數(shù)函數(shù)

Lnz

。它對(duì)于一切不為0的復(fù)數(shù)z有定義，且每個(gè)z對(duì)應(yīng)無(wú)窮多值；

3)復(fù)變量對(duì)數(shù)函數(shù)的主值

。它對(duì)于一切不為0的復(fù)數(shù)z有定義，且為單值，即取Lnz

無(wú)窮多值中的一個(gè)，其虛部等于z的主輻角。特別，當(dāng)z為正實(shí)數(shù)時(shí)，主值lnz恰與實(shí)數(shù)的對(duì)數(shù)相一致。

利用輻角的相應(yīng)性質(zhì)，容易驗(yàn)證，對(duì)數(shù)函數(shù)具有下列性質(zhì)。11對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：(1)運(yùn)算性質(zhì)注意：其中n為大于1的整數(shù)。不成立（×）

（×）

12【例如】可見，的值比2Lnz的值多。另外，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，的自變量z可取負(fù)實(shí)數(shù)，而2Lnz

的自變量z只能取正實(shí)數(shù)，所以不正確。

同樣有：，因?yàn)?3(2)解析性主值w=lnz，在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面上是解析的，且

因?yàn)槠渲?，除原點(diǎn)外在其他點(diǎn)都是連續(xù)的，而argz在原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸上都不連續(xù)。在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)處處連續(xù)。

在區(qū)域內(nèi)的反函數(shù)w=lnz是單值的。由反函數(shù)的求導(dǎo)法則可知

因此，lnz在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的平面內(nèi)解析。14

又由于（k為整數(shù)），因此:

Lnz的各分支在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的平面內(nèi)也解析，并且有相同的導(dǎo)數(shù)值。

今后，我們應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)時(shí)，都是指它在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的平面內(nèi)的某一單值分支。15【例2.20】求下列函數(shù)在復(fù)平面上的可導(dǎo)和解析點(diǎn)集.解：由對(duì)數(shù)函數(shù)的解析特征可得，除滿足以下方程的點(diǎn)集外，

f(z)在復(fù)平面上的其它區(qū)域解析，

and

即

and

可得：

and

因此，f(z)在復(fù)平面上除去的其它區(qū)域內(nèi)解析。16§2.2.3冪函數(shù)定義

函數(shù)規(guī)定為（a為復(fù)常數(shù)，），稱為復(fù)變量的冪函數(shù)。還規(guī)定：當(dāng)a為正實(shí)數(shù)且z=0時(shí)，。（由于是多值函數(shù)，所以一般也是多值函數(shù)。）冪函數(shù)的性質(zhì)：1)

冪函數(shù)是多值函數(shù)。174)

當(dāng)時(shí)，3)

當(dāng)（n為正整數(shù)）時(shí)，是一個(gè)n值函數(shù)；2)

當(dāng)a為正整數(shù)n時(shí)是一個(gè)單值函數(shù)；冪函數(shù)的性質(zhì)：185)

當(dāng)a為有理數(shù)（與為互質(zhì)的整數(shù)，）時(shí)，，k為整數(shù)。由于p

與q互質(zhì)，當(dāng)k取0，1，…，q-1時(shí)，是q個(gè)不同的值。但若k再取其他整數(shù)的值時(shí)，將重復(fù)出現(xiàn)上述q個(gè)值之一，所以是q值函數(shù)，有q個(gè)不同的分支。冪函數(shù)的性質(zhì)：196)當(dāng)為無(wú)理數(shù)或復(fù)數(shù)（）時(shí)，是無(wú)窮多值函數(shù)。

例如：

由于Lnz的各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)是解析的，因而不難知道的相應(yīng)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)也是解析的。7)

解析性：的各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)是解析的。冪函數(shù)的性質(zhì)：20【例2.21】求1),2)的值.解：根據(jù)冪函數(shù)定義計(jì)算1)2)21【例2.22】求的模和主輻角。解：22所以因此：的模為：主輻角為：23§2.3.4三角函數(shù)歐拉公式將三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)聯(lián)系起來，即可得

表明：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)可以用指數(shù)函數(shù)來表示。若將這兩個(gè)等式右端的實(shí)數(shù)y改為復(fù)數(shù)z，它們?nèi)杂幸饬x。因此就可以用它們來作為復(fù)變量的正弦和余弦函數(shù)的定義。24定義

函數(shù)與分別稱為復(fù)變量z的余弦函數(shù)與正弦函數(shù)。記作與，即25

性質(zhì)（1）

及均為單值函數(shù)；

（2）

及均為以為周期的函數(shù)；

（3）

為偶函數(shù)，為奇函數(shù)；

（4）（5）（6）

解析性

在復(fù)平面上均為解析函數(shù)，且26注意：域內(nèi)不再成立。例如，當(dāng)時(shí)，隨而模也無(wú)限增大。1)

在實(shí)數(shù)域內(nèi)成立的不等式及在復(fù)數(shù)2)

和都是無(wú)界的。3)

及不總是非負(fù)的，可能取任何復(fù)數(shù)值。

例如就是一個(gè)負(fù)數(shù)。

還可檢驗(yàn)是一個(gè)虛數(shù)。27其他復(fù)變函數(shù)的三角函數(shù)的定義如下：28§2.3.5反三角函數(shù)反三角函數(shù)作為三角函數(shù)的反函數(shù)定義如下:定義

如果,則w叫做復(fù)變量z的反余弦函數(shù),記為,即將兩端同乘以,得或于是有，再由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義即得所以可見，反余弦函數(shù)是多值函數(shù)。29用同樣方法可定義反正弦函數(shù)及反正切函數(shù)，并且它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)有如下關(guān)系：它們均是多值的。30§2.3.6雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)定義

分別稱作復(fù)變量z的雙曲正弦函數(shù)、雙曲余弦函數(shù)、雙曲正切函數(shù)以及雙曲余切函數(shù)。雙曲函數(shù)與三角函數(shù)之間有如下關(guān)系：31雙曲函數(shù)的特點(diǎn)：雙曲函數(shù)是單值函數(shù)；雙曲函數(shù)是以虛數(shù)為周期的周期函數(shù)；

為奇函數(shù)，為偶函數(shù)；雙曲函數(shù)均在復(fù)平面內(nèi)解析，且32反雙曲正弦函數(shù)，反雙曲余弦函數(shù)，反雙曲正切函數(shù)，反雙曲余切函數(shù)。反雙曲函數(shù)分別為：反雙曲函數(shù)都是多值函數(shù)。雙曲函數(shù)的周值性決定了它們的反函數(shù)的多值性。33【例2.23】解方程sinz+i

cosz=4i

解