概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)7.3區(qū)間估計(jì)

第三節(jié)參數(shù)的區(qū)間估計(jì)一、區(qū)間估計(jì)的基本概念二、典型例題三、小結(jié)

引言前面，我們討論了參數(shù)點(diǎn)估計(jì).它是用樣本算得的一個(gè)值去估計(jì)未知參數(shù).但是，點(diǎn)估計(jì)值僅僅是未知參數(shù)的一個(gè)近似值，它沒(méi)有反映出這個(gè)近似值的誤差范圍，使用起來(lái)把握不大.區(qū)間估計(jì)正好彌補(bǔ)了點(diǎn)估計(jì)的這個(gè)缺陷.

譬如，在估計(jì)湖中魚(yú)數(shù)的問(wèn)題中，若我們根據(jù)一個(gè)實(shí)際樣本，得到魚(yú)數(shù)N的極大似然估計(jì)為1000條.若我們能給出一個(gè)區(qū)間，在此區(qū)間內(nèi)我們合理地相信N的真值位于其中.這樣對(duì)魚(yú)數(shù)的估計(jì)就有把握多了.實(shí)際上，N的真值可能大于1000條，也可能小于1000條.也就是說(shuō)，我們希望確定一個(gè)區(qū)間，使我們能以比較高的可靠程度相信它包含真參數(shù)值.湖中魚(yú)數(shù)的真值[]這里所說(shuō)的“可靠程度”是用概率來(lái)度量的，稱(chēng)為置信度或置信水平.習(xí)慣上把置信水平記作，這里是一個(gè)很小的正數(shù).置信水平的大小是根據(jù)實(shí)際需要選定的.置信區(qū)間.稱(chēng)區(qū)間為

的置信水平為的例如，通?？扇≈眯潘?0.95或0.9等.根據(jù)一個(gè)實(shí)際樣本，由給定的置信水平，我小的區(qū)間，使們求出一個(gè)盡可能一、置信區(qū)間定義滿(mǎn)足設(shè)是一個(gè)待估參數(shù)，給定X1,X2,…Xn確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量則稱(chēng)區(qū)間是的置信水平（置信度)為

的置信區(qū)間.和分別稱(chēng)為置信下限和置信上限.

若由樣本這里有兩個(gè)要求:可見(jiàn)，對(duì)參數(shù)作區(qū)間估計(jì)，就是要設(shè)法找出兩個(gè)只依賴(lài)于樣本的界限(構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量).一旦有了樣本，就把估計(jì)在區(qū)間內(nèi).可靠度與精度是一對(duì)矛盾，一般是在保證可靠度的條件下盡可能提高精度.1.要求以很大的可能被包含在區(qū)間內(nèi)，就是說(shuō)，概率要盡可能大.即要求估計(jì)盡量可靠.

2.估計(jì)的精度要盡可能的高.如要求區(qū)間長(zhǎng)度盡可能短，或能體現(xiàn)該要求的其它準(zhǔn)則.關(guān)于定義的說(shuō)明若反復(fù)抽樣多次(各次得到的樣本容量相等,都是n)按伯努利大數(shù)定理,在這樣多的區(qū)間中,2.

求置信區(qū)間的一般步驟(共3步)樞軸量解例1典型例題這樣的置信區(qū)間常寫(xiě)成其置信區(qū)間的長(zhǎng)度為由一個(gè)樣本值算得樣本均值的觀察值則置信區(qū)間為其置信區(qū)間的長(zhǎng)度為比較兩個(gè)置信區(qū)間的長(zhǎng)度置信區(qū)間短表示估計(jì)的精度高.說(shuō)明:

對(duì)于概率密度的圖形是單峰且關(guān)于縱坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)的情況,易證取a和b關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)時(shí),能使置信區(qū)間長(zhǎng)度最小.包糖機(jī)某日開(kāi)工包了12包糖,稱(chēng)得質(zhì)量(單位:克)分別為506,500,495,488,504,486,505,513,521,520,512,485.假設(shè)重量服從正態(tài)分布