概率論與數(shù)理統(tǒng)計7.3區(qū)間估計

第三節(jié)參數(shù)的區(qū)間估計一、區(qū)間估計的基本概念二、典型例題三、小結(jié)

引言前面，我們討論了參數(shù)點估計.它是用樣本算得的一個值去估計未知參數(shù).但是，點估計值僅僅是未知參數(shù)的一個近似值，它沒有反映出這個近似值的誤差范圍，使用起來把握不大.區(qū)間估計正好彌補了點估計的這個缺陷.

譬如，在估計湖中魚數(shù)的問題中，若我們根據(jù)一個實際樣本，得到魚數(shù)N的極大似然估計為1000條.若我們能給出一個區(qū)間，在此區(qū)間內(nèi)我們合理地相信N的真值位于其中.這樣對魚數(shù)的估計就有把握多了.實際上，N的真值可能大于1000條，也可能小于1000條.也就是說，我們希望確定一個區(qū)間，使我們能以比較高的可靠程度相信它包含真參數(shù)值.湖中魚數(shù)的真值[]這里所說的“可靠程度”是用概率來度量的，稱為置信度或置信水平.習(xí)慣上把置信水平記作，這里是一個很小的正數(shù).置信水平的大小是根據(jù)實際需要選定的.置信區(qū)間.稱區(qū)間為

的置信水平為的例如，通?？扇≈眯潘?0.95或0.9等.根據(jù)一個實際樣本，由給定的置信水平，我小的區(qū)間，使們求出一個盡可能一、置信區(qū)間定義滿足設(shè)是一個待估參數(shù)，給定X1,X2,…Xn確定的兩個統(tǒng)計量則稱區(qū)間是的置信水平（置信度)為

的置信區(qū)間.和分別稱為置信下限和置信上限.

若由樣本這里有兩個要求:可見，對參數(shù)作區(qū)間估計，就是要設(shè)法找出兩個只依賴于樣本的界限(構(gòu)造統(tǒng)計量).一旦有了樣本，就把估計在區(qū)間內(nèi).可靠度與精度是一對矛盾，一般是在保證可靠度的條件下盡可能提高精度.1.要求以很大的可能被包含在區(qū)間內(nèi)，就是說，概率要盡可能大.即要求估計盡量可靠.

2.估計的精度要盡可能的高.如要求區(qū)間長度盡可能短，或能體現(xiàn)該要求的其它準(zhǔn)則.關(guān)于定義的說明若反復(fù)抽樣多次(各次得到的樣本容量相等,都是n)按伯努利大數(shù)定理,在這樣多的區(qū)間中,2.

求置信區(qū)間的一般步驟(共3步)樞軸量解例1典型例題這樣的置信區(qū)間常寫成其置信區(qū)間的長度為由一個樣本值算得樣本均值的觀察值則置信區(qū)間為其置信區(qū)間的長度為比較兩個置信區(qū)間的長度置信區(qū)間短表示估計的精度高.說明:

對于概率密度的圖形是單峰且關(guān)于縱坐標(biāo)軸對稱的情況,易證取a和b關(guān)于原點對稱時,能使置信區(qū)間長度最小.包糖機某日開工包了12包糖,稱得質(zhì)量(單位:克)分別為506,500,495,488,504,486,505,513,521,520,512,485.假設(shè)重量服從正態(tài)分布