2022屆上海市黃埔區(qū)高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3,請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑：如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05亳米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.《九章算術(shù)》有如下問(wèn)題：“今有金睪，長(zhǎng)五尺，斬本一尺，重四斤；斬末一尺，重二斤，問(wèn)次一尺各重幾何?”意思

是：“現(xiàn)在有一根金第，長(zhǎng)五尺在粗的一端截下一尺，重4斤；在細(xì)的一端截下一尺，重2斤，問(wèn)各尺依次重多少？”

按這一問(wèn)題的顆設(shè)，假設(shè)金簟由粗到細(xì)各尺重量依次成等差數(shù)列，則從粗端開(kāi)始的第二尺的重量是（）

775一

A.7■斤B.二斤C.一斤D.3斤

322

2.執(zhí)行如下的程序框圖，則輸出的S是（）

A.36B.45

C.-36D.-45

3.已知函數(shù)〃x）=a，關(guān)于x的方程r（x）+（m+l）/（x）+加+4=0（加WR）有四個(gè)相異的實(shí)數(shù)根廁，〃的取值范圍

是（）

A-3，-e-。)B.(T-3)4

-e----,-oo

e+l

4.已知集合A=W/亞二耳，8=3號(hào)則ANN）

B.[-1,應(yīng)]C.(-1,忘]D.[-V2,V2]

5.AA3C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知。=出淚=1,5=30,則4為（）

A.60。B.120JC.60或1500I).60或120”

6.如圖在直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)原點(diǎn)。作曲線y=f+1（x20）的切線，切點(diǎn)為p,過(guò)點(diǎn)P分別作x、N軸的垂線,

垂足分別為A、B,在矩形Q4P3中隨機(jī)選取一點(diǎn)，則它在陰影部分的概率為（）

1、1

A.—>-B.7f,rn>l

mn

C.In(jn-n)>0D.仍嚴(yán)〉組〃

22

8.在［+J］（2x+1）3展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（）

A.1B.2C.3D.7

9.在AABC中，OA+OB+OC=6>AE=2EB>|AB|=/1|AC|,若A瓦前;=9而>?或，則實(shí)數(shù)4=()

A,也B0C.也D.男

3232

z=3則|z|=(

10.i是虛數(shù)單位，)

1-1

A.1B.2C.近D.272

22

rv

11.已知雙曲線C：r-==l（a>0力>0）的左,右焦點(diǎn)分別為百，工，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為雙曲線在第一象限上

a'b~

的點(diǎn)，直線尸O,PF2分別交雙曲線C的左，右支于另一點(diǎn)MN,若歸用=3忸用，且NM&N=60,則雙曲線的

離心率為（）

A.立B.3C.2D.五

22

12.已知等比數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為S”，且滿足2s“=2向+幾，則尤的值是（）

A.4B.2C.-2D.-4

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.某學(xué)校高一、高二、高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)之比為5:5:4,現(xiàn)按年級(jí)采用分層抽樣的方法抽取若干人，若抽取的高

三年級(jí)為12人，則抽取的樣本容量為人.

14.如圖，四面體ABCQ的一條棱長(zhǎng)為x,其余棱長(zhǎng)均為1,記四面體ABCO的體積為“（X）,則函數(shù)b（x）的單調(diào)

增區(qū)間是一;最大值為.

15.已知a>0,b>0,c>4,且a+匕=2,則竺+￡一￡+衛(wèi)-的最小值為.

bab2c-2

16.已知雙曲線f一=is>0）的一條漸近線為y=2x，則焦點(diǎn)到這條漸近線的距離為

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）已知函數(shù)/?（%）=（r+一一"），其中aeH.

（1）當(dāng)a=0時(shí)，求外力在0J。））的切線方程;

（2）求證：/（力的極大值恒大于0.

18.(12分)已知/(x)=2|x+l|,g(x)=|x—3].

⑴解了(x)2g(x)；

(2)若|2°一目41,證明：F(a)+g(b)>4.

19.(12分)已知{4},{2}均為正項(xiàng)數(shù)列，其前〃項(xiàng)和分別為S”，T.，且q=；,4=1,4=2,當(dāng)〃22,neN*

1H.s,9,2((：-鞏)

時(shí)，S,i=l—2a“，bn=—^~-一27；,,,.

(1)求數(shù)列｛%｝,｛4｝的通項(xiàng)公式;

(h+2)?

(2)設(shè)%=/+；，求數(shù)列｛c.｝的前〃項(xiàng)和2.

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=lnx+[a-;Jx2-2ax,aeR.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若/(%)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，且存在不相等的正實(shí)數(shù).々，使得/(%)+/(與)=-3,證明：X,+X2>2.

21.(12分)對(duì)于非負(fù)整數(shù)集合S(非空)，若對(duì)任意x,ywS,或者x+yeS,或者|x-y|wS,則稱S為一個(gè)好集

合.以下記同為S的元素個(gè)數(shù).

(1)給出所有的元素均小于3的好集合.(給出結(jié)論即可)

(2)求出所有滿足網(wǎng)=4的好集合.(同時(shí)說(shuō)明理由)

(3)若好集合S滿足|5|=2019,求證：S中存在元素加，使得S中所有元素均為加的整數(shù)倍.

22.(10分)車工劉師傅利用數(shù)控車床為某公司加工一種高科技易損零件，對(duì)之前加工的100個(gè)零件的加工時(shí)間進(jìn)行

統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：

加工1個(gè)零件用時(shí)X(分鐘)20253035

頻數(shù)(個(gè))15304015

以加工這100個(gè)零件用時(shí)的頻率代替概率.

(D求X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX;

(2)劉師傅準(zhǔn)備給幾個(gè)徒弟做一個(gè)加工該零件的講座，用時(shí)40分鐘，另外他打算在講座前、講座后各加工1個(gè)該零

件作示范.求劉師傅講座及加工2個(gè)零件作示范的總時(shí)間不超過(guò)100分鐘的概率.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.B

【解析】

依題意，金肇由粗到細(xì)各尺重量構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，q=4則%=2,由此利用等差數(shù)列性質(zhì)求出結(jié)果.

【詳解】

設(shè)金簿由粗到細(xì)各尺重量依次所成得等差數(shù)列為｛為｝,設(shè)首項(xiàng)6=4,則為=2,.?.公差"=與二三=瀉=-4，

5—15—12

,7

a2=at+a

故選B

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.A

【解析】

列出每一步算法循環(huán)，可得出輸出結(jié)果S的值.

【詳解】

i=l<8滿足，執(zhí)行第一次循環(huán)，S=0+(-l)'xl2=-l,i=l+l=2；

i=2K8成立，執(zhí)行第二次循環(huán)，S=—1+(—1)2*22=3,i=2+l=3；

i=3W8成立，執(zhí)行第三次循環(huán)，5=3+(-1)3X32=-6,Z=3+1=4；

i=4?8成立，執(zhí)行第四次循環(huán)，S=-6+(-1)4X42=10,Z=4+1=5；

i=5?8成立，執(zhí)行第五次循環(huán)，S=10+(-1)5X52=-15,Z=5+1=6；

i=6W8成立，執(zhí)行第六次循環(huán)，S=-15+(-1)6X62=21,/=6+1=7；

i=7V8成立，執(zhí)行第七次循環(huán)，S=21+(-1)7X72=-28,i=7+l=8；

i=8W8成立，執(zhí)行第八次循環(huán)，S=-28+(-1)8X82=36,Z=8+1=9；

i=9W8不成立，跳出循環(huán)體，輸出S的值為36,故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查算法與程序框圖的計(jì)算，解題時(shí)要根據(jù)算法框圖計(jì)算出算法的每一步，考查分析問(wèn)題和計(jì)算能力，屬于中等

題.

3.A

【解析】

—,x>01/n

/(*)=1=，當(dāng)x〉()時(shí)f(x)=±422=o,x=i,xe(O,l)時(shí)J(x)單調(diào)遞減，xe(l,+a)時(shí)J(x)

~—,x<0X~

、X

單調(diào)遞增,且當(dāng)工€(0,1)時(shí),/(月€(%+8),當(dāng)%€(1,+<?)時(shí),/(%)€3+(?),當(dāng)犬<()時(shí)，/<x)=_e恒

成立，xw(—8,0)時(shí),/(x)單調(diào)遞增且〃X)€(0,+8),方程/(力+(加+l)f(x)+加+4=0(mWR)有四個(gè)相異的

實(shí)數(shù)根.令/(x)=/,*+(m+1)/+m+4=o則

2

0<4<e,t2>e,/.e+(加+1)0+加+4<0,且。2+("?+i)o+"z+4>0,即m€

4.C

【解析】

計(jì)算A=[-7I、6],8=(-1,2],再計(jì)算交集得到答案.

【詳解】

==卜|y=也_尤2}=[一6萬(wàn)|,B={X|^1<O}=(-1,2],故405=(7,&].

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了交集運(yùn)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

5.D

【解析】

由正弦定理可求得sinA=且，再由角4的范圍可求得角A.

2

【詳解】

由正弦定理可知號(hào)=上，所以巫,解得sinA=走，又0°<A<180，&a>b,所以A=60°或

sinAsin8sinAsin30"2

120°.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查正弦定理，注意角的范圍，是否有兩解的情況，屬于基礎(chǔ)題.

6.A

【解析】

y=kx(k>0)

設(shè)所求切線的方程為y=H，聯(lián)立,2'，消去)'得出關(guān)于x的方程，可得出△=(),求出Z的值，進(jìn)而求得

y=x+1

切點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用定積分求出陰影部分區(qū)域的面積，然后利用幾何概型概率公式可求得所求事件的概率.

【詳解】

設(shè)所求切線的方程為y=依，則z〉0,

聯(lián)立消去y得尤2—依+1=0①，由△=/一4=0,解得左=2,

y=x+1

方程①為7一2》+1=0,解得x=l,則點(diǎn)P(l,2),

所以，陰影部分區(qū)域的面積為S=J(f+1—2*公=./一彳2+X|>=

o13/3

qI

矩形Q4PB的面積為S'=1x2=2,因此，所求概率為

S6

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查定積分的計(jì)算以及幾何概型，同時(shí)也涉及了二次函數(shù)的切線方程的求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

7.B

【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合特殊值進(jìn)行辨析.

【詳解】

若2，">2">I=2。，.-./n>n>0,故5正確；

而當(dāng)"?='，"=』時(shí)，檢驗(yàn)可得，A、C、。都不正確，

24

故選：B.

【點(diǎn)睛】

此題考查根據(jù)指數(shù)騫的大小關(guān)系判斷參數(shù)的大小，根據(jù)參數(shù)的大小判定指數(shù)嘉或?qū)?shù)的大小關(guān)系，需要熟練掌握指數(shù)

函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合特值法得出選項(xiàng).

8.D

【解析】

求出(2x+l)3展開(kāi)項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)及含x的項(xiàng)，問(wèn)題得解。

【詳解】

（2x+1）3展開(kāi)項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)及含*的項(xiàng)分別為:

C；⑴3（2x）°=1,G（2x）'xl2=6x,

所以（1+：）（2X+1）3展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為：Ixl+Jx6x=7.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了二項(xiàng)式定理中展開(kāi)式的通項(xiàng)公式及轉(zhuǎn)化思想，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。

9.D

【解析】

將而、就用而、撫表示，再代入福?前=9而?或中計(jì)算即可.

【詳解】

由礪+0月+。6=6，知。為的重心，

——21一一.1_._.

所以A0=]Xi(A8+AC)=](A5+AC),又屈=2麗，

__________9____9__

所以EC=AC-AE=AC—AB,9AO-EC-3(AB+AC)-(AC——AB)

—>■—>2—2■,rrr*i^i——2——2iIABI13y/^

=ABAC-2AB+3AC=ABAC>所以2AB=3AC，九=7^；=、7=丁

ACV22

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，涉及到向量的線性運(yùn)算，是一道中檔題.

10.C

【解析】

由復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則求出z,再由模長(zhǎng)公式，即可求解.

【詳解】

由z=2,：'）=-l+z,|z|=>/2.

L-I

故選:C.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的除法和模，屬于基礎(chǔ)題.

11.D

【解析】

本道題結(jié)合雙曲線的性質(zhì)以及余弦定理，建立關(guān)于a與c的等式，計(jì)算離心率，即可.

【詳解】

結(jié)合題意，繪圖，結(jié)合雙曲線性質(zhì)可以得到PO=MO,而可。=用。，結(jié)合四邊形對(duì)角線平分，可得四邊形尸6M死為

平行四邊形，結(jié)合NMgN=60°,故居=60°

對(duì)三角形片加乃運(yùn)用余弦定理，得到，耳加2+鳥(niǎo)用2-百鳥(niǎo)2=2.加耳5.cosN耳M鳥(niǎo)

而結(jié)合|尸耳|=3儼閭,可得摩|=3a,耳鳥(niǎo)=2c,代入上式子中，得到

/+94_4。2=3。2,結(jié)合離心率滿足e=￡,即可得出e=￡=也，故選D.

aa2

【點(diǎn)睛】

本道題考查了余弦定理以及雙曲線的性質(zhì)，難度偏難.

12.C

【解析】

利用S”先求出《，然后計(jì)算出結(jié)果.

【詳解】

4+4

根據(jù)題意，當(dāng)〃=1時(shí)，2￡=24=4+/1,.?.4=-^-,

故當(dāng)“N2時(shí)，an=S?-S^=2"-',

???數(shù)列｛q｝是等比數(shù)列，

則。I=1,故一y-=l,

解得a=一2,

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等比數(shù)列前〃項(xiàng)和S”的表達(dá)形式，只要求出數(shù)列中的項(xiàng)即可得到結(jié)果，較為基礎(chǔ).

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.42

【解析】

根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關(guān)系即可得到結(jié)論.

【詳解】

設(shè)抽取的樣本為〃，

45+5+4

則由題意得三=二二一，解得〃=42.

12n

故答案為：42

【點(diǎn)睛】

本題考查了分層抽樣的知識(shí)，算出抽樣比是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

【解析】

試題分析：設(shè)=取A8中點(diǎn)M,則CMDWLAB,因此45_L面COM斯以

24

F(x)=--x-S.cnM=—73X-X,XG(0,A/3).因?yàn)閥=3f-rJe(0,3)在(0,：)單調(diào)遞增,

332丫44122

最大值為，所以E(x)單調(diào)增區(qū)間是(0,當(dāng))，最大值為:

考點(diǎn)：函數(shù)最值，函數(shù)單調(diào)區(qū)間

5石

10.-------

2

【解析】

由2=(竺勿一,先將￡+二一，變形為塵土生，運(yùn)用基本不等式可得最小值，再求

2hah24ab

或c+二反=75f-(c-2)+—+1]的最小值，運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性即可得到所求值.

2c—22c—2

【詳解】

解：因?yàn)椤?gt;0,h>09C>49且。+/?=2,

所以竺+￡，+正=Jy+J___L]+正

bab2c-2\bab2)c-2

_c(2a2+2-ab)器

2abc-2

因?yàn)?=("+"),所以2a2+2-H2/+^^--ah

2----------=----------------

lablab

5a2+吩、2小ab逐

-------------〉------------------

4ab4ab2

當(dāng)且僅當(dāng)6=后，時(shí)，取等號(hào)，

丁八4cccy/5(a1V5

所以1-4------4-----=C—+------+-----

bab2c-2\bab2)c-2

c(2a2+2-ab)逐

=---------1---

2abc-2

>——c+----

2c-2

=喬[3(。-2)+工+1]

2c-2

令￡=。-2QN2),則否4(c—2)+-J-+l]=g(Lt+1+l),

2c-22t

1111

令f(t)=K+_+S2),則/?)=7_?>0,

2t2t2

所以函數(shù)f(t)在[2,+8)上單調(diào)遞增，

所以/(f)N/(2)=；x2+；+l=g

所以右[』(c-2)+—^-+1]=正(，/+1+1)26乂。=地

2c-22t22

則所求最小值為上好

2

故答案為：正

2

【點(diǎn)睛】

此題考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，注意變形和滿足的條件：一正二定三相等，考查利用單調(diào)性求最值，考查化簡(jiǎn)

和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

16.2.

【解析】

2

由雙曲線/一￡=1仍>0）的一條漸近線為y=2x,解得〃.求出雙曲線的右焦點(diǎn)（c,0）,利用點(diǎn)到直線的距離公式

求解即可.

【詳解】

???雙曲線/—斗=Kb>0）的一條漸近線為y=2x=2

解得：b=2.?.。=4方=6

二雙曲線的右焦點(diǎn)為（6,0）

..?焦點(diǎn)到這條漸近線的距離為：-^三=2

.Al?個(gè)2

本題正確結(jié)果：2

【點(diǎn)睛】

本題考查了雙曲線和的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，涉及到點(diǎn)到直線距離公式的考查，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（1）y=-x（2）證明見(jiàn)解析

e

【解析】

（D求導(dǎo)，代入。=0,求出在x=l處的導(dǎo)數(shù)值及函數(shù)值，由此即可求得切線方程；

（2）分類討論得出極大值即可判斷.

【詳解】

—一(Q—2)x+2a—(x+a)(x—2)

⑴/(X)=

當(dāng)。=0時(shí)，/'（1）=-,/（1）=-,

則/(X)在(1,7(1))的切線方程為y=：x；

(2)證明：令/(x)=0,解得x=2或x=-“，

①當(dāng)a=—2時(shí)，尸(x)W()恒成立，此時(shí)函數(shù)“X)在R上單調(diào)遞減，

函數(shù)/(力無(wú)極值；

②當(dāng)。>一2時(shí)，令/'(x)>0,解得一a<x<2,令/'(x)<0,解得x<-“或A>2,

函數(shù)/(x)在(一。,2)上單調(diào)遞增，在(f,—。)，(2,上單調(diào)遞減，

〃-1-4

(X)極大值=/⑵=-T->0；

③當(dāng)a<—2時(shí)，令/'(x)>0,解得2<x<—a,令/'(x)<0,解得x<2或x>—a,

函數(shù)/(x)在(2,-。)上單調(diào)遞增，在(-8,2),(-a,用)上單調(diào)遞減，

???/(”極大值=〃一

綜上，函數(shù)/(力的極大值恒大于0.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.

18.(1)(-=o,-5]U⑵見(jiàn)解析?

【解析】

(1)在不等式2卜+1|之k-3|兩邊平方化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化為二次不等式，解此二次不等式即可得出結(jié)果；

(2)利用絕對(duì)值三角不等式可證得/(?)+ge)24成立.

【詳解】

⑴?.1/(x)=2|x+l|,g(L)=|x-3|,由(力得2卜+1隹卜-3|,

不等式兩邊平方得(2X+2)2N(X—3)2,即(3X-1)(X+5)2。，解得XW—5或XN；.

因此，不等式/(同欠⑴的解集為(-s，-5]U；,+"

(2):.-\<2a-h<\,

由絕對(duì)值三角不等式可得/(a)+g?=|2a+2|+|b_3閆(2。+2)_e_3)|=3_8+5|22。_/?+5之一1+5=4.

因此，f(a)+g(b)>4.

【點(diǎn)睛】

本題考查含絕對(duì)值不等式的求解，同時(shí)也考查了利用絕對(duì)值三角不等式證明不等式，考查推理能力與運(yùn)算求解能力，

屬于中等題.

19.⑴■小，…⑵匕=1-品西

【解析】

(1)S,-=1一2%(”..2),所S.=l—2q用，兩式相減，即可得到數(shù)列遞推關(guān)系求解通項(xiàng)公式，由

2TT

(n-L)藜理俎2(7；-射)(7；+7；_1)2d(4+小)2｝省

b,=；-2T“產(chǎn)T「加(〃..2),整理得---------------------------T?+11(〃一2),得

b〃_1+b〃_\2+]+2+1+2T

至-勿=2兒.2),即可求解通項(xiàng)公式；

,(〃+2)12(n+l)-n1114,皿，一乙“一八

⑵由⑴可知'.環(huán)=三一？^百,即可求得數(shù)列匕，｝的前〃項(xiàng)和心

【詳解】

(1)因?yàn)镾,i=l-2a“(〃..2),所S.=l-2a,m，兩式相減，整理得與_]=ga"(〃..2),當(dāng)〃=2時(shí),

S.=a.=—=1—2a)解得=—=—a.

29429

所以數(shù)列｛為｝是首項(xiàng)和公比均為;的等比數(shù)列，即4,=5，

2(葉-%)

因?yàn)槌稹?11=(一11(〃一2),

2億一小)⑵+兀)_2d(<+如)_

整理得l

一n十4-1(兒?乙)，

或M+2-I

又因?yàn)?>0,所以為>0,所以AJ=1(〃-2),即%—2=以一%(〃..2),因?yàn)閭?1也=2,所以數(shù)列

也,｝是以首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，所以勿=〃;

(〃+2)1_2(n+1)-?J__11

(2)由(1)可知，%=

n2+n2"n(n+1)2"~n-T-'(n+1)-T

Pn=］一丁力+|丁方—丁瓦+-.+|―^77?即=r*.

I2x2J12x23x27(n+1n)-2)(n+l)-2

【點(diǎn)睛】

此題考查求數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及數(shù)列求和，關(guān)鍵在于對(duì)題中所給關(guān)系合理變形，發(fā)現(xiàn)其中的關(guān)系，裂項(xiàng)求和作為一

類常用的求和方法，需要在平常的學(xué)習(xí)中多做積累常見(jiàn)的裂項(xiàng)方式.

20.(1)當(dāng)aW：時(shí)，“X)在(0,1)上遞增，在(1,也)上遞減；

當(dāng)g＜a＜l時(shí)，/(x)在(0,1)上遞增，在［1,五匕［上遞減，在1Tzi,+"上遞增；

當(dāng)4=1時(shí)，/(力在(0,+。)上遞增；

當(dāng)4＞1時(shí)，/(X)在(o,上遞增，在UplJ上遞減，在(1,位)上遞增；

(2)證明見(jiàn)解析

【解析】

(1)對(duì)“X)求導(dǎo)，分a=。=1進(jìn)行討論，可得“X)的單調(diào)性；

(2)/(x)在定義域內(nèi)是是增函數(shù)，由⑴可知〃=1,/(x)=lnx+1x2-2x,設(shè)玉＜%，可得

/.(方)+/(工2)=-3=2/(1),則0＜玉＜1＜々，設(shè)g(x)=/(2-x)+/(x)+3,xe(O,l),對(duì)g(x)求導(dǎo)，利用其單

調(diào)性可證明玉+々＞2.

【詳解】

解：/(x)的定義域?yàn)?0,+。),

因?yàn)?(%)=lnx+

g”、1/、2

所以/[x)=上+(2a—1)X—2a=(-2-a----i]-x-----2-a-x-+--\=——-------<——，

XXX

當(dāng)馬時(shí)，令凰?得。令，；)升得x"

/(x)>01

當(dāng)!＜。＜1時(shí)，則」一＞1,令\V7,得Ovxvl,或-----

22a—1x>02a-1

r（尤）<01

,得1cx<

龍〉02a—1

當(dāng)a=l時(shí)，r(x)>0,

1f/7x)<01

當(dāng)。>1時(shí)，則0<----<1,令(JV7,得-----<X<1；

2。-1[x>02a-l

綜上所述，當(dāng)時(shí)，/(X)在(0,1)上遞增，在。,內(nèi))上遞減；

當(dāng)3<。<1時(shí)，/(》)在(0,。上遞增，在上遞減，在Up+s]上遞增;

當(dāng)"1時(shí)，"X)在(0,+8)上遞增；

當(dāng)4>1時(shí)，“X)在(0,五二，上遞增，在(止pj上遞減，在(1,m)上遞增；

(2)/(x)在定義域內(nèi)是是增函數(shù)，由(1)可知。=1,

此時(shí)/(X)=Inx+gd-2%,設(shè)玉<々，

又因?yàn)?(4)+/(與)=-3=2/(1),則0<演<1<電，

設(shè)g(x)=〃2-x)+/(x)+3,xe(O,l),則

g，(x)=_r(2_x)+/'(x)=_^i+^^-=^^?>0對(duì)于任意xe(0,l)成立,

2-xxx[2-x)

所以g(x)在(0,1)上是增函數(shù)，

所以對(duì)于Vxe((),l),有g(shù)(x)<g(l)=2/(l)+3=0,

gpVxe(O,l),</(2-x)+/(x)+3<0,

因?yàn)?<%<1,所以/(2—玉)+/(玉)+3<0,

即/(幻>/(2-尤3又f(x)在(0,+。。)遞增,

所以馬>2—斗，即？+為>2.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性及導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)偏移中的應(yīng)用，考查學(xué)生分類討論與轉(zhuǎn)化的思想，綜合

性大，屬于難題.

21.(1){0},{0,1},{0,2},(0,1,2}.(2)[0,b,