5.2.1三角函數(shù)的概念（五大題型）

5．2．1三角函數(shù)的概念【題型歸納目錄】題型一：三角函數(shù)的定義題型二：判斷三角函數(shù)值的符號題型三：確定角所在象限題型四：誘導(dǎo)公式（一）的應(yīng)用題型五：圓上的動點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)點(diǎn)【知識點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一：三角函數(shù)定義設(shè)是一個任意角，它的終邊與半徑是的圓交于點(diǎn)，則，那么：（1）做的正弦，記做，即；（2）叫做的余弦，記做，即；（3）叫做的正切，記做，即．知識點(diǎn)詮釋：（1）三角函數(shù)的值與點(diǎn)在終邊上的位置無關(guān)，僅與角的大小有關(guān)．我們只需計(jì)算點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，那么，，．（2）三角函數(shù)符號是一個整體，離開的、、等是沒有意義的，它們表示的是一個比值，而不是、、與的積．知識點(diǎn)二：三角函數(shù)在各象限的符號三角函數(shù)在各象限的符號：在記憶上述三角函數(shù)值在各象限的符號時，有以下口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦．知識點(diǎn)詮釋：口訣的含義是在第一象限各三角函數(shù)值為正；在第二象限正弦值為正，在第三象限正切值為正，在第四象限余弦值為正．知識點(diǎn)三：誘導(dǎo)公式一由三角函數(shù)的定義，可以知道：終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等，由此得到誘導(dǎo)公式一：，其中注意：利用誘導(dǎo)公式一，可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求（或）范圍內(nèi)角的三角函數(shù)值．知識點(diǎn)四、特殊角的三角函數(shù)值0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°0010100010【典型例題】題型一：三角函數(shù)的定義例1．（23·24上·北京·階段練習(xí)）已知角終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．2【答案】B【解析】由三角函數(shù)的定義可知，角終邊經(jīng)過點(diǎn)，故.故選：B例2．（23·24上·河西·階段練習(xí)）若角的終邊過點(diǎn)，則的值是（

）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】依題.故選：D例3．（23·24上·陜西·階段練習(xí)）已知是角的終邊上一點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由三角函數(shù)的定義知:，所以.故選：A.變式1．（23·24上·榆林·階段練習(xí)）已知，終邊上有點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意得，故，，又，故在第四象限，又，所以，從而，解得，又，所以，故.故選：D變式2．（23·24上·晉中·階段練習(xí)）若角的終邊上有一點(diǎn)，且，則（

）A．4 B． C．1 D．【答案】C【解析】由已知，得，解得.因?yàn)?，所以，則.故選：C變式3．（23·24上·渝中·階段練習(xí)）角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，解得：，所以.故選：A.變式4．（22·23下·眉山·期中）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋扇呛瘮?shù)的定義可知，點(diǎn)為角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，所以：.故選：B.【方法技巧與總結(jié)】利用三角函數(shù)的定義求值的策略（1）已知角的終邊在直線上求的三角函數(shù)值時，常用的解題方法有以下兩種：方法一：先利用直線與單位圓相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后再利用正、余弦函數(shù)的定義求出相應(yīng)三角函數(shù)值．方法二：在的終邊上任選一點(diǎn)，P到原點(diǎn)的距離為（）．則，．已知的終邊求的三角函數(shù)值時，用這幾個公式更方便．（2）當(dāng)角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時，要根據(jù)問題的實(shí)際情況對參數(shù)進(jìn)行分類討論．（3）若終邊在直線上時，因?yàn)榻堑慕K邊是射線，應(yīng)分兩種情況處理．題型二：判斷三角函數(shù)值的符號例4．（22·23·宜賓·三模）已知角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，其中a是非零實(shí)數(shù)，則下列三角函數(shù)值恒為正的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)榻堑慕K邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)且a是非零實(shí)數(shù)，所以根據(jù)三角函數(shù)的定義知，，，，選項(xiàng)A，，故選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B，，因?yàn)榈恼?fù)不知，故選項(xiàng)B錯誤；選項(xiàng)C，，因?yàn)榈恼?fù)不知，故選項(xiàng)C錯誤；選項(xiàng)D，，因?yàn)榈恼?fù)不知，故選項(xiàng)D錯誤；故選：A.例5．（22·23下·沈陽·期末）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則下列各式一定為正的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)榻墙K邊經(jīng)過點(diǎn)，所以在第四象限，所以，，，，故C正確．故選：C．例6．（20·21上·喀什·階段練習(xí)）已知為第三象限角，那么下列正確的是（），A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)榈慕K邊與單位圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，而為第三象限角，所以，得.故選：C.變式5．（21·22上·山西·階段練習(xí)）下列各式的值為負(fù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對于A選項(xiàng)，由，，可知A選項(xiàng)不正確；對于B選項(xiàng)，由，，可知B選項(xiàng)不正確；對于C選項(xiàng)，由，，可知C選項(xiàng)不正確；對于D選項(xiàng)，由，，可知D選項(xiàng)正確.故選：D.變式6．（21·22·全國·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以軸非負(fù)半軸為始邊，終邊經(jīng)過點(diǎn)，，則下列各式的值可能大于0的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以軸非負(fù)半軸為始邊，終邊經(jīng)過點(diǎn)，，可得，，故符號不定，值可能大于0，A正確；，B錯誤；，C錯誤；，D錯誤．故選：A．變式7．（18·19·貴陽·期末）下列三角函數(shù)值為正數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】A．，，因此不正確；B．，，因此不正確；C．，，因此不正確；D．，，因此正確．故選：D．【方法技巧與總結(jié)】三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號也可以用下面的口訣記憶：“一全正二正弦，三正切四余弦”，意為：第一象限各個三角函數(shù)均為正；第二象限只有正弦為正，其余兩個為負(fù)；第三象限正切為正，其余兩個為負(fù)；第四象限余弦為正，其余兩個為負(fù)．題型三：確定角所在象限例7．（20·21上·江西·期末）已知．則角所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】用誘導(dǎo)公式化簡后根據(jù)三角函數(shù)值正負(fù)確定角所在象限．，，，，∴在第四象限．故選：D．例8．（20·21上·湖州·階段練習(xí)）我們知道，在直角坐標(biāo)系中，角的終邊在第幾象限，這個角就是第幾象限角．已知點(diǎn)在第三象限，則角的終邊在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在第三象限，所以，，則，角的終邊在第二象限，故選：B.例9．（18·19下·西安·階段練習(xí)）若，則所在的象限是A．二、四 B．一、二 C．一、四 D．二、三【答案】C【解析】由得出或，分兩種情況討論，即可確定角所在的象限.，或.若且，則角為第一象限角；若且，則角為第四象限角.綜上所述，角為第一或第四象限角.故選：C.變式8．（19·20·全國·課時練習(xí)）若,且,則角的終邊所在象限是A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】由確定終邊在軸左側(cè)，，得終邊在軸下方，然后求出終邊位置，兩者結(jié)合可得終邊所在象限．,,.,,.,.綜上可得,.當(dāng),且時,角的終邊所在象限是第二象限.故選:B變式9．（18·19上·哈爾濱·期末）若，則所在象限是A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限【答案】A【解析】因?yàn)椋?，所以，故在第二象限，即，故，?dāng)為偶數(shù)時，在第一象限，當(dāng)為奇數(shù)時，在第三象限，即所在象限是第一、三象限．故選A.變式10．（17·18下·山西·期中）如果點(diǎn)位于第四象限，那么角所在的象限是A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】分析：根據(jù)象限內(nèi)坐標(biāo)的特點(diǎn)，判斷，由三角函數(shù)的定義可得結(jié)果.因?yàn)辄c(diǎn)位于第四象限，所以橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)，可得，只有終邊在第二象限的角正弦小于零，余弦大于零，故選B.變式11．（16·17上·豐臺·期末）如果點(diǎn)位于第四象限，那么角所在的象限是（）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】∵點(diǎn)位于第四象限，∴，∴角所在的象限是第二象限．故選B．變式12．（22·23上·大同·期末）點(diǎn)所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】由，即的終邊在第二象限，所以，，所以點(diǎn)在第二象限.故選：B.變式13．（22·23上·安徽·階段練習(xí)）設(shè)角是第一象限角，且滿足，則的終邊所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】由角是第一象限角，有，可得，可知為第一或第三象限角，又由，可得為第三象限角.故選：C.【方法技巧與總結(jié)】確定角所在象限的步驟（1）判斷該角的某些三角函數(shù)值的符號；（2）根據(jù)角的三角函數(shù)值的符號，確定角所在象限．題型四：誘導(dǎo)公式（一）的應(yīng)用例10．（21·22下·深圳·階段練習(xí)）．【答案】【解析】由誘導(dǎo)公式可得.故答案為：.例11．（23·24上·徐州·階段練習(xí)）的值為．【答案】/【解析】因?yàn)?，故答案為?例12．（21·22上·全國·課時練習(xí)）已知是角的終邊上一點(diǎn)，則=.（【答案】/【解析】由于是角的終邊上一點(diǎn)，所以，故，故答案為：變式14．（22·23上·西安·期末）．【答案】【解析】，故答案為：．變式15．（20·21下·全國·課時練習(xí)）已知，其中a、b、α、β為常數(shù)．若，則.【答案】1【解析】∵，∴..故答案為：1變式16．（22·23下·西城·階段練習(xí)）的值為【答案】【解析】.故答案為：.變式17．（22·23下·浦東新·階段練習(xí)）.【答案】0【解析】.故答案為：0.【方法技巧與總結(jié)】利用誘導(dǎo)公式一化簡或求值的步驟（1）將已知角化為（為整數(shù)，）或（為整數(shù)，）的形式．（2）將原三角函數(shù)值化為角的同名三角函數(shù)值．（3）借助特殊角的三角函數(shù)值或任意角的三角函數(shù)的定義達(dá)到化簡求值的目的．題型五：圓上的動點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)點(diǎn)例13．（20·21上·益陽·期末）在直角坐標(biāo)系中，一個質(zhì)點(diǎn)在半徑為2的圓O上，以圓O與x正半軸的交點(diǎn)為起點(diǎn)，沿逆時針方向勻速運(yùn)動到P點(diǎn)，每轉(zhuǎn)一圈，則后的長為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意可知，一個質(zhì)點(diǎn)在圓O上每逆時針方向轉(zhuǎn)一圈，那么后，到達(dá)P點(diǎn)，所以，而在中，且為圓的半徑，取的中點(diǎn)T，如圖，則，所以，則，所以故選：C例14．（22·23下·順義·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，單位圓上一點(diǎn)P從點(diǎn)（0，1）出發(fā)，逆時針方向運(yùn)動弧長到達(dá)Q點(diǎn)，則Q的坐標(biāo)為（

）A． B．（）C．（，） D．（－，）【答案】A【解析】設(shè)與軸正半軸的夾角為，則點(diǎn)P逆時針方向運(yùn)動弧長到達(dá)Q點(diǎn)后與軸正半軸的夾角為，此時，則，，故此時點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.故選：A例15．（22·23下·忻州·開學(xué)考試）在直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿圓心在原點(diǎn)，半徑為3的圓按逆時針方向運(yùn)動到達(dá)點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意可知，作出圖示如下：根據(jù)題意可得，，作軸且垂足為；利用三角函數(shù)定義可得，；又點(diǎn)在第四象限，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：C變式18．（21·22上·全國·專題練習(xí)）如圖所示，滾珠，同時從點(diǎn)出發(fā)沿圓形軌道勻速運(yùn)動，滾珠按逆時針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，滾珠按順時針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，相遇后發(fā)生碰撞，各自按照原來的速度大小反向運(yùn)動．(1)求滾珠，第一次相遇時所用的時間及相遇點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求從出發(fā)到第二次相遇滾珠，各自滾動的路程．【解析】（1）設(shè)、第一次相遇時所用的時間是，則，（秒，即第一次相遇的時間為4秒．設(shè)第一次相遇點(diǎn)為，則，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，（2）第一次相遇時，點(diǎn)滾動的路程為，點(diǎn)滾動的路程為，故第二次相遇時，點(diǎn)滾動的路程為，點(diǎn)滾動的路程為．變式19．（19·20上·深圳·期末）如圖，動點(diǎn)P，Q從點(diǎn)出發(fā)，沿圓周運(yùn)動，點(diǎn)P按逆時針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，點(diǎn)Q按順時針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，求P，Q第一次相遇時所用的時間?相遇點(diǎn)的坐標(biāo)及P，Q點(diǎn)各自走過的弧長.【解析】設(shè)、第一次相遇時所用的時間是秒，則．（秒，即第一次相遇的時間為4秒；設(shè)第一次相遇點(diǎn)為，第一次相遇時點(diǎn)已運(yùn)動到終邊在的位置，則，．點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)走過的弧長為，點(diǎn)走過的弧長為．【方法技巧與總結(jié)】利用三角函數(shù)的定義求解【過關(guān)測試】一、單選題1．在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，則“角的終邊過點(diǎn)”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)角的終邊過點(diǎn)時，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得，充分性成立；當(dāng)時，為第二象限角或第四象限角，若為第四象限角，則角的終邊不過點(diǎn)，必要性不成立.所以“角的終邊過點(diǎn)”是“”的充分不必要條件.故選：A.2．已知角α的終邊過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，由任意角的三角函數(shù)的定義，，所以.故選：D3．已知角終邊上有一點(diǎn)，則是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【解析】因?yàn)槭堑诙笙藿?，所以，所以點(diǎn)P在第四象限，即角為第四象限角，所以為第一象限角，所以為第三象限角.故選：C4．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，則成立，故充分性成立；若，則，不一定為，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.5．我們學(xué)過度量角有角度制與弧度制，最近，有學(xué)者提出用“面度制”度量角，因?yàn)樵诎霃讲煌耐膱A中，同樣的圓心角所對扇形的面積與半徑平方之比是常數(shù)，從而稱這個常數(shù)為該角的面度數(shù)，這種度量角的制度，叫做面度制.在面度制下，若角的面度數(shù)為，則角的正弦值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)角所在的扇形的半徑為，面積為，則由題意可得，解得，所以，故選：D6．已知角，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】如下圖示，在單位圓中，軸，軸，且，所以，，，的面積，扇形的面積，的面積，由圖知：，故.故選：A.7．已知是定義在有限實(shí)數(shù)集A上的函數(shù)，且，若函數(shù)的圖象繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)后與原圖象重合，則的值不可能是（

）A．0 B． C． D．【答案】C【解析】由題意得到，問題相當(dāng)于圓上由個點(diǎn)為一組，每次繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)個單位后與下一個點(diǎn)會重合，我們可以通過代入和賦值的方法，當(dāng)時，此時得到的圓心角為，然而此時或者時，都有個與之對應(yīng)，而我們知道函數(shù)的定義就是要求一個只能對應(yīng)一個，因此只有當(dāng)時旋轉(zhuǎn)，此時滿足一個只會對應(yīng)一個.故選.：C.8．質(zhì)點(diǎn)P和Q在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，半徑為1的圓周上順時針作勻速圓周運(yùn)動，同時出發(fā).P的角速度為3rad/s，起點(diǎn)為射線與圓的交點(diǎn)；Q的角速度為5rad/s，起點(diǎn)為圓與x軸正半軸交點(diǎn)，則當(dāng)質(zhì)點(diǎn)Q與P第二次相遇時，Q的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)Q與P第二次相遇時，用了時間，依題意有，解得，此時質(zhì)點(diǎn)Q轉(zhuǎn)過角度為，因?yàn)槭琼槙r針作勻速圓周運(yùn)動，質(zhì)點(diǎn)Q轉(zhuǎn)在角的終邊上，圓的半徑為1，Q的坐標(biāo)為.故選：C二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．角終邊在第二象限或第四象限的充要條件是B．圓的一條弦長等于半徑，則這條弦對的圓心角是C．經(jīng)過4小時時針轉(zhuǎn)了D．若角與終邊關(guān)于軸對稱，則【答案】AB【解析】設(shè)角終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，若角終邊在第二象限或第四象限，則，若，則角終邊在第二象限或第四象限，所以角終邊在第二象限或第四象限的充要條件為，故A正確；圓的一條弦等于半徑，則圓心角為，即，故B正確；經(jīng)過4小時時針旋轉(zhuǎn)了，故C錯；若角和角的終邊關(guān)于軸對稱，則，故D錯.故選：AB.10．已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，若,則下列各式的符號不能確定的是(

).A． B． C． D．【答案】AC【解析】由三角函數(shù)的定義可知：，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，故符號不確定；因?yàn)?，所以，符號確定；，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，故符號不能確定；，故符號確定.故選：AC11．求函數(shù)可能取值，其中

（

）A．16 B． C．10 D．10【答案】ABD【解析】由函數(shù)有意義可得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故選：ABD.12．若，，則可以是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】AC【解析】因?yàn)?，，所以，故是第一象限角，由，得，?dāng)為偶數(shù)時，是第一象限角，當(dāng)為奇數(shù)時，是第三象限角.故選：AC.三、填空題13．已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在軸的正半軸上，終邊上一點(diǎn)，則.【答案】【解析】因?yàn)榻K邊上一點(diǎn)，則.故答案為：.14．已知角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)，且θ與α的終邊關(guān)于x軸對稱，則【答案】－【解析】角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)；θ與α的終邊關(guān)于x軸對稱，由題意得α的終邊經(jīng)過點(diǎn)，.故答案為：15．在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱，則滿足的一個角的值可以是．【答案】（答案不唯一）【解析】例如，可知角與角的終邊關(guān)于y軸對稱，且，滿足.故答案為：（答案不唯一）.16．已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的正半軸重合，將角的終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后經(jīng)過點(diǎn)，則．【答案】1【解析】易知角的終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得到，由題意可知的終邊位于第二象限，且，故，所以，即.故答案為：1四、解答題17．在單位圓中，確定下列三角函數(shù)值的符號：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）如圖1，作出（自軸非負(fù)半軸起，逆時針旋轉(zhuǎn)），可知該角的終邊位于第二象限，設(shè)，易知，根據(jù)三角函數(shù)的定義可得，.（2）如圖2，作出（自軸非負(fù)半軸起，逆時針旋轉(zhuǎn)），可知該角的終邊位于第三象限，設(shè)，易知，根據(jù)三角函數(shù)的定義可得，，所以.（3）如