2024屆江蘇省蘇州市常熟中學(xué)高三上學(xué)期階段性抽測(cè)一數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第Page\*MergeFormat1頁(yè)共NUMPAGES\*MergeFormat19頁(yè)2024屆江蘇省蘇州市常熟中學(xué)高三上學(xué)期階段性抽測(cè)一數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)待定系數(shù)法求解，即可代入求解.【詳解】設(shè)，則，所以，故，故選：C2．函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)有意義列出不等式即可求解.【詳解】的定義域需滿足，解得且，故定義域?yàn)楣蔬x：C3．已知銳角，滿足，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出、，由利用余弦的兩角差的展開(kāi)式計(jì)算可得答案.【詳解】因?yàn)闉殇J角，所以，因?yàn)?，為銳角，所以，所以，.故選：B.4．權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個(gè)變化，在求二元變量最值時(shí)有很廣泛的應(yīng)用，其表述如下：設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．根據(jù)權(quán)方和不等式，函數(shù)的最小值為（

）A．1 B．4 C．9 D．16【答案】D【分析】將給定函數(shù)式表示成已知不等式的左邊形式，再利用權(quán)方和不等式即可得解．【詳解】由，得，由權(quán)方和不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以函數(shù)的最小值為16．故選：D．5．已知函數(shù)在上的最大值和最小值分別為M，N，則（

）A． B．0 C．2 D．4【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性即可求解.【詳解】令，所以最大值和最小值分別為，又，故為奇函數(shù)，故的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故,故選：D6．的內(nèi)角的對(duì)邊分別是，且，邊上的角平分線的長(zhǎng)度為，且，則（

）A． B． C．3 D．或3【答案】A【分析】根據(jù)題意，在和中，利用正弦定理求得，在由余弦定理求得，再由，結(jié)合面積公式，求得，即可求解.【詳解】由，因?yàn)?，可得，又由邊上的角平分線，所以，在中，可得，在中，可得,因?yàn)?，且，所以，即，在中，由余弦定理可得，所以，又由，即，因?yàn)?，可得，即，可得，所?故選：A.

7．已知奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足．當(dāng)時(shí)，，則使得成立的x的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，得到定義域，判斷出是偶函數(shù)，結(jié)合，得到，分和兩種情況，求出不等式解集.【詳解】令，則，故當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞減，又為奇函數(shù)，，故且定義域?yàn)椋?，故為偶函?shù)，則在單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，要想使得，則要，故，當(dāng)時(shí)，要想使得，則要，故，故使得成立的x的取值范圍為.故選：A8．已知函數(shù)，，若，則零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】畫(huà)出函數(shù)的圖象，令，則求在零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，再令得，即求與的圖象在交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，求出的范圍結(jié)合圖象可得答案.【詳解】函數(shù)的圖象如下，令，則求在零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，由得，所以，即方程有兩個(gè)不相等正根，令，可得，不成立，所以，即求與的圖象在交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，因?yàn)?，所以，即，解得，且，可得與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)，且時(shí)，與有8個(gè)交點(diǎn)，則零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為8.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是畫(huà)出函數(shù)的圖象，令，則求在零點(diǎn)的個(gè)數(shù).二、多選題9．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的可能取值是（

）A．2 B．1 C． D．【答案】BC【分析】令，將化為關(guān)于y的一元二次方程，結(jié)合判別式求出t的范圍，結(jié)合選項(xiàng)，即可得答案.【詳解】令，則，故由得，即，由于，故，即得，結(jié)合選項(xiàng)可知的可能取值為，故選：BC10．已知函數(shù)的相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸的距離為，，恒成立，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)圖象可由，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，再向右平移個(gè)單位得到B．函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)C．函數(shù)，的值域?yàn)镈．直線是函數(shù)的一條切線【答案】BCD【分析】由輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，根據(jù)已知條件求出和，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)圖像的平移，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸和區(qū)間內(nèi)的值域，利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線.【詳解】，相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸的距離為，則函數(shù)最小正周期，得，，恒成立，，即，，當(dāng)時(shí)，，由，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不滿足，所以，，.函數(shù)圖象，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，再向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，所以函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，B選項(xiàng)正確；時(shí)，，當(dāng)即時(shí)，函數(shù)取最大值2，當(dāng)即時(shí)，函數(shù)取最小值-1，所以在的值域?yàn)?，C選項(xiàng)正確；，，時(shí)，，取，有，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即直線是函數(shù)的一條切線，D選項(xiàng)正確.故選：BCD.11．若定義在上的函數(shù)，滿足是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，則下列命題正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng) B．函數(shù)的最小正周期為4C． D．對(duì)于，都有【答案】AC【分析】利用抽象函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱(chēng)性、周期性計(jì)算即可一一判定選項(xiàng).【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，且函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，故A正確；又是奇函數(shù)，所以，且函數(shù)的圖象關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，由上可知，則，故，即函數(shù)的一個(gè)正周期為8，如令符合題意，但4不是函數(shù)的最小正周期，故B錯(cuò)誤；由周期性可知，故C正確；若D正確，則，由是偶函數(shù)可知，由條件無(wú)法判定函數(shù)值始終為0，故D錯(cuò)誤.故選：AC.12．已知函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，在處的切線方程為B．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增C．當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)D．若有三個(gè)不相等的實(shí)根，，，則【答案】ABC【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程即可判斷A；當(dāng)時(shí)，即可判斷B選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即可判斷C選項(xiàng)；由得到是的一個(gè)根，當(dāng)時(shí)，由得，然后根據(jù)的奇偶性可得，即可判斷D選項(xiàng).【詳解】，當(dāng)時(shí)，，，，所以切線方程為，故A正確；令，可得，令，則，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，則，即當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故B正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，所以當(dāng)時(shí)，與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即有兩個(gè)不同的變號(hào)零點(diǎn)，所以時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，故C正確；因?yàn)?，所以是的一個(gè)實(shí)根，當(dāng)時(shí)，由，可得，則直線與函數(shù)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，設(shè)，又，所以為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以，所以，故D錯(cuò).故選：ABC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍：①若單調(diào)遞增，則；②若單調(diào)遞減，則.三、填空題13．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)恒為非負(fù)，即可利用最值求解.【詳解】由得，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，故在上恒成立，因此在對(duì)任意的恒成立，所以，故答案為：14．已知，則．【答案】【分析】利用誘導(dǎo)公式和余弦二倍角公式計(jì)算出答案.【詳解】.故答案為：15．已知函數(shù)，且對(duì)于，恒有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】分段函數(shù)單調(diào)遞減需滿足兩段都為減函數(shù)，且第一段端點(diǎn)縱坐標(biāo)不小于第二段端點(diǎn)縱坐標(biāo)，以此列不等式組即可求解.【詳解】因?yàn)閷?duì)于，恒有，所以在R上單調(diào)遞減，所以，解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：16．已知函數(shù)，若在恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．【答案】【分析】將不等式整理為，然后構(gòu)造函數(shù)，得到，再結(jié)合得到在上單調(diào)遞減，則在上恒成立，分離參變量后根據(jù)的范圍得出答案．【詳解】不等式，可整理為，即，令，，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，又，則當(dāng)時(shí)，，即．令，則，因?yàn)椋谏虾愠闪?，所以在上單調(diào)遞減，則在上恒成立，即在上恒成立，因?yàn)闀r(shí)，，所以．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題的解題關(guān)鍵是通過(guò)同構(gòu)，得到構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，從而根據(jù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，得到不等式恒成立問(wèn)題，再結(jié)合恒成立問(wèn)題的解法即可解出.四、解答題17．命題：函數(shù)在上單調(diào)遞減，命題：，恒成立．(1)若命題為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若命題為真命題是為真命題成立的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)一元二次型不等式恒成立，結(jié)合分類(lèi)討論和判別式即可求解，（2）根據(jù)充分不必要條件，轉(zhuǎn)化為真子集關(guān)系，列不等式即可求解.【詳解】（1）∵命題：，恒成立①當(dāng)時(shí)，成立②當(dāng)時(shí),,解得，綜上（2）∵為真∴，∴∵為真時(shí)為真命題成立的充分不必要條件,所以，∴

∴18．已知函數(shù)的部分函數(shù)圖象如圖所示．(1)求函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，得到的圖象，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)圖象最值可確定，由最小正周期可求得，根據(jù)可求得，由此可得；（2）根據(jù)三角函數(shù)伸縮變換原則可得，采用整體對(duì)應(yīng)的方式，將整體放入正弦函數(shù)的遞增區(qū)間中，由此可構(gòu)造不等式組，通過(guò)討論的取值可求得結(jié)果.【詳解】（1）由圖象可知：，設(shè)最小正周期為，則，，解得：，，，解得：，又，，.（2）由題意知：，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，解得：，令，解得：；又，，解得：，，又，或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.19．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)應(yīng)邊分別為a，b，c．請(qǐng)從下面三個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件并解答：①，②，③．(1)求A的大??；(2)若為銳角三角形，，求周長(zhǎng)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)所選的條件，利用正余弦定理或兩角和的正切公式化簡(jiǎn)，可求A的大?。唬?）由正弦定理和三角形內(nèi)角和，結(jié)合三角恒等變換得到周長(zhǎng)，再由為銳角三角形求得的范圍，從而利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解．【詳解】（1）選①，，由正弦定理得，中，，所以，得，即，∵，則，∴，∴.選②，，由正弦定理得，∴，∵，∴.選③，，有，，∴，∵，∴.（2）為銳角三角形，，，由正弦定理得，∴，，，周長(zhǎng)，∵為銳角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，即周長(zhǎng)的取值范圍為.20．已知函數(shù)，，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．(1)求函數(shù)的極值；(2)對(duì)，總存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，即可求得該函數(shù)的極大值和極小值；（2）由題意可得，由參變量分離法可得，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最大值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：因?yàn)?，該函?shù)的定義域?yàn)椋瑒t令，得或。列表如下：x單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減，.（2）解：由題意可得，由（1）可知在單調(diào)遞減，∴，∴在有解，，令，，令，單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減所以，.21．國(guó)慶期間，某小區(qū)為了增添節(jié)日氛圍，決定對(duì)小區(qū)的健身步道進(jìn)行裝飾．如圖是一個(gè)半徑為1百米，圓心角為的扇形區(qū)域，點(diǎn)C是半徑OB上的一點(diǎn)，點(diǎn)D是圓弧上一點(diǎn)，且．現(xiàn)決定在線段CD，圓弧的一側(cè)鋪設(shè)燈帶，線段OC的兩側(cè)鋪設(shè)燈帶，且每百米a元．設(shè)，，燈帶的總費(fèi)用y元．(1)求y關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)為何值時(shí)，燈帶費(fèi)用y最大，并求出費(fèi)用y的最大值．【答案】(1)，(2)當(dāng)為時(shí)，費(fèi)用y最大，最大值為百元【分析】（1）根據(jù)題設(shè)，可得，利用正弦定理及弧長(zhǎng)公式得到，，，再根據(jù)條件即可求出結(jié)果；（2）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）由題，可得，，，在中，由正弦定理知，，所以，，，又扇形BOD中，，所以，（2）由（1）得令，得到

又因?yàn)?，所?y單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減∴時(shí)，（百元）故當(dāng)為時(shí)，費(fèi)用y最大，最大值為百元．22．已知函數(shù)，其中e是自然常數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【分析】（1）求出函數(shù)的定義域后，分和兩種情況討論可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由題得對(duì)恒成立，構(gòu)造函數(shù)，可得在單調(diào)遞增，則，然后分和兩種情況討論即可求得結(jié)果.【詳解】（1）定義域?yàn)?，，①時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，②時(shí)，令，∴，令，∴，∴在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，綜上：時(shí)，