第3章圓錐曲線與方程章末題型歸納總結(jié)

第3章圓錐曲線與方程章末題型歸納總結(jié)目錄模塊一：本章知識(shí)思維導(dǎo)圖模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：求軌跡方程經(jīng)典題型二：焦點(diǎn)三角形問題經(jīng)典題型三：線段和差最值問題經(jīng)典題型四：離心率取值與范圍問題經(jīng)典題型五：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系經(jīng)典題型六：三角形與四邊形面積問題經(jīng)典題型七：圓錐曲線定點(diǎn)定值問題經(jīng)典題型八：斜率問題經(jīng)典題型九：中點(diǎn)弦問題模塊三：數(shù)學(xué)思想方法①分類討論思想②轉(zhuǎn)化與化歸思想③數(shù)形結(jié)合思想模塊一：本章知識(shí)思維導(dǎo)圖模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：求軌跡方程例1．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）若點(diǎn)滿足方程，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)滿足關(guān)系式，所以該等式表示點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的和為12，而，即動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，且，即，又，，所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為.故選：C.例2．（2023·江蘇淮安·高二校聯(lián)考期中）若動(dòng)點(diǎn)滿足方程，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意得：到與的距離之和為，且，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是以與為焦點(diǎn)的橢圓方程，故，，所以，，所以橢圓方程為.故選：C例3．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓與圓交點(diǎn)的軌跡為，過平面內(nèi)的點(diǎn)作軌跡的兩條互相垂直的切線，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】圓圓心，圓圓心，設(shè)兩圓交點(diǎn)為，則由題意知，，所以，又由于，所以由橢圓定義知，交點(diǎn)是以、為焦點(diǎn)的橢圓，且，，則，所以軌跡的方程為，設(shè)點(diǎn)，當(dāng)切線斜率存在且不為時(shí)，設(shè)切線方程為：，聯(lián)立，消得，則，即，由于，則由根與系數(shù)關(guān)系知，即．當(dāng)切線斜率不存在或?yàn)闀r(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，滿足方程，故所求軌跡方程為．故選：A．例4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足條件．則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由點(diǎn)，，可得，又由，可得，根據(jù)雙曲線的定義，可得點(diǎn)的軌跡表示以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，且，可得，則，所以點(diǎn)的軌跡方程為.故選：C.例5．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知，A，B分別在y軸和x軸上運(yùn)動(dòng)，O為原點(diǎn)，，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】B【解析】設(shè)，因?yàn)?，所以；因?yàn)?，所以，即，所以，整理得，其軌跡是橢圓.故選：B.例6．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線與直線有唯一的公共點(diǎn)，過點(diǎn)且與垂直的直線分別交軸、軸于兩點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)殡p曲線與直線有唯一的公共點(diǎn)，所以直線與雙曲線相切，聯(lián)立，消去并整理得，所以，即，將代入，得，得，因?yàn)?，，所以，所以，，即，由可知，所以過點(diǎn)且與垂直的直線為，令，得，令，得，則，，由，得，，代入，得，即，故選：D例7．（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)圓與y軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的上方），過B作圓O的切線l，若動(dòng)點(diǎn)P到A的距離等于P到l的距離，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)閳A與軸交于，兩點(diǎn)（在的上方），所以，，又因?yàn)檫^作圓的切線，所以切線的方程為，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)到的距離等于到的距離，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為拋物線，且其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，所以的軌跡方程為．故選：A.例8．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）點(diǎn)M與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比為，則點(diǎn)M的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)M與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比為，所以，即，整理得，故選:C.例9．（2023·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知，若動(dòng)點(diǎn)P滿足直線與直線的斜率之積為，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)，因?yàn)?，所以，又因?yàn)橹本€與直線的斜率之積為，所以，整理得.故選：C.例10．（2023·全國·高二假期作業(yè)）若動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于它到直線的距離，則點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】依題意，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于它到直線的距離，所以的軌跡為拋物線，，所以點(diǎn)的軌跡方程為.故選：D例11．（2023·黑龍江哈爾濱·高二哈九中?？计谀┦且粋€(gè)動(dòng)點(diǎn)，與直線垂直，垂足位于第一象限，與直線垂直，垂足位于第四象限，若四邊形（為原點(diǎn)）的面積為4，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，根據(jù)題意可知點(diǎn)在和相交的右側(cè)區(qū)域，所以點(diǎn)到直線的距離，到直線的距離，，即.所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程：.故選：C.例12．（2023·安徽六安·高二六安一中?？计谀┮阎本€交拋物線：于軸異側(cè)兩點(diǎn)，，且，過向作垂線，垂足為，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A．（） B．（）C．（） D．（）【答案】B【解析】設(shè)直線，將它與拋物線方程聯(lián)立得：，則，設(shè)，則，所以，故或，當(dāng)時(shí)，在直線上，故舍去，所以，所以直線經(jīng)過定點(diǎn)，由可知在以為直徑的圓（原點(diǎn)除外）上.故選：B.經(jīng)典題型二：焦點(diǎn)三角形問題例13．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）橢圓焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)橢圓上的動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形叫作焦點(diǎn)三角形，它們具有下面的性質(zhì).（1）焦點(diǎn)三角形的周長為；（2）當(dāng)時(shí)，最大；（3）；【答案】.【解析】（1）由，得，故.（2），①，在中，由余弦定理得：，把①代入可得，②，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，取最小值時(shí)取最大值.故由以上可得，當(dāng)時(shí)，最大.（3）由②可得，③.，把③代入面積公式，即，故.故答案為：（1）；（2）；（3）.例14．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）橢圓的兩焦點(diǎn)為，一直線過交橢圓于兩點(diǎn)，則的周長為；【答案】20【解析】由，得，得，因?yàn)閮牲c(diǎn)都在橢圓上，所以由橢圓的定義可得，，因?yàn)椋缘闹荛L為，故答案為：20例15．（2023·四川內(nèi)江·高二威遠(yuǎn)中學(xué)校校考期中）已知直線與橢圓交于兩點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，則的周長是.【答案】20【解析】橢圓,所以，得，則橢圓的右焦點(diǎn)為，所以直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，由橢圓的定義可知，的周長為.故答案為：20.例16．（2023·廣東佛山·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若，則.【答案】10【解析】因?yàn)?，，，兩式相加?又，所以.故答案為：10.例17．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）設(shè)和為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且滿足，則的面積是.【答案】/【解析】橢圓，即，所以，，，因?yàn)?，所以點(diǎn)為短軸頂點(diǎn)，所以.故答案為：例18．（2023·吉林長春·高二長春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)P為橢圓C：上一點(diǎn)，點(diǎn)，分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，若，則的內(nèi)切圓半徑為【答案】/【解析】因?yàn)?，，所以，，則，等腰邊上的高，所以，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，所以故答案為：．例19．（2023·浙江·高二校聯(lián)考期中）已知橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)（記為，），點(diǎn)是該橢圓與雙曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，則的面積為.【答案】【解析】因?yàn)闄E圓與雙曲線共焦點(diǎn)，所以有，因?yàn)樵摍E圓與雙曲線是中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形，所以不妨設(shè)點(diǎn)是在第一象限，左、右焦點(diǎn)分別為，，設(shè)，由橢圓和雙曲線的定義可知：，由余弦定理可知：，所以有，因此的面積為，故答案為：例20．（2023·全國·高二課堂例題）已知雙曲線的方程是，點(diǎn)P在雙曲線上，且到其中一個(gè)焦點(diǎn)的距離為10，點(diǎn)N是的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則.【答案】1或9/9或1【解析】設(shè)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)為，連接，易得ON是的中位線，所以，因?yàn)椋曰?，故?故答案為：1或9.例21．（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，為雙曲線右支上一點(diǎn)，且，則的大小為．【答案】/【解析】因?yàn)殡p曲線，則，，所以，因?yàn)闉殡p曲線右支上一點(diǎn)，所以，又，所以，，，由余弦定理，即，解得，又，所以.故答案為：例22．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，且，則的周長是．【答案】34【解析】因?yàn)椋?，故，則，又，故，則，，所以的周長為.故答案為：34.例23．（2023·江蘇鹽城·高二?？茧A段練習(xí)）已知直線是拋物線的準(zhǔn)線，拋物線的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，若為上一點(diǎn)，與的對(duì)稱軸交于點(diǎn)，在中，，則的值為．【答案】【解析】因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與的對(duì)稱軸交于點(diǎn)，所以，，因?yàn)樵谥校?，所以由正弦定理可得?因?yàn)闉閽佄锞€上一點(diǎn)，所以可設(shè)為由此可得，平方化簡可得：，即，可得,.故答案為：.例24．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知為拋物線：的焦點(diǎn)，，，為上的三點(diǎn)，若，則.【答案】【解析】由題意知，設(shè)，，的橫坐標(biāo)分別為，，，由，得，所以，由拋物線的定義得.故答案為：例25．（2023·甘肅白銀·高二?？计谀┤鐖D，是拋物線上的一點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，以為始邊、為終邊的角，則.【答案】10【解析】依題意，過向軸作垂線，記垂足為，如下圖所示，設(shè)的橫坐標(biāo)為，則，.因?yàn)椋?由，得，故.故答案為：經(jīng)典題型三：線段和差最值問題例26．（2023·陜西延安·高二?？计谀┮阎c(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為.【答案】【解析】拋物線，即，其焦點(diǎn)為，拋物線的準(zhǔn)線為，圓變形為，則圓心為拋物線的焦點(diǎn)，半徑為.點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，當(dāng)三點(diǎn)共線，取最小值時(shí)，最小值為.如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由拋物線定義可知，所以取最小值時(shí)，即取最小值，，當(dāng)三點(diǎn)共線，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立..則的最小值為.故答案為：.例27．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上的射影是點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的最小值為．【答案】【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，延長交準(zhǔn)線于點(diǎn)，如圖所示．根據(jù)拋物線的定義知，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立．故答案為：.例28．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知是拋物線的焦點(diǎn)，P是拋物線C上一動(dòng)點(diǎn)，Q是曲線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【解析】由拋物線，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，又由曲線，可化為，可得圓心坐標(biāo)為，半徑，過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，交拋物線于，如圖所示，根據(jù)拋物線的定義，可得，要使得取得最小值，只需使得點(diǎn)與重合，此時(shí)與重合，即，當(dāng)且僅當(dāng)在一條直線上時(shí)，所以的最小值為.故答案為：.例29．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.【答案】/【解析】由題意知，.設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，由是雙曲線右支上的點(diǎn)，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.又，則.所以，的最小值為.故答案為：.例30．（2023·全國·高二專題練習(xí)）P為雙曲線右支上一點(diǎn)，M，N分別是圓和上的點(diǎn)，則的最大值為.【答案】5【解析】雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，分別為兩圓的圓心，兩圓的半徑分別為，，易知，，故的最大值為.故答案為：5例31．（2023·全國·高二專題練習(xí)）過雙曲線的左焦點(diǎn)F作圓的一條切線（切點(diǎn)為T），交雙曲線右支點(diǎn)于P，點(diǎn)M為線段FP的中點(diǎn)，連接MO，則的最大值為．【答案】【解析】如圖所示，連接,設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，連接，則，由，因?yàn)?，所以，設(shè)，則，．可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，故的最大值為．故答案為：．例32．（2023·浙江·高二校聯(lián)考期中）已知分別是雙曲線的上、下焦點(diǎn)，過的直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若，則的值為．【答案】29【解析】由題設(shè)，故在雙曲線的下支上，如下圖示，根據(jù)雙曲線定義：，所以.故答案為：例33．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)是雙曲線的左焦點(diǎn)，點(diǎn)是該雙曲線右支上的任一點(diǎn)，，則的最大值為．【答案】/【解析】如圖，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，由題知，因?yàn)椋?，因?yàn)?，，?dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立.所以，的最大值為故答案為：例34．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)是橢圓的左焦點(diǎn)，P為橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，則的最大值為.【答案】11【解析】由題意可得，，所以,因?yàn)?，所?因?yàn)椋?故答案為：11.例35．（2023·江蘇常州·高二常州高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，M為橢圓C上任意一點(diǎn)，N為圓E：上任意一點(diǎn)，則的最小值為.【答案】/【解析】由題意橢圓C：，M為橢圓C上任意一，N為圓E：上任意一點(diǎn)，故，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)等號(hào)成立，故，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)等號(hào)成立，而，故，即的最小值為，故答案為：例36．（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)P是橢圓上一點(diǎn)，M、N分別是兩圓：和上的點(diǎn)，則的最小值、最大值分別是．【答案】4，8【解析】橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且恰好為兩個(gè)圓的圓心坐標(biāo)，兩個(gè)圓的半徑相等都等于1，則由橢圓的定義可得故橢圓上動(dòng)點(diǎn)與焦點(diǎn)連線與圓相交于、時(shí)，最小，所以，.故答案為：4，8.例37．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知F是橢圓的左焦點(diǎn)，P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，橢圓內(nèi)部一點(diǎn)M的坐標(biāo)是，則的最大值是．【答案】21【解析】由橢圓得，則橢圓右焦點(diǎn)為，點(diǎn)M在橢圓內(nèi)部，如圖所示，則故答案為：21．經(jīng)典題型四：離心率取值與范圍問題例38．（2023·四川巴中·高二統(tǒng)考期中）如圖所示，用一束與平面成角的平行光線照射半徑為的球O，在平面上形成的投影為橢圓及其內(nèi)部，則橢圓的（

）A．長軸長為3 B．離心率為C．焦距為2 D．面積為【答案】C【解析】由題意知：，橢圓的長軸長，A錯(cuò)誤；橢圓短軸長為球的直徑，即,橢圓的焦距為，C正確；橢圓的離心率，B錯(cuò)誤；由圖可知：橢圓的面積大于球大圓的面積，又球大圓的面積，橢圓的面積大于，D錯(cuò)誤．故選：C．例39．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓的一條弦所在的直線方程是，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是，則，，直線的斜率.由，得，得，所以，故橢圓的離心率.故選：B.例40．（2023·河南焦作·高二校考階段練習(xí)）雙曲線C：的一條漸近線的傾斜角為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，雙曲線C的漸近線的傾斜角為，因此，即，所以C的離心率.故選：D例41．（2023·湖北恩施·高二校聯(lián)考期中）已知橢圓，斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，在軸左側(cè)，且點(diǎn)在軸上方，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為，且，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖所示，作軸交于點(diǎn)，因?yàn)橹本€的斜率為，設(shè)直線方程為且，則，聯(lián)立方程組，整理得，則，可得，，由，可得，所以，可得，則橢圓的離心率為.故選：D.例42．（2023·全國·高二期中）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，以為圓心的圓與x軸交于，B兩點(diǎn)，與y軸正半軸交于點(diǎn)A，線段與C交于點(diǎn)M．若與C的焦距的比值為，則C的離心率為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)雙曲線的半焦距為，因?yàn)橐詾閳A心的圓過，故該圓的半徑為，故其方程為：，令，則，結(jié)合在軸正半軸上，故，令，則或，故.故，故直線.設(shè)，因?yàn)樵谳S的正半軸上，在軸的負(fù)半軸上，故，而，故，整理得到：，故，故，所以，故，解得或，又因?yàn)椋瑒t，則，.故選：D.例43．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意雙曲線的一條漸近線與直線垂直，得，即，則.，故選：B.例44．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，直線過橢圓的左焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)B，該橢圓的離心率為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)橢圓的焦距為，則，因?yàn)橹本€的斜率，由題意可得，則，解得，所以橢圓的離心率為.故選：D.例45．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）設(shè)橢圓的焦點(diǎn)為為橢圓上的任意一點(diǎn)，的最小值取值范圍為，其中，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知，，設(shè)，因?yàn)?，所以，又，，所以，因?yàn)椋瑒t，當(dāng)時(shí)，取得最小值，即，即，所以，即橢圓的離心率為.故選：D.例46．（2023·新疆巴音郭楞·高二?？奸_學(xué)考試）設(shè)、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過作軸的垂線與相交于、兩點(diǎn)，若為正三角形，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，因?yàn)檩S，則點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱，則為線段的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈冗吶切?，則，所以，，所以，，則，所以，，則，因此，該雙曲線的離心率為.故選：D.例47．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在橢圓C上，且，過P作的垂線交x軸于點(diǎn)A，若，記橢圓的離心率為e，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋?所以,可得.在中，.由橢圓的定義可得，故，所以，所以.故選:A.例48．（2023·江西宜春·高二上高二中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓E：的左、右焦點(diǎn)分別為，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若以為直徑的圓與橢圓E在第一象限交于點(diǎn)P，且是等邊三角形，則橢圓E的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意知，O為的中點(diǎn)，故，是等邊三角形，即有，又P在橢圓上，故，即，即橢圓E的離心率為，故選：D例49．（2023·吉林遼源·高二遼源市第五中學(xué)校校考期末）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，P是橢圓上一點(diǎn)，，若，則該橢圓的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，∴是以為底的等腰三角形，，過作交于，則，所以，∵，∴，∴，即，解得．∴該橢圓的離心率的取值范圍是．故選：D．例50．（2023·四川成都·高二校聯(lián)考期中）已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且，則該橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令橢圓長半軸長為a，短半軸長為b，半焦距為c，依題意，是直角三角形，而坐標(biāo)原點(diǎn)O為斜邊的中點(diǎn)，則，而，即有，，，即，于是得，所以橢圓離心率的取值范圍是.故選：D例51．（2023·江西贛州·高二江西省尋烏中學(xué)校考階段練習(xí)）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，橢圓上存在點(diǎn)，使得，則橢圓的離心率取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意不妨設(shè)為橢圓的左焦點(diǎn)，則，設(shè)，則，，，則，若存在點(diǎn)使得，則存在點(diǎn)使得，即在上有解，即在上有解，令，顯然，，所以，即且，由，即，解得或，由，即，解得或，又，所以，即.故選：B例52．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線左，右焦點(diǎn)分別為，若雙曲線右支上存在點(diǎn)使得，則離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意可得點(diǎn)不是雙曲線的頂點(diǎn)，否則無意義在中，由正弦定理得，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線右支上，所以，所以，得，由雙曲線的性質(zhì)可得，所以，化簡得，所以，解得，因?yàn)椋?，即雙曲線離心率的取值范圍為，故選：C例53．（2023·山西晉城·高二?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，P是右支上一點(diǎn)，且，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，由雙曲線的幾何性質(zhì)可知，由條件可知，，在中，，即，；當(dāng)點(diǎn)P位于雙曲線的右頂點(diǎn)時(shí)，也滿足題意，即，，由雙曲線的幾何性質(zhì)知，所以離心率的取值范圍是；故選：C.例54．（2023·重慶長壽·高二重慶市長壽中學(xué)校?？计谥校┮阎獧E圓上一點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)為橢圓右焦點(diǎn)，且滿足，設(shè)，且，則該橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示，設(shè)橢圓得左焦點(diǎn)為，連接，則四邊形為矩形，則，所以，在中，由，得，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所?故選：B.經(jīng)典題型五：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系例55．（2023·江蘇南通·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）過點(diǎn)向拋物線引兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，直線恒過的定點(diǎn)為.【答案】【解析】設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，代入拋物線方程得：,其判別式，即，故得，，又的解為，所以切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入拋物線方程可求得切點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)，令，則，即切點(diǎn)的坐標(biāo)為;令，則，即切點(diǎn)的坐標(biāo)為，故直線的斜率故直線的方程為，當(dāng)時(shí)，即直線過定點(diǎn).例56．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線，直線，若直線與雙曲線的交點(diǎn)分別在兩支上，求的范圍．【答案】【解析】聯(lián)立雙曲線、直線方程，消去整理得，由題意，設(shè)方程的兩根為，則，解得．故答案為：例57．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線，直線，若直線與雙曲線的右支有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】或【解析】依題意，聯(lián)立方程，消去，得，設(shè)直線與雙曲線的右支的兩個(gè)交點(diǎn)為，，則，解得或，所以或.故答案為：或.例58．（2023·江西上饒·高二江西省廣豐中學(xué)校考階段練習(xí)）經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，交橢圓于兩點(diǎn)，則．【答案】/【解析】由橢圓方程得：右焦點(diǎn)，則直線方程為：，由得：，則，，，.故答案為：.例59．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）過點(diǎn)與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有條．【答案】3【解析】①當(dāng)斜率不存在時(shí)，過點(diǎn)的直線為y軸，顯然符合題意．②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為．聯(lián)立得，當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)方程有唯一實(shí)數(shù)解，符合題意；當(dāng)時(shí)，由解得，此時(shí)方程有唯一實(shí)數(shù)解，符合題意．綜上共有3條直線．故答案為：3例60．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】由題意，直線恒過定點(diǎn)，要使得直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，則滿足點(diǎn)在橢圓上或在橢圓的內(nèi)部，即，解得，又由橢圓的方程，滿足，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.例61．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）若直線與橢圓有唯一公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)．【答案】【解析】直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去，得①.方程①的判別式.因?yàn)橹本€l與橢圓C有唯一公共點(diǎn)．則，解得.故答案為：.例62．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線方程為，若過點(diǎn)的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是.【答案】【解析】依題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，由消去并化簡得①，當(dāng)時(shí)，①可化為，此時(shí)，即直線與拋物線相交于.當(dāng)時(shí)，由于①有解，所以，即，解得且.綜上所述，直線l的斜率的取值范圍是.故答案為：例63．（2023·全國·高二課堂例題）已知拋物線C：，過點(diǎn)的直線l與拋物線C有唯一公共點(diǎn)，則這樣的直線有條．【答案】3【解析】由題意知，直線的斜率存在.設(shè)直線斜率為，則切線方程為，聯(lián)立消x得，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，與拋物線有唯一公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由，解得，即過M點(diǎn)的切線有兩條．綜上可知，滿足條件的直線有3條．故答案為：3.經(jīng)典題型六：三角形與四邊形面積問題例64．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)在拋物線上，傾斜角為的直線l經(jīng)過拋物線C的焦點(diǎn)F.(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求線段AB的長及的面積.【解析】（1）由題意可知，將點(diǎn)代入拋物線方程，可得，解得，則拋物線方程為.（2）由（1）可知，拋物線方程為，則，則直線的方程為，即，設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線方程可得，消去可得，化簡可得，則，由拋物線焦半徑公式可得，；由點(diǎn)到直線的距離公式可知，點(diǎn)到直線的距離，則.例65．（2023·全國·高二期中）已知雙曲線實(shí)軸的一個(gè)端點(diǎn)是，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)是，直線與雙曲線的一條漸近線的交點(diǎn)為.(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積最小值.【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，則直線的方程為，與漸近線聯(lián)立，得，解之得，即直線與雙曲線的一條漸近線交點(diǎn)為，又直線與雙曲線的一條漸近線的交點(diǎn)為，所以，即，因此雙曲線方程為.（2）設(shè)，把代入，得，則，，，點(diǎn)到直線的距離，所以的面積為，令，所以，令，則，因?yàn)?，所以，由，得，由，得，由，得，即?dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)滿足，所以面積的最小值為.例66．（2023·全國·高二期中）已知橢圓過和兩點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)如圖所示，記橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M在定直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線，分別交橢圓于兩點(diǎn)P和Q.（i）證明：點(diǎn)B在以為直徑的圓內(nèi)；（ii）求四邊形面積的最大值.【解析】（1）依題意將和兩點(diǎn)代入橢圓可得，解得；所以橢圓方程為（2）（i）易知，由橢圓對(duì)稱性可知，不妨設(shè)，；根據(jù)題意可知直線斜率均存在，且；所以直線的方程為，的方程為；聯(lián)立直線和橢圓方程，消去可得；由韋達(dá)定理可得，解得，則；聯(lián)立直線和橢圓方程，消去可得；由韋達(dá)定理可得，解得，則；則，；所以；即可知為鈍角，所以點(diǎn)B在以為直徑的圓內(nèi)；（ii）易知四邊形的面積為，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，所以，可得，由對(duì)稱性可知，即當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或時(shí)，四邊形的面積最大，最大值為6.例67．（2023·安徽·高二?？计谥校┰O(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，是拋物線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)，．(1)求拋物線的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)且斜率為的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積．【解析】（1）拋物線：的準(zhǔn)線方程為，依題意，，解得，所以拋物線的方程為.（2）由（1）知，，則直線的方程為，由消去y得：，解得，，所以的面積.例68．（2023·湖北恩施·高二校聯(lián)考期中）已知橢圓與直線有唯一的公共點(diǎn)，過點(diǎn)且與垂直的直線交軸，軸于兩點(diǎn)．(1)求滿足的關(guān)系式；(2)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡的方程；(3)若軌跡與直線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值．【解析】（1）由題有得．由，即，得．（2）由（1）可得，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，故，而，所以，因此，即，直線，即，，則，軌跡的方程是．（3）令，則．由得，其中，．點(diǎn)到直線的距離，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則．當(dāng)，取得最大值，．例69．（2023·新疆巴音郭楞·高二八一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離是它到直線的距離的倍，記點(diǎn)的軌跡為.(1)求的方程；(2)若點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，求面積的最大值.【解析】（1）由題意可設(shè)，所以可得，兩邊同時(shí)平方可得整理可得；即的方程為；（2）如下圖所示：由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程，設(shè)，，聯(lián)立，消去整理得，易知，所以，，所以，所以面積，設(shè)，所以，易知在上單調(diào)遞減，故當(dāng)，即時(shí)，面積取得最大值，最大值為，所以面積的最大值.例70．（2023·浙江寧波·高二校聯(lián)考期中）橢圓：的右焦點(diǎn)是，且經(jīng)過點(diǎn)；直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，以為直徑的圓過原點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)若過原點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，求四邊形面積的范圍.【解析】（1）焦點(diǎn)為，則，即，點(diǎn)在橢圓：上，即，解得或（舍去），則，所以橢圓的方程為；（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，，，聯(lián)立，可得，則①，又②，③以為直徑的圓過原點(diǎn)即，化簡可得，代入②③兩式，整理得，即④，將④式代入①式，得恒成立，則，設(shè)線段中點(diǎn)為，由，所以，又，又由，則點(diǎn)坐標(biāo)為，化簡可得，代入橢圓方程可得，即，則，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，方程為，直線過中點(diǎn)，即為軸，易得，，，綜上，四邊形面積的取值范圍為.例71．（2023·河南周口·高二統(tǒng)考期中）已知雙曲線的一條漸近線方程的傾斜角為，焦距為4．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)A為雙曲線的右頂點(diǎn)，為雙曲線上異于點(diǎn)A的兩點(diǎn)，且．①證明：直線過定點(diǎn)；②若在雙曲線的同一支上，求的面積的最小值．【解析】（1）設(shè)雙曲線的焦距為，由題意有解得．故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）①證明：設(shè)直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，由（1）可知點(diǎn)A的坐標(biāo)為，聯(lián)立方程消去后整理為，可得，，，由，有，由，可得，有或，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，過點(diǎn)，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，過點(diǎn)，符合題意，故直線過定點(diǎn)；②由①，設(shè)所過定點(diǎn)為，，，若在雙曲線的同一支上，可知都在左支上，有，可得，故的面積為，令，可得，有，由函數(shù)為函數(shù)值都為正的減函數(shù)，可得當(dāng)時(shí)，的面積的最小值為9．例72．（2023·江蘇揚(yáng)州·高二揚(yáng)州中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知橢圓C：（）的離心率為，右焦點(diǎn)F到上頂點(diǎn)的距離為．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)過原點(diǎn)的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，連接AF，BF并分別延長交橢圓C于D，E，記的面積分別是，求的取值范圍.【解析】（1）由題意可得，，，解得，，所以橢圓的方程為．（2）設(shè)，，,，，所以直線的方程為，聯(lián)立得，即，，則，所以D點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，∵，∴，，則，即.例73．（2023·遼寧大連·高二大連八中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓過(2，0)點(diǎn)，左右焦點(diǎn)分別為，，(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點(diǎn)是橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓C上，若直線，的斜率分別為，滿足，求面積的最大值．【解析】（1）由題意，，∴，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)，直線聯(lián)立方程組，得，，得，

，，

，由題意知，由，，代入化簡得，故直線過定點(diǎn)，

由，解得，，

令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以面積的最大值為．經(jīng)典題型七：圓錐曲線定點(diǎn)定值問題例74．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知?jiǎng)訄A與圓外切，與軸相切，記圓心的軌跡為曲線，．(1)求的方程；(2)若斜率為4的直線交于、兩點(diǎn)，直線、分別交曲線于另一點(diǎn)、，證明：直線過定點(diǎn)．【解析】（1）設(shè)，動(dòng)圓的半徑為，圓的圓心為，半徑為1，因?yàn)閯?dòng)圓與圓外切，可得或，化為或，所以點(diǎn)的軌跡的方程為：或．（2）證明：設(shè)直線的方程為，設(shè)，，，，聯(lián)立，化為，△，解得．所以，，直線的方程為，與聯(lián)立，解得，，所以，．同理可得，，，所以直線的方程為：，化為，，，根據(jù)對(duì)應(yīng)系數(shù)相等可得，得，則，所以直線恒過定點(diǎn)，．例75．（2023·全國·高二期中）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，且點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)，若直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)，證明：直線過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)坐標(biāo).【解析】（1）因?yàn)闄E圓的左焦點(diǎn)，可得，由定義知點(diǎn)到橢圓的兩焦點(diǎn)的距離之和為，，故，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由橢圓的方程，可得，且直線斜率存在，設(shè)，設(shè)直線的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立得：，則直線的方程為，直線的方程為，由直線和直線交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4得，即又因點(diǎn)在橢圓上，故，得，同理，點(diǎn)在橢圓上，得，即即即即化簡可得，即，解得或，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線過點(diǎn)，與題意不符.故，直線的方程為，直線恒過點(diǎn)例76．（2023·浙江·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）已知橢圓：．(1)直線：交橢圓于，兩點(diǎn)，求線段的長；(2)為橢圓的左頂點(diǎn)，記直線，，的斜率分別為，，，若，試問直線是否過定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，請(qǐng)說明理由．【解析】（1）將直線與橢圓方程聯(lián)立，即，得，即，故；（2）設(shè)直線：，，，由得，，，又，，故，由，得，故或，①當(dāng)時(shí)，直線：，過定點(diǎn)，與已知不符，舍去；②當(dāng)時(shí)，直線：，過定點(diǎn)，，符合題意．例77．（2023·山東淄博·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓：的長軸為雙曲線的實(shí)軸，且橢圓過點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點(diǎn)、是橢圓上異于點(diǎn)的兩個(gè)不同的點(diǎn)，直線與的斜率均存在，分別記為，，且，求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).【解析】（1）因?yàn)闄E圓：的長軸為雙曲線的實(shí)軸，所以，所以橢圓：，又因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，所以，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為由得所以，所以，因?yàn)椋?，所以即，化簡得所以即所以，或，?dāng)時(shí)，直線的方程為，直線恒過定點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，直線的方程為直線恒過定點(diǎn)，滿足題意；所以直線恒過定點(diǎn).②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)其方程為，由得，所以，所以，解得（舍去）或，所以直線也過定點(diǎn).綜上，直線恒過定點(diǎn).例78．（2023·高二單元測試）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線，點(diǎn)，設(shè)直線l與C交于不同的兩點(diǎn)P，Q.(1)若直線軸，求直線的斜率的取值范圍；(2)若直線l不垂直于x軸，且，證明：直線l過定點(diǎn)．【解析】（1）當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，設(shè)，則，（當(dāng)時(shí)取等號(hào)），∴，同理，當(dāng)點(diǎn)在第四象限時(shí)，.綜上所述，直線的斜率的取值范圍是.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程得，設(shè)，則，∵，即，即，即，即，∴，滿足，∴，∴直線過定點(diǎn).例79．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓E的中心在原點(diǎn)，周長為8的的頂點(diǎn)，為橢圓E的左焦點(diǎn)，頂點(diǎn)B，C在E上，且邊BC過E的右焦點(diǎn).(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)橢圓E的上、下頂點(diǎn)分別為M，N，點(diǎn)若直線，與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)S，T，證明：直線ST過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)坐標(biāo).【解析】（1）由題意知，橢圓E的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)橢圓方程為，焦距為，所以周長為，即，，因?yàn)樽蠼裹c(diǎn)，所以，，所以，所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意知，,，直線斜率均存在，所以直線，與橢圓方程聯(lián)立得，對(duì)恒成立，則，即，則，同理，，所以，所以直線方程為：，所以直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.例80．（2023·河南許昌·高二統(tǒng)考期末）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過作與軸垂直的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，的面積為12，拋物線以雙曲線的右頂點(diǎn)為焦點(diǎn).(1)求拋物線的方程；(2)如圖，點(diǎn)為拋物線的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，連接并延長交拋物線于點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn).【解析】（1）設(shè)，則，令，代入的方程，得.所以，所以，故，即.所以拋物線的方程為.（2）由（1）知，則.直線的方程為，代入拋物線的方程有.當(dāng)時(shí)，，所以直線的方程為，即.所以此時(shí)直線過定點(diǎn).當(dāng)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)仍過點(diǎn)，綜上，直線過定點(diǎn).例81．（2023·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）已知定點(diǎn)，定直線，動(dòng)圓過點(diǎn)，且與直線相切．(1)求動(dòng)圓的圓心所在軌跡的方程；(2)已知點(diǎn)是軌跡上一點(diǎn)，點(diǎn)是軌跡上不同的兩點(diǎn)（點(diǎn)均不與點(diǎn)重合），設(shè)直線的斜率分別為，且滿足，證明：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，圓與直線的切點(diǎn)為，因?yàn)閯?dòng)圓過點(diǎn)，且與直線相切，則，所以點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，以點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線，則動(dòng)圓的圓心軌跡的方程為．（2）若直線的斜率為0，則直線與拋物線只有1個(gè)交點(diǎn)，不合要求，設(shè)直線的方程為，消去可得：，則，因?yàn)闉閽佄锞€上一點(diǎn)，所以，解得，，解得，代入，解得或，結(jié)合點(diǎn)均不與點(diǎn)重合，則，則，解得，故且或，所以直線即所以直線恒過定點(diǎn).例82．（2023·黑龍江牡丹江·高二牡丹江一中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓過點(diǎn)，且離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過動(dòng)點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，且，過作直線，使與直線垂直，證明：直線恒過定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】（1）由已知得由解方程組得

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)AB的直線方程為，聯(lián)立，消得，，由題意，.設(shè)，則.因?yàn)椋允堑闹悬c(diǎn)．即，得，①，又，的斜率為，直線的方程為②，把①代入②可得：，

所以直線恒過定點(diǎn).當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線為軸，也過.綜上所述，直線恒過點(diǎn).例83．（2023·四川成都·高二?？计谥校┮阎獧EC：，為其左右焦點(diǎn)，離心率為，(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)P，點(diǎn)P在橢圓C上，過點(diǎn)P作橢圓C的切線l，斜率為，，的斜率分別為，，則是否是定值？若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說明理由.【解析】（1）由已知條件可得，，解得，橢圓；（2）是定值，證明：因?yàn)辄c(diǎn)，，過點(diǎn)作橢圓的切線，斜率為，且，與聯(lián)立消得，由題設(shè)得，即，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，，代入上式得，而，定值），是定值；例84．（2023·高二單元測試）已知拋物線C：的焦點(diǎn)F與橢圓的右焦點(diǎn)重合，點(diǎn)M是拋物線C的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，直線MA，MB分別與拋物線C相切于點(diǎn)A，B．(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程及其準(zhǔn)線方程；(2)設(shè)直線MA，MB的斜率分別為，，證明：為定值．【解析】（1）因?yàn)?，所以，所以，可得橢圓的右焦點(diǎn)為，可得拋物線C的焦點(diǎn)為，∴，所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，準(zhǔn)線方程為；（2）由于點(diǎn)M是拋物線C的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，故可設(shè)，因?yàn)橹本€MA，MB的分別與拋物線C相切于點(diǎn)A，B點(diǎn)可知直線MA，MB的斜率存在，且不為0，設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，聯(lián)立，消去得：，其判別式，令，得，由韋達(dá)定理知，，故為定值－1．例85．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線與橢圓的焦點(diǎn)重合，且與的離心率之積為．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)雙曲線的左?右頂點(diǎn)分別為，若直線與圓相切，且與雙曲線左?右兩支分別交于兩點(diǎn)，記直線的斜率為的斜率為，那么是否為定值？并說明理由．【解析】（1）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．易知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率為，所以，因?yàn)榕c的離心率之積為，所以的離心率為，所以，即，解得．故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）是定值，理由如下：設(shè)，其中，因?yàn)橹本€與圓相切，所以，即，聯(lián)立，消去并整理得，所以．因?yàn)?，則，即，所以．由題意得．，即為定值．例86．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且其離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)已知與坐標(biāo)軸不垂直的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，求證：（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為定值.【解析】（1）∵拋物線的焦點(diǎn)為，∴橢圓的半焦距為，又，得，.∴橢圓的方程為（2）證明：由題意可知，直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得.，即，設(shè)，，則，，∴，∴.∴為定值例87．（2023·江蘇南京·高二?？计谥校┮阎c(diǎn)在雙曲線上，直線（不過點(diǎn)）的斜率為，且交雙曲線于、兩點(diǎn).(1)求雙曲線的方程；(2)求證：直線、的斜率之和為定值.【解析】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得，解得，所以，雙曲線的方程為.（2）證明：由題意，設(shè)直線的方程為，設(shè)、，聯(lián)立可得，，解得或，由韋達(dá)定理可得，，所以，.可得直線、的斜率之和為.例88．（2023·新疆伊犁·高二統(tǒng)考期末）設(shè)橢圓C：的離心率為，過原點(diǎn)O斜率為1的直線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，橢圓右焦點(diǎn)F到直線l的距離為．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)P是橢圓上異于M，N外的一點(diǎn)，當(dāng)直線PM，PN的斜率存在且不為零時(shí)，記直線PM的斜率為，直線PN的斜率為，試探究是否為定值？若是，求出定值；若不是，說明理由．【解析】（1）由題意直線l：，右焦點(diǎn)，F(xiàn)到直線l的距離為，解得，又，所以，則，∴橢圓C的方程為；（2）聯(lián)立，解得或，不妨設(shè)，設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)P是橢圓上異于M，N外的一點(diǎn)，所以，則，，所以為定值.經(jīng)典題型八：斜率問題例89．（2023·河北保定·高二河北省唐縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且橢圓過，直線與橢圓交于、.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線、的斜率分別為、，證明：.【解析】（1）因?yàn)闄E圓的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則這個(gè)直角三角形為等腰直角三角形，腰長為，斜邊長為，則，可得，所以，，所以，橢圓的方程可表示為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程可得，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，，解得，顯然，否則直線過點(diǎn)，由韋達(dá)定理可得，，所以，，因此，.例90．（2023·江蘇·高二南京市人民中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知橢圓過點(diǎn).(1)求橢圓的離心率；(2)過點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，橢圓的左頂點(diǎn)為A，求直線與直線的斜率之積.【解析】（1）由于橢圓過點(diǎn)，所以，所以，所以橢圓的離心率.（2）由（1）可知橢圓方程為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立可求得（不妨設(shè)M在第一象限），又，所以，所以；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，消去得，，由韋達(dá)定理得，所以.綜上，直線與直線的斜率之積為.例91．（2023·廣東佛山·高二佛山市三水區(qū)三水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，若橢圓C焦點(diǎn)在軸上，焦距為，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)若直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，，直線DA與直線DB的斜率之積為，求直線l斜率的取值范圍．【解析】（1）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)?，可得，所以橢圓的焦點(diǎn)，，由橢圓的定義，可得，所以，則，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，整理得，可得，解得，設(shè)，則，所以，代入整理得，當(dāng)時(shí)，此時(shí)直線的方程為恒過，不符合題意；當(dāng)時(shí)，可得，解得，此時(shí)直線的方程為恒過，又由，可得，解得，且，可得且，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.例92．（2023·黑龍江牡丹江·高二牡丹江一中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓左右焦點(diǎn)分別為，離心率為．斜率為的直線（不過原點(diǎn)）交橢圓于兩點(diǎn)，當(dāng)直線過時(shí)，周長為8．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)斜率分別為，且依次成等比數(shù)列，求的值，并求當(dāng)面積為時(shí)，直線的方程．【解析】（1）由題意，，解得，所以.故橢圓的方程為．（2）設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得，，且，所以．由題意，，故..此時(shí)，，.又點(diǎn)O到直線的距離，故三角形的面積,解得或，所以直線l方程為或.例93．（2023·江蘇南京·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線:的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，A是直線l：上不同于原點(diǎn)O的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，斜率為的直線與雙曲線E交于M，N兩點(diǎn)，斜率為的直線與雙曲線E交于P，Q兩點(diǎn).(1)求的值；(2)若直線OM，ON，OP，OQ的斜率分別為，，，，問是否存在點(diǎn)A，滿足+=，若存在，求出A點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【解析】（1）由題意得,,所以，所以，因?yàn)樗?，所以雙曲線E：，所以曲線E的左、右焦點(diǎn)分別為，，設(shè)，，同理可得∴.（2）設(shè)，直線方程為，代入雙曲線方程可得：，所以，則，則，，，，同理，即，即，∴或，又，若，無解，舍去.∴，解得，，或，，若，，由A在直線上可得，，∴.此時(shí)，若，，由A在直線上可得，，∴此時(shí)∴存在點(diǎn)，或，滿足例94．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線實(shí)軸左右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，雙曲線的焦距為，漸近線方程為．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)．設(shè)的斜率分別為，且，求的方程．【解析】（1）雙曲線的焦距，；雙曲線的漸近線方程為，即，，又，，，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）由（1）得：，，設(shè)，，由題意知：直線的斜率一定存在，則可設(shè)，由得：，，解得：且，，，；，，即，，解得：或，又且，，直線的方程為：，即.例95．（2023·山東濰坊·高二?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)分別為，且點(diǎn)在雙曲線上.(1)求雙曲線的漸近線方程；(2)若直線與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn)，且滿足，記直線的斜率為，直線的斜率為，求.【解析】（1）由題意得，，解得.所以雙曲線方程為：，于是其漸近線為或，即或.（2）設(shè)，，因?yàn)?，所以，整理?因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，即，所以.例96．（2023·河南許昌·高二統(tǒng)考期末）已知的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是且直線PA，PB的斜率之積是，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線H.(1)求曲線H的方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)且斜率為k的直線與曲線H交于不同的兩點(diǎn)E，F(xiàn)（均異于A，B），證明：直線BE與BF的斜率之和為定值.【解析】（1）設(shè)，則由直線PA，PB的斜率之積是可得，化簡可得（2）設(shè)直線方程為：，則與橢圓方程聯(lián)立可得：，則，故或，設(shè)，則，.故.

.例97．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為1的直線l與E交于A，B兩點(diǎn)，且．(1)求拋物線E的方程；(2)設(shè)為E上一點(diǎn)，E在P處的切線與x軸交于Q，過Q的直線與E交于M，N兩點(diǎn)，直線PM和PN的斜率分別為和．求證：為定值．【解析】（1）由題意，，直線l的方程為，代入，得．于是，∴焦點(diǎn)弦，解得p＝2．故拋物線E的方程為．（2）因在E上，∴m＝2．設(shè)E在P處的切線方程為，代入，得．由，解得t＝1，∴P處的切線方程為y＝x＋1，從而得．易知直線MN的斜率存在，設(shè)其方程為，設(shè)，．將代入，得．于是，，且，．∴．故為定值2．經(jīng)典題型九：中點(diǎn)弦問題例98．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）求所有斜率為1的直線被橢圓所截得線段的中點(diǎn)的軌跡．【解析】如圖，設(shè)直線被橢圓所截得的線段的兩個(gè)端點(diǎn)、的橫坐標(biāo)為、，線段中點(diǎn)為．聯(lián)立直線方程和橢圓方程得方程組，消去，并整理得．當(dāng)判別式，即時(shí)，上述方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即直線與橢圓的相交線段存在．因?yàn)椋?，從而，這就是中點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程（其中）．消去得，，由，及，可得，點(diǎn)的軌跡方程為，，即點(diǎn)的軌跡是直線在橢圓內(nèi)的部分．例99．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知圓，圓，動(dòng)圓與圓外切并且與圓內(nèi)切，圓心的軌跡為曲線(1)求的方程；(2)是否存在過點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，使得為中點(diǎn)？若存在，求該直線方程，若不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】（1）設(shè)動(dòng)圓的半徑為，依題意得，所以為定值，且，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓，，，，，所以，所以橢圓的方程為.（2）假設(shè)存在過點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，使得為中點(diǎn)，設(shè)，，則，兩式相減得，得，即，由點(diǎn)斜式得直線方程為，即.所以存在過點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，使得為中點(diǎn)，且該直線方程為.例100．（2023·甘肅白銀·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知橢圓的離心率為，是上一點(diǎn)．(1)求的方程；(2)設(shè)，是上兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線的方程．【解析】（1）由題可知，解得，，，故的方程為．（2）設(shè)，，則則，即．因?yàn)榫€段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，，則．故直線的方程為，即．例101．（2023·全國·高二課堂例題）求過定點(diǎn)的直線被雙曲線截得的弦AB的中點(diǎn)的軌跡方程.【解析】因?yàn)樵撝本€的斜率不存在時(shí)與雙曲線無交點(diǎn)，故可設(shè)直線的方程為，且設(shè)該直線被雙曲線截得的弦AB對(duì)應(yīng)的中點(diǎn)為，，.由得.則，即，且，所以，即，，且，，所以，.由，即，，代入消去k得.又，且，，故或.故弦AB的中點(diǎn)的軌跡方程為（或）.例102．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知焦點(diǎn)在軸上的雙曲線實(shí)軸長為，其一條漸近線斜率為．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)能否作直線，使直線與所給雙曲線交于、兩點(diǎn)，且點(diǎn)是弦的中點(diǎn)？如果直線存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由．【解析】（1）因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)樵撾p曲線的實(shí)軸長為，一條漸近線斜率為，則，解得，因此，該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）假定直線存在，設(shè)以為中點(diǎn)的弦的兩端點(diǎn)為、，則有，．根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性知．由點(diǎn)、在雙曲線上，得，，兩式相減得，所以，所以，即以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率，故直線的方程為，即．聯(lián)立，消去得，，因此直線與雙曲線無交點(diǎn)，故滿足條件的直線不存在．例103．（2023·寧夏銀川·高二?？茧A段練習(xí)）過雙曲線的弦，且為弦的中點(diǎn)，求直線的方程.【解析】設(shè)，，因?yàn)闉橄业闹悬c(diǎn)，所以，，因?yàn)橹本€與雙曲線的相交于，兩點(diǎn)，所以，兩式相減得，即所以，故直線的方程為，即.經(jīng)驗(yàn)證該直線與雙曲線相交.例104．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，且C的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn).(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)是否存在過點(diǎn)的直線l與C交于不同的A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為P.若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.【解析】（1）因?yàn)殡p曲線C的右焦點(diǎn)為，所以，可得，又因?yàn)殡p曲線C的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)，可得，即，聯(lián)立方程組，解得，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）假設(shè)存在符合條件的直線，易知直線l的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，且，則，兩式相減得，所以，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，所以，所以，解得，直線的方程為，即，把直線代入，整理得，可得，該方程沒有實(shí)根，所以假設(shè)不成立，即不存在過點(diǎn)的直線與C交于兩點(diǎn)，使得線段的中點(diǎn)為.例105．（2023·上海浦東新·高二上海南匯中學(xué)?？计谥校┮阎€C的方程是，其中，，直線l的方程是．(1)請(qǐng)根據(jù)a的不同取值，判斷曲線C是何種圓錐曲線；(2)若直線l交曲線C于兩點(diǎn)M，N，且線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，求a的值；(3)若，試問曲線C上是否存在不同的兩點(diǎn)A，B，使得A，B關(guān)于直線l對(duì)稱，并說明理由．【解析】（1），即，當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線；（2）設(shè)，，，則，，兩式相減得到：，即，故，故的中點(diǎn)為，代入直線得到，解得或（舍），故.（3）假設(shè)存在，直線方程為，雙曲線方程為，設(shè)，，中點(diǎn)為，則，，兩式相減得到，即，，又，解得，.此時(shí)直線方程為：，即，，化簡得到，方程無解，故不存在.例106．（2023·廣西貴港·高二統(tǒng)考期末）已知是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上一點(diǎn)，且.(1)求拋物線的方程；(2)若直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線的斜率.【解析】（1）由題可知，，解得，故拋物線的方程為.（2）設(shè)，則，兩式相減得，即.因?yàn)榫€段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，則，故直線的斜率為2.例107．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知直線與拋物線相交于、兩點(diǎn).(1)若直線過點(diǎn)，且傾斜角為，求的值；(2)若直線過點(diǎn)，且弦恰被平分，求所在直線的方程.【解析】（1）因直線的傾斜角為，所以直線的斜率，又因直線過點(diǎn)，所以直線的方程為：，即，聯(lián)立得，設(shè)，，所以，，所以（2）因、在拋物線上，所以，，兩式相減得：，得，故直線的斜率為4，所以直線的方程為：，即例108．（2023·高二單元測試）已知拋物線的焦點(diǎn)為是拋物線上的點(diǎn)，且．(1)求拋物線的方程；(2)已知直線交拋物線于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，求直線的方程．【解析】（1）因?yàn)椋?，故拋物線的方程為．（2）易知直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，則兩式相減得，整理得．因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，所以，所以直線的方程為，即.例109．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB恰好被點(diǎn)平分.(1)求直線l的方程；(2)拋物線上是否存在點(diǎn)C和D，使得C，D關(guān)于直線l對(duì)稱?若存在，求出直線CD的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.【解析】（1）依題意，直線l的斜率存在，且不為0，設(shè)直線l的方程為，即，由消去x得：，，設(shè)，則有，由，得，于是直線l的方程，即，所以直線l的方程為.（2）假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)C，D滿足條件，由（1）設(shè)直線的方程為，由消去x得：，有，解得，設(shè)，則，于是線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，顯然點(diǎn)在直線上，即，解得，所以拋物線上不存在點(diǎn)C，D，使得C，D關(guān)于直線l對(duì)稱.模塊三：數(shù)學(xué)思想方法①分類討論思想例110．（2023·廣西玉林·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）設(shè)橢圓，雙曲線的離心率分別為.若，則的所有可能取值的乘積為（

）A． B． C．2 D．【答案】C【解析】由，得，當(dāng)時(shí)，有，得，當(dāng)時(shí)，有，得，故的所有可能取值的乘積為，故選：C例111．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)集合A＝{1，2，3，4，5}，，則方程＋＝1表示焦點(diǎn)位于x軸上的橢圓有（

）A．8個(gè) B．10個(gè) C．12個(gè) D．16個(gè)【答案】B【解析】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以m>n.當(dāng)m＝5時(shí)，n＝1，2，3，4四種結(jié)果；當(dāng)m＝4時(shí)，n＝1，2，3三種結(jié)果；當(dāng)m＝3時(shí)，n＝1，2兩種結(jié)果；當(dāng)m＝2時(shí)，n＝1一種結(jié)果.即所求的橢圓共有4＋3＋2＋1＝10(個(gè))．故選：B例112．（2023·四川達(dá)州·高二四川省宣漢中學(xué)校考開學(xué)考試）定義：橢圓中長度為整數(shù)的焦點(diǎn)弦(過焦點(diǎn)的弦)為“好弦”．則橢圓中所有“好弦”的長度之和為（

）A．162 B．166 C．312 D．364【答案】B【解析】由已知可得，所以，即橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)于過右焦點(diǎn)的弦，則有：當(dāng)弦與軸重合時(shí)，則弦長，當(dāng)弦不與軸重合時(shí)，設(shè)，聯(lián)立方程，消去x得：，則，故，∵，則，可得，即，∴，綜上所述：，故弦長為整數(shù)有，由橢圓的對(duì)稱性可得：“好弦”的長度和為．故選：B．例113．（2023·全國·高二專題練習(xí)）方程表示焦距為的雙曲線，則實(shí)數(shù)λ的值為（

）A．1 B．4或1 C．2或4或1 D．2或1【答案】A【解析】由題意在雙曲線中，焦距即當(dāng)即時(shí)，解得：（舍）或當(dāng)即時(shí)，解得：（舍）或（舍）綜上，故選：A.例114．（2023·上海浦東新·高二上海市建平中學(xué)校考階段練習(xí)）過定點(diǎn)且與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【解析】當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線方程為，只有一個(gè)公共點(diǎn)，符合題意；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則直線方程為，聯(lián)立，得，①當(dāng)時(shí)，直線方程為，只有一個(gè)公共點(diǎn)，符合題意；②當(dāng)時(shí)，令，解得，即直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn).所