計算鏈傳動中心距的非線性方程法

計算鏈傳動中心距的非線性方程法

在鏈傳動的設(shè)計中，鏈傳動的幾何計算非常重要，但鏈傳動中心距離的計算尤其重要。雖然鏈傳動中心距離的計算非常簡單，但要正確計算鏈傳動中心距離并不容易。有兩個原因使鏈傳動中心距的計算較為復雜:一是鏈條長度必須是整數(shù)倍鏈節(jié);二是鏈條繞上鏈輪的后分布呈多邊形.現(xiàn)有的鏈傳動中心距計算方法都是近似方法,且都只能在一定范圍內(nèi)適用.本文采用精確的幾何綜合分析方法,在沒有對鏈傳動幾何參數(shù)做任何限制的條件下進行了理論分析,提出了計算鏈傳動中心距的非線性方程法,并給出了精確求解鏈傳動中心距的算法和2個計算實例.1鏈傳動中心距tep緊邊鏈條長度Lt是主動鏈輪轉(zhuǎn)角θt的函數(shù),如圖1所示.Lt可通過下列各式求得ε=arcsin[Ρ2C(ctgπΖ2-ctgπΖ1)](1)(Ν+f)Ρ=Ccosε-Ρ(2)ε=arcsin[P2C(ctgπZ2?ctgπZ1)](1)(N+f)P=Ccosε?P(2)當θts≤θt≤θte時Lt=(Ν+1)Ρ(3)Lt=(N+1)P(3)當θte≤θt≤θts+2πΖ1θte≤θt≤θts+2πZ1時Lt=(Ν+2)Ρ(4)Lt=(N+2)P(4)式中:C為鏈傳動中心距;P為鏈條節(jié)距;Z1、Z2為主動、從動鏈輪齒數(shù);N為整數(shù);θts為主動鏈輪的轉(zhuǎn)角(見圖2).Ψte為從動鏈輪轉(zhuǎn)角(見圖3),圖2和圖3中的L可由下式求得L=(Ν+1)Ρ(5)L=(N+1)P(5)由圖2和圖3可求得主動鏈輪和從動鏈輪的轉(zhuǎn)角θts、θte、Ψts和Ψte.在圖2～圖3中,R1和R2是主、從動鏈輪的節(jié)圓半徑.從圖4中可得到從動鏈輪的轉(zhuǎn)角Ψt=π-∠AtΟ2Ο1-∠AtΟ2Bt=π-sin[(R1sinθt)/(R21+C-2R1Csinθt)1/2]-arccos[(R21+C-2R1Ccosθt+R22-L2t)/(2R2(R21+C2-2R1Ccosθt))](6)Ψt=π?∠AtO2O1?∠AtO2Bt=π?sin[(R1sinθt)/(R21+C?2R1Csinθt)1/2]?arccos[(R21+C?2R1Ccosθt+R22?L2t)/(2R2(R21+C2?2R1Ccosθt))](6)2e235.25.25.25.25.25.25.25.23.3.5.23.3.5.23.3.5.23.3.5.23.5.23.5.23.3.33.5.23.5.23.5.3.3.3.3.33.3.3.3.3.3.3.33.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3松邊幾何位置可由圖1中的θl、Ψl和圖5圖6中的θls、Ψls、θle及Ψle來確定.對于鏈條松邊,θl從θls到θls+2π/Z1,則θls≤θl≤θls+2πΖ2(7)θls≤θl≤θls+2πZ2(7)Ψl從Ψls到Ψle,然后從Ψle+2π/Z2到Ψls(Ψls≥Ψle)Ψle≤Ψl≤Ψle+2πΖ2(8)Ψle≤Ψl≤Ψle+2πZ2(8)由于圖2、圖5、圖3和圖6分別是相同的幾何圖形,因此θts=θls、Ψte=Ψle,式(9)和式(10)可重新寫為θts≤θl≤θts+2πΖ1(9)Ψte≤Ψl≤Ψte+2πΖ2(10)θts≤θl≤θts+2πZ1(9)Ψte≤Ψl≤Ψte+2πZ2(10)由于弧A1DAt和弧B1EBt所對應的圓心角(如圖1所示)分別是2π/Z1、2π/Z2的整數(shù)倍,因此θt+θl、Ψt+Ψl應為2π/Z1、2π/Z2的整數(shù)倍.假設(shè)θt+θl=Κ12πΖ1(Κ1是一整數(shù))(11)Ψt+Ψl=Κ22πΖ2(Κ2是一整數(shù))(12)θt+θl=K12πZ1(K1是一整數(shù))(11)Ψt+Ψl=K22πZ2(K2是一整數(shù))(12)從式(9)～式(12)可得以下各式(θts+θt)Ζ12π≤Κ1≤(θts+θt)Ζ12π+1(13)(Ψts+Ψt)Ζ12π≤Κ2≤(Ψts+Ψt)Ζ12π+1(14)(θts+θt)Z12π≤K1≤(θts+θt)Z12π+1(13)(Ψts+Ψt)Z12π≤K2≤(Ψts+Ψt)Z12π+1(14)當Ζ12π(θts+θt)Z12π(θts+θt)和Ζ12π(Ψts+Ψt)Z12π(Ψts+Ψt)不是整數(shù)時Κ1=int[(θts+θt)Ζ12π]+1(15)Κ2=int[(Ψts+Ψt)Ζ22π]+1(16)K1=int[(θts+θt)Z12π]+1(15)K2=int[(Ψts+Ψt)Z22π]+1(16)在式(15)～式(16)中,int是取整函數(shù).當[Z1/(2π)](θts+θt)、[Z1/(2π)](Ψte+Ψt)是整數(shù)時,假設(shè)θt=θtx,θl=θlx,Ψt=Ψtx,Ψl=Ψlx,則Κ1=Ζ12π(θts+θtx)或Κ1=Ζ12π(θts+θtx)+1(17)Κ2=Ζ12π(Ψte+Ψtx)或Κ2=Ζ12π(Ψte+Ψtx)+1(18)K1=Z12π(θts+θtx)或K1=Z12π(θts+θtx)+1(17)K2=Z12π(Ψte+Ψtx)或K2=Z12π(Ψte+Ψtx)+1(18)當θt=θtx+Δθ,θl=θlx-Δθ時Κ1=int[Ζ12π(θts+θtx+Δθ)+1]=Ζ12π(θts+θtx)+1(19)K1=int[Z12π(θts+θtx+Δθ)+1]=Z12π(θts+θtx)+1(19)當θt=θtx-Δθ,θl=θlx+Δθ時Κ1=int[Ζ12π(θts+θtx-Δθ)+1]=Ζ12π(θts+θtx)(20)K1=int[Z12π(θts+θtx?Δθ)+1]=Z12π(θts+θtx)(20)當θl=θlx時,松邊鏈條從主動鏈輪嚙出一個鏈節(jié),如圖1所示.將點A1s作為松邊鏈條的端點,可認為是合理的,K1由式(19)確定.當Ψl=Ψlx時,鏈條從鏈傳動松邊鏈條嚙出一個鏈節(jié),可認為Ble為鏈傳動松邊端點(如圖6所示).從圖2、圖5、圖3和圖6中,可知無論(Z1/(2π))(θte+θt)、(Z2/(2π))(Ψte+Ψt)是否為整數(shù),K1、K2均可由式(15)和式(16)來確定.由式(11)、式(12)可得θl=Κ12πΖ1-θt(21)Ψ=Κ22πΖ2-ψt(22)θl=K12πZ1?θt(21)Ψ=K22πZ2?ψt(22)3鏈輪齒數(shù)、節(jié)距和自動鏈輪轉(zhuǎn)角的數(shù)值求解鏈條總長由4部分組成,即由緊邊鏈條(Lt)、松邊鏈條(Ll)、與主動鏈輪嚙合的鏈條、與從動鏈輪嚙合的鏈條組成.由于θl+θt=(2π/Z1)K1及Ψl+Ψt=(2π/Z2)K2與主動鏈輪嚙合鏈條的鏈節(jié)數(shù)為Z1-K1,與從動鏈輪嚙合的鏈條的鏈節(jié)數(shù)為K2,因此鏈條的總長可由下式確定Lc=LL+Lt+(Ζ1-Κ1)Ρ+Κ2Ρ(23)由式(1)～式(21)可知,當鏈輪齒數(shù)、節(jié)距給定時,鏈條總長與鏈傳動中心距及主動鏈輪轉(zhuǎn)角是函數(shù)關(guān)系,Lc可表示為Lc=f(θt,C)當主動鏈輪轉(zhuǎn)角(θt)和Lc給定時,上式可寫為F(c)=f(θt,C)-Lc=0(24)因此,F(c)=0是非線性方程,可由數(shù)值方法來求解.由鏈傳動特性,可得不等式Lc/2＞C+R1+R2(25)C＞R1+R2(26)只有當主動鏈輪和從動鏈輪相互接觸時,才有C=R1+R2(27)由不等式(25)、式(26)得到R1+R2＜C＜Lc/2-R1-R2(28)眾所周知,C的增加,使鏈條總長也增加,因而f(θt,c)是增函數(shù).因此,有下列不等式f(θt,R1+R2)＜f(θt,C)＜f(θt,Lc/2-R1-R2)(29)由式(29)可得f(θt,R1+R2)-f(θt,C)＜0(30)f(θt,Lc/2-R1-R2)-f(θt,C)＞0(31)當f(θt,c)=Lc時,式(30)和式(31)可寫為F(R1+R2)=f(θt,R1+R2)-f(θt,C)＜0(32)F(Lc/2-R1-R2)=f(θt,Lc/2-R1-R2)-f(θt,C)＞0(33)方程F(C)=0的解必在區(qū)間[R1+R2,Lc/2-R1-R2]內(nèi).根據(jù)解非線性方程的二分法,可求出其數(shù)值解.4種方法所獲得的c的計算C有3種計算方法,分別是:①漸開線法;②Winklhofer法;③非線性方程法.由這3種方法計算的鏈傳動中心距結(jié)果如表1所示.由表1結(jié)果可知,非線性方程法獲得的C的計算值幾乎與Winklhofer法獲得的C的計算值相同,也與漸開線法獲得的C的計算值相匹配.5鏈傳動中心距當鏈條與鏈輪嚙合且雙邊繃緊時,