對(duì)稱Shannon-Cosine小波的設(shè)計(jì)及性能分析

對(duì)稱Shannon-Cosine小波的設(shè)計(jì)及性能分析摘要本文提出了一種新的加窗框架，不但克服一般加窗Shannon函數(shù)的缺點(diǎn)，同時(shí)提供一種新穎有效的Shannon-Cosine小波譜方法用于求解分?jǐn)?shù)階偏微分方程。用Shannon小波和三角多項(xiàng)式構(gòu)造的Shannon-Cosine小波，可以充分利用sinc函數(shù)波形的優(yōu)勢(shì)來保持統(tǒng)一的劃分。經(jīng)證明，目標(biāo)小波函數(shù)具有緊支撐性、插值性、對(duì)稱性、正則性等優(yōu)異的數(shù)值特性。同時(shí)，論文運(yùn)用偏微分方程求解的方法利用構(gòu)造出來的小波進(jìn)行圖像降噪處理，得到了良好的效果。

AbstractInthispaper,anewwindowedframeworkisproposed,whichnotonlyovercomestheshortcomingsofthegeneralwindowedShannonfunction,butalsoprovidesanovelandeffectiveShannon-Cosinewaveletspectralmethodforsolvingfractionalpartialdifferentialequations.Shannon-CosinewaveletconstructedbyShannonwaveletandtriangularpolynomialcanmakefulluseoftheadvantagesofsincfunctionwaveformtomaintainaunifieddivision.Ithasbeenprovedthattheobjectivewaveletfunctionhasexcellentnumericalcharacteristicssuchascompactsupport,interpolation,symmetryandregularity.Atthesametime,thepaperusesthemethodofsolvingpartialdifferentialequationtodenoisetheimagebyusingtheconstructedwavelet,andachievesgoodresults.

目錄中文摘要3英文摘要4目錄5選題背景61.1小波的應(yīng)用與圖像的降噪61.2本文的組織結(jié)62.Shannon-Consine小波的構(gòu)建62.1Shannon-Consine小波尺度函數(shù)的定義62.2參數(shù)的選擇72.3Shannon-Cosine函數(shù)的傅里葉變換93.逼近誤差分析和參數(shù)N的選擇114.圖像的變分偏分方程模型及圖像降噪124.1微偏方程的概念124.2圖像去噪134.21圖像噪聲模型及去噪方法144.3蝗蟲切片實(shí)驗(yàn)降噪實(shí)驗(yàn)154.31蝗蟲切片顯微圖像的獲取154.32蝗蟲切片顯微圖像降噪效果對(duì)比165.總結(jié)196.參考文獻(xiàn)19選題背景小波的應(yīng)用與圖像降噪本文的組織結(jié)構(gòu)本文第2章描述了Shannon-Cosine小波是如何構(gòu)建的。第3章給出了小波的誤差公式，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)造了支持域上的參數(shù)N下的優(yōu)化模型。提供了一系列具有不同支撐域和平滑度的Shannon-Cosine小波。第4章構(gòu)建圖像降噪處理的偏微分方程，并利用該小波進(jìn)行求解以達(dá)到圖像降噪的目的。以及蝗蟲切片圖像降噪的實(shí)驗(yàn)。Shannon-Cosine小波的構(gòu)建Shannon-Cosine小波尺度函數(shù)的定義Shannon尺度函數(shù)表現(xiàn)為基于以逼近狄拉克δ函數(shù)作為帶寬限制函數(shù)，該式為Φ(2.1)如上文所提到的，Shannon-Gabor尺度尺度函數(shù)不是一個(gè)緊支撐函數(shù)。實(shí)際上，指數(shù)函數(shù)同（2.1）式所示的Shannon尺度尺度函數(shù)一樣沒有緊支撐性。為了克服Shannon-Gabor尺度函數(shù)的這兩個(gè)缺點(diǎn)，我們用余弦函數(shù)替代指數(shù)函數(shù)來調(diào)制Shannon尺度函數(shù)如下：STR其中，RNx是一個(gè)在?N2χ矩形波方程RNx是使得新的模塊化香農(nóng)尺度函數(shù)變成一個(gè)緊方程，但是破壞了在x=±N/2點(diǎn)的連續(xù)性，不滿足Sc(x)的歸一化。通過選擇參數(shù)ai(i=0,1,2,…,m)和N可以滿足其端點(diǎn)的連續(xù)性和歸一性。參數(shù)N的選擇與參數(shù)的選擇方程式(2.2)中的參數(shù)ai(i=0,1,2,…,m)被用于特性化在邊界點(diǎn)x=±N/2d(2.3) 很明顯Scx的在區(qū)間?N2,N2區(qū)域上是一個(gè)可微函數(shù)，但是在區(qū)域端點(diǎn)不連續(xù)。d(2.4)定義一個(gè)截?cái)喾匠蘏(2.5)替代x=N2(或者x=?N2)和x=0代入(2.4)式和(2.6)其中行(0,1,…,m)和列(0,1,…,m)表示矩陣M的行和列，A=a0,a1,…,a其中，a0可由式i=0mai=1圖1展示了方程Sc(x)和sinc(x)的區(qū)別。與sinc(x)相比，Sc(x)擁有緊支撐特性和歸一化特性。Shannon-Cosine尺度函數(shù)的傅里葉變換為了使Shannon-Cosine尺度函數(shù)滿足歸一化特性，應(yīng)當(dāng)合理選擇參數(shù)N。選擇框架依據(jù)尺度函數(shù)做傅里葉變換。定理2.1（卷積定理）記?為傅里葉變換算子，所以?f1(x)?基于卷積定理，可以推斷出Shannon-Cosine函數(shù)的傅里葉變換。使：t與之相對(duì)應(yīng)的傅里葉形式為:?==依據(jù)傅里葉變換的線性屬性，我們得到:?=sinc(x)的傅里葉形式可以直接得到，如下?通過頻率域卷積定理，函數(shù)Sc(x)的傅里葉形式如下：S======當(dāng)SiS事實(shí)上，Shannon-Cosine尺度函數(shù)有小波函數(shù)的所有特性，并且擁有插值特性和緊支撐域。依據(jù)差值小波的定義，我們可以得到綜合小波如下：ψ逼近誤差分析和參數(shù)N的選擇等式(2.2)定義了綜合插值小波，其緊支撐域?yàn)閇?N2.隨著T→0對(duì)于所有的f∈W21(可進(jìn)行一次微分的L2（4.1）式子說明了，條件?f∈W21,lim?(x)是?(x)的對(duì)偶函數(shù)，也就是顯然?x=?(x)?使?x=S 事實(shí)上，使用區(qū)間二分法，可以簡(jiǎn)單得到N的值使得PN=1,在這一部分，提出了一個(gè)參數(shù)N的選擇方法。事實(shí)上，Shannon-Cosine整體的劃分被這個(gè)框架所確定，所以它完全克服了其他加窗sinc函數(shù)的缺點(diǎn)。圖像的變分偏微分方程模型及圖像降噪偏微分方程的概念偏微分方程（partialdifferentialequation縮寫為PDE）指含有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的方程。描述自變量、未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。目前在研究中廣泛使用的偏微分方程有熱傳導(dǎo)方程、拉普拉斯方程和波動(dòng)方程。（1）熱傳導(dǎo)方程?u其中u=u(x,t)時(shí)擴(kuò)散過程中某種物質(zhì)的濃度，或是固體的傳熱過程中在x處，t時(shí)刻的溫度。系數(shù)ki（2）拉普拉斯方程?當(dāng)物體處于熱穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，他的溫度不隨時(shí)間變化，那么溫度u=u(x,t)（3）波動(dòng)方程?其中u=u(x,t),而F（x圖像去噪蝗蟲切片圖像是研究蝗蟲生理結(jié)構(gòu)的有效工具。和普通生物切片圖像一樣，蝗蟲切片圖像中的紋理結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)為具有多尺度特性的光滑曲線，且邊界輪廓不清晰。另外，由于蝗蟲切片圖像是在圖1蝗蟲切片圖像顯微鏡下拍攝得到的，空氣中的塵埃及由此帶來的光線反射會(huì)形成圖像中的椒鹽和高斯混合噪聲，如圖1所示。因此，采用常見的典型圖像降噪方法很難獲得蝗蟲切片圖像的高質(zhì)量降噪效果。為此，李麗、梅樹立等先后嘗試了非線性偏微分方程降噪方法、剪切波方法、以及二者相結(jié)合的方法。非線性偏微分方程方法是生物圖像處理常用方法，可實(shí)現(xiàn)圖像的保邊降噪，但該方法缺少多尺度特性，因此對(duì)細(xì)小紋理保護(hù)較差。小波變換具有多尺度特性，但缺少方向自適應(yīng)性，導(dǎo)致在輪廓邊界處、特別是椒鹽噪聲點(diǎn)的周圍出現(xiàn)明顯的邊界效應(yīng)。近年來提出的剪切波變換是在已有方向小波（輪廓波、脊波、曲線波等）基礎(chǔ)上的改進(jìn)，通過引入錯(cuò)切變換代替角度參數(shù)，實(shí)現(xiàn)了方向參數(shù)的多尺度特性。相對(duì)于小波變換，剪切波變換用于圖像降噪對(duì)細(xì)小紋理保護(hù)較好，但也容易將噪聲點(diǎn)看作細(xì)小紋理，從而帶來較大的人工偽影。實(shí)際上，小波類（含剪切波）變換降噪方法都是基于卷積運(yùn)算構(gòu)建的，盡管具有多尺度特性，但對(duì)細(xì)小紋理和噪聲之間的區(qū)別并不敏感；變分法則是因?yàn)椴痪哂卸喑叨忍匦远鴮?duì)細(xì)小紋理無法起到保護(hù)作用。相對(duì)于普通小波，具有插值特性的小波對(duì)紋理和噪聲非常敏感，以至于大多數(shù)學(xué)者認(rèn)為，具有插值特性的小波變換只適合用于光滑信號(hào)的逼近，無法應(yīng)用于圖像描述中。斯坦福大學(xué)著名學(xué)者Donoho則指出，將具有插值特性的小波變換和均值、中值濾波器相結(jié)合，不但可用于圖像逼近和降噪，而且相對(duì)于普通小波，具有更廣泛的適用性。鑒于此，本文嘗試將最新提出的Shannon-Cosine小波和單元濾波器相結(jié)合，構(gòu)造適合蝗蟲切片圖像降噪的新方法，為研究蝗蟲的生理機(jī)制奠定基礎(chǔ)。圖像噪聲模型及去噪方法4.3蝗蟲切片圖像降噪實(shí)驗(yàn)4.3.1蝗蟲切片顯微圖像的獲取根據(jù)項(xiàng)目任務(wù)和目標(biāo)的要求，篩選滿足條件的蝗蟲直接作超薄連續(xù)切片，以獲取蝗蟲與微生物農(nóng)藥在組織水平上互作的圖片，為在組織水平上的三維重建提供數(shù)據(jù)。圖5是蝗蟲體腔部分序列顯微切片圖像。顯微鏡下觀察到的原始圖像稍顯模糊。經(jīng)增強(qiáng)及灰度化處理后（圖5（a1-a4）），除了蝗蟲體腔輪廓外，圖像中的噪聲也變得更加清晰了。不同于典型的人工噪聲（如高斯噪聲、椒鹽噪聲等），在顯微鏡上觀察得到的圖像噪聲屬于混合噪聲，成分負(fù)責(zé)且含量不明確。(a1)切片1(a2)切片2

(a3)切片3

(a4)切片4

(b1)切片1-維納濾波(b2)切片2-維納濾波

(b3)切片3-維納濾波

(b4)切片4-維納濾波

(c1)切片1-小波變換(c2)切片2-小波變換

(c3)切片3-小波變換

(c4)切片4-小波變換

(d1)切片1-本文方法(d2)切片2-本文方法

(d3)切片3-本文方法

(d4)切片4-本文方法

17400/8676815624/8676811750/8676830483/112428(e1)切片1-稀疏點(diǎn)/總像素點(diǎn)數(shù)(e2)切片2-稀疏點(diǎn)/總像素點(diǎn)數(shù)(e3)切片3-稀疏點(diǎn)/總像素點(diǎn)數(shù)(e4)切片4-稀疏點(diǎn)/總像素點(diǎn)數(shù)圖5蝗蟲序列切片圖像降噪效果對(duì)比4.3.2蝗蟲切片顯微圖像降噪效果對(duì)比可用于生物圖像降噪的典型方法包括：維納濾波、小波降噪、偏微分方程方法（變分法）、剪切波變換等。均值算子和中值算子也是圖像降噪的常見方法，但適用范圍較窄，不適合多種類型噪聲混雜的情況。變分法通過迭代求解偏微分方程實(shí)現(xiàn)圖像降噪，且容易將細(xì)小紋理當(dāng)作噪聲處理，盡管提高偏微分方程的階數(shù)可以改善降噪效果，但迭代求解效率較低，精度也相應(yīng)下降。因此，本節(jié)重點(diǎn)對(duì)比維納濾波方法和小波降噪方法。維納濾波是一種自適應(yīng)濾波器，具有較廣的適用范圍和較好的降噪效果。在眾多的小波中，Daubechies小波是唯一同時(shí)具有正交性、光滑連續(xù)性、緊支撐性的小波；Symlets小波是在Daubechies小波的基礎(chǔ)改進(jìn)得到的，保留了Daubechies小波的優(yōu)點(diǎn)，且具有近似對(duì)稱的特性，相對(duì)于Daubechies小波，具有更好的圖像處理效果。本節(jié)有關(guān)于對(duì)比的小波變換數(shù)值實(shí)驗(yàn)采用的sym4小波，直接采用Matlab內(nèi)嵌函數(shù)wdencmp進(jìn)行圖像降噪，對(duì)應(yīng)的閾值、逼近系數(shù)等參數(shù)由Matlab內(nèi)嵌函數(shù)ddencmp根據(jù)被處理圖像自適應(yīng)獲取。維納濾波方法則采用Matlab內(nèi)嵌函數(shù)wiener2來實(shí)現(xiàn)。圖5（b1-b4）是序列切片圖像的維納濾波結(jié)果，估算局部圖像噪聲均值和方差的鄰域圖塊的大小為66；圖5（c1-c4）是通過小波變換實(shí)現(xiàn)圖像降噪的結(jié)果。本文方法則采用Shannon-Cosine小波（N=23.123447719961405）構(gòu)造多尺度插值算子，采用中值算子做為單元濾波器，對(duì)序列切片圖像進(jìn)行降噪效果如圖5(d1-d4)所示，對(duì)應(yīng)的稀疏點(diǎn)陣圖如圖5（e1-e5）所示。由稀疏點(diǎn)陣圖可見，在圖像紋理豐富區(qū)域，特征點(diǎn)自動(dòng)加密，特征點(diǎn)在平滑區(qū)域則自動(dòng)減少。這樣，利用稀疏點(diǎn)陣重構(gòu)圖像時(shí)，可有效消除噪聲，同時(shí)保持較為清晰的紋理。單純從視覺效果來看，無論是噪聲含量較少的切片1圖像，還是噪聲含量較高的切片4圖像，本文方法均優(yōu)于小波變換方法和維納濾波方法，維納濾波又優(yōu)于symlets小波降噪。(a)原始圖像(b)含混和噪聲圖像(c)小波降噪(d)維納濾波(e)本文方法(f)稀疏點(diǎn)/總像素點(diǎn)數(shù)(16357/198338)圖6含人工混合噪聲圖像的降噪效果對(duì)比(2)噪聲種類對(duì)降噪效果的影響為便于量化對(duì)比，利用變分法對(duì)噪聲含量較少的圖5（a1）進(jìn)行“過”降噪，只保留較大的圖像輪廓，將噪聲全部去除，如圖6(a)所示。對(duì)不含噪聲的圖像增加人工混合噪聲（強(qiáng)度為0.05的椒鹽噪聲和均值與方差分別為0/0.02的高斯噪聲），結(jié)果如圖6(b)所示。視覺效果和圖5(a1)所示真實(shí)圖像非常接近。從降噪視覺效果可以直接看出，小波變換（圖6c）和維納濾波(圖6d)對(duì)椒鹽噪聲的降噪效果不好，本文方法無論地高斯噪聲還是椒鹽噪聲均具有較好的適應(yīng)能力(圖6e和圖6f)。表1給出了采用不同方法得到的降噪圖像的峰值信噪比（PeakSignal-To-NoiseRatio，PSNR）和結(jié)構(gòu)相似度(StructuralSimilarityIndex,SSIM)度量參數(shù)。這兩個(gè)參數(shù)是評(píng)價(jià)圖像降噪方法優(yōu)劣的常用指標(biāo)，此處直接采用Matlab中的內(nèi)嵌函數(shù)psnr和ssim計(jì)算得到。表4噪聲種類對(duì)降噪效果的影響椒鹽噪聲(噪聲強(qiáng)度d=0.05)和高斯噪聲(均值m=0,方差v=0.02)的混合噪聲椒鹽噪聲(噪聲強(qiáng)度d=0.05)高斯噪聲(均值m=0,方差v=0.02)PSNRSSIMPSNRSSIMPSNRSSIM均值濾波22.86831188562100.768244429203927.68820513702500.799355125208725.54503620542940.87868553181969中值濾波28.80234864679650.819396765238732.77114627911100.959326021344629.27177404736530.83847975997081小波方法22.36157053460220.626858704219516.68834760792900.322102064282625.49500033959440.80506677891017維納濾波21.58090359596910.627890700470123.31984503253330.657731439138625.04039409864080.83414398646212本文方法29.67493642904150.912025259000031.69691438275060.949693247873829.83901076369700.91859162335531眾所周知，中值濾波對(duì)椒鹽噪聲具有非常強(qiáng)的敏感性，表4所示數(shù)值結(jié)果也反映了該點(diǎn)。而對(duì)混合噪聲和高斯噪聲來說，本文方法的降噪效果是最好的，明顯優(yōu)于其它方法。(3)噪聲含量對(duì)降噪效果的影響對(duì)于椒鹽噪聲來說，無論強(qiáng)度多大，中值濾波都具有非常明顯的優(yōu)勢(shì)。此處重點(diǎn)討論高斯噪聲含量對(duì)降噪效果的影響。通常，隨著高斯噪聲基本偏差的增大，噪聲含量也相應(yīng)增加。表5給出了在噪聲含量增加時(shí)，不同濾波方法去噪效果的變化情況。表5高斯噪聲方差值對(duì)降噪效果的影響（均值m=0）方差均值濾波中值濾波小波方法維納濾波本文方法0.1PSNR19.13853457270724.34357704188618.75902807383218.28616427737026.275392544275SSIM0.6804367315580.6078802776740.5337620251870.5620281653270.7961593092840.08PSNR20.06814946894925.22159176770319.71015406052019.11534011079827.172239445105SSIM0.7185308536700.6505040611130.5790032232420.6006250257910.8263135752070.06PSNR21.32806866586226.18376713383621.00832390311720.35362406508027.915179982848SSIM0.7627101105290.6970064937000.6354536883410.6555258155990.8536050957180.04PSNR22.87504736667427.42751915321222.58952564017421.95532102138628.829395993052SSIM0.8145197889330.7574409711590.7030366695920.7253152795590.888135024949不難看出，無論哪種方法，峰值信噪比（PSNR）和結(jié)構(gòu)相似度（SSIM）兩個(gè)參數(shù)都隨著噪聲含量的增加而衰減，但本文方法始終具有最好的降噪效果。圖7直觀表示了常用降噪方法隨噪聲含量降噪效果指標(biāo)（PSNR&SSIM）下降的趨勢(shì)。隨著高斯噪聲方差由0.02增加到0.1，采用本文方法得到的降噪圖像的PSNR值下降了11.94%；而維納濾波、小波方法、中值濾波和均值濾波方法得