2023-2024學(xué)年度四川省成都市高三下期第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題（含解析）

2023-2024學(xué)年度四川省成都市高三下期第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題注意事項(xiàng)： 1.答題前，考生務(wù)必在答題卡上將自己的姓名、座位號(hào)和考籍號(hào)用0.5毫米黑色簽字筆填寫清楚，考生考試條形碼由監(jiān)考老師粘貼在答題卡上的“貼條形碼區(qū)”。2.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡上對(duì)應(yīng)題目標(biāo)號(hào)的位置上，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后再填涂其它答案；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡的對(duì)應(yīng)區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域答題的答案無效；在草稿紙上、試卷上答題無效。3.考試結(jié)束后由監(jiān)考老師將答題卡收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若集合，，則A． B． C． D．2．A． B． C． D．3．校園環(huán)境對(duì)學(xué)生的成長是重要的，好的校園環(huán)境離不開學(xué)校的后勤部門．學(xué)校為了評(píng)估后勤部門的工作，采用隨機(jī)抽樣的方法調(diào)查100名學(xué)生對(duì)校園環(huán)境的認(rèn)可程度（100分制），評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)如下：中位數(shù)評(píng)價(jià)優(yōu)秀良好合格不合格2023年的一次調(diào)查所得的分?jǐn)?shù)頻率分布直方圖如圖所示，則這次調(diào)查對(duì)后勤部門的評(píng)價(jià)是A．優(yōu)秀 B．良好 C．合格 D．不合格4．雙曲線的離心率為，其漸近線方程為A． B． C． D．5．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知，則A． B． C． D．6．一個(gè)四棱臺(tái)的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖均為上底長為4，下底長為2，腰長為的等腰梯形，則該四棱臺(tái)的體積為A． B．C． D．7．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則的最小值是A． B． C．1 D．28．分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對(duì)象的幾何學(xué)．作為當(dāng)今世界十分風(fēng)靡和活躍的新理論、新學(xué)科，它的出現(xiàn)使人們重新審視這個(gè)世界：世界是非線性的，分形無處不在．分形幾何學(xué)不僅讓人們感悟到科學(xué)與藝術(shù)的融合，數(shù)學(xué)與藝術(shù)審美的統(tǒng)一，而且還具有深刻的科學(xué)方法論意義，由此可見分形的重要性．美國物理學(xué)大師JohnWheeler曾說過：今后誰不熟悉分形，誰就不能被稱為科學(xué)上的文化人．koch雪花曲線是一種典型的分形曲線，它的制作步驟如下：第一步：任意畫一個(gè)正三角形，記為，并把的每一條邊三等分；第二步：以三等分后的每一條邊中間一段為邊向外作正三角形，并把這“中間一段”擦掉，記所得圖形為；第三步：把的每一條邊三等分，重復(fù)第二步的制作，記所得圖形為；同樣的制作步驟重復(fù)下去，可以得到，，，直到無窮，所畫出的曲線叫做koch雪花曲線．若下圖中的邊長為1，則圖形的周長為 A．6 B． C． D．9．將3個(gè)1和3個(gè)0隨機(jī)排成一行，則3個(gè)0都不相鄰的概率是A． B． C． D．10．已知直線，是函數(shù)圖象的任意兩條對(duì)稱軸，且的最小值為，則的單調(diào)遞增區(qū)間是A． B．C． D．11．如圖，在梯形中，，，，將沿邊折起，使得點(diǎn)D翻折到點(diǎn)P，若三棱錐的外接球表面積為，則A．8 B．4C． D．212．設(shè)函數(shù)，其中，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)（）．則A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的模長為______．14．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為______．15．如圖，在中，，．延長到點(diǎn)，使得，，則的面積為______．16．若是拋物線上不同的兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，則的最大值為______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．（1）求；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．18．（12分）隨著蓉城生態(tài)公園綠道全環(huán)貫通，環(huán)城綠道騎行成為最熱門的戶外休閑方式之一．環(huán)城綠道全程約100公里，不僅可以繞蓉城一圈，更能360度無死角欣賞蓉城這座城市的發(fā)展與魅力．某位同學(xué)近半年來騎行了5次，各次騎行期間的身體綜合指標(biāo)評(píng)分與對(duì)應(yīng)用時(shí)（單位：小時(shí)）如下表：身體綜合指標(biāo)評(píng)分（）12345用時(shí)（/小時(shí)）9.58.67.876.1（1）由上表數(shù)據(jù)看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明；（2）建立關(guān)于的回歸方程．參考數(shù)據(jù)和參考公式：相關(guān)系數(shù)，，，．19．（12分）如圖，正三棱柱的體積為，，P是面內(nèi)不同于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，且．（1）求證：；（2）經(jīng)過且與垂直的平面交于點(diǎn)E，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求二面角平面角的余弦值．20．（12分）已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，過作直線，交于兩點(diǎn)，交于兩點(diǎn)．已知直線交于點(diǎn)，直線交于點(diǎn)．試探究是否為定值，若為定值，求出定值；若不為定值，說明理由．21．（12分）已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)任意的，都有．（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）證明：對(duì)任意的，都有．（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線及曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，求的最小值．23．[選修4－5：不等式選講]（10分）已知，，，且，證明：（1）；（2）若，則．答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。123456789101112DCBBDAADCBCB二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13． 14． 15． 16．三、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）解：（1）設(shè)的公差為，由得，，解得， ………………1分而，即， …………3分于是，， …………5分； …………6分（2）由得， …………8分?jǐn)?shù)列是以2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列， …………9分． …………12分18．（12分）解：（1）， …………2分，， …………4分， …………6分相關(guān)系數(shù)近似為，說明與的相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系；…………7分（2）由（1）中數(shù)據(jù)，， …………9分， …………11分關(guān)于的回歸方程為． …………12分19．（12分）解：（1）設(shè)線段BC的中點(diǎn)為F，則，，，為公共邊，，， …………2分，又，BC⊥面APF，BC⊥AP； ……5分（2）設(shè)線段的中點(diǎn)為D，由題意，點(diǎn)P在線段上，由，得， …………7分三棱錐的體積最大，等價(jià)于點(diǎn)E到面ABC的距離最大，AP⊥面BCE，AP⊥EF，點(diǎn)E在以AF為直徑的圓上，如圖，易知，從而， …………9分由（1）知，，為二面角的平面角， ……………10分如圖，以F為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，， 于是，，從而， ………………11分二面角平面角的余弦值為． …………12分20．（12分）解：（1）由題意，，解得， …………2分代入點(diǎn)得，解得，橢圓E的方程為：； …………4分（2）由題意，，當(dāng)斜率都不為0時(shí)，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，由對(duì)稱性得， …………5分當(dāng)時(shí)，聯(lián)立方程，得恒成立，，，同理可得：，，…………6分直線方程：，令，得，同理：， …………8分，， …………10分當(dāng)斜率之一為0時(shí)，不妨設(shè)斜率為0，則，直線方程：，直線方程：，令，得，，，，綜上：． …………12分21．（12分）解：（1）當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)椋?…………1分， …………2分當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為； …………4分（2）（i），①當(dāng)時(shí)，，（不合題意）； ………………5分②當(dāng)時(shí)，，（不合題意）； …………6分③當(dāng)時(shí)，，當(dāng)；當(dāng)，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，的最小值為，于是，，解得或，，， 綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為 …………9分（ii）由（i）可知當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等， …………10分令，則，即，令，則，有． …………12分22．（10分）解：（1）由變形得， …………2分則有，曲線的直角坐標(biāo)方程為， …………3分，即，由代入得，，曲線的直角坐標(biāo)方程為； …………5分（2）由（1）得曲線是以為圓心，的圓，， …………6分設(shè)，，則， …………8分設(shè)，，當(dāng)時(shí)，， …………9分． …………10分23．（10分）解：（1）由，得， …………1分由柯西不等式有， …………3分，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，當(dāng)且僅當(dāng)，，時(shí)等號(hào)成立； …………5分（2）由可得， …………8分當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，由（1）可得，當(dāng)且僅當(dāng)，，時(shí)等號(hào)成立，從而，當(dāng)且僅當(dāng)，，時(shí)等號(hào)成立． ………10分解析：1．解：，，，故選D．2．解：原式，故選C．3．解：中位數(shù)，評(píng)價(jià)是良好，故選B．4．解：由，漸近線方程為，故選B．5．解：利用計(jì)算即得，故選D．6．解：由三視圖可知該四棱臺(tái)為正四棱臺(tái)，且腰長為，則該棱臺(tái)的高為，棱臺(tái)的體積，故選：A．7．解：當(dāng)時(shí)，，是上的奇函數(shù)，的值域?yàn)?，的最小值是，故選A．8．解：圖形的邊數(shù)為，邊長為，周長為，時(shí)，周長為，故選D．9．解：采用插空法得，故選C．10．解：，又直線，是函數(shù)圖象的任意兩條對(duì)稱軸，且的最小值為，，即，令，解得，的單調(diào)遞增區(qū)間是，故選B．11．解：如圖，設(shè)M為AC的中點(diǎn)，為AB的中點(diǎn)，為的外心，為三棱錐的外接球球心，則，．由題意得，為的外心，設(shè)外接球半徑為R，則，即，而，，在中，易得，即，由得，四邊形為平行四邊形，而，即，四邊形為矩形，即，，，，故選C．12．解：令，則，且，，當(dāng)時(shí)，，存在一個(gè)較小的數(shù)使得都有，當(dāng)時(shí)，，存在一個(gè)較小的數(shù)使得都有，A