高中數(shù)學(xué)定積分

實(shí)用文檔（一）.關(guān)于原函數(shù)與不定積分概念的幾點(diǎn)說(shuō)明

1.

原函數(shù)與不定積分是兩個(gè)不同的概念，它們之間有著密切的聯(lián)系。對(duì)于定義在某個(gè)區(qū)間上的函數(shù)f（x），若存在函數(shù)F（x），使得該區(qū)間上的每一點(diǎn)x處都有F/（x）=f（x），則稱(chēng)F（x）是f（x）在該區(qū)間上的原函數(shù)。而表達(dá)式F（x）+C（C為任意常數(shù)）稱(chēng)為f（x）的不定積分。2.f（x）的原來(lái)函數(shù)若存在，則原函數(shù)有無(wú)限多，但任意兩個(gè)原函數(shù)之間相差某個(gè)常數(shù)。因此求f（x）的不定積分∫f（x）dx時(shí)，只需求出f（x）的一個(gè)原函數(shù)F（x），再加上一個(gè)任意常數(shù)C即可，即∫f（x）dx

=F（x）+C。3.

原函數(shù)F（x）與不定積分∫f（x）dx是個(gè)體與全體的關(guān)系，F(xiàn)（x）只是f（x）的某個(gè)原函數(shù)，而∫f（x）dx是f（x）的全部原函數(shù)，因此一個(gè)原函數(shù)只是加上任意常數(shù)C后，即F（x）+C才能成為f（x）的不定積分。例如x2

+1，x2-3，x2+12都是2x的原函數(shù)，但都不是2x的不定積分，只有x2

+C才是2x的不定積分（其中C是任意常數(shù)）。4.f（x）的不定積分∫f（x）dx中隱含著積分常C，因此計(jì)算過(guò)程中當(dāng)不定積分號(hào)消失后一定要加上一個(gè)任意的常數(shù)C。5.

原函數(shù)存在的條件：如果函數(shù)f（x）在某區(qū)間上連續(xù)，則在此區(qū)間上f（x）的原函數(shù)一定存在。由于初等函數(shù)在其定義域區(qū)間上都是連續(xù)的，所以初等函數(shù)在其定義區(qū)間上都有原函數(shù)，值得注意的是，有些初等函數(shù)的原函數(shù)很難求出來(lái)，甚至不能表為初等函數(shù)，例如下列不定積分

∫

dx

∫

都不能“積”出來(lái)，但它們的原函數(shù)還是存在的。

（二）換元積分法的幾點(diǎn)說(shuō)明

換元積分法是把原來(lái)的被積表達(dá)式做適當(dāng)?shù)膿Q元，使之化為適合基本積分公式表中的某一形式，再求不定積分的方法。1.

第一換元積分法（湊微分法）：根據(jù)一階微分形式的不變性，若

dF（u）=f（u）du

則

dF（u（x））=f（u）du利用不定積分與微分的互逆關(guān)系，可以把它轉(zhuǎn)化為不定積分的換元公式：∫f[u（x）]du（x）=

∫f（u）du

（令u=u（x））

=F（u）+C

（求積分）

=F（u（x））+C

（令

u=u（x））

在具體問(wèn)題中，湊微分要根據(jù)被積函數(shù)的形式特點(diǎn)靈活運(yùn)用。

2.

第二換元積分法：令x=φ（x），常用于被積函數(shù)含

或

等形式。3.

同一個(gè)不定積分，往往可用多種換元方法求解，這時(shí)所得結(jié)果在形式可能不一致，但實(shí)質(zhì)上僅相差一常數(shù)，這可通過(guò)對(duì)積分結(jié)果進(jìn)行導(dǎo)運(yùn)算來(lái)驗(yàn)證。

（三）關(guān)于積分形式不變性如果∫f（x）dx=F（x）+C，那么有∫f（u）du=F（u）+C，其中u=Φ（x）是x的可微函數(shù)。這個(gè)道理說(shuō)明：（1）.積分變量x無(wú)論是自變量，還是中間變量，積分公式的形式不變，這一特性叫做積分形式不變性。

（2）.根據(jù)這個(gè)定理，基本積分公式中的x既可以看作是自變量，也可以看作是函數(shù)（可微函數(shù)），因此基本積分公式中的公式應(yīng)用范圍就擴(kuò)大了。

（四）分部積分法設(shè)u=u（x），v=v（x）是可微函數(shù)，且u/（x）v（x）或u（x）v/（x）有原函數(shù)，則有分部積分公式：∫u（x）v/（x）dx=u（x）v（x）-∫v（x）u/（x）dx或

∫udu

=

uv

-

∫vdu當(dāng)被積分函數(shù)是兩個(gè)函數(shù)的乘機(jī)形式時(shí)，如果用以前的方法都不易計(jì)算，則可考慮用分部積分法求解。顯然，用分部積分法計(jì)算不定積分時(shí)，關(guān)鍵是如何恰當(dāng)?shù)倪x擇誰(shuí)做u，誰(shuí)做v/。如果選擇不當(dāng)，就有可能求不出積分的結(jié)果或者計(jì)算很困難，一般說(shuō)來(lái)選擇u和v/的原則是：1.

根據(jù)v/容易求出v；

2.

∫vu/dx要比∫uv/dx容易計(jì)算。

（五）關(guān)于定積分的定義

由定積分的定義可以看出，定積分是一個(gè)數(shù)值，這個(gè)數(shù)值與被積函數(shù)f（x）及積分區(qū)間[a，b]有關(guān)，與區(qū)間[a，b]的分法和點(diǎn)的取法無(wú)關(guān)，而且與積分變量用什么字母也無(wú)關(guān)，所以有

f（x）dx=

f（t）dt

=

f（u）du函數(shù)f（x）在[a，b]上可積的條件與f（x）在[a，b]上連續(xù)或可導(dǎo)的條件相比是最弱的條件，即f（x）在[a，b]上有以下關(guān)系：

可導(dǎo)

連續(xù)

可積反之都不一定成立。

（六）有關(guān)定積分的性質(zhì)

在定積分的性質(zhì)中，除了類(lèi)似于不定積分的線性性質(zhì)以外，還要記住下列基本公式：

f（x）dx

=-

f（x）dx

f（x）dx=0

1dx=b-a

定積分關(guān)于積分的區(qū)間的

可加性是一個(gè)很重要并且在計(jì)算定積分時(shí)常用的性質(zhì)，即，

f（x）dx

+

f（x）dx

=

f（x）dx

（七）關(guān)于牛頓-

萊布尼茨公式

牛頓-萊布尼茨公式不僅在定積分這部分內(nèi)容中，而且在整個(gè)微積分學(xué)中都是一個(gè)重要的結(jié)論，主要表現(xiàn)在以下方面：1.

當(dāng)被積函數(shù)連續(xù)時(shí)定積分的計(jì)算可通過(guò)求原函數(shù)來(lái)進(jìn)行：若F（x）是f（x）的一個(gè)原函數(shù)，則

f（x）dx

=F（b）-F（