2022-2023學(xué)年山東省山東師大附中高三年級數(shù)學(xué)試題二模試題

2022-2023學(xué)年山東省山東師大附中高三年級數(shù)學(xué)試題二模試題

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3,請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知非零向量4，b滿足|。!=切，則“|a+2”=|2a-同”是“八0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解：

2.已知全集為R,集合A={xy=（x-l）2',5={x|無2-2x<0},貝!J（\A）B=（）

A.(0,2)B.(1,2]C.[0,1]D.(0,1]

3.將3個黑球3個白球和1個紅球排成一排，各小球除了顏色以外其他屬性均相同，則相同顏色的小球不相鄰的排法

共有（）

A.14種B.15種16種D.18種

5.已知拋物線y2=4x的焦點為產(chǎn)，準(zhǔn)線與x軸的交點為K,點P為拋物線上任意一點4PF的平分線與x軸交于

（m,0）,則，"的最大值為（）

A.3-2逝B.2A/3-3C.2-73D.2-0

6.已知雙曲線C：I-《=lm>0力>0）的一條漸近線的傾斜角為e,且cos9=好，則該雙曲線的離心率為（）

a'b-5

A.J5B.或C.2D.4

2

7.已知復(fù)數(shù)二滿足（l+i）z=2i,則忖=（）

1

A.J2B.1C.—D.一

22

8.已知不同直線/、與不同平面。、夕，且/u。，mu/3,則下列說法中正確的是（）

A.若則％nB.若a貝！

C.若I上0,則a，/D.若a工0,則〃z_La

a.a>b11

9.定義=,,,已知函數(shù)=—―,g（x）=-——=，則函數(shù)/（幻=/。）③g。）的最小值

b,a<b2-sin**x2-cosx

為（）

24

A.-B.1C.-D.2

33

10.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)/士了對應(yīng)的點位于（）

（1一，）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

11.下列不等式成立的是（）

A?吟吟B.鍵>針C.1哈唱D.圖

12.下圖所示函數(shù)圖象經(jīng)過何種變換可以得到y(tǒng)=sin2x的圖象（）

A.向左平移。個單位B.向右平移？個單位

C.向左平移?個單位D.向右平移J個單位

66

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

2

13.已知點尸為雙曲線E：/―方=13>0）的右焦點，M,N兩點在雙曲線上，且M,N關(guān)于原點對稱，若

JIJI

MFLNF,設(shè)AMNF=e,且,則該雙曲線E的焦距的取值范圍是________.

12o

r22

14.己知雙曲線。：0一V==—1（。〉0/>0）的左、右焦點分別為丹，鳥，直線/是雙曲線。過第一、三象限的漸近

Q-b~

（y

f

線，記直線/的傾斜角為a,直線l':y=tan5，，F(xiàn)2Mll9垂足為M,若加在雙曲線C上，則雙曲線。的離

心率為_______

%+y..3

15.設(shè)變量工，y，z滿足約束條件卜一yN-l,則目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y的最小值是.

2x-y<3

16.如圖，在AABC中，A8=4,。是A8的中點，E在邊AC上，AE=2EC,CD與BE交于息O,若OB=血OC,

則4A8C面積的最大值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）為了打好脫貧攻堅戰(zhàn)，某貧困縣農(nóng)科院針對玉米種植情況進(jìn)行調(diào)研，力爭有效地改良玉米品種，為農(nóng)民

提供技術(shù)支援，現(xiàn)對已選出的一組玉米的莖高進(jìn)行統(tǒng)計，獲得莖葉圖如圖（單位：厘米），設(shè)莖高大于或等于180厘米

的玉米為高莖玉米，否則為矮莖玉米.

抗倒?fàn)钜椎範(fàn)?/p>

773M

9733115

7

58

12667

00345899

66320223

（1）求出易倒伏玉米莖高的中位數(shù)加；

(2)根據(jù)莖葉圖的數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表:

抗倒伏易倒伏

矮莖

高莖

(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，是否可以在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認(rèn)為抗倒伏與玉米矮莖有關(guān)?

附：心—出3―

(a+o)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2..K)0.0500.0100.001

K3.8416.63510.828

18.(12分)已知函數(shù)=+-

(1)當(dāng)x>l時，不等式/(x)<0恒成立，求尤的最小值；

⑵設(shè)數(shù)列凡=’("wN’),其前〃項和為S“，證明：s,“-S,+3>ln2.

22A

19.(12分)橢圓W：=+3=1(。>人>0)的左、右焦點分別是匕，K,離心率為叱，左、右頂點分別為A,

ah~2

B.過￡且垂直于x軸的直線被橢圓W截得的線段長為1.

(1)求橢圓W的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)經(jīng)過點P(l,o)的直線與橢圓W相交于不同的兩點C、D(不與點A、8重合)，直線CB與直線x=4相交于

點M，求證：A、。、M三點共線.

20.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)=|x+l|+|x-24+l.

(1)當(dāng)a=l時，解不等式〃x)<6；

(2)設(shè)a<—g,且當(dāng)2。<*<一1時，不等式/(x)W2x+6有解，求實數(shù)。的取值范圍.

21.(12分)已知a>0,b>0,函數(shù)/(x)=|x+a|+|2x—目的最小值為1.

(1)證明：2。+6=2.

(2)若。+乃2幻。恒成立，求實數(shù)，的最大值.

22.(10分)已知拋物線C：V=4x的焦點為產(chǎn)，準(zhǔn)線/與x軸交于點M,點P在拋物線上，直線Pb與拋物線C交

于另一點A.

(1)設(shè)直線MP,的斜率分別為匕，k2,求證：匕+&常數(shù);

(2)①設(shè)APMA的內(nèi)切圓圓心為G(a,份的半徑為r,試用r表示點G的橫坐標(biāo)。；

②當(dāng)APMA的內(nèi)切圓的面積為一萬時，求直線Q4的方程.

2

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、C

【解析】

根據(jù)向量的數(shù)量積運算，由向量的關(guān)系|a+2勿=|2a-)|oa?=可得選項.

【詳解】

|a+2b|=|2a一b|<c^>+20=12a—d+4a,b+4Z?"=4ci~-4ci?h+h~>

Ia|=|〃快0,???等價于a-b=O<^>aJ_b>

故選：C.

【點睛】

本題考查向量的數(shù)量積運算和命題的充分、必要條件，屬于基礎(chǔ)題.

2、D

【解析】

對于集合A，求得函數(shù)v=(x-lp的定義域,再求得補(bǔ)集；對于集合B，解得一元二次不等式,

再由交集的定義求解即可.

l},.-.dRA={x|x<l},

5={X|X2_2X<0}={X|X(X-2)<0}={X|0<X<2},；.(AA)「B=(O,1],

故選:D

【點睛】

本題考查集合的補(bǔ)集、交集運算，考查具體函數(shù)的定義域，考查解一元二次不等式.

3、D

【解析】

采取分類計數(shù)和分步計數(shù)相結(jié)合的方法，分兩種情況具體討論，一種是黑白依次相間，一種是開始僅有兩個相同顏色

的排在一起

【詳解】

首先將黑球和白球排列好，再插入紅球.

情況1：黑球和白球按照黑白相間排列(“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”)，此時將紅球插入6個球組成的7個空中

即可，因此共有2x7=14種；

情況2：黑球或白球中僅有兩個相同顏色的排在一起(“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白，，“白黑白黑

黑白”)，此時紅球只能插入兩個相同顏色的球之中，共4種.

綜上所述，共有14+4=18種.

故選：D

【點睛】

本題考查排列組合公式的具體應(yīng)用，插空法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題

4、B

【解析】

根據(jù)x<0,/(x)>0,可排除A。，然后采用導(dǎo)數(shù)，判斷原函數(shù)的單調(diào)性，可得結(jié)果.

【詳解】

由題可知：a<0,

所以當(dāng)x<()時，/(x)>(),

又f\x)=ex+a,

令則x>ln(-a)

令.r(x)<0,則x<ln(-a)

所以函數(shù)/(x)在(F/n(-a))單調(diào)遞減

在(in(-a),+8)單調(diào)遞增，

故選：B

【點睛】

本題考查函數(shù)的圖像，可從以下指標(biāo)進(jìn)行觀察：(D定義域；(2)奇偶性；(3)特殊值；(4)單調(diào)性；(5)值域，屬

基礎(chǔ)題.

5、A

【解析】

x+11-tn

求出拋物線的焦點坐標(biāo)，利用拋物線的定義，轉(zhuǎn)化求出比值，/,、，,=『,

7u+i)+4%i+機(jī)

求出等式左邊式子的范圍，將等式右邊代入，從而求解.

【詳解】

解：由題意可得，焦點尸(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-l,

過點尸作尸M垂直于準(zhǔn)線，"為垂足，

由拋物線的定義可得I尸川=|PM|=x+1,

記NKPF的平分線與x軸交于”(m,0),(-l<m<l)

|PF\|PM|\FH\

根據(jù)角平分線定理可得兩=兩=兩'

?____x__+_l_____1__-m__

\/(X+1)2+4X1+心

當(dāng)x=0時，m=0,

x+iirv2

廠、=--------7----￡-T-

當(dāng)xw()時，，(%+lf+4x1+_z_L2

1x+—+2

—<------<1=>0<機(jī)<3—2yl29

21+/77

綜上：0<m<3-2V2.

故選：A.

【點睛】

本題主要考查拋物線的定義、性質(zhì)的簡單應(yīng)用，直線的斜率公式、利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵.考查學(xué)

生的計算能力，屬于中檔題.

6、A

【解析】

由傾斜角的余弦值，求出正切值，即。力的關(guān)系，求出雙曲線的離心率.

【詳解】

解：設(shè)雙曲線的半個焦距為c,由題意8w[0,4)

又cose=旦,貝！Isin6=述，tan8=2,-=2,所以離心率e=￡=J1=舊,

55aa\\aJ

故選：A.

【點睛】

本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題

1、A

【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則，可得z,然后利用復(fù)數(shù)模的概念，可得結(jié)果.

【詳解】

2i2/(12i-2i2

由題可知:T+7-(l+/)(1-/)

由『=—1,所以z=l+i

所以忖=Jr+r=V2

故選：A

【點睛】

本題主要考查復(fù)數(shù)的運算，考驗計算，屬基礎(chǔ)題.

8、C

【解析】

根據(jù)空間中平行關(guān)系、垂直關(guān)系的相關(guān)判定和性質(zhì)可依次判斷各個選項得到結(jié)果.

【詳解】

對于A,若。〃力，則/,機(jī)可能為平行或異面直線，A錯誤；

對于8,若?尸，則/，“可能為平行、相交或異面直線，8錯誤；

對于C,若1且/ua,由面面垂直的判定定理可知。J?尸，C正確；

對于。，若a_L4，只有當(dāng)，“垂直于必小的交線時才有a,。錯誤.

故選：C.

【點睛】

本題考查空間中線面關(guān)系、面面關(guān)系相關(guān)命題的辨析，關(guān)鍵是熟練掌握空間中的平行關(guān)系與垂直關(guān)系的相關(guān)命題.

9、A

【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的定義得F(x)>f(x),F(x)>g(x),則2F(x)>/(x)+g(x)，再根據(jù)基本不等式構(gòu)造出相應(yīng)的所需的

形式，可求得函數(shù)的最小值.

【詳解】

依題意得尸(x)If(幻，F(xiàn)(x)>g(x),則2/(無)》/(尤)+8(尤)，

f(x)+g(x)=--+-~!(-~+--^^)[(2-sin2x)+(2-cos2x)]

2-sin*x2-cosx32-sinx2—cos~x

1°2-cos2A-2-sin2尤、、I,。./2-cos2x2-sin2A：.4,遮口Z必2-COS?X2-sin2x

=一(2+--------+---------)>-(2+2J--------7-------------)=-(當(dāng)且僅當(dāng)=------—，H即n

32-sin-x2—cos2x3V2-sin-x2—cos-x32-sinx2-cosx

5皿2%=(：052%=3時“=”成立.此時,/(幻=80)='|,:.2F(x)>^,：.F(x)的最小值為g,

故選：A.

【點睛】

本題考查求分段函數(shù)的最值，關(guān)鍵在于根據(jù)分段函數(shù)的定義得出2E(x)2/(x)+g(x),再由基本不等式求得最值，屬

于中檔題.

10、B

【解析】

化簡復(fù)數(shù)為a+勿的形式，然后判斷復(fù)數(shù)的對應(yīng)點所在象限，即可求得答案.

【詳解】

1+Zl+z_（l+i）i

（1-z）2--2z-z

-1+z11.

=---=--1—I

222

對應(yīng)的點的坐標(biāo)為［一《1）在第二象限

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

11,D

【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)的單調(diào)性和正余弦函數(shù)的圖象可確定各個選項的正誤.

【詳解】

,__17T.11

對于A,0<?—<一,sin—<cos—,A錯誤；

2422

對于3,y=［g）在R上單調(diào)遞減，3錯誤；

對于C,log,|=log23>l,log,|=log32<l,.-.log,|>log,I，C錯誤；

2

對于0,>=］在/?上單調(diào)遞增，；.（3）>（：）,°正確.

故選：D.

【點睛】

本題考查根據(jù)初等函數(shù)的單調(diào)性比較大小的問題；關(guān)鍵是熟練掌握正余弦函數(shù)圖象、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和募函數(shù)的

單調(diào)性.

12、D

【解析】

根據(jù)函數(shù)圖像得到函數(shù)的一個解析式為/(x)=sinl2x+yj,再根據(jù)平移法則得到答案.

【詳解】

設(shè)函數(shù)解析式為/(x)=Asin(0x+0)+。，

T7T7TJT

根據(jù)圖像：A=l,b=O,-=故T=i,即。=2,

43124

/(■^■)=5由仁+9)=1,0=1+2%萬次eZ,取2=0,得到/(x)=sin(2x+?),

函數(shù)向右平移J個單位得到丁=sin2x.

6

故選：D.

【點睛】

本題考查了根據(jù)函數(shù)圖像求函數(shù)解析式，三角函數(shù)平移，意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、[2夜,26+2]

【解析】

設(shè)雙曲線的左焦點為尸，連接MF',Nr，由于所以四邊形尸‘NRW為矩形，故|"N|=|F/[=2C,由雙

曲線定義IN『|-1八"|=|N/|-1FM|=2a可得,=及cos(6+[，再求=J^cos(6+?)的值域即可.

【詳解】

如圖，

設(shè)雙曲線的左焦點為尸，連接M『',N尸，由于所以四邊形/NFM為矩形,

故|MNH"'|=2C.

在RtANFM中IFN\=2ccosO.\FM|=2csin0,

由雙曲線的定義可得

2=2a=\NF\-\NF'|=|NF\--1FM|=2ccose-2csin6=2&ccos[e+f

?1

5/2cos(e+—j

兀/C/冗冗/C71,54

—<0<—.??一"+一￡

126934

二個4&cos(e+#J2

2

V2<c<A/3+L2V2<2(?<2y/3+2.

故答案為：［2JI,26+2］

【點睛】

本題考查雙曲線定義及其性質(zhì)，涉及到求余弦型函數(shù)的值域，考查學(xué)生的運算能力，是一道中檔題.

14、V5-1

【解析】

由網(wǎng)=c,則|OM|=ccos0，所以點ccos^V.CcosVsinE],因為tana=2,可得

V222Ja

sin(z--,cosa--,點Af坐標(biāo)化簡為［。-,l],代入雙曲線的方程求解.

cc\2

【詳解】

設(shè)NMOK=q,|0K|=c,

bsinezb.2

則nItana=—,a即n-----=—,sin2a+cosa=1,

acosaa

eh.ba

解得sina—,cosct=,

cc

a

則|0M|=ccos—,

2aa.a)

所以Mccos~—,ccos—sin—,

(222J

c+〃b\

即

M~17929

代入雙曲線的方程可得(C+?一一￡=1,

4a24b2

所以c2+2。。一4。2=0

所以e2+2e—4=0

解得e=6-l.

故答案為：V5-1

【點睛】

本題主要考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系，及三角恒等變換，還考查了運算求解的能力和數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔

題.

15、7

【解析】

-x+”3

作出不等式組卜-y>-i表示的平面區(qū)域，

2x-y<3

得到如圖的△ABC及其內(nèi)部，其中A(2,1)1(1,2),C(4,5)

設(shè)z=F(x,y)=2x+3y,將直線/：z=2x+3y進(jìn)行平移,

當(dāng)/經(jīng)過點4時，目標(biāo)函數(shù)Z達(dá)到最小值

.'?Z最小值=F(2,1)=7

16、872

【解析】

先根據(jù)點共線得到OC=OD,從而得到。的軌跡為阿氏圓，結(jié)合三角形ABC和三角形30。的面積關(guān)系可求.

【詳解】

222

設(shè)CO=XCD=—C4+—CB=—CE+—C3

2222

32J?i——

B,O,E共線，則千+彳=1，解得力=5，從而O為CD中點,故0B=60C=yH0D.

在A3。。中，BD=2,OB=J2OD，易知。的軌跡為阿氏圓，其半徑r=2百，

故SAABC=4s△so”<2BD-r-88.

故答案為：872.

【點睛】

本題主要考查三角形的面積問題，把所求面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)190(2)見解析(3)可以在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認(rèn)為抗倒伏與玉米矮莖有關(guān).

【解析】

(1)排序后第10和第11兩個數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù)；

(2)由莖葉圖可得列聯(lián)表；

(3)由列聯(lián)表計算K?可得結(jié)論.

【詳解】

190+190

解：(1)m-=190.

2

(2)

抗倒伏易倒伏

矮莖154

高莖1016

(3)由于由=45x(15型七xl0)-=7287>6.635,因此可以在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認(rèn)為抗倒伏

19x26x25x20

與玉米矮莖有關(guān).

【點睛】

本題考查莖葉圖，考查獨立性檢驗，正確認(rèn)識莖葉圖是解題關(guān)鍵.

18、(1)-；(2)證明見解析.

2

【解析】

(1)f'(x)=~Ax't--2>分幾2,，o</l<-,/two三種情況推理即可;

v7尤222

(2)由(1)可得ln(l+L]<2H+1即即討得十4包，

利用累

InJ2〃(〃+1)

加法即可得到證明.

【詳解】

（1）由/（x）=lnx+/L（g-x）（/leR）,得/（九）=二〃_^二?.

當(dāng)/IN；時，方程—4/+%一九=0的△=1一4萬40,因此一；lY+x-x在區(qū)間（i,+oo）

上恒為負(fù)數(shù).所以x>l時，/（%）<（）,函數(shù)/（x）在區(qū)間（1,+8）上單調(diào)遞減.

又/（1）=0,所以函數(shù)/（x）<0在區(qū)間（1,+℃）上恒成立；

當(dāng)0</1<,時，方程一九/+了一尤二。有兩個不等實根，且滿足&一4%一<1</J+'J42一

212A22A

1/14.2、

所以函數(shù)“X）的導(dǎo)函數(shù)/（X）在區(qū)間1,SJ上大于零，函數(shù)“X）在區(qū)間

2Z

\7

']+J1_4丸2]（1+J]-4丸2、

-上單增，又"1）=0,所以函數(shù)“X）在區(qū)間1,-^-上恒大于零，不滿足題意;

242Z

\7\/

當(dāng)/two時，在區(qū)間上/（x）=lnx+221nx,函數(shù)y=lnx在區(qū)間(l,+x>)

上恒為正數(shù)，所以在區(qū)間（1,+8）上/（x）恒為正數(shù)，不滿足題意;

綜上可知：若x>l時，不等式/（x）<。恒成立，2的最小值為;.

(x+l)(l)

（2）由第（1）知：若x>l時,lnx<

2x

2〃+l

若胃￡N，則In1+—

kn2〃(〃+l)

即m(〃+l)-ln〃<5+可片成立.

將〃換成〃+1,得++—ln(〃+l)<2(九+1)+2[(〃+1)+1]成立'即

11

ln(H+2)-ln(H+l)<

2(〃+1)2(〃+2)'

以此類推，得帥+3)-g+2)<++就可

ln2n-ln(2n-l)<-—~,

\)2(2〃一1)4〃'

上述各式相加，#ln2rt-ln?=ln2<—+—+—^—+

2nn+1〃+22n-l4n

又S2“-S”=」7+1；++不=+上，所以S,,—S“+牛>ln2?

【點睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)恒成立問題、證明數(shù)列不等式問題，考查學(xué)生的邏輯推理能力以及數(shù)學(xué)計算能力，是一道

難題.

2

19、(1)—+/=］；(2)見解析

4-

【解析】

(1)根據(jù)已知可得2心b2-=1,結(jié)合離心率和。力,C關(guān)系，即可求出橢圓W的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)CO斜率不為零，設(shè)CO的方程為了=沖+1,與橢圓方程聯(lián)立，消去X,得到C,。縱坐標(biāo)關(guān)系，求出8。方

程，令x=4求出M坐標(biāo)，要證A、。、加三點共線，只需證須。-心“=0,將&?,一心M分子用縱坐標(biāo)表示，

即可證明結(jié)論.

【詳解】

22

(1)由于02=4—〃，將x=-c代入橢圓方程「+4=1,

a2b2

得了=±工，由題意知塵=1,即a=2Z^.

aa

又6=￡=走，所以a=2,b=L

a2

所以橢圓W的方程為—+/=1.

4'

(2)解法一：

依題意直線C。斜率不為0,設(shè)的方程為左=陽+1,

x-my+1

聯(lián)立方程x22,消去x得?！?+4);/+2加)>-3=0,

—+y=1

14?

由題意，得/>0恒成立，設(shè)C(龍|，X),D(x2,y2),

上，，2m3

所以X+%=一一a一7'X%=一一3~T

m+4irT+4

直線CB的方程為)?=^;(%-2).令％=4,得用(4,^^).

%-2Xj-2

又因為A(-2,0),。(馬，％)，

y

則直線A￡),AM的斜率分別為心。=一三，kAM^'

馬+23(Xj-2)

斫以女_k_____>i3y(x,-2)-y,(x+2)

ADAM=22

所以X2+23(x(-2)3(X,-2)(X2+2),

上式中的分子3y2(玉一2)-％(x2+2)=3y2(myt-1)-(my2+3)

=c2my,y-3a(zy,+,y\)=--6^m―+6―m=0,

22m"+4

???L—?！?0.所以A，D,M三點共線.

解法二：

當(dāng)直線CD的斜率Z不存在時，由題意，得CD的方程為x=l,

代入橢圓W的方程，得C(l,@)，DQ,-與,

22

直線CB的方程為丫=-乎(x-2).

則M(4,-&),AM=(6,-73),AD=(3-

所以AM=2A￡>，即A，D,"三點共線.

當(dāng)直線CD的斜率攵存在時，

設(shè)CD的方程為'=紅?1)伏工0),D(x2,y2),

y=k(x-Y),

聯(lián)立方程<消去y,w(4A:2+l)x2-Sk2x+4k2-4=0.

—+y2=1,

I4,

8kl4/—4

由題意，得/>0恒成立，故王+工2=—Z----------,X.X=----

4k2+1'9-4k2+1

直線C8的方程為"力*一2).令尤=4,得心4,含).

又因為A(-2,0),D(x2,y2),

則直線A￡>,AM的斜率分別為怎0=白3，2”％

x2+23(再一2)

所以左_k=」_______)1=3)，式,-2)-)1(，+2)

ADAM

所以X2+23(%1-2)3(芭-2)(々+2),

上式中的分子3%(王一2)—%(馬+2)=3伙馬一D(玉-2)-^-1)(%,+2)

Ab2-4

=2例w—54(%,+々)+8%=2kx—弓------5kx---+跳=0

4F+14公+1

所以=°-

所以A,D,M三點共線.

【點睛】

本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系，要熟練掌握根與系數(shù)關(guān)系，設(shè)而不求方法解決相交弦問題，考查

計算求解能力，屬于中檔題.

20、(1)[—2,3]；(2)]-2,-萬].

【解析】

(1)通過分類討論去掉絕對值符號，進(jìn)而解不等式組求得結(jié)果；

(2)將不等式整理為-a-34X,根據(jù)能成立思想可知-a-34Xm,x，由此構(gòu)造不等式求得結(jié)果.

【詳解】

(1)當(dāng)a=l時，/(x)W6可化為|x+l|+|x—2|45,

2x-l,x>2

|x+l|+|x-2|=<3,-1<x<2

1—2x,x<—1

[x>2f-l<x<2x<-1

二由I「，解得2<xW3；由匚，解得一l<x<2；由)f解得一2Kxv—1.

2x-l<53<51-2x<5

綜上所述：所以原不等式的解集為[-2,3].

(2)2aWx<-1?/(x)42x+6,—x—1+JC—2a+lW2x+6,—ci—3<x,

〃x)W2x+6有解，：.-a-3<-\,即。>-2,

又2a<—1,ci<—，

2

二實數(shù)”的取值范圍是

【點睛】

本題考查絕對值不等式的求解、根據(jù)不等式有解求解參數(shù)范圍的問題；關(guān)鍵是明確對于不等式能成立的問題，通過分

離變量的方式將問題轉(zhuǎn)化為所求參數(shù)與函數(shù)最值之間的比較問題.

9

21、(1)2；(2)-

2

【解析】

分析：(1)將/(x)=|x+a|+|2x-4轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，求函數(shù)的最小值

(2)分離參數(shù)，利用基本不等式證明即可.

詳解：(I)證明：-a/

2

-3x-a+b,x<-a

i\/b1\

"(x)=<t+a-^-b,-a<x<—,顯然/(x)在-8,一;J上單調(diào)遞減，在1萬,+sj上單調(diào)遞增,

2

、,b

3x-^a-b,x>—

2

b

所以/(x)的最小值為了]=即2〃+人=2.

(II)因為a+恒成立，所以"殳Nf恒成立,

ab

a+2h」+2=

abba4

當(dāng)且僅當(dāng)。=b=;時，幺丁取得最小值?，

3ab2

n9

所以即實數(shù)/的最大值為

22

點睛：本題主要考查含兩個絕對值的函數(shù)的最值和不等式的應(yīng)用，第二問恒成立問題分離參數(shù)，利用基本不等式求解

很關(guān)鍵，屬于中檔題.