專題1.2 三角形的高、中線、角平分線【七大題型】（舉一反三）（浙教版）（解析版）

專題1.2三角形的高、中線、角平分線【七大題型】【浙教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1三角形的高、中線、角平分線的概念辨析】 1【題型2畫三角形的高】 4【題型3“同高底共線”三角形的有關計算】 6【題型4根據(jù)網(wǎng)格求三角形的面積】 9【題型5應用三角形的中線等分面積解決問題】 12【題型6三角形的中線與周長的計算】 16【題型7三角形邊、角、線有關的探究題】 19【知識點三角形的角平分線、中線和高】(1)從三角形的一個頂點向底邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高．（2）三角形一個內(nèi)角的平分線與這個內(nèi)角的對邊交于一點，則這個內(nèi)角的頂點與所交的點間的線段叫做三角形的角平分線．

（3）三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線．

（4）三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段．

（5）銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，相交于三角形內(nèi)一點，直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內(nèi)部，它們的交點是直角頂點；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內(nèi)部，三條高所在直線相交于三角形外一點．【題型1三角形的高、中線、角平分線的概念辨析】【例1】（2023春·山東棗莊·八年級統(tǒng)考期末）如圖，AD，AE，AF分別是△ABC的中線、角平分線、高線，下列結論中錯誤的是（

）

A．CD=12BCC．∠C+∠CAF=90° D．AE=AC【答案】D【分析】根據(jù)三角形的中線，角平分線，高的定義進而判斷即可．【詳解】解：AD，AE，AF分別是△ABC的中線、角平分線、高線，CD=12BC2∠BAE=∠BAC，故選項B正確，不合題意；∴∠AFC=90°,∴∠C+∠CAF=90°，故選項C正確，不合題意；AE與AC不一定相等，故選項D錯誤，符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了三角形的高、角平分線和中線的定義，從三角形的一個頂點向?qū)呑鞔咕€，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高．三角形一個內(nèi)角的平分線與這個內(nèi)角的對邊交于一點，則這個內(nèi)角的頂點與所交的點間的線段叫做三角形的角平分線．三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線，掌握定義是解題的關鍵．【變式1-1】（2023春·八年級單元測試）如圖，嘉琪任意剪了一張鈍角三角形紙片（∠A是鈍角），他打算用折疊的方法折出∠C的角平分線、AB邊上的中線和高線，能折出的是（）A．AB邊上的中線和高線 B．∠C的角平分線和AB邊上的高線C．∠C的角平分線和AB邊上的中線 D．∠C的角平分線、AB邊上的中線和高線【答案】C【分析】由折疊的性質(zhì)可求解．【詳解】解：當AC與BC重合時，折痕是∠C的角平分線；當點A與點B重合時，折疊是AB的中垂線，故選：C．【點睛】本題考查了翻折變換，掌握折疊的性質(zhì)是本題的關鍵．【變式1-2】（2023春·陜西西安·八年級校考階段練習）下列說法中，正確的個數(shù)是（

）①三角形的三條高線交于一點；②三角形的三條中線一定在三角形內(nèi)部交于一點；③直角三角形只有一條高；④三角形三個內(nèi)角的角平分線交于一點．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)三角形的高、中線、角平分線的性質(zhì)進行判斷即可．【詳解】解：三角形的三條高所在直線交于一點，故①錯誤，三角形的三條中線一定在三角形內(nèi)部交于一點，故②正確，直角三角形有三條高，故③錯誤，三角形三個內(nèi)角的角平分線交于一點，故④正確，正確的是②④，共2個，故選：B．【點睛】此題考查了三角形的高、中線、角平分線的性質(zhì)，熟練掌握三角形的高、中線、角平分線的性質(zhì)是解題的關鍵．【變式1-3】（2023春·八年級課時練習）如圖，△ABC中，∠1=∠2，G為AD的中點，延長BG交AC于點E，F(xiàn)為AB上一點，且CF⊥AD于點H，下列判斷中，正確的個數(shù)是（

）①BG是△ABD的邊AD上的中線；②AD既是△ABC的角平分線，也是△ABE的角平分線；③CH既是△ACD的邊AD上的高，也是△ACH的邊AH上的高．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)三角形中線的定義、三角形角平分線的定義和三角形高的定義逐一判斷即可．【詳解】解：因為G為AD的中點，所以BG是△ABD的邊AD上的中線，故①正確；因為∠1=∠2，所以AD是△ABC的角平分線，AG是△ABE的角平分線，故②錯誤；因為CF⊥AD于點H，所以CH既是△ACD的邊AD邊上的高，也是△ACH的邊AH上的高，故③正確，綜上正確的有2個故選：C．【點睛】此題考查的是三角形中線、角平分線和高的識別，掌握三角形中線的定義、三角形角平分線的定義和三角形高的定義是解決此題的關鍵．【題型2畫三角形的高】【例2】（2023春·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）在△ABC中，∠A是鈍角，下列圖中畫BC邊上的高線正確的是（

）

B．

C．

D．

【答案】D【分析】用三角形高的定義即可求解．【詳解】解：由三角形高的定義可知，只有D選項中的作法是畫BC邊上的高線，故選D．【點睛】本題主要考查了三角形高線的定義，熟練掌握從三角形的一個頂點向?qū)吽谥本€作垂線，頂點與垂足間的線段叫做三角形的高是解題的關鍵．【變式2-1】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級?？计谥校┤鐖D所示，△ABC中AB邊上的高是（

）

A．BD B．AE C．BE D．CF【答案】D【分析】根據(jù)三角形高的概念求解即可．【詳解】解：由圖可得，∵CF⊥AB，∴△ABC中AB邊上的高是CF，故選：D．【點睛】本題考查了三角形高的定義，理解三角形高的概念是解題的關鍵．【變式2-2】（2023春·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）如圖圖形中，線段BE是△ABC的高的是（）A． B． C．D．【答案】D【分析】用三角形高的定義即可求解．【詳解】解：由三角形高的定義可知只有D選項中線段BE是△ABC的高，故選D．【點睛】本題主要考查了三角形高線的定義，熟練掌握從三角形的一個頂點向?qū)吽谥本€作垂線，頂點與垂足間的線段叫做三角形的高是解題的關鍵．【變式2-3】（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，AD⊥BC，EC⊥BC，CF⊥AB，點D，C，F(xiàn)是垂足，下列說法錯誤的是（

）A．△ABD中，AD是BD邊上的高 B．△ABD中，EC是BD邊上的高C．△CEB中，EC是BC邊上的高 D．△CEB中，F(xiàn)C是BE邊上的高【答案】B【分析】根據(jù)三角形高的定義依次判斷即可．【詳解】解：A、△ABD中，AD是BD邊上的高，故此選項正確，不符合題意；B、△ABD中，EC不是BD邊上的高，故此選項錯誤，符合題意；C、△CEB中，EC是BC邊上的高故此選項正確，不符合題意；D、△CEB中，F(xiàn)C是BE邊上的高，故此選項正確，不符合題意．故選B．【點睛】本題主要考查了三角形高的概念，應熟記三角形的高應具備的兩個條件：①經(jīng)過三角形的一個頂點，②垂直于這個頂點的對邊．【題型3“同高底共線”三角形的有關計算】【例3】（2023春·重慶沙坪壩·八年級重慶南開中學校考期末）如圖，在△ABC中，D為AC上一點，E為AB上一點，BE=2AE，連接BD，CE交于點F．若S△BEF=S△DFC，S△ABC=18

A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【分析】根據(jù)題意可得AE=13AB，則S△AEC=【詳解】解：∵BE=2AE，即AE=1∴S△AEC∵S△BEF=S∴S△ADB∴△ABD的面積為13故選：B．【點睛】本題考查了三角形面積，熟練掌握三角形的面積轉換是解題的關鍵．【變式3-1】（2023春·八年級單元測試）如圖，AD∥BC，△ABD的面積等于4，AD=2，BC=6，則△DCB的面積是【答案】12【分析】由題意得點B到AD的距離等于點D到BC的距離，即可得S△DCB∶S△ABD=3∶1【詳解】解：∵AD∥∴點B到AD的距離等于點D到BC的距離，∴S△DCB∵△ABD的面積為4，∴S△DCB故答案為：12．【點睛】本題考查了三角形的面積，平行線間的距離，解題的關鍵是掌握平行線間的距離．【變式3-2】（2023春·重慶渝中·八年級重慶巴蜀中學?？计谀┤鐖D，△ABC中，點D為AC邊上一點，滿足AD=3DC，連接BD，點E為BD中點，連接AE，若△AED的面積是3，則△ABC的面積是________．

【答案】8【分析】根據(jù)E為BD中點可得△ABE的面積是3，求出△ABD的面積，再根據(jù)同高的三角形的面積比等于底邊的比求出△BCD的面積即可．【詳解】解：∵點E為BD中點，△AED的面積是3，∴△ABE的面積是3，∴△ABD的面積是6，∵AD=3DC，∴S△ABD∴S△BCD∴S△ABC故答案為：8．【點睛】本題考查了三角形的面積計算，熟知同高或等高的三角形的面積比等于底邊的比是解題的關鍵．【變式3-3】（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，在三角形ABC中，AC=3AE，三角形ABD的面積是三角形ADC面積的2倍，則陰影部分的面積占三角形ABC面積的______．【答案】3【分析】根據(jù)邊之比得到面積之比，連接OC，得到△AOC和△AOB的面積比，進而得到△ODC的面積，最后求出陰影部分的面積與三角形ABC面積的比．【詳解】解：連接OC，則S△AOE又∵S∴S△ODC=1∴設S△AOE則S△OEC=2m，S△AOC∵S∴S∴S△ODC=4m∴S∴陰影部分的面積占三角形ABC面積的m+8m21m故答案為：37【點睛】本題考查三角形的面積，靈活運用邊之比等于三角形的面積比是關鍵．【題型4根據(jù)網(wǎng)格求三角形的面積】【例4】（2023·北京昌平·二模）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，正方形網(wǎng)格邊長為1，點A，B，C均在格點上，則S△ABC=_________【答案】3【分析】由網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，正方形網(wǎng)格邊長為1，可得三角形的AC的長度為3，而點B到邊AC的距離為2，根據(jù)三角形的面積公式即可算出S△ABC【詳解】解：∵每個網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，正方形網(wǎng)格邊長為1∴AC=3,BD=2∴S△ABC故填：3．【點睛】本題主要考查高在三角形外部的鈍角三角形的面積計算，找準高線，是解答本題的關鍵．【變式4-1】（2023春·北京·八年級北京四中校考階段練習）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，△ABC的面積__△DEF的面積．（填“＞”，“＝”或“＜”）．【答案】=【分析】根據(jù)三角形面積公式：S=12ah【詳解】解：∵△ABC的面積=12×2×3△DEF的面積=12×2×3∴△ABC的面積＝△DEF的面積．故答案為：＝．【點睛】本題考查了三角形的面積，關鍵是熟悉正方形網(wǎng)格特點以及三角形面積公式．【變式4-2】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第六十九中學校?？茧A段練習）畫圖題：在6×8的正方形網(wǎng)格上，完成下列問題．(1)已知圖1中△ABC各頂點都在網(wǎng)格格點上，過點A作BC邊上的中線AD．(2)在圖2中畫出面積是2的鈍角△AEF，各頂點都在格點上（畫出一種即可）．(3)在圖1中，若AC=5，直接寫出B點到AC的距離．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)18【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格的特點找到BC的中點D，連接AD，即可；（2）作一個底為4，高為1的鈍角三角形即可；（3）根據(jù)等面積法進行計算即可求解．【詳解】（1）如圖，中線AD即為所求．（2）鈍角△AEF即為所求，如圖，（3）解：設B到AC的距離為h，∵S∴h=3×6即B點到AC的距離為185【點睛】本題考查了三角形的中線，與三角形高相關的計算，掌握三角形中線的定義以及三角形的高的定義是解題的關鍵．【變式4-3】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級?？计谥校┮阎簣D1、圖2是兩張形狀、大小完全相同的網(wǎng)格，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長均為1．格中各有一個完全相同的三角形，請在圖1、圖2分別畫一條直線，滿足以下要求（1）直線與三角形的交點要經(jīng)過網(wǎng)格的格點（每個小正方形的頂點均為格點）（2）在圖1、圖2中分別用不同的方法將三角形分成兩個圖形其中一個是三角形另一個是四邊形，分割后的三角形的面積記為S1，四邊形的面積為S2，且【答案】（1）見解析（2）見解析【分析】（1）找到三角形邊上的格點即可求解；（1）首先求出△ABC的面積為15，分割后的三角形的面積記為S1，四邊形的面積為S2，且S1：S2＝4：11，推出分割后的三角形的面積為4，利用數(shù)形結合的思想解決問題即可求解．【詳解】（1）如圖1中，直線EF即為所求．（2）S△ABC=12×6×5=15∵分割后的三角形的面積記為S1，四邊形的面積為S2，且S1：S2＝4：11，∴分割后的三角形的面積為4，故可得到分割后的三角形是底為4，高為2的三角形，故在如圖2中，直線EF即為所求．【點睛】本題考查作圖?應用與設計，三角形的面積等知識，解題的關鍵是理解題意，學會利用數(shù)形結合的思想解決問題，屬于中考?？碱}型．【題型5應用三角形的中線等分面積解決問題】【例5】（2023春·浙江金華·八年級統(tǒng)考期中）如圖，BD是△ABC的中線，點E，F(xiàn)分別為BD，CE的中點，若△ABC的面積為12．則△AEF的面積是（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】由BD是ΔABC的中線，AE是ΔABD的中線，CE是ΔBCD的中線，得ΔACE的面積，再由AF是ΔACE的中線，得到ΔAEF的面積．【詳解】解：∵BD是ΔABC的中線，∴S∵點E是BD的中點，∴SΔADE=∴S∵點F是CE的中點，∴S故選：B．【點睛】本題考查了三角形中線和三角性的面積之間的關系，“三角形的中線將三角形分成兩個面積相等的三角形”，這也是本題的關鍵點．【變式5-1】（2023春·八年級單元測試）如圖，△ABC的中線AD、BE相交于點(1)圖中與△ABE面積相等是三角形有____個（不含△ABE）；(2)若△ABF的面積是4cm2，求四邊形【答案】(1)3(2)4【分析】（1）利用三角形中線的性質(zhì)即可推導出SΔABE（2）根據(jù)三角形的中線把三角形分成面積相等的兩個三角形，用S1＋S4＝S2＋S【詳解】（1）∵AD、BE分別是∴BD=CD=12BC，∴SΔABE=SΔBEC即SΔABE∴與△ABE面積相等的三角形共有3個故答案為：3（2）如圖，∵AD和BE是△ABC的兩條中線，∴S△ABD即S1＋S2＋①?②得：S1∴S1∴S△ABF∵SS【點睛】本題主要考查了三角形的中線把三角形分成面積相等的兩個三角形，是此類題目常用的方法，要熟練掌握并靈活運用．【變式5-2】（2023春·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，把△ABC的三邊BA、CB和AC分別向外延長一倍，將得到的點A'、B'、C'順次連接成△A'【答案】35【分析】連接AB'、BC【詳解】解：連接AB由題意得：AB=AA∴△AA'B'的面積=△ABB∴△A'B同理△CC'B'的面積∴△A'B故答案為：35．【點睛】本題考查了三角形的中線性質(zhì)、三角形的面積；熟記三角形的中線把三角形的面積分成相等的兩部分是解題的關鍵．【變式5-3】（2023春·八年級課時練習）如圖，AP1為△ABC的中線，△ABP1的面積記為S1；AP2為△AP1C的中線，△AP1P2的面積記為S2；AP3為△AP2C的中線，A．S-S2n-1 B．S-S2n【答案】B【分析】根據(jù)中線的性質(zhì)得到S△ABP1=S△ACP1=12S△ABC【詳解】解：∵△ABC的面積為S，AP1為∴S△AB∴S1∵AP2為∴S2∴S1…，按此規(guī)律，∴Sn=∴S=S-=S-故選B．【點睛】本題考查了圖形類規(guī)律，中線的性質(zhì)，解題的關鍵是根據(jù)中線得到各部分面積的計算方法．【題型6三角形的中線與周長的計算】【例6】（人教版（2012）八年級上冊第十一章三角形檢測卷）如圖，△ABC的周長為27，AC=9，BC邊上的中線AE=6，△ABE的周長為19，求AB的長．

【答案】8【分析】設AB=x，BE=y，由AE是BC邊上的中線，得BC=2BE=2y，結合△ABC的周長為27、△ABE的周長為19，聯(lián)立方程組x+9+2y=27x+6+y=19【詳解】解：設AB=x，BE=y，∵AE是BC邊上的中線，∴BC=2BE=2y，由題意得：C△ABCC△ABE即：x+9+2y=27x+6+y=19解得x=8y=5∴AB的長為8．【點睛】本題考查了中線的性質(zhì)，三角形周長，二元一次方程組解決實際問題；解題的關鍵是通過中線得到線段之間的數(shù)量關系，并建立相關方程．【變式6-1】（陜西省西安市曲江第一中學2021-2022學年八年級下學期期中數(shù)學試題）在△ABC中，BC邊上的中線AD將△ABC分成的兩個新三角形的周長差為5cm，AB與AC的和為11cm，則AC的長為【答案】3cm或【分析】根據(jù)三角形的中線的定義可得BD=CD，然后求出△ABD與△ADC的周長差是AB與AC的差或AC與AB的差，然后代入數(shù)據(jù)計算即可得解．【詳解】如圖1，圖2，∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD，∵中線AD將△ABC分成的兩個新三角形的周長差為5cm∴AB+BD+AD-AC+CD+AD=5∴AB-AC=5或者AC-AB=5，∵AB與AC的和為11cm∴AB+AC=11，∴AB=8AC=3或AB=3故答案為：3cm或8【點睛】本題考查了三角形的中線，熟記概念并求出兩個三角形的周長的差等于兩邊長的差是解題的關鍵．【變式6-2】（云南省昆明市官渡區(qū)2020-2021學年八年級上學期期末數(shù)學試題）已知△ABC的周長為37cm，AD是BC邊上的中線，AC=2（1）如圖，當AB=15cm時，求BD的長．（2）若AC=14cm，能否求出DC的長？為什么？【答案】（1）6cm；（2）不能求出DC的長，理由見解析【分析】（1）根據(jù)AC=23AB，AB=15cm及△ABC的周長為37cm（2）利用（1）中的方法，求得BC的長度，然后根據(jù)構成三角形的條件，可判斷出△ABC不存在，進而可知沒法求DC的長．【詳解】解：（1）∵AC=23AB∴AC=2又∵△ABC的周長為37cm，∴AB+AC+BC=37，∴BC=37-AB-AC=37-15-10=12cm又∵AD是BC邊上的中線，∴BD=1（2）不能，理由如下：∵AC=23AB∴AB=3又∵△ABC的周長為37cm，∴AB+AC+BC=37，∴BC=37-AB-AC=37-21-14=2cm∴BC+AC=16<AB=21，∴不能構成三角形，故不能求出DC的長．【點睛】此題考查三角形的中線、三角形的周長、構成三角形的條件，關鍵是根據(jù)三角形中線的性質(zhì)解答．【變式6-3】（廣東省廣州市南沙區(qū)實驗外語學校2022-2023學年八年級上學期開學質(zhì)量檢測數(shù)學試題）如圖，在△ABC中（AC>AB），AC=2BC，BC邊上的中線AD把△ABC的周長分成60和40兩部分，求AC和AB的長．【答案】AC=48，AB=28【分析】根據(jù)AD是BC邊上的中線，可以得到BD=CD，設BD=CD=x，AB=y，則BC=2x，AC=4x．分兩種情況討論：當AC+CD=60，AB+BD=40時，求出x、y的值，即可確定AC和AB的值；當AC+CD=40，AB+BD=60時，同理可求出AC和【詳解】解：因為AD是BC的中線，所以BD=CD，設BD=CD=x，AB=y，則BC=BD+CD=2x，AC=2BC=4x，分兩種情況討論：①AC+CD=60，AB+BD=40，則4x+x=60，x+y=40，解得x=12，y=28，即AC=4x=48，AB=28；②AC+CD=40，AB+BD=60，則4x+x=40，x+y=60，解得x=8，y=52，即AC=4x=32，AB=52，BC=2x=16，此時AC+BC<AB，不符合三角形三邊關系定理，不符合題意．綜上所述，AC=48，AB=28．【點睛】本題主要考查了三角形中線的定義、三角形的周長和三角形三邊關系等知識，解題的關鍵是利用中線的定義結合三角形周長公式分析問題，并進行分類討論．【題型7三角形邊、角、線有關的探究題】【例7】（2023春·廣東廣州·八年級?？茧A段練習）如圖，AD是△ABC的角平分線．DE∥AC，DE交AB于點E，DF∥AB，DF交AC于點F，圖中【答案】∠1=∠2，理由見解析【分析】由角平分線的定義可得∠EAD=∠FAD．由平行線的性質(zhì)可得∠1=∠FAD，∠EAD=∠2，最后等量代換即得出∠1=∠2．【詳解】∠1=∠2．理由：∵AD是△ABC的角平分線，∴∠EAD=∠FAD．∵DE∥∴∠1=∠FAD．∵DF∥∴∠EAD=∠2，∴∠1=∠2．【點睛】本題考查角平分線的定義，平行線的性質(zhì)．掌握角平分線分得的兩個角相等和兩直線平行，內(nèi)錯角相等，是解題關鍵．【變式7-1】（2023春·江蘇鹽城·八年級校聯(lián)考階段練習）如圖，AD∥EF，∠1+∠2＝180°，（1）請問DG與AB平行嗎？為什么？（2）若DG是∠ADC的角平分線，∠1＝30°，求∠B的度數(shù)．【答案】（1）DG與AB平行，理由見解析；（2）30°【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)定理以及判定定理即可解答；（2）根據(jù)角平分線的定義以及平行線的性質(zhì)定理即可求解．【詳解】（1）DG與AB平行，理由如下：∵AD∥EF∴∠2+∠BAD=180°又∵∠1+∠2=180°∴∠1=∠BAD∴DG∥AB（2）∵DG是∠ADC的角平分線，∴∠GDC=∠1=30°，又∵DG∥AB，∴∠B=∠GDC=30°故答案為：30°【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)定理以及判定定理，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，同位角相等；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；本題還考查了角平分線的定義．【變式7-2】（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一點，過D分別向AB，AC引垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，CG是AB邊上的高．（1）DE，DF，CG的長之間的等量關系是________；（2）若D在底邊BC的延長線上，其他條件不變，則DE，DF，CG的長之間的等量關系是_________．（請說明理由）【答案】（