24.4 弧長(zhǎng)和扇形公式（第二課時(shí)）（分層作業(yè)）【解析版】

基礎(chǔ)訓(xùn)練1．已知圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，則圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【詳解】，故選B．2．蒙古包可以近似地看作由圓錐和圓柱組成．下圖是一個(gè)蒙古包的示意圖，底面圓半徑DE=2m，圓錐的高AC=1.5m，圓柱的高CD=2.5m，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．圓柱的底面積為4πm2 B．圓柱的側(cè)面積為10πm2C．圓錐的母線AB長(zhǎng)為2.25m D．圓錐的側(cè)面積為5πm2【詳解】解：根據(jù)題意，∵底面圓半徑DE=2m，∴圓柱的底面積為：；故A正確；圓柱的側(cè)面積為：；故B正確；圓錐的母線為：；故C錯(cuò)誤；圓錐的側(cè)面積為：；故D正確；故選：C3．如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，得到一個(gè)扇形，若圓錐的底面圓的半徑cm，扇形的圓心角為120°，則該圓錐的母線l長(zhǎng)為（

）．A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm【詳解】解：根據(jù)題意得：，解得：l＝6，即該圓錐母線l的長(zhǎng)為6．故選：C．4．已知圓錐的底面半徑為5，高為12，則它的側(cè)面展開圖的面積是（

）A． B． C． D．【詳解】解：由題意知，圓錐側(cè)面展開圖的半徑即圓錐的母線長(zhǎng)為，∴圓錐側(cè)面展開圖的面積為，故選B．5．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)面展開圖圓心角的度數(shù)為（

）A．214° B．215° C．216° D．217°【詳解】解：由圓錐的高為4，底面直徑為6，可得母線長(zhǎng)，圓錐的底面周長(zhǎng)為：，設(shè)圓心角的度數(shù)為n，則，解得：，故圓心角度數(shù)為：，故選：C．6．如圖，有圓錐形糧堆，其正視圖是邊長(zhǎng)為6的正三角形，糧堆母線的中點(diǎn)P處有一老鼠正在偷吃糧食，此時(shí)，小貓正在處，它要沿圓錐側(cè)面到達(dá)P處，捕捉老鼠，則小貓所經(jīng)過的最短路程是（

）A．3 B． C． D．4【詳解】解：圓錐的底面周長(zhǎng)是，則，，即圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是180度．則在圓錐側(cè)面展開圖中，，度．在圓錐側(cè)面展開圖中．故小貓經(jīng)過的最短距離是．故選：．7．用半徑為，圓心角為的扇形紙片恰好能圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐底面半徑為（

）A． B． C． D．【詳解】解：設(shè)這個(gè)圓錐底面半徑為，由題意得：，解得，即這個(gè)圓錐底面半徑為，故選：B．8．如圖，一塊含角的直角三角板的最短邊長(zhǎng)為6cm，現(xiàn)以較長(zhǎng)的直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，形成一個(gè)圓錐，則圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【詳解】解：由題意得：斜邊為：，，，．故選：B．9．如圖，在紙上剪一個(gè)圓形和一個(gè)扇形的紙片，使之恰好能圍成一個(gè)圓錐模型，若圓的半徑r＝1，扇形的半徑為R，扇形的圓心角等于90°，則R的值是（）A．R＝2 B．R＝3 C．R＝4 D．R＝5【詳解】解：扇形的弧長(zhǎng)是：＝，圓的半徑r＝1，則底面圓的周長(zhǎng)是2π，圓錐的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開圖的扇形弧長(zhǎng)則得到：＝2π，∴＝2，即：R＝4，故選C．10．如圖所示，矩形紙片中，，把它分割成正方形紙片和矩形紙片后，分別裁出扇形和半徑最大的圓，恰好能作為一個(gè)圓錐的底面和側(cè)面，則圓錐的表面積為（

）A． B． C． D．【詳解】解：設(shè)圓錐的底面的半徑為rcm，則AE=BF=6-2r根據(jù)題意得2πr，解得r＝1，側(cè)面積=，底面積=所以圓錐的表面積=，故選：B．11．某中學(xué)開展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)生到教具加工廠制作圓錐，他們制作的圓錐，母線長(zhǎng)為30cm，底面圓的半徑為10cm，這種圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)是．【詳解】解：設(shè)這種圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)為n°，故答案為：．12．如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，得到一個(gè)扇形，若圓錐的底面圓的半徑，扇形的圓心角，則該圓錐的母線長(zhǎng)為．【詳解】圓錐的底面周長(zhǎng)cm，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，則：，解得，故答案為．13．.如圖，圓錐側(cè)面展開得到扇形，此扇形半徑CA=6，圓心角∠ACB=120°，則此圓錐高OC的長(zhǎng)度是．【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，∵AC=6，∠ACB=120°，∴=2πr，∴r=2，即：OA=2，在Rt△AOC中，OA=2，AC=6，根據(jù)勾股定理得，OC==4，故答案為4．14．某種冰激凌的外包裝可以視為圓錐，它的底面圓直徑與母線長(zhǎng)之比為．制作這種外包裝需要用如圖所示的等腰三角形材料，其中，．將扇形圍成圓錐時(shí)，，恰好重合．（1）求這種加工材料的頂角的大?。?）若圓錐底面圓的直徑為5cm，求加工材料剩余部分（圖中陰影部分）的面積．（結(jié)果保留）【詳解】解：（1）設(shè)ED=x，則AD=2x，∴弧長(zhǎng)，∴，∴=90°；（2）∵ED=5cm，∴AD=2ED=10cm，∵，=90°，∴△ABC為等腰直角三角形，∵，∴BD=CD=AD=10cm，∴BC=BD+CD=20cm，∴S△BAC=cm2，∴，∴S陰影=S△BAC-=（100-）cm2．15．在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課上，小瑩將含角的直角三角尺分別以兩個(gè)直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到甲、乙兩個(gè)圓錐，并用作圖軟件Geogebra畫出如下示意圖小亮觀察后說：“甲、乙圓錐的側(cè)面都是由三角尺的斜邊旋轉(zhuǎn)得到，所以它們的側(cè)面積相等．”你認(rèn)同小亮的說法嗎？請(qǐng)說明理由．【詳解】解：甲圓錐的底面半徑為BC，母線為AB，，乙圓錐的底面半徑為AC，母線為AB，，∵，∴，故不認(rèn)同小亮的說法．16．如圖，從半徑為9cm的圓形紙片剪去圓周的一個(gè)扇形，將留下的扇形圍成一個(gè)圓錐（接縫處不重疊），那么這個(gè)圓錐的高為多少？【詳解】解：設(shè)圓錐的底面圓的半徑為rcm，根據(jù)題意得2πr＝，解得r＝6，所以這個(gè)圓錐的高＝（cm）．能力提升1．如圖，正方形ABCD中，分別以B，D為圓心，以正方形的邊長(zhǎng)10為半徑畫弧，形成樹葉型（陰影部分）圖案．①樹葉圖案的周長(zhǎng)為；②樹葉圖案的面積為；③若用扇形BAC圍成圓錐，則這個(gè)圓錐底面半徑為2.5；④若用扇形BAC圍成圓錐，則這個(gè)圓錐的高為；上述結(jié)論正確的有．【詳解】∵四邊形ABCD是正方形，∴∠D=∠B=90°，∴弧長(zhǎng)為：，∴樹葉圖案的周長(zhǎng)為；∴結(jié)論①是正確的；陰影的面積為2，∴結(jié)論②是錯(cuò)誤的；根據(jù)題意，得=2πr，解得r=2.5，∴結(jié)論③是正確的；根據(jù)題意，得錐高=，∴結(jié)論④是錯(cuò)誤的；故答案為：①③．2．如圖所示，已知圓錐底面半徑，母線長(zhǎng)為．(1)求它的側(cè)面展開圖的圓心角；(2)若一甲蟲從A點(diǎn)出發(fā)沿著圓錐側(cè)面繞行到母線的中點(diǎn)B，請(qǐng)你動(dòng)腦筋想一想它所走的最短路線是多少？【詳解】（1）解：設(shè)它的側(cè)面展開圖的圓心角為，根據(jù)圓錐的底面周長(zhǎng)就是側(cè)面展開圖（扇形）的弧長(zhǎng)得：，又∵．，解得：．∴它的側(cè)面展開圖的圓心角是90°；（2）根據(jù)側(cè)面展開圖的圓心角是90°，畫出展開圖如下：根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短可知AB為最短路徑，，B為的中點(diǎn)，由（1）知∴∴它所走的最短路線長(zhǎng)是．3．已知：(1)化簡(jiǎn)；(2)如圖，、分別為圓錐的底面半徑和母線的長(zhǎng)度，若圓錐側(cè)面積為，求的值．【詳解】（1）解：．（2）解：圓錐側(cè)面積為，，解得，則．拔高拓展1．如圖，在一張四邊形的紙片中，，，，以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓分別與交于點(diǎn)．(1)求證：與相切；(2)過點(diǎn)B作的切線；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(3)若用剪下的扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，能否從剪下的兩塊余料中選取一塊，剪出一個(gè)圓作為這個(gè)圓錐的底面？【詳解】（1）證明：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，∴，∵的半徑為，∴是的半徑，又，∴是的切線；（2）如圖，作線段的垂直平分線，交于點(diǎn)，作直線，則即為所求，理由，∵，∴∴是直角三角形