第1章 二次函數(shù)（單元測試·綜合卷）-2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊全章復(fù)習(xí)與專題突破講與練（浙教版）

第1章二次函數(shù)（單元測試·綜合卷）一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．已知關(guān)于的二次函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．為任意實(shí)數(shù)2．拋物線的對稱軸是（

）A．直線 B．直線 C．直線 D．直線3．將二次函數(shù)的圖象向左平移3個單位長度，再向下平移4個單位長度得到二次函數(shù)表達(dá)式為（

）A． B． C． D．4．已知點(diǎn)，，在二次函數(shù)的圖象上，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．5．同一坐標(biāo)系中，二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

6．已知點(diǎn)，，且，在拋物線：上，則拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．37．坐標(biāo)平面上有一水平線與二次函數(shù)的圖形，其中為一正數(shù)，且與二次函數(shù)圖象相交于、兩點(diǎn)，其位置如圖所示．若：：，則的長度為()A．17 B．19 C．21 D．248．如圖，橋梁的兩條鋼纜具有相同的拋物線形狀，而且左、右兩條拋物線關(guān)于y軸對稱，按照圖中的直角坐標(biāo)系左面拋物線可以用表示，則右面拋物線的表達(dá)式是（

）

B． C． D．9．已知拋物線（為整數(shù)）與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且，則等于（）A． B． C． D．10．在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，設(shè)，則下列結(jié)論正確的個數(shù)為（

）

①，②，③當(dāng)線段長取最小值時，則的面積為④若點(diǎn)，則A． B． C． D．二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)在第一象限，則的取值范圍是．12．拋物線經(jīng)過點(diǎn)，且．則拋物線的對稱軸是．13．寫出一個滿足下列要求的函數(shù)：．①該函數(shù)存在一條對稱軸②該函數(shù)圖像過且僅過三個象限③該函數(shù)圖像過點(diǎn)14．已知二次函數(shù)的圖象與x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為，則另一個交點(diǎn)的坐標(biāo)為．15．已知拋物線的圖象如圖所示，則一元二次方程的根情況是．

16．如圖1，某地大橋橋拱形狀近似拋物線，其高度約為20米，跨度為120米，以橋底部（正好為水面）所在直線為軸，以橋拱最高點(diǎn)到水面的垂線的垂足為原點(diǎn)O建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，則該拋物線的表達(dá)式為．17．根據(jù)函數(shù)和的圖像寫出一個滿足的值，那可能是.

18．已知關(guān)于x的拋物線（1）此拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)是；（2）若，點(diǎn)M為該拋物線上一動點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為m，過點(diǎn)M作∥軸，交直線于點(diǎn)N，當(dāng)MN的長隨m的增大而減小時，m的取值范圍是．（用含a的代數(shù)式表示）三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）已知拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．（1）求c的取值范圍；（2）試確定直線經(jīng)過的象限，并說明理由．20．（8分）如圖，已知經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線與軸交于另一點(diǎn)A(2，0)．（1）求的值和拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求直線的解析式．21．（10分）如圖，拋物線y＝a（x﹣2）2+3（a為常數(shù)且a≠0）與y軸交于點(diǎn)A（0，）．（1）求該拋物線的解析式；（2）若直線y＝kx（k≠0）與拋物線有兩個交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，當(dāng)x12+x22＝10時，求k的值；（3）當(dāng)﹣4＜x≤m時，y有最大值，求m的值．22．（10分）某企業(yè)準(zhǔn)備對A，B兩個生產(chǎn)性項(xiàng)目進(jìn)行投資，根據(jù)其生產(chǎn)成本、銷售情況等因素進(jìn)行分析得知：投資A項(xiàng)目一年后的收益（萬元）與投入資金x（萬元）的函數(shù)表達(dá)式為：，投資B項(xiàng)目一年后的收益（萬元）與投入資金x（萬元）的函數(shù)表達(dá)式為：．(1)若將10萬元資金投入A項(xiàng)目，一年后獲得的收益是多少？(2)若對A，B兩個項(xiàng)目投入相同的資金m（）萬元，一年后兩者獲得的收益相等，則m的值是多少？(3)2023年，我國對小微企業(yè)施行所得稅優(yōu)惠政策．該企業(yè)將根據(jù)此政策獲得的減免稅款及其他結(jié)余資金共計(jì)32萬元，全部投入到A，B兩個項(xiàng)目中，當(dāng)A，B兩個項(xiàng)目分別投入多少萬元時，一年后獲得的收益之和最大？最大值是多少萬元？（10分）如圖，已知拋物線（為常數(shù)，且）與軸交于兩點(diǎn)，且，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為第二象限內(nèi)拋物線上的動點(diǎn)，軸交所在直線于點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式和點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，請問是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

24．（12分）綜合與探究如圖，拋物線與軸交于A，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是直線上方拋物線上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)作于點(diǎn)．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)?shù)拈L最大時，求線段的最大值及此時點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)連接，，試探究：在點(diǎn)運(yùn)動的過程中，是否存在點(diǎn)，使得，若存在，請直接寫出的值；若不存在，請說明理由．參考答案1．C【分析】根據(jù)二次函數(shù)定義可得，解出答案即可．【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的二次函數(shù)，，解得：．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查的是二次函數(shù)概念，熟練掌握二次函數(shù)定義是解題關(guān)鍵．2．B【分析】根據(jù)拋物線的對稱軸是直線求解即可．【詳解】解：拋物線的對稱軸是直線，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．3．A【分析】根據(jù)拋物線的平移規(guī)律“左加右減，上加下減”解答即可．【詳解】解：二次函數(shù)的圖象向左平移3個單位長度，再向下平移4個單位長度后得到的二次函數(shù)表達(dá)式為，即二次函數(shù)的表達(dá)式為．故選A．【點(diǎn)撥】本題考查的是二次函數(shù)圖象的平移，掌握其平移規(guī)律是關(guān)鍵．4．C【分析】由二次函數(shù)的解析式可得，開口向下，對稱軸為，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求解即可．【詳解】解：二次函數(shù)，則，開口向下，對稱軸直線為，則函數(shù)圖象上的點(diǎn)，離對稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越小，點(diǎn)，，到對稱軸的距離分別為：1、0、，則，故選：C【點(diǎn)撥】此題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函的圖象與性質(zhì)．5．D【分析】可先根據(jù)一次函數(shù)的圖象判斷a，b的符號，再判斷二次函數(shù)圖象與實(shí)際是否相符，判斷正誤．【詳解】解：A、由一次函數(shù)的圖象可得：兩個a的符號不一致，故錯誤；B、由一次函數(shù)的圖象可得：，此時二次函數(shù)的頂點(diǎn)，，矛盾，故錯誤；C、由一次函數(shù)的圖象可得：，由其與y軸的交點(diǎn)可知，矛盾，故錯誤；D、由一次函數(shù)的圖象可得：，此時二次函數(shù)的頂點(diǎn)，，故正確；故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)的圖象和一次函數(shù)的圖象，應(yīng)該熟記一次函數(shù)在不同情況下所在的象限，以及熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)等．6．C【分析】根據(jù)點(diǎn)，的縱坐標(biāo)相等，求得拋物線的對稱軸，列式得，求得，再根據(jù)根的判別式即可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)，的縱坐標(biāo)相等，∴拋物線的對稱軸為，∴，即，解得，∴拋物線的解析式為，∴，∴拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個數(shù)為2個，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了拋物線的對稱性，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會構(gòu)建方程解決問題．7．C【分析】根據(jù)對稱軸，結(jié)合即可求解．【詳解】解：設(shè)對稱軸與交于點(diǎn)．.，．對稱軸，．，：：．：：：：．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)關(guān)于對稱軸對稱，結(jié)合圖形，找到線段的長度是解題的關(guān)鍵．8．A【分析】根據(jù)題意可得拋物線開口方向和大小不變，頂點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于軸對稱，即可求解．【詳解】解：∵左面拋物線可以用表示，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為則右面拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為∴右面拋物線的表達(dá)式，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵．9．D【分析】當(dāng)時，可求得為，由可得為或，將的坐標(biāo)代入，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：當(dāng)時，，拋物線與軸的交點(diǎn)為，，拋物線與軸的交點(diǎn)為或，或，或，或或或，解得：或或，為整數(shù)，，故選：D．【點(diǎn)撥】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與軸、軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．C【分析】根據(jù)二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)行解答，即可．【詳解】直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，∴，整理得：，∴，∴正確；∵，解得：，，∴，，∴；∴正確；∵，當(dāng)時，即軸時，有最小值，∴，∴；∴正確；當(dāng)點(diǎn)時，假設(shè)，則：是直角三角形，取的中點(diǎn)為點(diǎn)，連接，∴，∵，∴，，∴點(diǎn)，∴點(diǎn)，∵點(diǎn)，∴，∴時，，即與不一定垂直；∴錯誤；∴正確的為：．故選：C．

【點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)的知識，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離公式．11．【分析】根據(jù)題目中的解析式可以寫出該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而可以列出相應(yīng)的不等式，求出的取值范圍．【詳解】解：拋物線的頂點(diǎn)在第一象限，該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，解得，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)的頂點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，準(zhǔn)確得出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)解答．12．【分析】由求出拋物線經(jīng)過點(diǎn)，又由拋物線經(jīng)過點(diǎn)即可得到拋物線的對稱軸．【詳解】解：當(dāng)時，，∵．∴拋物線經(jīng)過點(diǎn)，∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，∴拋物線的對稱軸是直線，故答案為：【點(diǎn)撥】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)拋物線的對稱性求出對稱軸是解題的關(guān)鍵．13．（答案不唯一）【分析】此函數(shù)可以為二次函數(shù)（，，），結(jié)合條件求解即可．【詳解】解：∵頂點(diǎn)為，開口向下且與軸的交點(diǎn)在負(fù)半軸上的拋物線的解析式都是符合題意的，∴我們可以寫出一個函數(shù)是（答案不唯一），故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)撥】本題是開放性試題，考查函數(shù)圖形及性質(zhì)的綜合運(yùn)用，對考查學(xué)生所學(xué)函數(shù)的深入理解、掌握程度具有積極的意義，本題的結(jié)論是不唯一的，其解答思路滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．14．【分析】利用待定系數(shù)法求得值，令，解一元二次方程即可求得結(jié)論．【詳解】解：∵二次函數(shù)（為常數(shù)）的圖象與軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為，∴．∴，∴二次函數(shù)．令，則，解得：，．∴拋物線與與軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)是．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了拋物線與軸的交點(diǎn)，待定系數(shù)法，一元二次方程的解法，令，通過解一元二次方程求得拋物線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．15．有兩個相等的實(shí)數(shù)根【分析】根據(jù)圖象中二次函數(shù)的最小值為，可得的根的情況．【詳解】解：由圖象可知，二次函數(shù)最小值為，一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，故答案為：有兩個相等的實(shí)數(shù)根．【點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．16．【分析】設(shè)拋物線解析式為，根據(jù)題意可得，拋物線與x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，代入即可求出．【詳解】解：設(shè)拋物線解析式為，由題意可知：，拋物線與x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，把、，代入得：，解得：，∴拋物線解析式為，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了求拋物線解析式，正確設(shè)出解析式和確定點(diǎn)的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．17．（答案不唯一，只要是都可以）；【分析】根據(jù)圖像可得在三函數(shù)圖像交點(diǎn)下方與原點(diǎn)之間滿足，聯(lián)立函數(shù)求出交點(diǎn)即可得到答案；【詳解】解：由圖像可得，在三個函數(shù)圖像交點(diǎn)下方與原點(diǎn)之間滿足，聯(lián)立函數(shù)得，，解得：，，故答案為：（答案不唯一，只要是都可以）；【點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)函數(shù)圖像解不等式，解題的關(guān)鍵是看懂圖像及聯(lián)立函數(shù)解出交點(diǎn)．18．【分析】（1）將拋物線化為頂點(diǎn)式即可求得答案；（2）聯(lián)立可得，整理為，由根的判別式得，直線與拋物線無交點(diǎn)，由，得點(diǎn)在點(diǎn)上方，根據(jù)題意可得：，，即可得出，可得對稱軸為直線，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：（1）∵，∴該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，故答案為：；（2）聯(lián)立拋物線與線得，整理得，∴，∵，∴，∴直線與拋物線無交點(diǎn)，∵，∴拋物線開口向上，∴點(diǎn)在點(diǎn)上方，∵點(diǎn)為該拋物線上一動點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為，∴，，∴，∴對稱軸為直線，∴當(dāng)?shù)拈L隨的增大而減小時，的取值范圍是．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，根的判別式等，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．（1）c＞（2）順次經(jīng)過三、二、一象限．因?yàn)椋簁＞0，b=1＞0【詳解】（1）因?yàn)閽佄锞€與x軸沒有交點(diǎn)，所以即，解得（2）因?yàn)樗灾本€y=x+1隨x的增大而增大，因?yàn)閎=1所以直線y=x+1經(jīng)過第一、二、三象限20．（1），M(1，-2)；（2）【分析】（1）將A(2，0)代入拋物線的解析式，可求得m的值，再配成頂點(diǎn)式即可求解；（2）利用待定系數(shù)法即可求得直線AM的解析式．【詳解】解

（1）∵拋物線過點(diǎn)A(2，0)，，解得，，,∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是(1，-2)；（2）設(shè)直線AM的解析式為，∵圖象過A(2，0)，M(1，-2)，，解得，∴直線AM的解析式為．【點(diǎn)撥】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．21．（1）；（2）；（3）【分析】（1）把代入拋物線的解析式，解方程求解即可；（2）聯(lián)立兩個函數(shù)的解析式，消去得：再利用根與系數(shù)的關(guān)系與可得關(guān)于的方程，解方程可得答案；（3）先求解拋物線的對稱軸方程，分三種情況討論，當(dāng)＜＜結(jié)合函數(shù)圖象，利用函數(shù)的最大值列方程，再解方程即可得到答案.【詳解】解：（1）把代入中，拋物線的解析式為：（2）聯(lián)立一次函數(shù)與拋物線的解析式得：整理得：∵x1+x2=4-3k，x1?x2=-3，∴x12+x22=（4-3k）2+6=10，解得：∴（3）∵函數(shù)的對稱軸為直線x=2，當(dāng)m＜2時，當(dāng)x=m時，y有最大值，=-（m-2）2+3，解得m=±，∴m=-，當(dāng)m≥2時，當(dāng)x=2時，y有最大值，∴=3，∴m=，綜上所述，m的值為-或．【點(diǎn)撥】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式，拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的增減性，掌握數(shù)形結(jié)合的方法與分類討論是解題的關(guān)鍵.22．(1)4萬元(2)(3)當(dāng)A，B兩個項(xiàng)目分別投入28萬，4萬元時，一年后獲得的收益之和最大，最大值是16萬元．【分析】（1）把代入可得答案；（2）當(dāng)時，可得，再解方程可得答案；（3）設(shè)投入到B項(xiàng)目的資金為萬元，則投入到A項(xiàng)目的資金為萬元，設(shè)總收益為y萬元，，而，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．【詳解】（1）解：∵投資A項(xiàng)目一年后的收益（萬元）與投入資金x（萬元）的函數(shù)表達(dá)式為：，當(dāng)時，（萬元）；（2）∵對A，B兩個項(xiàng)目投入相同的資金m（）萬元，一年后兩者獲得的收益相等，∴，整理得：，解得：，（不符合題意），∴m的值為8．（3）設(shè)投入到B項(xiàng)目的資金為萬元，則投入到A項(xiàng)目的資金為萬元，設(shè)總收益為y萬元，∴，而，∴當(dāng)時，（萬元）；∴當(dāng)A，B兩個項(xiàng)目分別投入28萬，4萬元時，一年后獲得的收益之和最大，最大值是16萬元．【點(diǎn)撥】本題考查的是正比例函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程的解法，列二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，理解題意，選擇合適的方法解題是關(guān)鍵．23．(1)，點(diǎn)的坐標(biāo)為；(2)存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【分析】（1）由可得，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，令，即可得點(diǎn)坐標(biāo)；（2）分兩種情況：①當(dāng)為菱形的對角線時，②當(dāng)為菱形的一條邊時，根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：，，，拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)，，解得，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，令，得，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）解：存在，、，，，設(shè)所在直線的函數(shù)表