專題04 等邊三角形（知識串講+5大考點(diǎn)）原卷版

專題04等邊三角形考點(diǎn)類型知識串講（一）等邊三角形（特殊的等腰三角形）（1）等邊三角形性質(zhì)①等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每一個角都等于60o②在直角三角形中，如果一個銳角等于30o，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半（2）等邊三角形判定①三個角都相等的三角形是等邊三角形。②有一個角是60o的等腰三角形是等邊三角形。（二）解題方法（1）三角形三個內(nèi)角的平分線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三邊的距離等。（2）三角形三個邊的中垂線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個頂點(diǎn)的距離相等。（3）常用輔助線：=1\*GB3①三線合一；=2\*GB3②過中點(diǎn)做平行線[來源:（4）含30°角的直角三角形性質(zhì)（三）等腰三角形與等邊三角形的區(qū)別與聯(lián)系考點(diǎn)訓(xùn)練考點(diǎn)1：等邊三角形的性質(zhì)——求角度典例1：（2023春·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）如圖，將等邊三角形ABC紙片折疊，使得點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)D落在BC邊上，其中折痕分別交邊AB,AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接DE,DF．若DF⊥BC，則∠AEF

A．15° B．30° C．45° D．60°【變式1】（2023·北京海淀·人大附中校考三模）用一塊等邊三角形的硬紙片（如圖1）做一個底面為等邊三角形且高相等的無蓋的盒子（邊縫忽略不計(jì)，如圖2），在△ABC的每個頂點(diǎn)處各剪掉一個四邊形，其中四邊形AMDN中，∠MDN的度數(shù)為（

）

A．100° B．110° C．120° D．130°【變式2】（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖，BD是等邊△ABC的邊AC上的高，以點(diǎn)D為圓心，DB長為半徑作弧交BC的延長線于點(diǎn)E，則∠DEC=（

）

A．20° B．25° C．30° D．35°【變式3】（2023·河南周口·河南省淮陽中學(xué)?？既＃┤鐖D，l∥m，等邊三角形ABC的頂點(diǎn)B在直線m上，∠1=25°，則∠2的度數(shù)為（

）

A．65° B．45° C．40° D．35°考點(diǎn)2：等邊三角形的性質(zhì)——求線段典例2：（2023春·廣東清遠(yuǎn)·八年級校聯(lián)考期中）如圖，點(diǎn)E在等邊△ABC的邊BC上，BE=6，射線CD⊥BC，垂足為點(diǎn)C，點(diǎn)P是射線CD上一動點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AB上一動點(diǎn)，當(dāng)EP+FP的值最小時，BF=7，則AB的長為（

）

A．7 B．8 C．9 D．10【變式1】（2023春·全國·八年級階段練習(xí)）如圖，等邊△ABC的邊長為4，AD是△ABC的邊BC上的高，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，則AE的長是（）A．1 B．2 C．3 D．4【變式2】（2023秋·山東威?！て吣昙壗y(tǒng)考期末）如圖，△ABC和△BDE都是等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同一條直線上，BE=2，CE=4，則A．6 B．5 C．8 D．7【變式3】（2023春·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，△ABC是等邊三角形，D是線段BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接AD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB,AC的延長線上，且DE=DF=AD，點(diǎn)D從B運(yùn)動到C的過程中，△CDF周長的變化規(guī)律是（

）A．不變 B．一直變小 C．先變大后變小 D．先變小后變大考點(diǎn)3：等邊三角形的性質(zhì)與判定綜合典例3：（2023秋·八年級課時練習(xí)）如圖，已知等邊三角形ABC的邊長為3，過AB邊上一點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E，Q為BC延長線上一點(diǎn)，取PA=CQ，連接PQ，交AC于點(diǎn)M，則EM的長為（

）

A．12 B．32 C．1 D【變式1】（2022秋·安徽黃山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知等邊△ABC和等邊△BPE，點(diǎn)P在BC的延長線上，EC的延長線交AP于點(diǎn)M，連接BM，有下列結(jié)論：①AP=CE；

②∠PME=60°；

③MB平分∠AME；

④AM+MC=BM，其中正確的結(jié)論是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【變式2】（2023春·重慶九龍坡·八年級重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校校考開學(xué)考試）如圖，點(diǎn)D、點(diǎn)E分別是等邊△ABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，且AD=CE，連接CD、BE交于點(diǎn)O，在OB上截取OF，使得A．BE=CD B．∠BOC=120° C．∠BDF=∠ACD D．DO=OC【變式3】（2023秋·四川宜賓·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在直線AC的同一側(cè)作兩個等邊三角形△ABD和△BCE，連接AE與CD，AE與CD交于點(diǎn)H，AE與BD交于點(diǎn)G，BE與CD交于點(diǎn)F，連接GF、BH．過B點(diǎn)作CD、AE的垂線段BM、BN，垂足分別為M、N．①AE=DC②∠AHD=60°③△EGB≌△CFB④∠AHB=∠CHB⑤GF∥AC⑥BM=BN．以上6個結(jié)論中，正確的個數(shù)有（A．6 B．5 C．4 D．3考點(diǎn)4：含30°角的直角三角形典例4：（2023·河南濮陽·統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B在x軸上，現(xiàn)將等邊△AOB向右平移適當(dāng)長度得到對應(yīng)△CDE，且AB，CD交于點(diǎn)P，若OD=2BP=4，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

）

A．6,0 B．132,0 C．7,33【變式1】（2023秋·廣西崇左·八年級統(tǒng)考期末）如圖，等邊三角形ABC中，D、E分別為AB、BC邊上的兩個動點(diǎn)，且總使AD=BE，AE與CD交于點(diǎn)F，AG⊥CD于點(diǎn)G，則FG:AF等于（A．1 B．2 C．13 D．【變式2】（2023春·福建寧德·八年級統(tǒng)考期中）如圖，∠AOB=60°，點(diǎn)P在邊OA上，點(diǎn)M、N在邊OB上（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），OP=8，MN=2，若PM=PN，則OM的長為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【變式3】（2023春·山東青島·八年級即墨市第二十八中學(xué)?？计谥校┮阎鐖DAC=BC=12，∠B=15°，AD⊥BC于D．則AD的長是（

）A．4 B．5 C．6 D．7考點(diǎn)5：等邊三角形的動點(diǎn)問題典例5：（2022秋·廣西南寧·八年級廣西大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┤鐖D，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6，D為AB的中點(diǎn)，P為BC上一動點(diǎn)，連接AP，DP，則AP+DP的最小值是__________【變式1】（2022秋·湖北十堰·八年級統(tǒng)考期中）如圖，∠AOB=60°，C是BO延長線上一點(diǎn)，OC=12cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CB以2cm/s的速度移動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)沿OA以1cm/s的速度移動，如果點(diǎn)P、Q同時出發(fā)，用ts表示移動的時間，當(dāng)t=【變式2】（2023秋·山東德州·八年級統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，以O(shè)A為邊在第二象限作等邊△AOB，點(diǎn)M、N分別為OA、OB邊上的動點(diǎn)，以MN為邊在x軸上方作等邊△MNE，連結(jié)OE，當(dāng)∠EMO=45°時，則∠MEO的度數(shù)為【變式3】（2023秋·河南安陽·八年級?？计谀┤鐖D，∠AOB=30°，點(diǎn)M，N分別是射線OA，OB上的動點(diǎn)，點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，且OP=5，則△PMN的周長的最小值為同步過關(guān)一、單選題1．（2023秋·黑龍江牡丹江·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，交BC于點(diǎn)E，BE=10cm，則邊AC的長為（

）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm2．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，在等邊△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，點(diǎn)E在BC的延長線上，且∠E=30°，則CE的長是（A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm3．（2023秋·八年級單元測試）如圖，直線l//m//n，等邊三角形ABC的頂點(diǎn)B、C分別在直線n和m上，邊BC與直線n所夾的銳角β為25°，則∠α的度數(shù)為（

）A．25° B．45° C．35° D．30°4．（2022秋·青海西寧·八年級統(tǒng)考期末）如圖，∠AOB＝60°，以點(diǎn)O為圓心，以適當(dāng)長為半徑作弧交OA于點(diǎn)C，交OB于點(diǎn)D；分別以C，D為圓心，以大于12CD的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部相交于點(diǎn)P；畫射線OP，在射線OP上截取線段OM＝6，則點(diǎn)M到OB的距離為（A．6 B．5 C．4 D．35．（2023秋·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第十七中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）下列說法中：①與線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上；②等腰三角形的高、中線、角平分線互相重合；③如果三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形；④有一個角是60°的三角形是等邊三角形．正確的說法有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個6．（2022春·湖南岳陽·八年級統(tǒng)考期末）在Rt△ABC中，∠C=30°，斜邊AC的長為5cm，則AB的長為（A．2.5cm B．2cm C．3cm D．4cm7．（2023·浙江·九年級自主招生）如圖，C是線段BD上一點(diǎn)，分別以BC、CD為邊長在BD同側(cè)作等邊三角形BCA和等邊三角形CDE，連接BE,AD，分別交AC于M，交CE于N．若AC=3,CM=2，則CN=（

）A．2 B．2.5 C．3 D．3.58．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，將△ABC沿BC所在直線向右平移得到△A'B'CA．2 B．4 C．5 D．69．（2023秋·河南漯河·八年級漯河市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在等邊△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，且CE=2，則AB的長為（）A．8 B．4 C．6 D．7.510．（2022秋·廣東珠海·八年級珠海市紫荊中學(xué)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，△ACM、△BCN是等邊三角形．AN與CM交于點(diǎn)B，BM與CN交于點(diǎn)F，AN與BM交于點(diǎn)D．下列結(jié)論：①AN=BM；②EF∥AB；③CE=BF；④CD⊥EF；⑤DC平分∠A．①③④ B．①②③⑤ C．①③⑤ D．①②③④⑤二、填空題11．（2022春·黑龍江綏化·七年級綏化市第八中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，∠A＝60°，AD＝2，則BD＝______．12．（2022秋·福建廈門·八年級統(tǒng)考期中）在ΔABC中，AB=AC=10cm，∠A=60°，則BC=13．（2022秋·廣西南寧·八年級廣西大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┤鐖D，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6，D為AB的中點(diǎn)，P為BC上一動點(diǎn)，連接AP，DP，則AP+DP的最小值是__________14．（2022春·江蘇蘇州·八年級校考期末）如圖，RtΔABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D為BC的中點(diǎn)，若動點(diǎn)E以1cm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿著A→B→A的方向運(yùn)動，設(shè)E點(diǎn)的運(yùn)動時間為t秒（0≤t≤6），連接DE，當(dāng)ΔBDE是直角三角形時，t15．（2023秋·河南鶴壁·八年級鶴壁市外國語中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列命題中，是真命題的是______（只填序號）．①全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等；②有兩邊和一角相等的兩個三角形全等；③有一個角等于60度的等腰三角形是等邊三角形；④3是9的平方根．16．（2022秋·遼寧鞍山·八年級統(tǒng)考期中）如圖，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)M，N分別在BC、AC上，且BM=CN，AM與BN交于Q點(diǎn)，則∠AQN的度數(shù)為___________．三、解答題17．（2023秋·廣東廣州·八年級廣州市第八十九中學(xué)?？计谥校┤鐖D，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若BD=6，求AC的長．

18．（2023秋·廣東廣州·八年級?？计谀┤鐖D：在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D,E分別是AB,BC延長線上的點(diǎn)，且BD=CE．求證：∠BCD=∠CAE．19．（2022秋·八年級單元測試）如圖，△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，BC的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E．求證：（1）AE=DE；（2）若AE=6，求CE的長．20．（2023春·山東青島·八年級統(tǒng)考期中）如圖，△ABC中，AB＝AC，AD⊥AC交BC于點(diǎn)D，且∠CDA=60°，BD＝2，求BC的長．21．（2022秋·江西宜春·八年級校考期中）圖①中所示的遮陽傘，傘柄垂直于地面，其示意圖如圖②．當(dāng)傘收緊時，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合；當(dāng)傘慢慢撐開時，動點(diǎn)P由A向B移動；當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時，傘張得最開．已知傘在撐開的過程中，總有PM=PN，CM=CN．(1)求證：PC垂直平分MN；(2)若CN=PN=60cm，當(dāng)∠CPN=60°時，求AP22．（2022春·七年級單元測試）已知，如圖，∠B=∠C，AB∥DE，EC=ED，求證：△DEC為等邊三角形．

23．（2022秋·廣西百色·八年級統(tǒng)考期中）已知△ABC的三邊長分別為a，b，c．(1)若a，b，c滿足（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，試判斷△ABC的形狀；(2)若a＝4，b＝2，且c為整數(shù)，求△ABC的周長．24．（2023秋·浙江杭州·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)M、N分別在正△ABC（在正三角形中每一條邊都相等，每一角都相等）的BC，CA邊上，且BM=CN，AM，BN交于點(diǎn)Q．(1)判斷△ABM與△BCN是否全等，并說明理由．(2)判斷∠BQM是否會等于60°，并說明理由．(3)若將題中的點(diǎn)M，N分別移動到BC，CA的延長線上，且BM=CN，是否能得到∠BQM=60°？請說明理由．25．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）在學(xué)習(xí)全等三角形的知識時，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個模型：它是由兩個共頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成的，在相對位置變化的