拓展專題5指對跨階同構(gòu)的應(yīng)用（學(xué)生版）

拓展專題5指、對跨階同構(gòu)的運(yùn)用近年來同構(gòu)函數(shù)頻頻出現(xiàn)在高考試卷中，導(dǎo)數(shù)綜合題還會出現(xiàn)形如：x+近年來同構(gòu)函數(shù)頻頻出現(xiàn)在高考試卷中，導(dǎo)數(shù)綜合題還會出現(xiàn)形如：x+ex,x+lnx這類跨階函數(shù)整理，把指數(shù)、對數(shù)各一邊，參數(shù)是關(guān)鍵，湊形是難點(diǎn)；變形，為了實(shí)現(xiàn)不等式兩邊結(jié)構(gòu)相同的目的，要常對指數(shù)式進(jìn)行“改頭換面”，如xe這類問題常是高考把關(guān)題、壓軸題，比較難，需要細(xì)心體悟，總結(jié)?！K省清江中學(xué)高級教師崔緒春探究1：積型【典例剖析】例1.(2021·湖北省八市聯(lián)考)設(shè)實(shí)數(shù)t>0，若不等式e2tx-ln2+lnxt≥0對x>0恒成立，則t的取值范圍為A.[12e,+∞) B.[1e,+∞)選題意圖:選題意圖:同構(gòu)思想可快速解決恒成立問題，使問題得到最大限度的簡化.對于含有指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的混合型不等式，通過指對互化，將不等式左右兩邊化為結(jié)構(gòu)完全相同的式子，例1含參，不等式需要進(jìn)行配湊才能滿足積型結(jié)構(gòu).思維引導(dǎo)：不等式的結(jié)構(gòu)較為常規(guī)，變形為te2tx≥ln2x,容易聯(lián)想到不等式兩邊同乘以2x，構(gòu)造函數(shù)Fx=xex，【變式訓(xùn)練】練11(2022·福建省莆田市月考)對于任意實(shí)數(shù)x>0，不等式2ae2x-lnx+lna≥0練12(2022·云南省昆明市模擬)已知函數(shù)f(x)=xlnx-(a+1)x+a．

(1)求函數(shù)f(x)的極值;

(2)若不等式f(x)≤(x-a-2)e(x-1)+a對任意x∈[1,+∞)恒成立，求實(shí)數(shù)a【規(guī)律方法】解決指對混合不等式時,常規(guī)的方法計(jì)算復(fù)雜將不等式變形為f[g(x)]>f[h(x)]的結(jié)構(gòu),f(x)即為外層函數(shù),其單調(diào)性易于研究.常見變形方式:xex=ex+lnx,ex=1\*GB3①同左:aea≤lnbelnb,構(gòu)造函數(shù)=2\*GB3②同右:ealnea≤blnb,構(gòu)造函數(shù)=3\*GB3③取對數(shù):a+lna≤lnb+lnlnb,構(gòu)造函數(shù)fx=x+lnx.探究2：商型【典例剖析】例2.(2022·遼寧省朝陽市聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=aexlnx，g(x)=x2+xlna，a>0．

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

(2)設(shè)函數(shù)h(x)=g(x)-f(x)，若h(x)>0選題意圖選題意圖：該題恒成立的不等式中出現(xiàn)ex與lnx相乘的結(jié)構(gòu)，對不等式的變形要使兩者分開，考驗(yàn)“眼力”轉(zhuǎn)化為商型結(jié)構(gòu)思維引導(dǎo)：第（2）問中，不等式兩邊同除以xex，再利用對數(shù)運(yùn)算合并，轉(zhuǎn)化為lnaexaex>lnxx，【變式訓(xùn)練】練21(2022·廣東省聯(lián)考)若對任意的實(shí)數(shù)0<x<1，不等式alnxx<x+lnaex【規(guī)律方法】商型eaa≤blnb(或a=1\*GB3①同左:eaa≤elnblnb(或aea≤=2\*GB3②同右:ealnea≤blnb(或lnea=3\*GB3③取對數(shù):a-lna≤lnb-lnlnb(或lna-a≤lnlnb-lnb),構(gòu)造函數(shù)fx=x-lnx(或f探究3：和差型【典例剖析】例3.(2021·黑龍江省哈爾濱市模擬)已知關(guān)于x的不等式ex-mx-ln?x-ln(m+1)≥0在(0,+∞)恒成立，則A.(-1,e-1] B.(-1,1] C.(e-1,1] D.(1,e]選題意圖選題意圖：指數(shù)和對數(shù)混合的導(dǎo)數(shù)題，直接使用同構(gòu)的題目不多，多數(shù)情況下需要配湊出同構(gòu)的形式，本題出現(xiàn)lnm+1x，容易聯(lián)想到配湊出lnm+1x+m+1思維引導(dǎo)：不等式的結(jié)構(gòu)容易聯(lián)想到和差型ea±a≤b±lnb結(jié)構(gòu)，配湊出ex+x≥lnm+1【變式訓(xùn)練】練31(2022·江蘇省鹽城市高三期中)設(shè)函數(shù)f(x)=ex(1)當(dāng)a=0時，求f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形的面積;(2)當(dāng)x∈(-a,+∞)時，f(x)≥a恒成立，求a的最大值．練32(2022·湖南省聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=1+aexlnx．

(1)當(dāng)a=1(2)若不等式f(x)≥ex(xa【規(guī)律方法】1.和差型ea±a≤b±lnb同構(gòu),=1\*GB3①同左:ea±a≤elnb±lnb,=2\*GB3②同右:ea±lnea≤b±lnb,補(bǔ)充：1.先湊再變形

若式子無法直接進(jìn)行變形同構(gòu),往往需要湊常數(shù)、湊參數(shù)或湊變量,如兩邊同乘以x,同加上x等,再用上述方式變形.常見的變形有:

=1\*GB3①aeax>lnx→axeax>xlnx;

=2\*GB3②eex-lna+x-lna>lnx-1+x-1→ex-lna+x-lna>eln?(x-1)2.同構(gòu)放縮或同構(gòu)換元共存有些更復(fù)雜的指對不等式,利用常見的變形方法先進(jìn)行同構(gòu)變形再換元,使構(gòu)造的函數(shù)較為簡單,或者不等式本身的結(jié)構(gòu)不特殊,可以先結(jié)合常用不等結(jié)論放縮.常見的放縮模型:

=1\*GB3①利用ex≥