人教A版高中數(shù)學(xué)(必修第一冊)同步講義第23講 4.1指數(shù)（原卷版）

第01講4.1指數(shù)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的含義，并且能進(jìn)行兩者之間的互化。②掌握根式的性質(zhì)，并能運用根式的運算性質(zhì)進(jìn)行根式的運算。③掌握實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，學(xué)會化簡較復(fù)雜的運算式子。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，能將初中的根式與本節(jié)課根式進(jìn)行順利對接與延伸，條件的擴充使指數(shù)的運算性質(zhì)內(nèi)容更充實，條件更充分，運算更徹底，因此本節(jié)課的內(nèi)容具有承上啟下的作用，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)要求掌握根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的具體運算，并能進(jìn)行兩者的互化，運用實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)進(jìn)行化簡.知識點01：整數(shù)指數(shù)冪1、正整數(shù)指數(shù)冪的定義：SKIPIF1<0，其中，SKIPIF1<02、正整數(shù)指數(shù)冪的運算法則：①SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）②SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）③SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）④SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）⑤SKIPIF1<0（SKIPIF1<0SKIPIF1<0）知識點02：根式1、SKIPIF1<0次根式定義：一般地，如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0的SKIPIF1<0次方根，其中SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.特別的：①當(dāng)SKIPIF1<0是奇數(shù)時，正數(shù)的SKIPIF1<0次方根是一個正數(shù)，負(fù)數(shù)的SKIPIF1<0次方根是一個負(fù)數(shù).這時，SKIPIF1<0的SKIPIF1<0次方根用符號表示SKIPIF1<0.②當(dāng)SKIPIF1<0是偶數(shù)時，正數(shù)的SKIPIF1<0次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù).這時，正數(shù)SKIPIF1<0的正的SKIPIF1<0次方根用符號SKIPIF1<0表示，叫做SKIPIF1<0的SKIPIF1<0次算術(shù)根；負(fù)的SKIPIF1<0次方根用符號SKIPIF1<0表示.正的SKIPIF1<0次方根與負(fù)的SKIPIF1<0次方根可以合并寫成SKIPIF1<0(SKIPIF1<0).③負(fù)數(shù)沒有偶次方根；④SKIPIF1<0的任何次方根都是SKIPIF1<0，記作SKIPIF1<02、根式：式子SKIPIF1<0叫做根式，這里SKIPIF1<0叫做根指數(shù)，SKIPIF1<0叫做被開方數(shù)．在根式符號SKIPIF1<0中，注意：①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0②當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時，SKIPIF1<0對任意SKIPIF1<0都有意義③當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)時，SKIPIF1<0只有當(dāng)SKIPIF1<0時才有意義.3、SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的區(qū)別：①當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）②當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)時，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）③當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0④SKIPIF1<0為偶數(shù)時，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【即學(xué)即練1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)時，SKIPIF1<0【答案】D【詳解】當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)時，SKIPIF1<0.故選：D知識點03：分式指數(shù)冪1、正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）于是，在條件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0下，根式都可以寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式.2、正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義相仿，我們規(guī)定，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）.3、SKIPIF1<0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.【即學(xué)即練2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）化簡：SKIPIF1<0=．（用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示）.【答案】SKIPIF1<0【詳解】因為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.知識點04：有理數(shù)指數(shù)冪①SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）②SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）③SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0）知識點05：無理數(shù)指數(shù)冪①SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）②SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）③SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0）【即學(xué)即練3】（2023·高一課時練習(xí)）計算SKIPIF1<0.【答案】0【詳解】原式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0題型01根式的概念【典例1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）二次根式SKIPIF1<0成立的條件是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0是任意實數(shù)【典例2】（2023·高一課時練習(xí)）81的4次方根是．【變式1】（2023·高一課時練習(xí)）625的四次方根為.【變式2】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）SKIPIF1<0的平方根為，SKIPIF1<0的SKIPIF1<0次方根為；已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；題型02根式的化簡(求值)【典例1】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．1 B．5 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）當(dāng)SKIPIF1<0有意義時，化簡SKIPIF1<0的結(jié)果是（

）A．2x－5 B．－2x－1C．－1 D．5－2x【變式1】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）若SKIPIF1<0，化簡SKIPIF1<0的結(jié)果是（

）A．5－2a B．2a－5C．1 D．－1【變式2】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）有下列說法：①SKIPIF1<0；②16的4次方根是SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0．其中，正確的有(填序號)．題型03分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的簡單計算【典例1】（多選）（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）（多選題）下列各式中一定成立的有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023·高一課時練習(xí)）根式SKIPIF1<0的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】（2023秋·山西·高一校聯(lián)考期中）（1）化簡：SKIPIF1<0.（結(jié)果用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示）（2）化簡：SKIPIF1<0.（結(jié)果用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示）（3）求值：SKIPIF1<0.【變式1】（2023·高一單元測試）下列式子的互化正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式2】（2023·全國·高一假期作業(yè)）化簡求值:(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）.【變式3】（2023·高一課時練習(xí)）用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示下列各式（式中字母均為正數(shù)）：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0.題型04條件求值【典例1】（2023秋·河南鄭州·高一鄭州市第七中學(xué)?？计谀┮阎猄KIPIF1<0，下列各式中正確的個數(shù)是（

）①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0；A．1 B．2 C．3 D．4【典例2】（2022秋·江蘇南通·高一江蘇省南通中學(xué)校考期中）（1）求SKIPIF1<0的值；（2）已知SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.【典例3】（2022秋·江西萍鄉(xiāng)·高一江西省蓮花中學(xué)?？计谥校┯嬎阆铝懈魇?1)SKIPIF1<0；(2)已知SKIPIF1<0，求下列各式的值：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0．【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）（1）計算SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【變式3】（2022秋·廣西玉林·高一?？计谥校┮阎猄KIPIF1<0，則SKIPIF1<0．A夯實基礎(chǔ)B能力提升A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）化簡SKIPIF1<0的結(jié)果為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）化簡SKIPIF1<0的結(jié)果為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2023·高一課時練習(xí)）計算SKIPIF1<0，結(jié)果是（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2023·全國·高一假期作業(yè)）有下列四個命題：①正數(shù)的偶次方根是一個正數(shù)；②正數(shù)的奇次方根是一個正數(shù)；③負(fù)數(shù)的偶次方根是一個負(fù)數(shù)；④負(fù)數(shù)的奇次方根是一個負(fù)數(shù)．其中正確的個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．35．（2023·全國·高一專題練習(xí)）化簡SKIPIF1<0（a，b為正數(shù)）的結(jié)果是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2023·全國·高三專題練習(xí)）2021年5月15日，中國首次火星探測任務(wù)天問一號探測器在火星成功著陸.截至目前，祝融號火星車在火星上留下1900多米的“中國腳印”，期待在2050年實現(xiàn)載人登陸火星.已知所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，且所有行星軌道的半長軸的三次方與它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等.若火星與地球的公轉(zhuǎn)周期之比約為SKIPIF1<0，則地球運行軌道的半長軸與火星運行軌道的半長軸的比值約為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值是（

）A．15 B．12 C．16 D．258．（2023·全國·高三專題練習(xí)）SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題9．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）下列說法正確的是（）A．16的4次方根是2B．SKIPIF1<0的運算結(jié)果是±2C．當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時，SKIPIF1<0對任意SKIPIF1<0都有意義D．當(dāng)n為大于1的偶數(shù)時，SKIPIF1<0只有當(dāng)SKIPIF1<0時才有意義10．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0三、填空題11．（2023·高一課時練習(xí)）求值：SKIPIF1<0．12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）SKIPIF1<0四、解答題13．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）計算：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<014．（2023·江蘇