人教A版高中數(shù)學必修第二冊同步講義第33講 平面與平面垂直（原卷版）

第33課平面與平面垂直目標導航目標導航課程標準課標解讀1.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，會求簡單的二面角的平面角.2.掌握兩個平面互相垂直的概念，能用定義和定理判定面面垂直.3.掌握面面垂直的性質(zhì)定理，并能利用面面垂直的性質(zhì)定理證明一些簡單的問題．1.空間中平面與平面的垂直關系是“空間直線、平面的垂直”中的又一個重點，是繼直線、平面的平行關系，直線與平面的垂直關系之后的遷移與拓展，是“類比”與“轉(zhuǎn)化”思想的又一重要體現(xiàn).本節(jié)內(nèi)容包括二面角和兩個平面互相垂直的定義、判定與性質(zhì)，這一節(jié)的學習對理順“空間直線、平面的垂直”的知識結構體系、提高學生的綜合能力起著十分重要的作用.2.一平面與平面的重直需要“一面角”的概念，一面角定量地反映了兩個平面相交的位置關系日是如何來刻畫二面角的太小是一個難點根據(jù)“異面直線所成的角”和“直線與平面所成的角的學習經(jīng)驗，借助“空間問題平面化”的思想，借鑒平面幾何中利用角刻畫兩條相交直線的位置關系，進而研究直線與直線互相垂直這種特殊情況的方法，教材按照直觀感知、操作確認、抽象概括的方式得出二面角的平面角的定義.通過類比直線與直線垂直、直線與平面垂直的定義,探索得出空間中兩個平面互相垂直的定義，從中體會定義一個數(shù)學對象的基本思想.知識精講知識點01二面角的概念知識精講1．定義：從一條直線出發(fā)的所組成的圖形．2．相關概念：(1)這條直線叫做二面角的棱；(2)兩個半平面叫做二面角的．3．畫法：=4．記法：二面角α或二面角或二面角或二面角P－AB－Q.5．二面角的平面角：(1)若有①O∈l；②OA?α，OB?β；③OA⊥l，OB⊥l，則二面角α－l－β的平面角是.(2)二面角的平面角α的取值范圍是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角．【即學即練1】對于直線m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一個條件是()A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n?αC．m∥n，n⊥β，m?α D．m∥n，m⊥α，n⊥β知識點02平面與平面垂直1．平面與平面垂直的定義(1)定義：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是，就說這兩個平面互相垂直．(2)畫法：(3)記作：.2．平面與平面垂直的判定定理文字語言如果一個平面過另一個平面的，那么這兩個平面垂直符號語言l⊥α，?α⊥β圖形語言【即學即練2】在三棱錐A－BCD中，AD⊥BC，AD⊥CD，則有()A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ADC⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ABC⊥平面ADB知識點03平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的，那么這條直線與另一個平面符號語言α⊥β，α∩β＝l，a?α，?a⊥β圖形語言【即學即練2】如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中點．求證：平面ABM⊥平面A1B1M.能力拓展能力拓展考法01二面角的求法【典例1】如圖所示，已知三棱錐A－BCD的各棱長均為2，求二面角A－CD－B的平面角的余弦值．反思感悟求二面角的平面角的大小的步驟【變式訓練】從空間一點P向二面角α－l－β的兩個面α，β分別作垂線PE，PF，E，F(xiàn)為垂足，若∠EPF＝60°，則二面角α－l－β的平面角的大小是()A．60° B．120°C．60°或120° D．不確定考法02平面與平面垂直的判定【典例2】如圖，在邊長為a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求證：平面PDB⊥平面PAC.反思感悟證明平面與平面垂直的方法(1)利用定義：證明二面角的平面角為直角．(2)利用面面垂直的判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直．【變式訓練】如圖，已知三棱錐S－ABC中，側棱SA＝SB＝SC，∠ABC＝90°，求證：平面ABC⊥平面ASC.考法03平面與平面垂直的性質(zhì)定理【典例3】【變式訓練】如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求證：BC⊥AB.反思感悟利用面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直的問題時，要注意以下三點(1)兩個平面垂直．(2)直線必須在其中一個平面內(nèi)．(3)直線必須垂直于它們的交線．【變式訓練】如圖所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2.將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D－ABC.求證：BC⊥平面ACD.分層提分分層提分題組A基礎過關練一、單選題1．已知m，n，l是直線，α，β是平面，α⊥β，α∩β=l，n?β，n⊥l，m⊥α，則直線m與n的位置關系是（）A．異面 B．相交但不垂直 C．平行 D．相交且垂直2．設m，n是不同的直線，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<03．如圖所示，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是銳角三角形，那么必有（）A．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 B．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 D．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<04．若一個正四棱錐的高和底面邊長都為a，則它的側面與底面所成角的余弦值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．對于直線m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一個條件是（）A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n?αC．m∥n，n⊥β，m?α D．m∥n，m⊥α，n⊥β6．如圖所示，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列命題不正確的是（）A．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 B．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 D．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0二、多選題7．已知直線l和不重合的兩個平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，下列命題正確的是（）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<08．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，則下列命題中正確的是（）A．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0三、填空題9．在矩形ABCD中，SKIPIF1<0，點E為CD的中點（如圖1），沿AE將△SKIPIF1<0折起到△SKIPIF1<0處，使得平面SKIPIF1<0平面ABCE（如圖2），則直線PC與平面ABCE所成角的正切值為___________.11．如圖，在棱長為a的正方體SKIPIF1<0中，E、F分別是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點．則點A和點SKIPIF1<0的距離為______，點SKIPIF1<0到棱BC的距離為______，點E到平面SKIPIF1<0的距離為______，SKIPIF1<0到平面AEFD的距離為______．12．菱形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿BD折起，SKIPIF1<0點變?yōu)镋點，當四面體SKIPIF1<0的體積最大時，四面體SKIPIF1<0的外接球的表面積為___________.四、解答題13．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA＝PD，底面ABCD是矩形，側面PAD⊥底面ABCD，E是AD的中點．（1）求證：AD∥平面PBC；（2）求證：AB⊥平面PAD14．如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上的動點，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點.(1)若SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點，證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，試確定點SKIPIF1<0的位置，并說明理由.題組B能力提升練一、單選題1．設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）A．若m⊥α，n?β，m⊥n，則α⊥βB．若m∥α，m∥n，則n∥αC．若m∥n，n⊥β，m?α，則α⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，則n⊥β2．PA垂直于正方形ABCD所在平面，連接PB、PC、PD、AC、BD，則下列垂直關系正確的是（）①平面SKIPIF1<0平面PAD；②平面SKIPIF1<0平面PBC；③平面SKIPIF1<0平面PCD；④平面SKIPIF1<0平面PAC．A．①② B．①③ C．②③ D．②④3．下列說法正確的是（）A．若兩條直線和同一平面所成的角相等，則這兩直線平行B．若一個平面內(nèi)有三個點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行C．若兩個平面都垂直于同一平面，則這兩個平面平行D．若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行4．攢尖在中國古建筑（如宮殿、壇廟、園林等）中大量存在，攢尖式建筑的屋面在頂部交匯成寶頂，使整個屋頂呈棱錐或圓錐形狀.始建于SKIPIF1<0年的廓如亭（位于北京頤和園內(nèi)，如圖）是全國最大的攢尖亭宇，八角重檐，蔚為壯觀.其檐平面呈正八邊形，上檐邊長為SKIPIF1<0，寶頂?shù)缴祥芷矫娴木嚯x為SKIPIF1<0，則攢尖坡度（即屋頂斜面與檐平面所成二面角的正切值）為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．已知平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0交于直線SKIPIF1<0，且直線SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0，且直線SKIPIF1<0不重合，則下列命題錯誤的是（）A．若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不垂直，則SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不平行，則SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<06．給出下列四個命題：①各側面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；②若直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；③若平面外兩點到平面的距離相等，則過兩點的直線必平行于該平面；④異面直線a，b不垂直，則過a的任平面與b都不垂直．其中正確命題是（）A．①② B．②③ C．②④ D．③④二、多選題7．設SKIPIF1<0是給定的平面，A，B是不在SKIPIF1<0內(nèi)的任意兩點，則下列各選項正確的是（）A．在SKIPIF1<0內(nèi)存在直線與直線SKIPIF1<0異面B．在SKIPIF1<0內(nèi)存在直線與直線SKIPIF1<0相交C．在SKIPIF1<0內(nèi)存在直線與直線SKIPIF1<0平行D．存在過直線SKIPIF1<0的平面與SKIPIF1<0垂直8．如圖，在五棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等腰三角形．則（）A．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為的大小為60°C．四棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0D．四邊形SKIPIF1<0的面積為3三、填空題9．已知平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和直線SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的______條件．（在“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要”選一填寫．）10．如圖所示的四邊形SKIPIF1<0是邊長為SKIPIF1<0的正方形，對角線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交于點SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起到SKIPIF1<0的位置，使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．給出以下5個結論：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是等邊三角形；③平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0；⑤三棱錐SKIPIF1<0表面的四個三角形中，面積最大的是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．其中所有正確結論的序號是____________．11．在三棱錐SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0都是邊長為6的正三角形，則該三棱錐的外接球的體積為________.12．在邊長為4的正方形ABCD中，E，F(xiàn)，G分別為AD，BC，AB的中點，現(xiàn)將矩形CDEF沿EF折起，使平面CDEF與平面ABFE所成的二面角為直二面角，則四面體CEGF的外接球的表面積為___________.四、解答題13．在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點，且SKIPIF1<0.(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.14．如圖所示，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點.（1）求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）求四面體SKIPIF1<0的體積.題組C培優(yōu)拔尖練1．如圖，在四棱錐SKIPIF1