人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊同步講義第28講 直線與直線平行（原卷版）

第28課直線與直線平行目標導(dǎo)航目標導(dǎo)航課程標準課標解讀1.會判斷空間兩直線的位置關(guān)系.2.能用基本事實4和等角定理解決一些簡單的相關(guān)問題．．1.本節(jié)內(nèi)容包含一個基本事實、一個定理，是對學(xué)生原有的平面知識結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)的拓展，同時也是后面研究空間直線與平面平行、平面與平面平行的基礎(chǔ)，它在知識結(jié)構(gòu)上起著承上啟下的作用.教材以長方體為載體，讓學(xué)生直觀認識空間中直線與直線的位置關(guān)系，通過觀察得出基本事實4.基本事實4表明了平行線的傳遞性，可以作為判斷空間兩條直線平行的依據(jù)，同時它給出了空間兩條直線平行的一種證法2.通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，為學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何知識打下基礎(chǔ)，同時能更好地提升學(xué)生直觀想象和羅輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).知識精講知識精講知識點01基本事實4文字語言平行于同一條直線的兩條直線平行圖形語言符號語言直線a，b，c，a∥b，b∥c?作用證明兩條直線平行說明基本事實4表述的性質(zhì)通常叫做平行線的【即學(xué)即練1】如圖所示，在三棱錐S－MNP中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱SN，SP，MN，MP的中點，則EF與HG的位置關(guān)系是()A．平行 B．相交C．異面 D．平行或異面知識點02空間等角定理1．定理文字語言如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補符號語言O(shè)A∥O′A′，OB∥O′B′?∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°圖形語言作用判斷或證明兩個角相等或互補2.推廣如果兩條相交直線與另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等．反思感悟等角定理的結(jié)論是兩個角相等或互補，在實際應(yīng)用時一般是借助于圖形判斷是相等還是互補，還是兩種情況都有可能．【即學(xué)即練2】如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是AB，BB1，BC的中點，求證：△EFG∽△C1DA1.能力拓展能力拓展考法01基本事實4的應(yīng)用【典例1】如圖所示，在空間四邊形ABCD(不共面的四邊形稱為空間四邊形)中，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點．求證：四邊形EFGH是平行四邊形．反思感悟基本事實4表述的性質(zhì)通常叫做平行線的傳遞性，解題時首先找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行．【變式訓(xùn)練】如圖，已知在棱長為a的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，AD的中點．求證：四邊形MNA1C1是梯形．考法02等角定理的應(yīng)用【典例2】如圖所示，△ABC和△A′B′C′的對應(yīng)頂點的連線AA′，BB′，CC′交于同一點O，且eq\f(OA,OA′)＝eq\f(OB,OB′)＝eq\f(OC,OC′)＝eq\f(2,3)，則eq\f(S△ABC,S△A′B′C′)＝________.反思感悟【變式訓(xùn)練】如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，E1分別是棱AD，A1D1的中點．求證：∠BEC＝∠B1E1C1.分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練一、單選題1．空間兩個角α，β的兩邊分別對應(yīng)平行，且α=60°，則β為（）A．60° B．120° C．30° D．60°或120°2．若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關(guān)系是（

）A．異面或平行 B．異面或相交C．異面 D．相交、平行或異面3．過平面SKIPIF1<0外的直線l作一組平面與SKIPIF1<0相交，若所得交線分別為a，b，c…，則這些交線的位置關(guān)系為（

）A．相交于同一點 B．相交但交于不同的點C．平行 D．平行或相交于同一點4．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<05．在空間，下列說法正確的是A．兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形B．四邊相等的四邊形是菱形C．正方形確定一個平面D．三點確定一個平面6．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點E，H分別是邊AB，AD的中點，點F，G分別是邊BC，CD上的點，且SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（

）A．EF與GH平行B．EF與GH異面C．EF與GH的交點M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上D．EF與GH的交點M一定在直線AC上二、多選題7．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是空間三條不同的直線，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共面 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共面8．(多選題)下列命題中，錯誤的結(jié)論有（

）A．如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等B．如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等C．如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直，那么這兩個角相等或互補D．如果兩條直線同時平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行三、填空題9．在長方體SKIPIF1<0中，與SKIPIF1<0平行的棱有____________(填寫所有符合條件的棱)10．如圖是正方體的表面展開圖，E，F(xiàn)，G，H分別是棱的中點，則EF與GH在原正方體中的位置關(guān)系為______.11．如圖，空間四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別是△SKIPIF1<0和△SKIPIF1<0的重心，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0___.12．已知矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為線段SKIPIF1<0的中點，現(xiàn)將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻轉(zhuǎn)，直到與SKIPIF1<0首次重合，則此過程中，線段SKIPIF1<0的中點的運動軌跡長度為____________．四、解答題13．如圖1所示，在梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，將平面SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折起來，使SKIPIF1<0到達SKIPIF1<0的位置（如圖2），SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，求證:四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形.圖1

圖214．如圖所示，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的對應(yīng)頂點的連線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于同一點O，且SKIPIF1<0.（1）證明:SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）求SKIPIF1<0的值.15．在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別是邊SKIPIF1<0的中點．（1）求證：四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形；（2）若SKIPIF1<0，求證：四邊形SKIPIF1<0為菱形．16．如圖，在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是棱SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中點．（1）求證：四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形；（2）求證：SKIPIF1<0．題組B能力提升練一、單選題1．在空間四邊形ABCD中，AC=BD，E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點，順次連接各邊中點E，F(xiàn)，G，H，所得四邊形EFGH的形狀是（

）A．梯形 B．矩形C．正方形 D．菱形2．已知在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．對于空間三條直線，有下列四個條件：①三條直線兩兩相交且不共點；②三條直線兩兩平行；③三條直線共點；④有兩條直線平行，第三條直線和這兩條直線都相交．其中，使三條直線共面的充分條件有()A．1個 B．2個 C．3 D．4個4．如圖，在棱長為SKIPIF1<0的正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點，則直線SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點E，H分別是邊AB，AD的中點，點F，G分別是邊BC，CD上的點，且SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（

）A．EF與GH平行B．EF與GH異面C．EF與GH的交點M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上D．EF與GH的交點M一定在直線AC上6．如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別為線段SKIPIF1<0的中點，則下列說法正確的是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題7．已知三棱柱SKIPIF1<0的棱長均相等，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．(多選題)下列說法中，正確的結(jié)論有（

）A．如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等B．如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等C．如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直，那么這兩個角相等或互補D．如果兩條直線同時平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行三、填空題9．如圖，點P，Q，R，S分別在正方體的四條棱上，且是所在棱的中點，則直線PQ與RS是平行直線的圖是________(填序號).10．已知長方體SKIPIF1<0的體積為9，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且異面直線AC與SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，則該長方體的表面積為___________.11．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，H分別為AB，AD的中點，F(xiàn)，G分別是BC，CD上的點，且SKIPIF1<0，若BD＝6cm，梯形EFGH的面積為28cm2，則平行線EH，F(xiàn)G間的距離為________．12．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是空間中的三條相互不重合的直線，給出下列說法：①若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交；③若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0一定是異面直線；④若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0成等角，則SKIPIF1<0．其中正確的說法是______（填序號）．四、解答題13．如圖，E，F(xiàn)分別是長方體ABCD-A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中點．求證：四邊形B1EDF為平行四邊形．14．如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD各邊上的點，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）證明：E，F(xiàn)，G，H四點共面.（2）m，n滿足什么條件時，四邊形EFGH是平行四邊形？15．梯形ABCD中，AB∥CD，E、F分別為BC和AD的中點，將平面DCEF沿EF翻折起來，使CD到C′D′的位置，G、H分別為AD′和BC′的中點，求證：四邊形EFGH為平行四邊形.16．在如圖所示的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，E1，F(xiàn)1分別是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中點，求證：(1)SKIPIF1<0；(2)∠EA1F＝∠E1CF1.題組C培優(yōu)拔尖練一、單選題1．在正六棱柱SKIPIF1<0任意兩個頂點的連線中與棱AB平行的條數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．52．已知E，F(xiàn)，G，H分別為空間四邊形ABCD各邊AB，BC，CD，DA的中點，若對角線BD＝2，AC＝4，則EG2＋HF2的值是（

）A．5 B．10C．12 D．不能確定3．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點E，H分別是邊AB，AD的中點，點F，G分別是邊BC，CD上的點，且SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（

）A．EF與GH平行B．EF與GH異面C．EF與GH的交點M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上D．EF與GH的交點M一定在直線AC上4．如圖，在棱長為SKIPIF1<0的正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點，則直線SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別為線段SKIPIF1<0的中點，則下列說法正確的是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．如圖所示，在直角梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0上的點