人教A版高中數(shù)學必修第二冊同步講義第11講 平面幾何的向量方法（原卷版）

第11講平面幾何的向量方法目標導航目標導航課程標準課標解讀1.能用向量方法解決簡單的幾何問題.2.能用向量方法解決簡單的幾何應(yīng)用類問題和其他實際問題.3.體會向量在解決幾何在生活中的實際問題中的作用，培養(yǎng)學生的運算、分析和解決實際問題的能力．1.在系統(tǒng)學習向量知識的基礎(chǔ)上，能用向量方法解決簡單的幾何問題.2.提升學生實際問題中的知識抽象，能用向量方法解決簡單的幾何應(yīng)用類問題和其他實際問題.3.體會向量在解決幾何問題在生活中的實際問題中的作用，培養(yǎng)學生的運算、分析和解決實際問題的能力．知識精講知識精講知識點向量方法解決平面幾何問題的步驟用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題．(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題．(3)把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．【即學即練1】已知點A(－2，－3)，B(19,4)，C(－1，－6)，則△ABC是()A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形反思感悟用向量證明平面幾何問題的兩種基本思路(1)向量的線性運算法的四個步驟：①選取基底；②用基底表示相關(guān)向量；③利用向量的線性運算或數(shù)量積找到相應(yīng)關(guān)系；④把計算所得結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何問題．(2)向量的坐標運算法的四個步驟：①建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担虎诎严嚓P(guān)向量坐標化；③利用向量的坐標運算找到相應(yīng)關(guān)系；④利用向量關(guān)系回答幾何問題．能力拓展能力拓展考法01利用向量證明平面幾何問題【典例1】如圖所示，在平行四邊形ABCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°，作AE⊥BD交BC于點E，求BE∶EC.【變式訓練】在四邊形ABCD中，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,3)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－6,2)，則該四邊形的面積為()A.eq\r(5)B．2eq\r(5)C．5D．10考法02利用平面向量求幾何中的長度問題【典例2】在平行四邊形ABCD中，AD＝1，AB＝2，對角線BD＝2，求對角線AC的長．反思感悟用向量法求長度的策略(1)根據(jù)圖形特點選擇基底，利用向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化，用公式|a|2＝a2求解．(2)建立坐標系，確定相應(yīng)向量的坐標，代入公式：若a＝(x，y)，則|a|＝eq\r(x2＋y2).【變式訓練】在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，則BC邊上的中線AD的長是()A．2eq\r(5) B.eq\f(5\r(5),2)C．3eq\r(5) D.eq\f(7\r(5),2)考法03平面幾何中的平行(或共線)問題【典例3】如圖，點O是平行四邊形ABCD的中心，E，F(xiàn)分別在邊CD，AB上，且eq\f(CE,ED)＝eq\f(AF,FB)＝eq\f(1,2).求證：點E，O，F(xiàn)在同一直線上．反思感悟(1)利用向量方法可以解決平面幾何中的平行(共線)等問題，有兩種思路：一種思路是選擇一組基底，利用基向量表示涉及的向量，另一種思路是建立坐標系，求出題目中涉及的向量的坐標．(2)通過用向量方法解決平面幾何問題，培養(yǎng)數(shù)學建模、邏輯推理素養(yǎng)．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．在平面四邊形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該四邊形的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．13 D．262．在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的形狀是（

）A．SKIPIF1<0為鈍角的三角形B．SKIPIF1<0為直角的直角三角形C．銳角三角形D．SKIPIF1<0為直角的直角三角形3．在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的形狀是（

）A．∠C為鈍角的三角形 B．∠B為直角的直角三角形C．銳角三角形 D．∠A為直角的直角三角形4．SKIPIF1<0中,設(shè)SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0的形狀是A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．無法確定5．已知SKIPIF1<0的面積為2,在SKIPIF1<0所在的平面內(nèi)有兩點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0,滿足SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．26．若SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,則四邊形SKIPIF1<0是A．平行四邊形 B．菱形 C．等腰梯形 D．非等腰梯形7．已知向量SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的形狀為(

)A．等腰直角三角形 B．等邊三角形 C．直角非等腰三角形 D．等腰非直角三角形8．已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0內(nèi)的一點，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的面積分別為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0夾角為鈍角，則SKIPIF1<0的取值范圍___________.10．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為銳角，則SKIPIF1<0的取值范圍為__________.11．向量SKIPIF1<0與向量SKIPIF1<0的夾角為鈍角，則SKIPIF1<0的取值集合為__.12．已知SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為鈍角，則SKIPIF1<0的取值范圍是_____;13．如圖，正六邊形SKIPIF1<0的邊長為1，SKIPIF1<0______．14．已知位置向量SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的終點分別為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,試判斷SKIPIF1<0的形狀.題組B能力提升練1．若函數(shù)SKIPIF1<0的圖像按向量SKIPIF1<0平移后，得到函數(shù)SKIPIF1<0的圖像，則向量SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是平面內(nèi)兩個單位向量，且SKIPIF1<0，若向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知點SKIPIF1<0在單位圓上運動，且SKIPIF1<0，若點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．6 B．7 C．8 D．94．以SKIPIF1<0為頂點的三角形是（

）A．銳角三角形 B．以SKIPIF1<0為直角頂點的直角三角形C．以SKIPIF1<0為直角頂點的直角三角形 D．鈍角三角形5．在空間四邊形ABCD中，M，G分別是BC，CD的中點，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．2SKIPIF1<0 C．3SKIPIF1<0 D．3SKIPIF1<06．在SKIPIF1<0中，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，若SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上任意一點，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為________．8．數(shù)學中處處存在著美，機械學家菜洛發(fā)現(xiàn)的菜洛三角形就給人以對稱的美感.萊洛三角形是以正三角形SKIPIF1<0的三個頂點為圓心，正三角形的邊長為半徑畫圓弧得到的.已知SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一點，則SKIPIF1<0的最小值為______.9．邊長為4的正三角形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為邊SKIPIF1<0的中點，若SKIPIF1<0在邊SKIPIF1<0上運動（點SKIPIF1<0可與SKIPIF1<0SKIPIF1<0重合），則SKIPIF1<0的最小值為___________.10．已知O是SKIPIF1<0內(nèi)部一點，且滿足SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積為______.11．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為中線SKIPIF1<0上的一個動點，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是_____．12．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0________；若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為鈍角，則SKIPIF1<0的取值范圍為_________.題組C培優(yōu)拔尖練1．在梯形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若EF在線段AB上運動，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．5 B．SKIPIF1<0 C．4 D．SKIPIF1<02．已知平面向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（多選）已知向量SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（多選）窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖．已知正八邊形ABCDEFGH的邊長為1，P是正八邊形ABCDEFGH邊上任意一點，則（

）A．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0能構(gòu)成一組基底 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0向量上的投影向量的模為SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<05．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是___________.6．已知SKIPIF1<0與SKIPIF1<0為相反向量，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則