專題3.7 軸對稱與坐標(biāo)變化（知識講解）-2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項講練（北師大版）

專題3.7軸對稱與坐標(biāo)變化（知識講解）特別說明：教學(xué)中經(jīng)常把平面坐標(biāo)系中點的平移放在平面直角坐標(biāo)系中進(jìn)行講解，因此本專題融入了平移的知識，為了便于使用，專題練習(xí)中提供有一個點的平移專題，供師生參考使用。【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.在同一直角坐標(biāo)系中，掌握點和圖形的平移規(guī)律，并用于解決問題；2.在同一直角坐標(biāo)系中，感受圖形上點的坐標(biāo)變化與圖形的軸對稱變換之間的關(guān)系；3.經(jīng)歷圖形坐標(biāo)變化與圖形軸對稱之間關(guān)系的探索過程，發(fā)展形象思維能力和數(shù)形結(jié)合意識；4.通過“坐標(biāo)與軸對稱”的探究，讓學(xué)生掌握空間與圖形的基礎(chǔ)知識和基本技能，培養(yǎng)學(xué)生的探索能力.【要點梳理】【知識點一】平面直角坐標(biāo)系中點和圖形的平移（1）點在平面直角坐標(biāo)系中的平移在平面直角坐標(biāo)系中,將點(x,y)向右或向左平移a個單位長度,可以得到對應(yīng)點(x+a,y)或(x-a,y);將點(x,y)向上或向下平移b單位長度,可以得到對應(yīng)點((x,y+b)或((x,y-b).特別說明：(1)、在坐標(biāo)系內(nèi),左右平移的點的坐標(biāo)規(guī)律:右加左減；(2)、在坐標(biāo)系內(nèi),上下平移的點的坐標(biāo)規(guī)律:上加下減；(3)、在坐標(biāo)系內(nèi),平移點的坐標(biāo)規(guī)律:沿x軸方向平移縱坐標(biāo)不變,沿y軸方向平移橫坐標(biāo)不變。（2）圖形在平面直角坐標(biāo)系中的平移在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),如果把一個圖形各個點的橫坐標(biāo)都加上(或減去)一個正數(shù)a,相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向右(或向左)平移a個單位長度:如果把它各個點的縱坐標(biāo)都加上(或減去)一個正數(shù)a,相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向上(或向下)平移a個單位長度。特別說明：平移是圖形的整體位置的移動,圖形上各點都發(fā)生相同性質(zhì)的變化,因此圖形的平移問題可以轉(zhuǎn)化為點的平移問題來解決；平移只改變圖形的位置,圖形的大小和形狀不發(fā)生變化?！局R點二】軸對稱定理定理1:關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等形。(全等形不一定關(guān)于某條直線對稱)定理2:如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱,那么對稱軸是對應(yīng)點連線的垂直平分線。定理3:兩個圖形關(guān)于某條直線對稱,如果對稱軸和某兩條對稱線段的延長線相交,那么交點在對稱軸上。定理3的逆定理:如果兩個圖形的對應(yīng)點連線被同一條直線垂直平分,那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱。【知識點三】平面直角坐標(biāo)系中對稱點坐標(biāo)P(a，b)關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為(a,-b)；P(a，b)關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)為(-a,b)；P(a，b)關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)為(-a,-b);P(a，b)關(guān)于一三象限角平分線對稱的點的坐標(biāo)為(b,a);P(a，b)關(guān)于一三象限角平分線對稱的點的坐標(biāo)為(-b,-a)．【典型例題】類型一、平面直角坐標(biāo)系點的平移1．已知和互為相反數(shù)，則點向上平移3個單位長度，再向右平移7個單位長度后的坐標(biāo)是（

）A．(11，-17) B．(8，31) C．(15，-21) D．(15，-31)【答案】C【分析】利用算術(shù)平方根與絕對值非負(fù)性的含義先求解的值，再利用點的平移坐標(biāo)變化規(guī)律：左減2加，上加下減，從而可得答案．解：和互為相反數(shù)，點向上平移3個單位長度，再向右平移7個單位長度后的坐標(biāo)是故選C【點撥】本題考查的是算術(shù)平方根與絕對值非負(fù)性的含義，點的平移，掌握“點的平移坐標(biāo)變化規(guī)律”是解本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】在平面直角坐標(biāo)系中，將點A（m﹣1，n+2）先向右平移3個單位，再向上平移2個單位，得到點．若點位于第四象限，則m、n的取值范圍分別是（）A．m＞0，n＜0 B．m＞1，n＜2 C．m＞1，n＜0 D．m＞﹣2，n＜﹣4【答案】D【分析】先根據(jù)平移得到點的坐標(biāo)，再根據(jù)點在第四象限構(gòu)建不等式解決問題．解：由題意，點的坐標(biāo)為（，），即：（，），∵點位于第四象限，∴，∴，故選：D．【點撥】本題考查坐標(biāo)與圖形變化-平移，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建不等式解決問題，屬于中考?？碱}型．【變式2】的頂點A的坐標(biāo)為(-2，4)，先將沿x軸對折，再向左平移兩個單位，此時A點的坐標(biāo)為(

)A．(2，-4) B．(0，-4) C．(-4，-4) D．(0，4)【答案】C【分析】先根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)特點求出將△ABC沿x軸對折后頂點A的坐標(biāo)，再根據(jù)平移中點的變化規(guī)律即可求出向左平移兩個單位后A點的坐標(biāo)．解：△ABC的頂點A的坐標(biāo)為（?2，4），將△ABC沿x軸對折后頂點A的坐標(biāo)是（?2，?4），再向左平移兩個單位，此時A點的坐標(biāo)為（?2?2，?4），即（?4，?4），故選：C．【點撥】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化?平移，關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)特點．用到的知識點：平移中點的變化規(guī)律：橫坐標(biāo)右移加，左移減；縱坐標(biāo)上移加，下移減．關(guān)于x軸對稱點的坐標(biāo)特點：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．即點P（x，y）關(guān)于x軸的對稱點P′的坐標(biāo)是（x，?y）．2．線段是由線段經(jīng)過平移得到，若點的對應(yīng)點為，則點的對應(yīng)點的坐標(biāo)為________．【答案】（-6，2）【分析】先根據(jù)點A、C的坐標(biāo)判斷平移方式，再根據(jù)點D的坐標(biāo)計算出點B的坐標(biāo)即可．解：∵點C（-1，3）的對應(yīng)點為A（-4，7），∴4-1=3，7-3=4，∴線段AB向左平移3個單位，向上平移4個單位，∴D（-3，-2）的對應(yīng)點B的坐標(biāo)（-3-3，-2+4），即B（-6，2），故答案為：（-6，2）．【點撥】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化——平移，掌握坐標(biāo)的平移變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將線段平移得到線段．若點的對應(yīng)點為，則點的對應(yīng)點的坐標(biāo)是______．【答案】【分析】根據(jù)點A和其對應(yīng)點M的坐標(biāo)即可知道其平移的方式，則點B也應(yīng)該發(fā)生一樣的變化．解：∵、，2-（-1）=3，5-3=2，∴線段向右平移3個單位長度，向上平移2個單位長度得到線段，∴N（-3+3，-1+2），即N（0，1）故答案為（0，1）【點撥】本題主要考查了平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的平移變化，熟練地掌握向左（右）平移橫坐標(biāo)減（加），向上（下）平移縱坐標(biāo)加（減）是解題的關(guān)鍵．【變式2】將點先向上平移3個單位，再向左平移2個單位，得到點，則點的坐標(biāo)是_____【答案】【分析】根據(jù)坐標(biāo)的平移變換規(guī)律，把得到的點倒推即可求解．解：由題意得：點，先向由平移2個單位，得到，再向下平移3個單位，得到，故答案為：．【點撥】本題考查了坐標(biāo)的平移變換，熟練掌握坐標(biāo)的平移變換的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．類型二、坐標(biāo)與圖形的變換——軸對稱3.如圖，A、B兩點的坐標(biāo)分別是（2，﹣3）、（﹣4，﹣3）．（1）請你確定P（4，3）的位置；（2）請你寫出點Q的坐標(biāo)．【答案】（1）詳見分析；（2）（﹣2，2）．試題分析：（1）根據(jù)點A、B兩點的坐標(biāo)先確定坐標(biāo)原點，再求得P（4，3）的位置；（2）根據(jù)平面直角坐標(biāo)系得出Q的坐標(biāo)．解：（1）根據(jù)A、B兩點的坐標(biāo)可知：x軸平行于A、B兩點所在的直線，且距離是3；y軸在距A點2（距B點4）位置處，如圖建立直角坐標(biāo)系，則點P（4，3）的位置，即如圖所示的點P；（2）點Q的坐標(biāo)是（﹣2，2）．舉一反三：【變式1】如圖所示，在一次夏令營活動中，小明從營地A點出發(fā)，沿北偏東60°方向走了到達(dá)B點，然后再沿北偏西30°方向走了500m到達(dá)目的地C點．（1）求A、C兩點之間的距離．（2）確定目的地C在營地A的什么方向．【答案】（1）1000m；（2）北偏東30°方向上．【分析】（1）根據(jù)BE∥AD，得出∠DAB=∠ABE=60°，再根據(jù)平角的定義得出30°+∠CBA+∠ABE=180°，求出∠CBA的度數(shù)，判斷出△ABC是直角三角形，最后根據(jù)勾股定理求出AC的值即可；（2）根據(jù)AC=1000，BC=500，求出∠CAB=30°即可．解：（1）∵BE∥AD，∴∠DAB=∠ABE=60°，∵30°+∠CBA+∠ABE=180°，∴∠CBA=90°，∴△ABC為直角三角形，∵BC=500，AB=，∴AC2=BC2+AB2，∴AC==1000m．（2）∵BC=500，AC=1000，∠ABC=90°，∴AC=2BC，∠CAB=30°，∠DAC=∠DAB-∠CAB=60°-30°=30°，即目的地C在營地A的北偏東30°方向上．【點撥】本題考查勾股定理的應(yīng)用，先確定是直角三角形后，根據(jù)各邊長，用勾股定理可求出AC的長，且求出∠DAC的度數(shù)，進(jìn)而可求出點C在點A的什么方向上．【變式2】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A的坐標(biāo)為（，0），線段BC的位置如圖所示，其中B點的坐標(biāo)為（1，3），點C的坐標(biāo)為（3，2）．（1）已知線段CD//y軸，且C，D兩點到x軸的距離相等，則點D的坐標(biāo)為；（2）在（1）的條件下，求四邊形ABCD的面積；（3）求AB與y軸交點E的坐標(biāo)．【答案】（1）（3，）；（2）；（3）E（0，）．【分析】（1）由題意易知C，D兩點關(guān)于x軸對稱，可求解D點坐標(biāo)；（2）設(shè)CD交x軸于點F，作BH⊥x軸于點H，由S四邊形ABCD=S△ABH+S梯形BHFC+S△AFD可計算求解；（3）連接OB，由S△AOB=S△AOE+S△EOB=OA?BH，計算可求解OE的長，進(jìn)而可求解E點坐標(biāo)．解：（1）∵CD∥y軸，且C，D兩點到x軸的距離相等，∴C，D兩點關(guān)于x軸對稱，∵C（3，2），∴D（3，2）；故答案為；（3，）；（2）如圖，設(shè)CD交x軸于點F，作BH⊥x軸于點H，則S四邊形ABCD=S△ABH+S梯形BHFC+S△AFD=×5×3+×(3+2)×2+×7×2=；（3）連接OB，則S△AOB=S△AOE+S△EOB=OA?BH，即×4×3＝OE×4+OE×1，解得OE=，∵點E在y軸上，∴E（0，）．【點撥】本題主要考查三角形的面積，圖形與坐標(biāo)的性質(zhì)，利用割補法求解圖形的面積是解題的關(guān)鍵．類型三、軸對稱綜合題（幾何變換）4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ABC的各頂點坐標(biāo)分別為A(4，0)、B(-1，4)、C(-3，1)，在圖中畫出ABC關(guān)于x軸對稱的圖形，并寫出點A、B、C的對應(yīng)點的坐標(biāo)．【答案】作圖見分析，，，【分析】根據(jù)題意畫出關(guān)鍵點的軸對稱點，再連接成軸對稱圖形，寫出對應(yīng)點的坐標(biāo)即可．解：根據(jù)題意畫出關(guān)鍵點的軸對稱點，連接即可得到，如圖所示，∴，，．【點撥】本題考查了軸對稱作圖，和寫出軸對稱變化的點的坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合思想是本題的關(guān)鍵所在．舉一反三：【變式1】如圖，△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別是A（0，6），B（-4，2），C（-1，3）．畫出△ABC與y軸對稱的△，并寫出點的坐標(biāo)；在x軸上找出點P(不用求點P的坐標(biāo))，使PC+P的值最小，保留必要的作圖痕跡．【答案】(1)畫圖見分析，B1（4，2）(2)見分析【分析】（1）作出各點關(guān)于y軸的對稱點，再順次連接即可；（2）作點C關(guān)于x軸的對稱點C′，連接B1C′交x軸于點P，則點P即為所求點．（1）解：如圖，△AB1C1即為所求，B1（4，2）；（2）如圖，點P即為所求．由圖可知：PC=PC′，∴PC+PB1=PB1+PC′=B1C′，此時PC+PB1最小．【點撥】本題考查的是作圖-軸對稱變換、最短路徑問題，熟知關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)特點是解答此題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別是A（3，3），B（1，1），C（4，﹣1）．直接寫出點A、B、C關(guān)于x軸對稱的點A1、B1、C1的坐標(biāo)；在圖中作出△ABC關(guān)于y軸對稱的圖形△A2B2C2；求△ABC的面積．【答案】(1)A1（3，-3），B1（1，-1），C1（4，1）(2)見分析(3)△ABC的面積為5【分析】(1)根據(jù)關(guān)于x軸的對稱點的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)求解即可；分別作出三個頂點關(guān)于y軸的對稱點，再首尾順次連接可得；利用割補法求解可得．（1）根據(jù)關(guān)于x軸的對稱點的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)可得：，，．（2）如圖所示，即為所求（3）△的面積為：．【點撥】本題主要考查作圖一軸對稱變換，關(guān)鍵是掌握軸對稱變換的定義和性質(zhì)，并得出變換后的對應(yīng)點，同時考查了割補法求三角形的面積．類型四、坐標(biāo)系表示實際問題中點的位置5．如圖，已知的頂點分別為，，．作出關(guān)于x軸對稱的圖形，并寫出點的坐標(biāo)；若點是內(nèi)部一點，則點P關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)是________．在x軸上找一點P，使得最?。ó嫵鰣D形，找到點P的位置）．【答案】(1)圖見分析，點的坐標(biāo)為；(2)；(3)見分析．【分析】（1）分別找出A，B，C關(guān)于x軸對稱的點A1，B1，C1，再順次連接點即可；（2）利用“關(guān)于誰對稱誰不變，不關(guān)誰對稱誰全變”可求出P的對稱點坐標(biāo)；（3）過x軸作點A的對稱點為A1，連接A1C交于x軸的點即為點P，使得最?。?1)解：先找出點A，B，C關(guān)于x軸對稱的點A1，B1，C1，再順次連接A1，B1，C1．如圖所示，即為所求：的坐標(biāo)為．(2)解：∵P關(guān)于y軸對稱，則縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變成原來的相反數(shù)，∴點P關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)是．(3)解：過x軸作點A的對稱點為A1，連接A1C交于x軸的點即為點P，使得最?。cP如圖所示：【點撥】本題考查作軸對稱圖形，找關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點的坐標(biāo)，以及動點問題．關(guān)鍵是掌