非自伴dirac算子的兩個(gè)漸近跡公式

非自伴dirac算子的兩個(gè)漸近跡公式

1關(guān)于跡公式的研究在這項(xiàng)工作中，我們研究了非自由康計(jì)算2個(gè)邊界條件下的漸近性。這里其中r(x),p(x)是[0,π]上的實(shí)函數(shù),ai,bi為常數(shù).微分算子跡在微分算子的譜理論以及孤立子與可積系統(tǒng)理論研究中有很重要的作用.在多數(shù)情況下,微分算子的單個(gè)特征值的計(jì)算比較困難,而整個(gè)信息比較容易獲得,例如,在矩陣?yán)碚撝?我們知道,所有特征值之和等于對(duì)角線元素之和,即矩陣的跡,特征值的二次基本對(duì)稱函數(shù)等于矩陣的所有二階主子式之和,特征值的三次基本對(duì)稱函數(shù)等于矩陣的所有三階主子式之和.事實(shí)上,我們有時(shí)并不需要知道單個(gè)的特征值或點(diǎn)譜,而只關(guān)心微分算子譜的分布及整體行為,特別是其漸近性態(tài).L.M.Gelfand和B.M.Levitan在1953年獲得了以下Sturm-liouvill問題的跡公式:隨后,關(guān)于跡公式的研究出現(xiàn)了一系列的論文,但是,這些方法不能用于非自伴的情形.1981年曹策問對(duì)非自伴的Sturm-Liouville算子的漸近跡得到了很好的結(jié)果,并提出了留數(shù)的方法.他主要利用平移算子和一個(gè)積分恒等式,將微分算子跡的計(jì)算轉(zhuǎn)化為某些亞純函數(shù)在回路族上的計(jì)算.本文我們將利用平移算子及留數(shù)方法得到上述非自伴Dirac算子的漸近跡.2x類解的漸近式令,則問題的解φ(x)可表示為其中f(x)是(B1y=λy,y1(0)=cosα,y2(0)=-sinα)的解,這里,令β=0,將(4)分部積分,得到滿足初值條件(φ1(0)=1,φ2(0)=0)的解φ(x)對(duì)λ的漸近式令β=-π/2,將(4)式分部積分,得到滿足初值條件(ψ1(0)=1,ψ2(0)=0)的解ψ(x)對(duì)λ的漸近式其中也可利用迭代的方法,求出φ(x),ψ(x)的漸近式.為簡(jiǎn)化計(jì)算,本文假定3周期邊界條件t我們首先對(duì)非自伴Dirac算子的兩點(diǎn)邊值問題(1)—(3)按邊界條件進(jìn)行分類設(shè)(1)的通解為y=c1φ+c2ψ,其中φ=(φ1,φ2)T,ψ=(ψ1,ψ2)T是Cauchy問題的兩個(gè)線性無關(guān)的解,代入(2)(3),可知(1)—(3)的特征值由下面整函數(shù)的零點(diǎn)決定:其中,將φ1,φ2,ψ1,ψ2的表達(dá)式(5)(8)代入得由于各項(xiàng)的系數(shù)Dij決定ω(λ)中λ的階數(shù),據(jù)此我們做如下分類:α,β,γ,δ是復(fù)常數(shù),周期邊界條件就是(Ⅴ)或(Ⅵ)中α=0,β=-1,γ=-1時(shí)的情形.4當(dāng)-1re2-1/2時(shí),提取法求解法我們先對(duì)類型(Ⅰ)做詳細(xì)的研究.對(duì)類型(Ⅰ),將邊界條件代入ω(λ),得到則ω(λ)的主部為其中A=為復(fù)數(shù),且或.ω0(λ)的零點(diǎn)為:λ1-θ2-θ1+2n,λ2=1—θ2-θ1+2n(n=0,±1,...),在平行于實(shí)軸的兩條直線上交叉分布.令,則容易證明.引理1記λ=σ+iτ.當(dāng)0Reθ21/2時(shí),取回路CN:σ1=Reθ1+1+2N,σ2=-Reθ1-1-2N,τ1=N,τ2=-N(N=0,1,2,...);當(dāng)-1Reθ2-1/2時(shí),取回路CN:(σ1=-Reθ1+2N,σ2=-Reθ1-2-2N,τ1=N,τ2=-N(N=0,1,2,…),在CN上,有界.命題1當(dāng)N充分大時(shí),ω(λ)與ω0(λ)在CN內(nèi)有相同個(gè)數(shù)的零點(diǎn).證明由(10)式及引理1知:當(dāng)N充分大時(shí),在CN上有.有Rouche定理得證.定理1對(duì)問題(I):1).當(dāng)sinθ1π≠sinθ2π,時(shí),有2).當(dāng)sinθ1π=sinθ2π,時(shí),有3).當(dāng)sinθ1π≠sinθ2π,,Imθ2=0時(shí),有4).當(dāng)sinθ1π=sinθ2π,,Imθ2=0時(shí),有證明由命題1,當(dāng)N充分大時(shí),對(duì)下面的恒等式沿CN作回路積分:沿CN為單值解析函數(shù),故右邊的第二項(xiàng)的積分為零,利用留數(shù)定理,即得證.用類似的方法得到其它幾種類型的跡公式,這里我們只列出類型(Ⅱ),(Ⅲ),(Ⅳ)的跡公式.定理2對(duì)問題(Ⅱ)2).當(dāng)sinθ1π=sinθ2π,時(shí),有3).當(dāng)sinθ1π≠sinθ2π,,Imθ2=0時(shí),有4).當(dāng)sin1θ1π=sinθ2π,,Imθ2=0時(shí),有其中A=為復(fù)數(shù),且或令定理3對(duì)問題(Ⅲ)1).當(dāng)或時(shí),有2).當(dāng)時(shí),有其中,θ為復(fù)數(shù),且令定理4對(duì)問題(Ⅳ)1).當(dāng)或時(shí),有2).當(dāng)時(shí),其中令其中*表示所