基于malab語言的矩形薄板有限元分析與撓度計(jì)算

基于malab語言的矩形薄板有限元分析與撓度計(jì)算

板是主要的工程組件。彈性矩形板是土木工程、地下土木工程和水利工程中最常用的結(jié)構(gòu)形式。特別是，矩形板的應(yīng)用更為常見。目前，解決這些問題的方法主要包括兩種分析方法和數(shù)值法。分析法主要包括疊加法和意義法。數(shù)值法主要包括有限單元法。在各種分析方法中，需要盡快選擇無關(guān)函數(shù)，這些函數(shù)的選擇具有一定的隨機(jī)性，因此沒有固定的規(guī)律。眾所周知，通常有限的情況下，很難準(zhǔn)確解決矩形板的問題。在這項(xiàng)工作中，我們使用nb語言對(duì)矩形板進(jìn)行有限的分析，并獲得數(shù)值解，這是工程應(yīng)用中的一種參考方法。1matlab的主要功能Matlab是工程和教育方面非常流行的數(shù)學(xué)軟件,具有很高的應(yīng)用價(jià)值,在機(jī)械工程、土木工程、航空航天工程和材料科學(xué)等領(lǐng)域都有所應(yīng)用.在以往的結(jié)構(gòu)有限元分析編程實(shí)踐中,通常采用BASIC,FORTRAN,C,C++等程序語言,它們?yōu)榭茖W(xué)研究的數(shù)值分析作出了不可替代的重要貢獻(xiàn).Matlab的出現(xiàn)為今后的數(shù)值計(jì)算提供了便捷.Matlab具有基本的數(shù)值運(yùn)算、矩陣運(yùn)算、符號(hào)運(yùn)算、繪制圖形、界面開發(fā)、與其他程序語言接口等多種功能.尤其是Matlab的強(qiáng)大矩陣運(yùn)算功能,是編程工作大為簡(jiǎn)化,程序長度大大縮短.它的符號(hào)運(yùn)算功能給結(jié)構(gòu)分析和公式推導(dǎo)帶來了很大方便.它的圖形功能使計(jì)算結(jié)果分析更為快捷有效.這些優(yōu)秀功能,在一定程度上也改變了結(jié)構(gòu)有限元分析方法,解決了工程中大量彈塑性力學(xué)問題中的求解困難,具有重要的實(shí)際意義.2板彎曲2.1厚度h與中面尺寸bmin的比值1)由兩個(gè)平行面和垂直于它的柱面所圍成的物體,稱為平板(或簡(jiǎn)稱為板),見圖1.兩個(gè)平行面叫板面,柱面稱為板側(cè)面(或板邊),兩個(gè)板面之間的距離h稱作板的厚度,平分厚度的平面則稱為板的中面.厚度h與中面的最小尺寸bmin的比值在下列范圍內(nèi)的稱為薄板,即15≥hbmin≥18015≥hbmin≥180;若hbmin≥15hbmin≥15,稱為厚板;若hbmin≤180hbmin≤180,則叫做薄膜.2)薄板彎曲時(shí),其中面變成曲面稱為撓曲面,而中面內(nèi)各點(diǎn)沿z向的位移稱為撓度(用ω表示),當(dāng)ωh≤1/5ωh≤1/5時(shí)稱為小撓度彎曲.本文中所討論的是兩對(duì)邊固定另兩對(duì)邊自由的矩形薄板在均布荷載作用下所產(chǎn)生的小撓度彎曲問題.3)薄板彎曲問題中,通常采用z軸向下的右手螺旋坐標(biāo)系,見圖1.2.2中面的直線段中面法線為了便于進(jìn)行理論分析和工程應(yīng)用,針對(duì)薄板小撓度彎曲理論,引用如下的克?；舴蚣俣?這一假定已經(jīng)被大量的實(shí)驗(yàn)所證實(shí).1)直法線假定.變形前垂直于薄板中面的直線段(中面法線)在變形后仍保持為直線,且垂直于變形后的中面,長度不變.即在薄板中有:εz=0,γxz=γyz=02)板內(nèi)無擠壓假設(shè).與σx,σy,τxy等相比較,擠壓應(yīng)力σz很小,其引起的變形可不計(jì),但在考慮板微元的平衡時(shí)不能忽略.3)中面位移假設(shè).薄板中面內(nèi)各點(diǎn)只有垂直位移ω,無x方向和y方向的位移,即(u)z=0=0?(v)z=0=0?(ω)z=0=ω(x,y)(u)z=0=0?(v)z=0=0?(ω)z=0=ω(x,y)2.3彈性薄膜的物理方程推導(dǎo)1)撓度ω表示的薄板幾何方程.u=-z?2ω?x2,v=-z?ω?y(1)εx=-z?2ω?x2εy=-z?2ω?y2γxy=-2z?2ω?x?y(2)2)薄板物理方程.σx=-Εz1-ν2(?2ω?x2+ν?2ω?y2)σy=-Εz1-ν2(?2ω?y2+ν?2ω?x2)τxy=-Εz(1+ν)?2ω?x?y(3)3)矩形薄板的應(yīng)力分量是沿薄板厚度積分(取單位厚度),可分別合成單位板寬的內(nèi)力.4)由矩形薄板的平衡方程推導(dǎo)出彈性薄板的基本微分方程?2?2ω=qD(4)3板面為農(nóng)民干,2,2其中D=Εh3[12(1-ν2)],稱為板的抗彎剛度,它的因次是[力][長度].注:?2ω=?2ω?x2+?2ω?y2,??x?2ω=?2?ω?x,??y?2ω=?2?ω?y,Μxy=Μyx.表1為內(nèi)力同撓度ω表示及應(yīng)力與內(nèi)力的關(guān)系.設(shè)兩對(duì)邊固定,另兩對(duì)邊自由矩形薄板(如圖2所示),長為a=20m,寬為b=10m,受垂直于板面的均布面荷載q0=10kN/m2作用,厚度為h=0.2m,彈性模量為Ε=200GPa,泊松比為ν=0.3,求板的撓度.3.1單元矩陣的建立利用Matlab編程,生成矩形薄板撓度圖,根據(jù)板的撓度圖可以很直觀地看到板的受力位移變化情況.基本步驟:1)劃分單元生成網(wǎng)格.網(wǎng)格劃分的越密計(jì)算的結(jié)果越接近精確解.任意輸入行數(shù)M和列數(shù)N,總結(jié)點(diǎn)數(shù)為NJ=(M+1)·(N+1),總自由度數(shù)為NF=3·NJ.2)形成約束條件.[RE,NF]=RESTRAINT(M,N)子程序生成.3)生成單元矩陣KE.4)裝配整體剛度矩陣K.K=ASSEM(i,LOC,K,KE)局部坐標(biāo)形成整體坐標(biāo),此時(shí)利用乘大數(shù)法去除約束.5)計(jì)算節(jié)點(diǎn)荷載P.題中q0為分布面力,設(shè)面力集度為{q0}=[q0xq0y],其等效荷載為{R}eq0=[XiYiXjYjXmYmXpYp]6)生成節(jié)點(diǎn)位移.U=K\P.7)繪制節(jié)點(diǎn)撓度圖(圖3).當(dāng)長和寬相等,都為10m時(shí),撓度如圖4所示.3.2東南角板兩端撓度的精確解與matlab語言計(jì)算語言的比較假設(shè)雙三角級(jí)數(shù)形式的撓度函數(shù),求得正方形板兩點(diǎn)的撓度(單位:m)精確解,與利用Matlab語言計(jì)算程序得出的數(shù)值解進(jìn)行比較.顯示如表2.4計(jì)算機(jī)及其優(yōu)秀程序語言的應(yīng)用比較計(jì)算結(jié)果表明:基于Matlab語言有限元編程得出值,與雙三角級(jí)