矩陣奇異值的矩陣刻畫

矩陣奇異值的矩陣刻畫

1矩陣異質(zhì)性估計(jì)如何使用矩陣中的源來(lái)估計(jì)其特征值一直是矩陣分析的一個(gè)困難問(wèn)題。在這方面,我們有著名的Gerschgorin圓盤定理以及與之相關(guān)的Ostrowski定理、Brauer定理等等可以對(duì)矩陣的特征值進(jìn)行估計(jì)。但是如果僅僅是簡(jiǎn)單的將上述定理應(yīng)用于矩陣奇異值的估計(jì),往往得不到很好的結(jié)果。因此,通過(guò)矩陣元素來(lái)對(duì)其奇異值進(jìn)行估計(jì)也是近年來(lái)許多學(xué)者致力研究的一個(gè)課題。設(shè)A=(aij)∈Cm×n,不失一般性我們可以假設(shè)n≤m并將A的奇異值按照遞減次序排列為σ1(A)≥σ2(A)≥…≥σn(A)≥0,其中,A的奇異值σ(A)=√λ(AAΗ)?λ(AAΗ)σ(A)=λ(AAH)???????√?λ(AAH)表示矩陣AAH的特征值,AH表示A的共扼轉(zhuǎn)置。我們有:‖A‖F(xiàn)2=trAHA和│detA│表示矩陣A的Frobenius范數(shù)與行列式。有關(guān)矩陣奇異值的詳細(xì)論述可以參見參考文獻(xiàn)、。2u3000nn-1e1e,2,2,2,2,1e,2,2,2,2,2,2,2,2,1e,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,222,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2122,2,2,2,2,2,2,2,1e121e121212,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,221e1994年J.K.Merikoski,H.Sarria和P.Tarazaga利用矩陣的跡給出了如下的奇異值估計(jì)式:設(shè)A∈Cn×n(n≥3),且1≤k≤l≤n,則有0≤σk+?+σll-k+1≤√trAΗAl,(1.1)0≤σk+?+σll?k+1≤trAHAl??????√,(1.1)進(jìn)一步又給出|trA|n-√k-1n-k+11n(trAΗA-|trA|2n)≤σk+?+σll-k+1,(1.2)|trA|n?k?1n?k+11n(trAHA?|trA|2n)?????????????????????√≤σk+?+σll?k+1,(1.2)且當(dāng)|trA|2≥l?trAΗA?σk+?+σll-k+1≤|trA|n+√n-ll1n(trAΗA-|trA|2n)(1.3)且當(dāng)|trA|2≥l?trAHA?σk+?+σll?k+1≤|trA|n+n?ll1n(trAHA?|trA|2n)???????????????????√(1.3)為了便于書寫,我們記σkl=σk+?+σll-k+1(1≤k≤l≤n)σkl=σk+?+σll?k+1(1≤k≤l≤n),并且規(guī)定00=1,0x=0.由代數(shù)-幾何均值不等式可得如下引理。引理1設(shè)A∈Cn×n(n≥3)是非奇異的,如果1≤k≤l≤n,則定理1設(shè)A∈Cn×n(n≥3)是非奇異的,且1≤k≤l≤n,則1l-k+1(σk2?σn2)1/(n-k+1)≤1l-k+1(σk2?σl2)1/(l-k+1)≤σk2+?+σl2(l-k+1)2≤(σk+?+σll-k+1)2≤σk2+?+σl2l-k+1≤σ12+?+σl2l≤∥A∥F2l-(nl-1((l∥A∥F2)l│detA│2)1/(n-l)及引理1可得(2.1)。定理2設(shè)A∈Cn×n(n≥3)是非奇異的,且1≤k≤l≤n,則1√(l-k+1)(n-k+1)[∥A∥F2-1│detA│2kk(k-1)k-1(∥A∥F2n+1)n+1]1/2≤σkl≤1│detA│(l+1l)(l+1)/2(∥A∥F2n+1)(n+1)/2(2.2)證明:令0<t<1,則(∥A∥F2n+1)n+1=(t(σ12+?+σk2)+(1-t)σ12+?+(1-t)σk2+σk+12+?+σn2n+1)n+1≥t(σ12+?+σk2)(1-t)kσ12?σn2=t(1-t)k(σ12+?+σk2)│detA│2,因此有σ12+?+σk2≤1t(1-t)k1│detA│2(∥A∥F2n+1)n+1。又當(dāng)t0=1k+1時(shí)1t0(1-t0)k=min{1t(1-t)k∶0<t<1}=(k+1)k+1kk,固有σ12+?+σk2≤1│detA│2(k+1)k+1kk(∥A∥F2n+1)n+1(2.3)由σ12(A)+σ22(A)+…≥σn2(A)=‖A‖F(xiàn)2及(2.5),可以得到σn-k+12+?+σn2≥∥A∥F2-1|detA│2(n-k+1)n-k+1(n-k)n-k(∥A∥F2n+1)n+1(2.4)由(2.3)及(2.4)可得定理3。35.5下面用矩陣的跡與行列式來(lái)估計(jì)矩陣的奇異值。例1設(shè)A1=diag(8,7,…,1)由文(1.1)式可得σ3+σ4+σ5≤19.162,而由(2.1)有σ3+σ4+σ5≤18.816。由文(1.2)式可得σ6+σ7≥1.267,而由(2.1)有σ6+σ7≥2.205。例2令由文(1.2)式可得σ1+σ2+σ3≥1.5,由(2.1)式可得σ1+σ2+σ3≥5.1,由文(1.