2021年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)一遍過-考點(diǎn)12 平面幾何初步及相交線與平行線

考點(diǎn)12平面幾何初步及相交線與平行線

?考情分析與預(yù)測

該版塊內(nèi)容是初中幾何的基礎(chǔ)，是非?；A(chǔ)也是非常重要的，年年都會考查，分值為6分左右，預(yù)計(jì)2021

年各地中考還將出現(xiàn)，大部分地區(qū)在選填題中考察可能性較大，主要考察平行線的性質(zhì)和判定、方位角、

角度的大小等知識，這些知識點(diǎn)考查較容易，另外平行線的性質(zhì)可能在綜合題中出現(xiàn)，考查學(xué)生能力，比

如：作平行的輔助線，構(gòu)造特殊四邊形，此類題目有一定難度，需要學(xué)生靈活掌握。.

區(qū)知識整合

一、直線、射線、線段

1.直線的性質(zhì)：1）兩條直線相交，只有一個(gè)交點(diǎn)；2）經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線，即兩點(diǎn)確定一條直線：

3）直線的基本事實(shí)：經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線.

2.線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)確定一條直線，兩點(diǎn)之間，線段最短，兩點(diǎn)間線段的長度叫兩點(diǎn)間的距離.

3.線段的中點(diǎn)性質(zhì)：若C是線段AB中點(diǎn)，IJIIJAC=BC^-AB-AB=2AC=2BC.

2

4.兩條直線的位置關(guān)系：在同一平面內(nèi)，兩條直線只有兩種位置關(guān)系：平行和相交.

5.垂線的性質(zhì)：1）兩條直線相交所構(gòu)成的四個(gè)角中有一個(gè)角是直角，則這兩條直線互相垂直，其中一條

直線叫做另一條直線的垂線；2）①經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；②直線外一點(diǎn)與直線上各

點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短.

6.點(diǎn)到直線的距離：從直線外一點(diǎn)向已知直線作垂線，這一點(diǎn)和垂足之間線段的長度叫做點(diǎn)到直線的距離.

二、角

1.角：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形.

2.角平分線

（1）定義：在角的內(nèi)部，以角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線

（2）性質(zhì)：若OC是NA08的平分線，則NAOC=N3OC=LNAO8,ZAOB=2ZAOC=2ZBOC.

2

3.度、分、秒的運(yùn)算方法：l°=6（r,r=60",1。=3600".1周角=2平角=4直角=360°.

4.余角和補(bǔ)角

1）余角：/1+/2=90。0/1與N2互為余角；2）補(bǔ)角：/1+/2=180。0/1與N2互為補(bǔ)角.

3）性質(zhì)：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的補(bǔ)角相等.

5.方向角和方位角：在描述方位角時(shí)，一般應(yīng)先說北或南，再說偏西或偏東多少度，而不說成東偏北（南）

多少度或西偏北（南）多少度.當(dāng)方向角在45。方向上時(shí)，又常常說成東南、東北、西南、西北方向.

三、相交線

1.三線八角

1）直線小人被直線/所截，構(gòu)成八個(gè)角（如圖）.

N1和N5,N4和N8,/2和N6,N3和N7是同位角；/2和/8,N3和N5是內(nèi)錯角；/5和N2,Z3

和28是同旁內(nèi)角.

2）除了基本模型外，我們還經(jīng)常會遇到稍難一些的平行線加折線模型，主要是下面兩類：

做這類題型時(shí)，一般在折點(diǎn)處作平行線，進(jìn)而把線的關(guān)系轉(zhuǎn)換成角的關(guān)系，如上圖：

2.垂直

1）定義：兩條直線相交所形成的四個(gè)角中有一個(gè)是直角時(shí)叫兩條直線互相垂直.

2）性質(zhì)：過一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線；垂線段最短.

3.點(diǎn)到直線的距離：從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做這點(diǎn)到這條直線的距離.

4.鄰補(bǔ)角

1）定義：兩個(gè)角有一條公共邊，它們的另一條邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，互為鄰補(bǔ)角.

2）鄰補(bǔ)角是補(bǔ)角的一種特殊情況：鄰補(bǔ)角既包含位置關(guān)系，又包含數(shù)量關(guān)系，數(shù)量上兩角的和是180。，位

置上有一條公共邊.

3）鄰補(bǔ)角是成對出現(xiàn)的，單獨(dú)的一個(gè)角不能稱為鄰補(bǔ)角，兩條直線相交形成四對鄰補(bǔ)角.

5.對頂角

1）定義：兩個(gè)角有一個(gè)公共的頂點(diǎn)，并且一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長線，具有這種關(guān)

系的兩個(gè)角，互為對頂角.

2）性質(zhì)：對頂角相等.但相等的角不一定是對頂角.

四、平行線

1.定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線.

2.平行線的判定

1）同位角相等，兩直線平行.2）內(nèi)錯角相等，兩直線平行.3）同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.

4）平行于同一直線的兩直線互相平行.5）垂直于同一直線的兩直線互相平行.

3.平行線的性質(zhì)

1）兩直線平行，同位角相等.2）兩直線平行，內(nèi)錯角相等.3）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

4.平行線間的距離

1）定義：同時(shí)垂直于兩條平行線，并且夾在這兩條平行線的線段的長度，叫做這兩條平行線的距離.

2）性質(zhì)：兩平行線間的距離處處相等，夾在兩平行線間的平行線段相等.

雙R重點(diǎn)考向.

考向一直線、射線、線段

在解答有關(guān)線段的計(jì)算問題時(shí)，一般要注意以下幾個(gè)方面：①按照已知條件畫出圖形是正確解題的關(guān)鍵；

②觀察圖形，找出線段之間的關(guān)系；③簡單的問題可通過列算式求出，復(fù)雜的問題可設(shè)未知數(shù)，利用方程

解決.

典例引領(lǐng)

1.（2020?四川涼山彝族自治州?）點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段AC的三等分點(diǎn).若線段45=125?,

則線段BD的長為（）

A.10cmB.8cmC.8cm或10cmD.2cm或4cm

【答案】C

【分析】根據(jù)題意作圖，由線段之間的關(guān)系即可求解.

【詳解】如圖，：點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，.?.AC=BC=LAB=6cm

2

2

當(dāng)AD=-AC=4cm時(shí)，CD=AC-AD=2cmBD=BC+CD=6+2=8cm；

3

當(dāng)AD=!AC=2cm時(shí)，CD=AC-AD=4cm；.BD=BC+CD=6+4=10cm：故選C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查線段之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟知線段的和差關(guān)系.

2.（2020?吉林中考真題）如圖，某單位要在河岸/上建一個(gè)水泵房引水到。處，他們的做法是：過點(diǎn)C作

CDJJ于點(diǎn)D，將水泵房建在了。處.這樣做最節(jié)省水管長度，其數(shù)學(xué)道理是.

【答案】垂線段最短.

【分析】直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連結(jié)的所有線段中，垂線段最短.

【詳解】通過比較發(fā)現(xiàn)：宜線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連結(jié)的所有線段中，垂線段最短.

故答案為：垂線段最短.

【點(diǎn)睛】此題主要考查點(diǎn)到直線的距離，動手比較、發(fā)現(xiàn)結(jié)論是解題關(guān)鍵.

變式拓展

1.（2020?河北中考真題）如圖，在平面內(nèi)作已知直線〃?的垂線，可作垂線的條數(shù)有（）

A.0條B.1條C.2條D.無數(shù)條

【答案】D

【分析】在同一平面內(nèi)，過已知直線上的一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線；但畫已知宜線的垂線，

可以畫無數(shù)條.

【詳解】在同一平面內(nèi)，畫已知直線的垂線，可以畫無數(shù)條；故選：D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查在同一平面內(nèi)，垂直于平行的特征，解題的關(guān)鍵是熟知垂直的定義.

2.（2019?吉林中考真題）曲橋是我國古代經(jīng)典建筑之一，它的修建增加了游人在橋上行走的路程，有利于

游人更好地觀賞風(fēng)光。如圖，4B兩地間修建曲橋與修建直的橋相比，增加了橋的長度，其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)

道理是（)

A

B

A.兩點(diǎn)之間，線段最短B.平行于同一條直線的兩條直線平行C.垂線段最短D.兩點(diǎn)確定一條直線

【答案】A

【分析】由題意，可以使路程變長，就用到兩點(diǎn)間線段最短定理.

【解析】解：公園湖面上架設(shè)曲橋，可以增加游客在橋上行走的路程，從而使游客觀賞湖面景色的時(shí)間變

長，其中數(shù)學(xué)原理是：兩點(diǎn)之間，線段最短.故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查線段的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，屬基礎(chǔ)題.

考向二角

1.角平分線必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：①是從角的頂點(diǎn)引出的射線；②在角的內(nèi)部；③將已知角平分.

2.類似地，也有角的"等分線，如三等分線，如圖，/1=N2=N3=1/A。?；騈AOO=3N1=3N2=3N3.

3

典例引領(lǐng)

1.(202()?山東東營市?中考真題)如圖，直線A3、。。相交于點(diǎn)。,射線。0平分/8。。,若乙40。=42。,

則乙4OM等于()

A.159°B.161°C.169°D.138°

【答案】A

【分析】先求出NA0D=18(T-/A0C,再求出NBOD=18()o-NAOD,最后根據(jù)角平分線平分角即可求解.

【詳解】解：由題意可知：ZAOD=1800-ZAOC=180°-42°=138°,ZBOD=1800-ZAOD=42°,

又OM是NBOD的角平分線，r.ZDOM=—ZBOD=21°,AZAOM=ZDOM+ZAOD=159°.故選：A.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)及平角的定義，熟練掌握角平分線的性質(zhì)和平角的定義是解決此類題

的關(guān)鍵.

2.(2020?湖北中考真題)如圖，將一副三角板重疊放在起，使直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)O.若NAOC=130°,

則NBOD=()

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】C

【分析】根據(jù)角的和差關(guān)系求解即可.

【詳解】解：：ZAOC=130°ZSOC=ZAOC-ZAQ8=40°,

/.ZBOD=ZCOD-ZBOC=50°,故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查角度的計(jì)算問題.弄清角與角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

變式拓展

1.(2020?四川樂山市?中考真題)如圖，E是直線C4上一點(diǎn)，NFE4=40°,射線￡6平分NCEF,

GELEF.則NGEB=()

A.10°B.20°C.30°D.40°

【答案】B

【分析】先根據(jù)射線平分NCEF，得出NCEB=ZBEF=70°,再根據(jù)GEJ_EP，可得

ZGEB-ZGEF-ZBEF即可得出答案.

【詳解】；ZFE4=40°,.?./CEF=140。，?.?射線EB平分NCEF，.??/CEB=NBEF=70°,

,/GE1.EF,/.ZGEB=ZGEF-ZBEF=90a-70°=20°,故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，掌握知識點(diǎn)靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵.

2.（2020?湖北孝感市?中考真題）如圖，直線AB，8相交于點(diǎn)O,OEA.CD,垂足為點(diǎn)。.若

ZBOE=40。，則NAOC的度數(shù)為（）

A.40°B.50°C.60°D.140°

【答案】B

【分析】已知QEJ_CO,N5OE=40。，根據(jù)鄰補(bǔ)角定義即可求出NAOC的度數(shù).

【詳解】OEVCDNCOE=90°

：N3OE=40°...ZAOC=180?-20CQS0~N5O3=°-°-。=。故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查了垂直的性質(zhì)，兩條直線垂直，形成的夾角是直角；利用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求角的度數(shù)，平

角度數(shù)為180°.

考向三對頂角和余角、（鄰）補(bǔ)角

1.識別對頂角時(shí)，要抓住兩個(gè)關(guān)鍵要素：一是頂點(diǎn)，二是邊.先看兩個(gè)角是否有公共頂點(diǎn)，再看兩個(gè)角的

兩邊是否分別互為反向延長線.兩條直線相交形成兩對對頂角.

2.互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角一定互補(bǔ)，但互補(bǔ)的兩個(gè)角不一定是鄰補(bǔ)角；一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)，但一個(gè)角的

補(bǔ)角可以有很多個(gè).

典例引領(lǐng)

1.（2020?內(nèi)蒙古通遼市?中考真題）如圖，將一副三角尺按下列位置擺放，使和少互余的擺放方式是

)

【答案】A

【分析】根據(jù)圖形，結(jié)合互余的定義判斷即可.

【詳解】解：A、Na與NP互余，故本選項(xiàng)正確；B、Za+Zp>90°,即不互余，故本選項(xiàng)錯誤；

C、Za+Zp=270°,即不互余，故本選項(xiàng)錯誤；D、Za+Zp=180°,即互補(bǔ)，故本選項(xiàng)錯誤；故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了對余角和補(bǔ)角的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的觀察圖形的能力和理解能力.

2.（2020?廣東廣州市?中考真題）已知NA=100°,則NA的補(bǔ)角等于。.

【答案】80

【分析】根據(jù)補(bǔ)角的概念計(jì)算即可.

【詳解】NA的補(bǔ)角=180°-100°=80°,故答案為:80.

【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)角的概念，關(guān)鍵在于牢記基礎(chǔ)知識.

變式拓展

1.（2020?四川南充市?中考真題）如圖，兩直線交于點(diǎn)O,若Nl+N2=76°,則Nl=度.

【答案】38

【分析】直接利用對頂角的性質(zhì)結(jié)合己知得出答案.

【詳解】解：：兩直線交于點(diǎn)O,，N1=N2,VZ1+Z2=76°,AZ1=38°.故答案為：38.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了對頂角，正確把握對頂角的定義是解題關(guān)鍵.

2.（2020?陜西中考真題）若NA=23°,則NA余角的大小是（）

A.57°B.67°C.77°D.157°

【答案】B

【分析】根據(jù)/A的余角是90。-代入求出即可.

【詳解】解：???/A=23。，二/A的余角是90。-23。=67。.故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了余角的定義，注意：如果NA和NB互為余角，那么NA=9（T-NB.

考向四平行線的性質(zhì)

平行線的性質(zhì)：

1）兩直線平行，同位角相等.2）兩直線平行，內(nèi)錯角相等.3）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

典例引領(lǐng)

1.（2020?山東濱州市?中考真題）如圖，AB//CD,點(diǎn)P為CD上一點(diǎn)，PF是NEPC的平分線，若Nl=55。,

則/EPD的大小為（）

【答案】B

【分析】根據(jù)平行線和角平分線的定義即可得到結(jié)論.

【詳解】解：；AB〃CD,.-.Z1=ZCPF=55°,

'.?PF是/EPC的平分線，.,.ZCPE=2ZCPF=U0°,AZEPD=180°-l10°=70°,故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.（2020?廣東深圳市?中考真題）一把直尺與30。的直角三角板如圖所示，Zl=40°,則/2=（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

【答案】D

【分析】如圖：根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得N3=60°，然后再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)解答即可.

【詳解】解：如圖：?.?含30。直角三角形???/3=60°

V直尺兩邊平行...Zl+Z2+Z3=180°.\Z2=18O0-Z3-Z1=80".故答案為D.

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，其中靈活運(yùn)用兩直線平行、同旁內(nèi)角互補(bǔ)的性質(zhì)

是解答本題的關(guān)鍵.

變式拓展

1.（2020?湖南長沙市?中考真題）如圖，一塊直角三角板的60度的頂點(diǎn)A與直角頂點(diǎn)C分別在平行線

上，斜邊AB平分交直線GH于點(diǎn)E,則NECB的大小為（）

A.60°B.45°C.30°D.25°

【答案】C

【分析】利用角平分線的性質(zhì)求得/DAE的度數(shù)，利用平行線的性質(zhì)求得NACE的度數(shù)，即可求解.

【詳解】：AB平分NC4D,NCAB=60。，/.ZDAE=60°,

'JFD//GH,.,.ZACE+ZCAD=180°.AZACE=180°-ZCAB-ZDAE=60°,

VZACB=900,AZECB=90°-ZACE=30°,故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，用到的知識點(diǎn)為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

2.（2020?湖北宜昌市?中考真題）光線在不同介質(zhì)中傳播速度不同，從一種介質(zhì)射向另一種介質(zhì)時(shí)會發(fā)生折

射，如圖，水面AB與水杯下沿CD平行，光線EF從水中射向空氣時(shí)發(fā)生折射，光線變成EH，點(diǎn)G在

射線EE上，己知N"FB=20°,NEED=45。，求NGF”的度數(shù).

【答案】25°

［分析】使用平行線的性質(zhì)得到NGFB=NFED=45°,再根據(jù)NG/77=NGFB-AHFB得到結(jié)果.

【詳解】解：；AB//CDZ.GFB=ZFED=45°

1??ZHFB=20°/.ZGFH=ZGFB-ZHFB=45°-20°=25°

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，及角度間的加減計(jì)算，熟知平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

考向五平行線的判定

平行線的判定

1）同位角相等，兩直線平行.2）內(nèi)錯角相等，兩直線平行.3）同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.

4）平行于同一直線的兩直線互相平行.5）垂直于同一直線的兩直線互相平行.

典例引領(lǐng)

1.（2020?浙江金華市?中考真題）如圖，工人師傅用角尺畫出工件邊緣48的垂線。和b,得到?！◤睦碛?/p>

是（）

V

A.連結(jié)直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短

B.在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行

C.在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有一條而且僅有一條直線垂直于已知直線

D.經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行

【答案】B

【分析】根據(jù)在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行判斷即可.

【詳解】解:

?由題意a_LAB,b±AB,：.Z]=Z2：.a//b

所以本題利用的是：同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行，故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定，平行公理等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題.

2.（2020?湖北武漢市?中考真題）如圖，直線所分別與直線A3，CD交于點(diǎn)E，F(xiàn).EM平分NBEF,

FN平分NCFE,nEM〃FN.求證：AB//CD.

【分析】先根據(jù)角平分線的定義可得/“￡/=j/8萬￡/八萬七='/。￡￡,再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得

22

ZMEF=ZNFE,從而可得NBEF=NCFE,然后根據(jù)平行線的判定即可得證.

【詳解】；EM平分NBEF，F(xiàn)N平分NCFE：.AMEF=-ZBEF,ZNFE=-ZCFE

22

EM//FN：.ZMEF=/NFE：.-4BEF=-NCFE,即NBEF=Z.CFEAB//CD.

22

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)、角平分線的定義等知識點(diǎn)，熟記平行線的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

變式拓展

1.（2020?湖北咸寧市?中考真題）如圖，請?zhí)顚懸粋€(gè)條件，使結(jié)論成立：：,：.a//b.

【答案】Z1=Z4（答案不唯-）

【分析】根據(jù)平行線的判定添加條件即可.

【詳解】解：如圖，若Nl=/4,則2〃〉故答案為：Z1=Z4（答案不唯一）

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，可圍繞截線找同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角解答.

2.（2020?湖南郴州市?中考真題）如圖，直線被直線c,d所截下列條件能判定〃的是（）

A.Z1=Z3B.Z2+Z4=180°C.N4=N5D.Z1=Z2

【答案】D

【分析】直接利用平行線的判定方法進(jìn)而分析得出答案.

【詳解】A、當(dāng)/1=/3時(shí)，c〃d,不能判定2〃區(qū)故此選項(xiàng)不合題意；

B、當(dāng)N2+/4=180°時(shí)，c〃d,不能判定a〃b,故此選項(xiàng)不合題意；

C、當(dāng)N4=/5時(shí)，c〃d,不能判定2〃歸故此選項(xiàng)不合題意：

D、當(dāng)/1=/2時(shí)，a〃b,故此選項(xiàng)符合題意；故選：D.

【點(diǎn)睛】本題七要考查/平行線的判定，正確掌握判定方法是解題關(guān)鍵.

考向六平行線有關(guān)的輔助線問題

典例引領(lǐng)

1.（2020?湖南中考真題）如圖，已知AB〃￡）E,Zl=30°,Z2=35°,則N8CE的度數(shù)為（）

DE

A.70°B.65°C.35°D.5°

【答案】B

【分析］作C尸〃AB,根據(jù)平行線的性質(zhì)可以得到/1=NBCF,NFCE=N2,從而可得NBCE的度數(shù)，本

題得以解決.

【詳解】作CF//AB,

,JAB//DE,：.CF//DE,：.AB//DE//DE,：.Z\=ZBCF,NFCE=N2,

VZI=30°,N2=35°,尸=30°,/FCE=35°,1.NBCE=65°,故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用平行線的性質(zhì)解答.

2.（2020?江蘇南通市?中考真題）如圖，已知A8〃CZ）,NA=54。，Z￡=18°,則NC的度數(shù)是（）

A.36°B.34°C.32°D.30°

【答案】A

【分析】過點(diǎn)E作EF〃AB,則EF〃CD,由EF〃AB,利用“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”可得出/AEF的

度數(shù)，結(jié)合NCEF=NAEF-NAEC可得出NCEF的度數(shù)，由EF〃CD,利用“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”可

求出NC的度數(shù).

【詳解】解：過點(diǎn)E作EF〃AB,則EF〃CD,如圖所示.

VEFZ/AB,.?.NAEF=NA=54°,VZCEF=ZAEF-ZAEC=54°-18°=36°.

又：EF〃CD,.\ZC=ZCEF=36O.故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，牢記“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”是解題的關(guān)鍵.

變式拓展

1.（2020?遼寧朝陽市?中考真題）如圖，四邊形A8CO是矩形，點(diǎn)。是8c邊上的動點(diǎn)（點(diǎn)。與點(diǎn)8、點(diǎn)C

ZBAD+ZDOC

不重合）,則的值為（)

NADO

C.2D.無法確定

【答案】A

（分析］過點(diǎn)D作DE//AB交AO于點(diǎn)E,由平行的性質(zhì)可知NBAD=ZADE,ZDOC=ZODE,等量代

NBAD+NDOC

換可得的值.

ZADO

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作DE//AB交A0于點(diǎn)E,

???四邊形ABCO是矩形,AB//OC-/DE//AB二AB//DE,DE//OC

：.ABAD=ZADE,ZDOC=ZODE

NBAD+NDOCZBAD+ZDOCZBAD+ZDOC

--------------------=--------------------=---------------------=1故選：A.

ZADOZADE+ZODENBAD+NDOC

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，靈活的添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

2.（2020?四川綿陽市?中考真題）在螳螂的示意圖中，AB〃DE,AABC是等腰三角形，ZABC=124°,ZCDE

A.16°B.28°C.44°D.45°

【答案】C

【分析】延長ED，交AC于F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出？A2ACB28?,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出

?CFD?A28?,

【詳解】解：延長EO,交AC于產(chǎn)，

???AA8C是等腰三角形，NABC=124°,\?A2ACB28?,?:ABI/DE,\?CFD?A28?,

Q?CDE?CFD?ACD72?,\1ACD72?28?44?,故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查J'等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的

關(guān)鍵.

考向七平行線與方位角

典例引領(lǐng)

1.（2020?河北中考真題）如圖，從筆直的公路/旁一點(diǎn)尸出發(fā)，向西走6km到達(dá)/；從P出發(fā)向北走6km

也到達(dá)/.下列說法錯送的是（）

A.從點(diǎn)尸向北偏西45°走3km到達(dá)/B.公路/的走向是南偏西45°

C.公路/的走向是北偏東45°D.從點(diǎn)P向北走3km后，再向西走3km到達(dá)/

【答案】A

【分析】根據(jù)方位角的定義及勾股定理逐個(gè)分析即可.

【詳解】解：如圖所示，過P點(diǎn)作AB的垂線PH,

選項(xiàng)A：VBP=AP=6km,且/BPA=90。，二Z\PAB為等腰直角三角形，/PAB=/PBA=45。,

又PH,AB,.'.△PAH為等腰直角三角形,故選項(xiàng)A錯誤;

選項(xiàng)B：站在公路上向西南方向看，公路/的走向是南偏西45。，故選項(xiàng)B正確；

選項(xiàng)C：站在公路上向東北方向看，公路/的走向是北偏東45。，故選項(xiàng)C正確：

選項(xiàng)D：從點(diǎn)P向北走3km后到達(dá)BP中點(diǎn)E,此時(shí)EH為△PEH的中位線，故EH=：AP=3,故再向西走

3km到達(dá)/,故選項(xiàng)D正確.故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了方位角問題及等腰直角三角形、中位線等相關(guān)知識點(diǎn)，方向角一般以觀測者的位置為

中心，所以觀測者不同，方向就正好相反，但角度不變.

2.（2020?云南昆明市?中考真題）如圖，點(diǎn)C位于點(diǎn)4正北方向，點(diǎn)B位于點(diǎn)A北偏東50。方向，點(diǎn)C位于

點(diǎn)B北偏西35。方向，則NABC的度數(shù)為°.

北

【答案】95

【分析】按照題意，將點(diǎn)A、B、C的位置關(guān)系表示在圖中，過點(diǎn)B作一條平行于AC的線，并標(biāo)注出已知

角的度數(shù)，兩平行線間內(nèi)錯角相等，可得/1=/BAC,則NABC的度數(shù)就可求得.

【詳解】解：如下圖所示：過點(diǎn)B作一條平行于AC的線，

由題意可得，N1=NA=5O°（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），

則NABC=180°-35°-50°=95°,故答案為：95.

【點(diǎn)睛】本題主要考察了方位角的表示、平行線的性質(zhì)應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意，在圖中表示出各

個(gè)角的度數(shù)，同時(shí)還要掌握平行線的性質(zhì)：①兩直線平行，同位角相等；②兩直線平行，內(nèi)錯角相等；③

兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

變式拓展

1.（2020?廣西玉林市?中考真題）如圖是A,B,C三島的平面圖，C島在A島的北偏東35度方向，B島在

A島的北偏東80度方向，C島在B島的北偏西55度方向，則A,B,C三島組成一個(gè)（）

A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等邊三角形

【答案】A

【分析】先根據(jù)方位角的定義分別可求出NC4￡>=35。,ZBAZ>=80°,NCBE=55。，再根據(jù)角的和差、平

行線的性質(zhì)可得Na4C=45°,NA5E=100。，從而可得NA3C=45°,然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可

得NC=90°,最后根據(jù)等腰直角三角形的定義即可得.

【詳解】由方位角的定義得：NCW=35°,N84T>=80。,NC8E=55。

ABAC=ABAD-ACAD=80°-35°=45°

由題意得：AD//BEZABE=180°-/BAD=180°-80°=100°

ZABC=ZABE-ZCBE=100°—55°=45°/.ABAC=ZABC=45。

由三角形的內(nèi)角和定理彳？：NC=180°—ABAC-ZABC=90°:^ABC是等腰直角三角形

即A,B,C三島組成一個(gè)等腰直角三角形故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了方位角的定義、平行線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、等腰直角三角形的定義等知識

點(diǎn)，掌握理解方位角的概念是解題關(guān)鍵.

2.（2019?山東淄博市?中考真題）如圖，小明從A處沿北偏東40°方向行走至點(diǎn)8處，又從點(diǎn)8處沿東偏南

20。方向行走至點(diǎn)C處，則NA6C等于（)

C.110°D.100°

【答案】C

【分析】根據(jù)方位角的概念，畫圖正確表示出方位角，即可求解.

【詳解】如圖:

???小明從A處沿北偏東40。方向行走至點(diǎn)B處，乂從點(diǎn)B處沿東偏南20。方向行走至點(diǎn)C處,

二NZMB=40。，NCBF=20。，

?.?向北方向線是平行的，即4DZ7BE,.?.NABE=NZM5=4O°，

ZEBF=90°，；.NEBC=90°—20°=70°,

二ZABC=ZABE+N￡BC=400+70°=110°,故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查方位角，解題的關(guān)鍵是畫圖正確表示出方位角.

、亨點(diǎn)沖關(guān)充

1.（2019?湖南懷化市?中考真題）與30。的角互為余角的角的度數(shù)是（）

A.30°B.60°C.70°D.90°

【答案】B

【分析】直接利用互為余角的定義分析得出答案.

【解析】與30。的角互為余角的角的度數(shù)是：60°.故選B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了互為余角的定義，正確把握互為余角的定義是解題關(guān)鍵.

2.（2020?山東德州市?中考模擬）如圖,將一副三角尺按不同的位置擺放，下列擺放方式中4與互余的

是（）

【答案】A

【解析】根據(jù)平角的定義，同角的余角相等,等角的補(bǔ)角相等和鄰補(bǔ)角的定義對各小題分析判斷即可

得解.

圖①，Za+Zp=180°-90°,互余；圖②，根據(jù)同角的余角相等，Za=Zp；

圖③，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等圖④，Za+Zp=180°,互補(bǔ).故選A.

點(diǎn)睛：本題考查了余角和補(bǔ)角，是基礎(chǔ)題，熟記概念與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.（2020?廣西梧州市?中考模擬）已知NA=55。，則它的余角是（）

A.25°B.35°C.45°D.55°

【答案】B

【解析】【分析】根據(jù)余角的定義進(jìn)行解答即可得.

【詳解】：NA=55。，.I它的余角是90。-NA=90o-55°=35。,故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了余角與補(bǔ)角，熟知互余兩角的和為90度是解本題的關(guān)鍵.

4.（202（）?福建寧德市?中考模擬）如圖，點(diǎn)M在線段AB上，則下列條件不能確定M是AB中點(diǎn)的是（）

AMB

A.BM=—ABB.AM+BM=ABC.AM=BMD.AB=2AM

2

【答案】B

【解析】直接利用兩點(diǎn)之間的距離定義結(jié)合線段中點(diǎn)的性質(zhì)分別分析得出答案.

i|

A、當(dāng)BM=：AB時(shí)，則M為AB的中點(diǎn)，故此選項(xiàng)錯誤；

B、AM+BM=AB時(shí)，無法確定M為AB的中點(diǎn)，符合題意；

C、當(dāng)AM=BM時(shí)，則M為AB的中點(diǎn)，故此選項(xiàng)錯誤；

D、當(dāng)AB=2AM時(shí)，則M為AB的中點(diǎn)，故此選項(xiàng)錯誤；故選B.

考點(diǎn)：線段中點(diǎn)的定義.

5.（2020?江蘇宿遷市?中考真題）如圖，直線a,b被直線c所截，a〃b,/1=50°,則/2的度數(shù)為（）

A.40°B.50°C.130°D.150°

【答案】B

【分析】由2〃1）,利用“兩直線平行，同位角相等”可求出/2的度數(shù).

【詳解】二/2=/1=50°.故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，牢記“兩直線平行，同位角相等”是解題的關(guān)鍵.

6.（2020?四川自貢市?中考真題）如圖，a//b,Nl=50。，則N2的度數(shù)為（）

A.40°B.50°C.55°D.60°

【答案】B

【分析】利用平行線的性質(zhì)與對頂角相等即可求出.

【詳解】兩平行線同位角相等，再根據(jù)對頂角相等即可得到答案.故答案為B.

【點(diǎn)晴】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與對頂角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

7.（2020?貴州黔西南布依族苗族自治州?）如圖，將一塊三角板的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，當(dāng)/2=37。

時(shí)，Z1的度數(shù)為（）

C.53°D.54°

【答案】C

【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出N3=N2=37。，再根據(jù)Nl+N3=90°即可求解.

【詳解】：AB〃CD,二/2=/3=37。，VZFEG=90°,AZl+Z3=90°

：.N1=9O°—N3=90°—37°=53°故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)和平角的定義，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.（2020?河南中考真題）如圖，4/〃24/〃4,若Nl=70。，則N2的度數(shù)為（）

D.130°

【答案】B

【分析】利用平行線的性質(zhì)即可求解.

【詳解】如圖，工///，.??Nl+N3=180°,.,..?.N3=180°-70°=110°,，N2=N3=11()°,

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

9.（2020?湖南懷化市?中考真題）如圖，已知直線。，匕被直線C所截，且a/必，若Na=40"，則”的

度數(shù)為（）

A.140°B.50°C.60°D.40°

【答案】D

【分析】首先根據(jù)對頂角相等可得/I的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得少的度數(shù).

【詳解】解：?；Na=40。，.?./l=Na=40。，：a〃b,，N夕=/1=40。，故選：D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了對頂角相等和平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同位角相等.

10.（2019?貴州畢節(jié)市?中考真題）如圖，△ABC中，8是AB邊上的高，CM是AB邊上的中線，點(diǎn)C到

邊A8所在直線的距離是（）

A.線段CA的長度B.線段CM的長度C.線段C。的長度D.線段CB的長度

【答案】C

【分析】根據(jù)點(diǎn)C到邊AB所在直線的距離是點(diǎn)C到直線AB的垂線段的長度進(jìn)行求解即可.

【解析】點(diǎn)C到邊AB所在直線的距離是點(diǎn)C到直線AB的垂線段的長度，而CD是點(diǎn)C到直線AB的垂線

段，故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離，熟知點(diǎn)到直線的距離的概念是解題的關(guān)鍵.

11.（2020?江蘇常州市?中考真題）如圖，直線〃、6被直線c所截，0〃。，Nl=140。，則N2的度數(shù)是（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

1

【答案】B

【分析】先根據(jù)鄰補(bǔ)角相等求得N3,然后再根據(jù)兩直線平行、內(nèi)錯角相等即可解答.

【詳解】解：?.?/1+N3=18O°,Nl=140°3=180°-/1=180°-140。=40°

；allb：.Z2=Z3=40°.故答案為B.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，掌握“兩直線平行、內(nèi)錯角相等”是解答本題的關(guān)鍵.

12.（2020?廣西百色市?中考模擬）如圖，城嬤為/盛狷的平分線，下列等式錯誤的是（）

1

A.二左激級=應(yīng)超袍箍B.必觸廉=.皿贖C.應(yīng):幽理雜理期D.露足■贊=2康勰

塞

【答案】C

【解析】；AM為NBAC的平分線，

/.-ZBAC=ZBAM,ZBAM=ZCAM,/BAM=/CAM,2ZCAM=ZBAC.故選C.

鬟

考點(diǎn)：角平分線的定義.

13.（2020?湖北宜昌市?中考模擬）己知M,N,P,Q四點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論中，正確的是（）

A.NNOQ=42。B.NNOP=\32。C./PON比NMOQ大D.NMOQ與NMOP互補(bǔ)

【答案】C

【解析】如圖所示：ZNOQ=138°,選項(xiàng)A錯誤；NNOP=48。，選項(xiàng)B錯誤；

如圖可得/PON=48。，NMOQ=42。，所以NPON比/MOQ大，選項(xiàng)C正確；

由以上可得，/MOQ與/MOP不互補(bǔ)，選項(xiàng)D錯誤.故答案選C.

考點(diǎn)：角的度量.

14.（2019?廣西河池市?中考真題）如圖，Zl=120°,要使則N2的大小是（）

A.60°B.80°C.100°D.120°

【答案】D

【分析】根據(jù)同位角相等，兩直線平行即可求解.

【詳解】解：如果N2=N1=12O°,那么出力.所以要使W/5,則N2的大小是120°.故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的判定定理，掌握同位角相等，兩直線平行是解題的關(guān)鍵.

15.（2019?貴州遵義市?中考真題）如圖，Zl+Z2=180°,/3=104。，則/4的度數(shù)是（）

【答案】B

【分析】求出N5=N2,根據(jù)平行線的判定得出2〃13,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出即可.

VZ1+Z2=18O°,/1+/5=180°,；./2=/5,.\a〃b,；./4=/6,

,.23=104°,.,.Z6=180°-Z3=76°,；.N4=76°,故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，能正確利用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.

16.（2020?河北中考模擬）如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東70。方向的M處，它以每小時(shí)40海里的

速度向正北方向航行，2小時(shí)后到達(dá)位于燈塔P的北偏東40。的N處，則N處與燈塔P的距離為

60海里C.70海里D.80海里

【解析】依題意，知MN=40海里/小時(shí)x2小時(shí)=80海里,

?根據(jù)方向角的意義和平行的性質(zhì)，ZM=70°,ZN=40°,

,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得NMPN=70。.；.NM=NMPN=70。.

.?.NP=NM=80海里.故選D.

17.（2020?山東德州市?中考模擬）如圖，為抄近路踐踏草坪是一種不文明的現(xiàn)象，請你用數(shù)學(xué)知識解釋出

這一現(xiàn)象的原因

【答案】兩點(diǎn)之間線段最短

【分析】根據(jù)線段的性質(zhì)解答即可.

【詳解】解：為抄近路踐踏草坪原因是：兩點(diǎn)之間線段最短.

故答案為：兩點(diǎn)之間線段最短.

【點(diǎn)睛】本題考查線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短；三角形三邊關(guān)系.

18.（2020?遼寧阜新市?中考真題）如圖，直線〃，6過等邊三角形A8C頂點(diǎn)A和C,且W/5,Nl=42。，

則Z2的度數(shù)為.

A

【答案】102°

【分析】根據(jù)題意可求出N84c的度數(shù)，再根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等即可得出答案.

【詳解】角形ABC為等邊三角形二/84。=60°

???aIlb：.Z2=Z1+ABAC=420+60°=102°故答案為：102°.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

19.（2020?廣西貴港市?中考真題）如圖，點(diǎn)。，C在直線w上，OB平分NAOC，若m//〃，Nl=56。,

則Z2=.

AB

\A2

ift'

I*----乂------------

OC

【答案】620

【分析】根據(jù)血/〃和OB平分NAOC,計(jì)算出NBOC的度數(shù)，便可求解.

【詳解】解：如圖：

i\Zi

m'

nW------

NOC

?"http://〃；.N1=NAON=56°，Z2=ZBOCZAOC=180°-ZAON=124°

???。3平分44。。二/80。=,44。。=62。.-.ZBOC=620故答案為62。

2

【點(diǎn)睛】本題考查平行線性質(zhì)，以及角平分線性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

20.（2019?山東中考真題）如圖，已知AB=8cm,BD=3cm,C為AB的中點(diǎn)，則線段CD的長為_.___cm.

ACDB

【答案】i

【分析】先根據(jù)中點(diǎn)定義求BC的長，再利用線段的差求CD的長.

【詳解】解：為AB的中點(diǎn)，AB=8cm,.,.BC=-AB=-x8=4（cm）,

22

VBD=3cm,ACD=BC-BD=4-3=1（cm）,則CD的長為1cm；故答案為：1.

【點(diǎn)睛】此題主要考查線段的長度，解題的關(guān)鍵是熟知線段長度的運(yùn)算關(guān)系.

21.（2019?江蘇南京市?中考真題）結(jié)合下圖，用符號語言表達(dá)定理“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”的推理

形式：*/，；.a〃b.

【答案】Z1+Z3=18O°

【分析】兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行.

【詳解】解：?；/l+N3=180。，...aab（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平）.故答案為N1+N3=18O。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行的判定，兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線

平行.

22.（2019?廣東廣州市?中考真題）如圖，點(diǎn)A,B,C在直線/上，PB±/,PA=6cm,PB=5cm,PC=7cm,

則點(diǎn)P到直線/的距離是cm.

【答案】5.

【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離是直線外的點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，可得答案.

【解析】解：PB=5cm,，P到/的距離是垂線段PB的長度5cm,故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離的定義，熟練掌握是解題的關(guān)鍵.

直通中考，;

__________/—:

1.（2020?甘肅金昌市?中考真題）若。=70°,則a的補(bǔ)角的度數(shù)是（）

A.1300B.110°C.30°D.20°

【答案】B

【分析】直接根據(jù)補(bǔ)角的定義即可得.

【詳解】?.?a=70°\］的補(bǔ)角的度數(shù)是180°-a=180°—70°=110°故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了補(bǔ)角的定義，熟記定義是解題關(guān)鍵.

2.（2020?湖北襄陽市?中考真題）如圖，AB//CD,直線石尸分別交A3,8于點(diǎn)E,F,EG平分NBEF,

若ZEFG=64°,則ZEGD的大小是（）

A.132°B.128°C.122°D.112°

【答案】C

【分析】利用平行線的性質(zhì)求解4E5,利用角平分線求解NBEG,再利用平行線的性質(zhì)可得答案.

【詳解】解：-.-AB//CD,；.NEFG+NFEB=180。,?/ZEFG=64°,ZFEB=180°-64°=116°,

?;EG平分ZBEF,：.NFEG=NBEG=58°,?；期//?口：.ZBEG+Z￡GP=180°,

ZEGD=180°-58°=122°.故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

3.（2020?湖北鄂州市?中考真題）如圖，al1b,一塊含45°的直角三角板的一個(gè)頂點(diǎn)落在其中一條直線上,

若4=65°，則N2的度數(shù)為（）

A.25°B.35°C.55°D.65°

【答案】A

【分析】作平行a和b的平行線，再根據(jù)平行的性質(zhì)可知N3=N1,再算出N4即可得出Z2.

【詳解】如圖所示，過直角頂點(diǎn)作?〃2,「?！?。，，a〃b〃c,

N3=N1=65°,Z4=90°-65°=25°,/.Z2=Z4=25°.故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查平行的性質(zhì)，關(guān)鍵在于利用割補(bǔ)法將直角分成兩個(gè)角度進(jìn)行轉(zhuǎn)換.

4.（2020?內(nèi)蒙古呼倫貝爾市?中考真題）如圖，直線48//?！辏?/場，。后于點(diǎn)￡,若N￡AB=120°，則

NEC。的度數(shù)是（）

A.1200B.100°C.150°D.160°

【答案】C

【分析】延