專題09 動態(tài)幾何定值問題【無答案】

玩轉(zhuǎn)壓軸題，爭取滿分之備戰(zhàn)2020年中考數(shù)學解答題高端精品專題九動態(tài)幾何定值問題【考題研究】數(shù)學因運動而充滿活力，數(shù)學因變化而精彩紛呈。動態(tài)題是近年來中考的的一個熱點問題，以運動的觀點探究幾何圖形的變化規(guī)律問題，稱之為動態(tài)幾何問題，隨之產(chǎn)生的動態(tài)幾何試題就是研究在幾何圖形的運動中，伴隨著出現(xiàn)一定的圖形位置、數(shù)量關(guān)系的“變”與“不變”性的試題，就其運動對象而言，有點動、線動、面動三大類，就其運動形式而言，有軸對稱（翻折）、平移、旋轉(zhuǎn)（中心對稱、滾動）等，就問題類型而言，有函數(shù)關(guān)系和圖象問題、面積問題、最值問題、和差問題、定值問題和存在性問題等。解這類題目要“以靜制動”，即把動態(tài)問題，變?yōu)殪o態(tài)問題來解，而靜態(tài)問題又是動態(tài)問題的特殊情況。以動態(tài)幾何問題為基架而精心設(shè)計的考題，可謂璀璨奪目、精彩四射?！窘忸}攻略】動態(tài)幾何形成的定值和恒等問題是動態(tài)幾何中的常見問題，其考點包括線段（和差）為定值問題；角度（和差）為定值問題；面積（和差）為定值問題；其它定值問題。解答動態(tài)幾何定值問題的方法，一般有兩種：第一種是分兩步完成：先探求定值.它要用題中固有的幾何量表示.再證明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把動點放在特殊的位置，找出定值的表達式，然后寫出證明.第二種是采用綜合法，直接寫出證明.【解題類型及其思路】在中考中，動態(tài)幾何形成的定值和恒等問題命題形式主要為解答題。在中考壓軸題中，動態(tài)幾何之定值（恒等）問題的重點是線段（和差）為定值問題，問題的難點在于準確應用適當?shù)亩ɡ砗头椒ㄟM行探究?！镜淅敢款愋鸵弧揪€段及線段的和差為定值】【典例指引1】已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，將△ABC繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C，記旋轉(zhuǎn)角為α，當90°＜α＜180°時，作A′D⊥AC，垂足為D，A′D與B′C交于點E．（1）如圖1，當∠CA′D＝15°時，作∠A′EC的平分線EF交BC于點F．①寫出旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)；②求證：EA′+EC＝EF；（2）如圖2，在（1）的條件下，設(shè)P是直線A′D上的一個動點，連接PA，PF，若AB＝，求線段PA+PF的最小值．（結(jié)果保留根號）【舉一反三】如圖（1），已知∠,點為射線上一點，且，、為射線和上的兩個動點（），過點作⊥，垂足為點，且，聯(lián)結(jié)．（1）若時，求的值；（2）設(shè)，求與之間的函數(shù)解析式，并寫出定義域；（3）如圖(2)，過點作的垂線，垂足為點，交射線于點，點、在射線和上運動時，探索線段的長是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，求出它的值。若發(fā)生變化，試用含x的代數(shù)式表示的長．類型二【線段的積或商為定值】【典例指引2】如圖①，矩形中，，，將繞點從處開始按順時針方向旋轉(zhuǎn)，交邊（或）于點，交邊（或）于點.當旋轉(zhuǎn)至處時，的旋轉(zhuǎn)隨即停止.（1）特殊情形：如圖②，發(fā)現(xiàn)當過點時，也恰好過點，此時是否與相似？并說明理由；（2）類比探究：如圖③，在旋轉(zhuǎn)過程中，的值是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由；（3）拓展延伸：設(shè)時，的面積為，試用含的代數(shù)式表示；①在旋轉(zhuǎn)過程中，若時，求對應的的面積；②在旋轉(zhuǎn)過程中，當?shù)拿娣e為4.2時，求對應的的值.【舉一反三】如圖1,已知直線y＝a與拋物線交于A、B兩點(A在B的左側(cè)),交y軸于點C(1)若AB＝4,求a的值(2)若拋物線上存在點D(不與A、B重合),使,求a的取值范圍(3)如圖2,直線y＝kx＋2與拋物線交于點E、F,點P是拋物線上的動點,延長PE、PF分別交直線y＝－2于M、N兩點,MN交y軸于Q點,求QM·QN的值。圖1圖2類型三【角及角的和差定值】【典例指引3】如圖，在△ABC中，∠ABC＞60°，∠BAC＜60°，以AB為邊作等邊△ABD（點C、D在邊AB的同側(cè)），連接CD．（1）若∠ABC90°，∠BAC30°，求∠BDC的度數(shù)；（2）當∠BAC2∠BDC時，請判斷△ABC的形狀并說明理由；（3）當∠BCD等于多少度時，∠BAC2∠BDC恒成立．【舉一反三】如圖1，拋物線的頂點為點，與軸的負半軸交于點，直線交拋物線W于另一點，點的坐標為．（1）求直線的解析式；（2）過點作軸，交軸于點，若平分，求拋物線W的解析式；（3）若，將拋物線W向下平移個單位得到拋物線，如圖2，記拋物線的頂點為，與軸負半軸的交點為，與射線的交點為．問：在平移的過程中，是否恒為定值？若是，請求出的值；若不是，請說明理由．類型四【三角形的周長為定值】【典例指引4】如圖，現(xiàn)有一張邊長為的正方形ABCD，點P為正方形AD邊上的一點（不與點A、點D重合），將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP，BH.（1）求證：；（2）求證：；（3）當點P在邊AD上移動時，△PDH的周長是否發(fā)生變化？不變化，求出周長，若變化，說明理由；（4）設(shè)AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式.【舉一反三】如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝8，點O是AB的中點.將一個邊長足夠大的Rt△DEF的直角頂點E放在點O處，并將其繞點O旋轉(zhuǎn)，始終保持DE與AC邊交于點G，EF與BC邊交于點H.(1)當點G在AC邊什么位置時，四邊形CGOH是正方形.(2)等腰直角三角ABC的邊被Rt△DEF覆蓋部分的兩條線段CG與CH的長度之和是否會發(fā)生變化，如不發(fā)生變化，請求出CG與CH之和的值：如發(fā)生變化，請說明理由.類型五【三角形的面積及和差為定值】【典例指引5】綜合與實踐：矩形的旋轉(zhuǎn)問題情境：在綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學活動．具體要求：如圖1，將長與寬都相等的兩個矩形紙片ABCD和EFGH疊放在一起，這時對角線AC和EG互相重合．固定矩形ABCD，將矩形EFGH繞AC的中點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)，直到點E與點B重合時停止，在此過程中開展探究活動．操作發(fā)現(xiàn)：（1）雄鷹小組初步發(fā)現(xiàn)：在旋轉(zhuǎn)過程中，當邊AB與EF交于點M，邊CD與GH交于點N，如圖2、圖3所示，則線段AM與CN始終存在的數(shù)量關(guān)系是．（2）雄鷹小組繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn)：在旋轉(zhuǎn)開始后，當兩個矩形紙片重疊部分為四邊形QMRN時，如圖3所示，四邊形QMRN為菱形，請你證明這個結(jié)論．（3）雄鷹小組還發(fā)現(xiàn)在問題（2）中的四邊形QMRN中∠MQN與旋轉(zhuǎn)角∠AOE存在著特定的數(shù)量關(guān)系，請你寫出這一關(guān)系，并說明理由．實踐探究：（4）在圖3中，隨著矩形紙片EFGH的旋轉(zhuǎn)，四邊形QMRN的面積會發(fā)生變化．若矩形紙片的長為，寬為，請你幫助雄鷹小組探究當旋轉(zhuǎn)角∠AOE為多少度時，四邊形QMRN的面積最大？最大面積是多少？（直接寫出答案）【舉一反三】如圖1，矩形ABCD中，E是AD的中點，以點E直角頂點的直角三角形EFG的兩邊EF，EG分別過點B，C，∠F＝30°.（1）求證：BE＝CE（2）將△EFG繞點E按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當旋轉(zhuǎn)到EF與AD重合時停止轉(zhuǎn)動.若EF，EG分別與AB，BC相交于點M，N.（如圖2）①求證：△BEM≌△CEN；②若AB＝2，求△BMN面積的最大值；③當旋轉(zhuǎn)停止時，點B恰好在FG上（如圖3），求sin∠EBG的值.【新題訓練】1．已知在平行四邊形ABCD中，AB=6，BC=10，∠BAD=120°，E為線段BC上的一個動點（不與B，C重合），過E作直線AB的垂線，垂足為F，F(xiàn)E與DC的延長線相交于點G，（1）如圖1，當AE⊥BC時，求線段BE、CG的長度．（2）如圖2，點E在線段BC上運動時，連接DE，DF，△BEF與△CEG的周長之和是否是一個定值，若是請求出定值，若不是請說明理由．（3）如圖2，設(shè)BE=x，△DEF的面積為y，試求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．2．如圖，邊長為8的正方形OABC的兩邊在坐標軸上，以點C為頂點的拋物線經(jīng)過點A，點P是拋物線上點A、C間的一個動點（含端點），過點P作PF⊥BC于點F，點D、E的坐標分別為（0，6），（﹣4，0），連接PD，PE，DE．（1）求拋物線的解析式；（2）小明探究點P的位置是發(fā)現(xiàn)：當點P與點A或點C重合時，PD與PF的差為定值，進而猜想：對于任意一點P，PD與PF的差為定值，請你判定該猜想是否正確，并說明理由；（3）請直接寫出△PDE周長的最大值和最小值．3．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．(1)直接填空：∠BAD=______°.(2)點P在CD上，連結(jié)AP，AM平分∠DAP，AN平分∠PAB，AM、AN分別與射線BP交于點M、N．設(shè)∠DAM=α°．①求∠BAN的度數(shù)(用含α的代數(shù)式表示)．②若AN⊥BM，試探究∠AMB的度數(shù)是否為定值？若為定值，請求出該定值；若不為定值，請用α的代數(shù)式表示它．4．將在同一平面內(nèi)如圖放置的兩塊三角板繞公共頂點A旋轉(zhuǎn)，連接BC，DE．探究S△ABC與S△ADC的比是否為定值．（1）兩塊三角板是完全相同的等腰直角三角板時，S△ABC：S△ADE是否為定值？如果是，求出此定值，如果不是，說明理由．（圖①）（2）一塊是等腰直角三角板，另一塊是含有30°角的直角三角板時，S△ABC：S△ADE是否為定值？如果是，求出此定值，如果不是，說明理由．（圖②）（3）兩塊三角板中，∠BAE+∠CAD＝180°，AB＝a，AE＝b，AC＝m，AD＝n（a，b，m，n為常數(shù)），S△ABC：S△ADE是否為定值？如果是，用含a，b，m，n的式子表示此定值（直接寫出結(jié)論，不寫推理過程），如果不是，說明理由．（圖③）5．（解決問題）如圖1，在中，，于點．點是邊上任意一點，過點作，，垂足分別為點，點．（1）若，，則的面積是______，______．（2）猜想線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）（變式探究）如圖2，在中，若，點是內(nèi)任意一點，且，，，垂足分別為點，點，點，求的值．（4）（拓展延伸）如圖3，將長方形沿折疊，使點落在點上，點落在點處，點為折痕上的任意一點，過點作，，垂足分別為點，點．若，，直接寫出的值．6．如圖，已知銳角△ABC中，AB、AC邊的中垂線交于點O（1）若∠A=α（0°＜α＜90°），求∠BOC；（2）試判斷∠ABO+∠ACB是否為定值；若是，求出定值，若不是，請說明理由．7．⊙O的直徑AB＝15cm，有一條定長為9cm的動弦，CD在弧AB上滑動（點C和A、點D與B不重合），且CE⊥CD交AB于E，DF⊥CD交AB于F．（1）求證：AE＝BF（2）在動弦CD滑動過程中，四邊形CDFE的面積是否為定值，若是定值，請給出證明，并求這個定值，若不是，請說明理由.8．如圖，動點在以為圓心，為直徑的半圓弧上運動（點不與點及的中點重合），連接.過點作于點，以為邊在半圓同側(cè)作正方形，過點作的切線交射線于點，連接、.（1）探究：如左圖，當動點在上運動時；①判斷是否成立？請說明理由；②設(shè)，是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由；③設(shè)，是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由；（2）拓展：如右圖，當動點在上運動時；分別判斷（1）中的三個結(jié)論是否保持不變？如有變化，請直接寫出正確的結(jié)論.（均不必說明理由）9．如圖，已知⊙的半徑為，為直徑，為弦．與交于點，將沿著翻折后，點與圓心重合，延長至，使，鏈接．（）求的長．（）求證：是⊙的切線．（）點為的中點，在延長線上有一動點，連接交于點，交于點（與、不重合）．則為一定值．請說明理由，并求出該定值．10．在平面直角坐標系中，點A和點B分別在x軸的正半軸和y軸的正半軸上，且OA=6，OB=8，點D是AB的中點．（1）直接寫出點D的坐標及AB的長；（2）若直角∠NDM繞點D旋轉(zhuǎn)，射線DP分別交x軸、y軸于點P、N，射線DM交x軸于點M，連接MN．①當點P和點N分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸時，若△PDM∽△MON，求點N的坐標；②在直角∠NDM繞點D旋轉(zhuǎn)的過程中，∠DMN的大小是否會發(fā)生變化？請說明理由．11．如圖，△AOB中，A（－8，0），B（0，），AC平分∠OAB，交y軸于點C，點P是x軸上一點，⊙P經(jīng)過點A、C，與x軸于點D，過點C作CE⊥AB，垂足為E，EC的延長線交x軸于點F，（1）⊙P的半徑為；（2）求證：EF為⊙P的切線；（3）若點H是上一動點，連接OH、FH，當點H在上運動時，試探究是否為定值？若為定值，求其值；若不是定值，請說明理由.12．如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2．過點A作對角線BD的平行線與邊CD的延長線相交于點E．P為邊BD上的一個動點（不與端點B，D重合），連接PA，PE，AC．（1）求證：四邊形ABDE是平行四邊形；（2）求四邊形ABDE的周長和面積；（3）記△ABP的周長和面積分別為C1和S1，△PDE的周長和面積分別為C2和S2，在點P的運動過程中，試探究下列兩個式子的值或范圍：①C1+C2，②S1+S2，如果是定值的，請直接寫出這個定值；如果不是定值的，請直接寫出它的取值范圍．13．如圖，在中，圓心關(guān)于弦的對稱點恰好在上，連接、、、.（1）求證：四邊形是菱形；（2）如圖，若點是優(yōu)弧（不含端點、）上任意一點，連接交于點，的半徑為.試探究①線段與的積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由；②求的取值范圍.14．如圖，拋物線的頂點