專題07解三角形(解析版)

專題07解三角形目錄一常規(guī)題型方法1題型一正余弦定理的選擇1題型二邊角互化的應(yīng)用5題型三三角形面積公式及其應(yīng)用10題型四判斷三角形解的個數(shù)13題型五解三角形的實(shí)際應(yīng)用15題型六解三角形的綜合應(yīng)用18二針對性鞏固練習(xí)28練習(xí)一正余弦定理的選擇28練習(xí)二邊角互化的應(yīng)用30練習(xí)三三角形面積公式及其應(yīng)用32練習(xí)四判斷三角形解的個數(shù)34練習(xí)五解三角形的實(shí)際應(yīng)用35練習(xí)六解三角形的綜合應(yīng)用36常規(guī)題型方法題型一正余弦定理的選擇【典例分析】典例1-1．（青海玉樹州三校（二高、三高、五高）2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】由正弦定理直接求解即可.【詳解】解：因為，，，由正弦定理得.故選：B.典例1-2．（2019·全國·高二專題練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若(a2＋b2－c2)tanC＝ab，則角C的大小為()A．或 B．或 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)所給條件，結(jié)合余弦定理即可求得角C的大?。驹斀狻坑煽傻?，，由余弦定理可得，因為，所以角的大小為或故選A【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．典例1-3．（2022·陜西·渭南市三賢高二期中）的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，則的形狀是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】B【分析】根據(jù)正弦定理的三邊比值，然后能得到，即可得到答案【詳解】由正弦定理可知，設(shè)，所以，所以，所以的形狀是直角三角形，故選：B典例1-4．（2022·重慶市江津第高一期中）在中，，，邊上的中線的長度為，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】設(shè)，在和中，由余弦定理可得，結(jié)合在中，利用余弦定理，即可求出的值，從而得出答案.【詳解】設(shè)，由為邊上的中線，則在中，由余弦定理得在中，由余弦定理得因為，可得，即在中，由余弦定理得代入可得，解得或（舍），即故選：A【方法技巧總結(jié)】1.技巧：正余弦的選擇要看條件中邊多還是角多，邊多用余弦定理，角多用正弦定理。正弦適用環(huán)境：兩角及其一角對邊，兩邊及其一邊對角；余弦適用環(huán)境：兩邊夾一角，三邊。2.注意：正弦定理可以有拓展公式需注意，同時也可以幫助求解外接圓半徑，余弦定理需注意原公式與推式的靈活應(yīng)用?！咀兪接?xùn)練】1．（2021·福建省.永泰縣第一高一階段練習(xí)）在銳角中，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由同角三角函數(shù)關(guān)系式,先求得,再由余弦定理即可求得的值.【詳解】因為為銳角三角形,由同角三角函數(shù)關(guān)系式可得又因為,由余弦定理可得代入可得所以故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式應(yīng)用,余弦定理求三角形的邊,屬于基礎(chǔ)題.2．（2022·浙江·嘉興市第五高級高一期中）已知的內(nèi)角所對的邊分別為滿足且，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先利用余弦定理求得，再利用正弦定理求解即可.【詳解】由題，,又，，，故選：A.3．（2015·湖北武漢·高一期中）已知△的三邊長是三個連續(xù)的自然數(shù)，且最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍，則最小內(nèi)角的余弦值為A． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：設(shè)三邊為，三邊為4．5．6考點(diǎn)：1．正余弦定理；2．二倍角公式4．（2015·陜西西安·高三階段練習(xí)（理））在a2+b2=2c2中角A,B,C所對邊長分別為，若，則cosC的最小值為A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：利用余弦定理與基本不等式即可求得cosC的最小值．∵△ABC中，，∴由余弦定理得：（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號）．∴cosC的最小值為,故選C考點(diǎn)：余弦定理題型二邊角互化的應(yīng)用【典例分析】典例2-1．（2022·陜西·漢臺高二階段練習(xí)）在中，三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，若，，則c＝（

）A．2 B．4 C． D．8【答案】A【分析】由正弦定理，結(jié)合條件，得，進(jìn)一步求出，利用余弦定理求出.【詳解】由正弦定理，及，得，又，所以，整理得，所以，又，所以．由余弦定理，得，則．故選：A．典例2-2．（2022·全國·高一課時練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則該三角形一定是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【答案】A【分析】由余弦定理得到，結(jié)合，得到，判斷出三角形為直角三角形.【詳解】∵，∴，由余弦定理可得：，整理可得：，①∵，∴，②由①②得，∴該三角形是直角三角形.故選：A典例2-3．（2022·陜西·永壽縣高二階段練習(xí)（文））在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，則C等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由正弦定理邊角關(guān)系有，結(jié)合已知、余弦定理求，即可確定角的大小.【詳解】由正弦定理邊角關(guān)系：化為，由余弦定理得：，而，故.故選：B典例2-4．（生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測試2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期11月測試文科數(shù)學(xué)試題）在中，角、、所對的邊分別為、、.已知，且為銳角，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合正弦定理邊化角可解得，即可求角，結(jié)合正弦定理邊化角之后再消元，可得，再結(jié)合的范圍即可得證【詳解】由正弦定理可知，，，又在中，，即，為銳角，，，所以由正弦定理得：，又，即，，故可得，即，故選：A【方法技巧總結(jié)】1.方法：正弦定理邊角互化，余弦定理邊角互化。2.技巧：使用正弦定理邊角互化的時候要注意齊次式，否則只能局部變化，口訣：“有邊有角邊化角，兩邊二次角化邊”；余弦定理邊化角時要注意觀察是否有多個二次邊長，角化邊用的很少，要謹(jǐn)慎使用。統(tǒng)一為角的等式后，要注意使用“逆化”與“正拆”進(jìn)行進(jìn)一步化簡。【變式訓(xùn)練】1．（2022·河南·汝陽縣一高高三階段練習(xí)（理））已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則A＝（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正弦定理將原式邊化角，再根據(jù)和角公式和輔助角公式化簡即可.【詳解】或（舍）故選：C.2．（2022·全國·高一課時練習(xí)）在中，（分別為角的對邊），則一定是（

）A．等邊三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】根據(jù)二倍角公式將已知條件變形，然后利用余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化進(jìn)行判斷.【詳解】∵，∴，即，根據(jù)余弦定理可得，整理得，由勾股定理知，為直角三角形.故選：B3．（2022·黑龍江·綏化市第二高三階段練習(xí)）△的內(nèi)角，，的對邊分別為，，.若，則（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】利用正弦定理進(jìn)行角換邊，再根據(jù)余弦定理即可得出答案.【詳解】，利用正弦定理可得:，又，可得，整理可得：，故選：A.4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，且，則（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】利用正弦定理可得，根據(jù)三角形性質(zhì)和邊角互化得出，，解方程組可得結(jié)果.【詳解】因為，所以，即；因為，由正弦定理可得①；因為，所以，所以，整理得②；由①②可得，解得或（舍）.故選：B.題型三三角形面積公式及其應(yīng)用【典例分析】典例3-1．（2022·河南·高三階段練習(xí)（理））在中，已知，AC＝4，則的面積為（

）A．2 B． C．4 D．【答案】C【分析】由正弦定理得，由三角形面積公式結(jié)合三角恒等變換得．【詳解】依題意，∴由正弦定理得∴．故選：C．典例3-2．（2022·河南省淮陽模擬預(yù)測（理））已知中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若點(diǎn)A到直線BC的距離為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由條件點(diǎn)A到直線BC的距離為，結(jié)合三角形面積公式可求，在根據(jù)正弦定理結(jié)合條件求，由內(nèi)角和公式求.【詳解】因為點(diǎn)A到直線BC的距離為，所以的面積，又，所以，故，又，所以；由及正弦定理可得，故，故．故選：A．典例3-3．（2022·江蘇無錫·高三期中）在中，角的對邊分別為．若，，的面積為，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用邊角互化求出，三角形面積公式求出，最后根據(jù)投影向量公式計算即可.【詳解】，由正弦定理得：，即，是三角形內(nèi)角，則，于是，又得，，故，，∴，則在方向上的投影向量為：.故選：B【方法技巧總結(jié)】1.技巧：面積公式在選擇上優(yōu)先考慮角；面積公式也可以與初中的面積公式一起處理一些問題。【變式訓(xùn)練】1．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬高三階段練習(xí)（文））的內(nèi)角的對邊分別為.若，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用余弦定理得到，然后根據(jù)面積公式求出結(jié)果即可．【詳解】由余弦定理有，，，，，，，故選：．2．（2022·重慶巴蜀高三階段練習(xí)）已知中，為的角平分線，，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)利用三角形面積公式、倍角公式化簡整理可得，再求，代入面積公式運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)∵，則即，可得∵，則∴，則故選：B.3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，已知橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離最大值為9，最小值為1.若點(diǎn)在此橢圓上，，則的面積等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)題干中的幾何條件求出與的值，然后根據(jù)余弦定理求出，最后利用面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因為橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為，最小值為.所以，解得.則由余弦定理可知，代入化簡可得，則.故選：B.題型四判斷三角形解的個數(shù)【典例分析】典例4-1．（2022·陜西·武功縣普集高級高二期中（文））在中，若，，，則此三角形解的情況為（

）A．無解 B．兩解C．一解 D．解的個數(shù)不能確定【答案】C【分析】根據(jù)正弦定理求出的值，結(jié)合大邊對大角定理可得出結(jié)論.【詳解】由正弦定理，得，得，因為，則，故為銳角，故滿足條件的只有一個.故選：C.典例4-2．（2022·河南南陽·高三期中（理））在中，，，.若滿足條件的有且只有一個，則的可能取值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正弦定理得到，再分和兩種情況討論，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求出的取值范圍，即可判斷.【詳解】解：由正弦定理，即，所以，因為只有一解，若，則，若顯然滿足題意，所以或，所以或，解得或；故選：D【方法技巧總結(jié)】1.方法：正弦定理、數(shù)形結(jié)合2.技巧：使用正弦定理來處理解的個數(shù)問題需注意估算三角函數(shù)值以及角的大?。粩?shù)形結(jié)合需先畫出一部分已知邊角，然后找一端點(diǎn)做圓，進(jìn)而判斷解的個數(shù)?！咀兪接?xùn)練】1．（2022·陜西·禮泉縣第二高二階段練習(xí)）在中，內(nèi)角，，對應(yīng)的邊分別為，，，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【分析】根據(jù)三角形的性質(zhì)，以及正弦定理和余弦定理，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，由，，可得，所以三角形只有一解；對于B中，由，，，可得，所以，此時三角形有唯一的解；對于C中，由正弦定理，可得，可得有兩解，所以三角形有兩解；對于D中，由余弦定理得，可得有唯一的解，所以三角形只有一解.故選：C.2．（2022·河南·偃師市緱第四高三階段練習(xí)（理））在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，c＝3．且該三角形有兩解，則a的值可以為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】根據(jù)正弦定理可求出，再依據(jù)該三角形有兩解可知，，即得角A的取值范圍，依據(jù)正弦函數(shù)的圖象即可求出的取值范圍，從而得解．【詳解】由正弦定理得，且，所以，即．因為該三角形有兩個解，當(dāng)時只有一解，所以．故選：B.題型五解三角形的實(shí)際應(yīng)用【典例分析】典例5-1．（2021·湖北·鄂南高中高二階段練習(xí)）筆峰塔矗立在淦河岸邊，是咸寧市現(xiàn)存古跡之一．小張同學(xué)為測量筆峰塔的高度，如圖，選取了與塔底部D在同一水平面上兩點(diǎn)，在A點(diǎn)和B點(diǎn)處測得C點(diǎn)的仰角分別為和，測得米，，則筆峰塔的高度為（

）A．20米 B．25米 C．米 D．米【答案】B【分析】設(shè)，根據(jù)已知條件表示出，,然后由余弦定理列式解方程，即可求得答案.【詳解】依題意，，設(shè)，在、中，，，所以，,在中，由余弦定理得，即，解得或（舍去），所以筆峰塔的高度為25米,故選:B.典例5-2．（2022·福建·寧德市高級高三期中）如圖，禮堂外立面裝修，設(shè)A，B兩點(diǎn)在禮堂外立面的上下兩端，測量者在A的同側(cè)底沿邊選定一點(diǎn)C,測出AC的距離為10m，，，就可以計算出BC兩點(diǎn)的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析：先根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出，再根據(jù)正弦定理即可求解.【詳解】解：∵中，，，∴，又∵中，，∴由正弦定理可得：，則.故選：B.【方法技巧總結(jié)】1.方法：高度測量、距離測量、角度測量2.技巧：注意方位角，仰角、俯角的使用，將問題轉(zhuǎn)化為多個三角形來處理，并在多個三角形內(nèi)不斷求解所需條件。方案設(shè)計題需掌握幾種常用的設(shè)計方案?！咀兪接?xùn)練】1．（2022·安徽·高二開學(xué)考試）如圖為2022年北京冬奧會首鋼滑雪大跳臺示意圖，為測量大跳臺最高點(diǎn)距地面的距離，小明同學(xué)在場館內(nèi)的點(diǎn)A測得的仰角為（單位：），點(diǎn)在同一水平地面上，則大跳臺最高高度（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】在中，利用兩角和的正弦公式和正弦定理求，在Rt中求.【詳解】在中，，則，∴，由正弦定理可得，則，在Rt中，，∵，則.故選：A．2．（2022·江蘇蘇州·高三期中）古時候，為了防盜、防火的需要，在兩邊對峙著高墻深院的“風(fēng)火巷”里常有梯子、銅鑼、繩索等基本裝備．如圖，梯子的長度為，梯腳落在巷中的點(diǎn)，當(dāng)梯子的頂端放到右邊墻上的點(diǎn)時，距地面的高度是，梯子的傾斜角正好是，當(dāng)梯子頂端放到左邊墻上的點(diǎn)時，距地面的高度為6尺（1米=3尺），此時梯子的傾斜角是．則小巷的寬度等于（

）A．6尺 B．尺 C．（）尺 D．尺【答案】A【分析】連接,過作于，則且.證明出≌，得到,即可求出.【詳解】連接,過作于，則且.由題意可得：，所以.因為且，所以為等邊三角形,即.因為，所以.而,所以.因為，所以.又,所以≌(ASA),所以,即.故選：A.題型六解三角形的綜合應(yīng)用【典例分析】典例6-1．（山西省呂梁市2023屆高三上學(xué)期階段性測試數(shù)學(xué)試題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若．(1)求的值；(2)若，的面積，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角恒等變形得到等式左邊為，右邊為，化簡得到答案.（2）化簡得到，得到，根據(jù)余弦定理得到，根據(jù)面積公式得到，計算得到答案.【詳解】（1），，所以．（2），所以，，，所以，，所以，即．由余弦定理得，即，所以，又，所以．所以，解得，所以．典例6-2．（2022·貴州·頂效開發(fā)區(qū)頂興高三期中（理））已知中，角所對的邊分別為，且.(1)求的大??；(2)若，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式化簡得到，進(jìn)而結(jié)合正弦定理得到，借助同角的商數(shù)關(guān)系即可求出結(jié)果.（2）結(jié)合三角形的面積公式以及余弦定理得到，結(jié)合完全平方關(guān)系即可【詳解】（1）因為，所以，結(jié)合正弦定理可得，因為，所以,故，顯然，則，即，因為，所以（2）因為，所以，由余弦定理得，即，即，故，由于，因此.典例6-3．（2022·山西·高三階段練習(xí)）在①；②；③這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并解決該問題．問題：在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足___________．(1)求角A的大??；(2)若D為線段延長線上的一點(diǎn)，且，求的面積．【答案】(1)條件選擇見解析，(2)【分析】（1）選擇①：由正弦定理邊化角得方程，求解即可.選擇②：由正弦定理角化邊得關(guān)于三邊的方程，代入余弦定理可得.選擇③：由正弦定理邊化角，再由展開計算可得結(jié)果.（2）設(shè)，，，在△ABC中，由、列等式①②，在中，由列等式③，由①②③解方程可得x，y.代入三角形面積公式可得結(jié)果.【詳解】（1）若選擇①，∵．∴，∵，∴，即，∵∴；若選擇②，∵，∴，∴，∴，，∵∴；若選擇③，∵，∴，∴，∴，∴，又∵．∴，∴，∵，∴；（2）設(shè)，，，在中，用余弦定理可得，即①，又∵在中，，即.即，即②，在中，用余弦定理可得，即③，③+①可得，將②式代入上式可得，．典例6-4．（2022·重慶高三階段練習(xí)）在①；②；，這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答.已知的內(nèi)角所對的邊分別是，若.(1)求角；(2)若，且的面積為，求的周長.【答案】(1)；(2)6.【分析】（1）選①：先利用三角公式求出，即可求出角；選②：由正弦定理及三角變換求出，即可求出角；選③：由正、余弦定理求出，即可求出角；（2）利用△ABC的面積公式和余弦定理求出，即可得到△ABC的周長.【詳解】（1）選①：由，得，即.所以或.因為，所以.選②：對于，由正弦定理得，即.因為，所以，所以.因為，所以.選③：由三角形內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式得到，所以.由正弦定理得：，即.由余弦定理得：.因為，所以.（2）因為△ABC的面積為，得：.由余弦定理得：,即，所以，所以，所以△ABC的周長為6.典例6-5．（2022·寧夏六盤山高級高三期中（理））在中，角，，的對邊分別為，，，且．(1)求角的大?。?2)如圖，若為外一點(diǎn)，且，，，，求的面積．【答案】(1)；(2).【分析】(1)根據(jù)條件，運(yùn)用倍角公式和差公式正弦定理化簡即可；(2)連接BD，先求出，再求出，運(yùn)用正弦定理求出BC即可.【詳解】（1）由，得，即，由正弦定理，得，整理，得，∴，又，∴，∴；又，∴；（2）連接BD，因為，，，所以，，所以，所以．又，所以，在中，由正弦定理可得，即，所以，所以；綜上，.【方法技巧總結(jié)】1.類型：角、邊、面積、周長、簡單圖形問題2.技巧：以上問題都屬于基本量求解問題，要注意正余弦的選擇和應(yīng)用，并結(jié)合三角恒等變換和一些方程組的技巧性求法。也需注意三線“中線”、“角分線”、“垂線”所擁有的獨(dú)特方法。中線：向量法，角分線：角分線定理，等面積法“二型”，垂線：等面積法“一型”?！咀兪接?xùn)練】1．（2022·吉林長春·模擬預(yù)測）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)證明：是直角三角形；(2)若，求的值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)三角形內(nèi)角關(guān)系結(jié)合兩角和得正弦公式即可證；（2）根據(jù)平方關(guān)系及誘導(dǎo)公式求出，即可得解.【詳解】（1）證明：因為，所以，即，則，即，由，得，又，所以，所以為直角三角形；（2）解：由，可得，則，則，即，解得，因為，所以，所以．2．（2023·四川資陽·模擬預(yù)測（文））記的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．知．(1)求角A的大??；(2)若點(diǎn)D在邊BC上，AD平分，，且，求a．【答案】(1)；(2)3【分析】（1）由正弦定理、輔助角公式、角的范圍可得，即可進(jìn)一步求解；（2）由角平分線及三角形面積公式得，則，結(jié)合模運(yùn)算數(shù)量積運(yùn)算可得，則，即可進(jìn)一步由余弦定理解出【詳解】（1）由，根據(jù)正弦定理得，由于，則，則有，即，又，則，故有，所以．（2）由題，的面積為（h為中BC邊上的高），又的面積為，由AD平分，所以，則，所以，即，解得，則，又，所以，．3．（2022·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測）已知．(1)求在上的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，求的面積．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間是，(2)【分析】(1)對作恒等變換，化為單一三角函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可；(2)根據(jù)的解析式以及條件求出，運(yùn)用面積公式求解即可.【詳解】（1），當(dāng)時，單調(diào)遞增，即當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以在上的單調(diào)遞增區(qū)間是，；（2）因為，，所以．又，所以．因為，所以．所以的面積；綜上，在上的單調(diào)遞增區(qū)間是，，的面積為.4．（2022·河南·新安縣第一高級高三開學(xué)考試（理））在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，且a＝b.(1)求sinB；(2)若△ABC的面積為，求△ABC的周長.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理，化簡得，結(jié)合題意可得，由余弦定理即可求得的值，再應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系式，求得結(jié)果；（2）利用三角形的面積公式，可得，進(jìn)而得到三角形的周長．【詳解】（1）∵，則，由正弦定理可得，又∵，則，即，∴，又∵，故.（2）∵△ABC的面積為，則，∴，故△ABC的周長為.5．（2022·山東青島·高三期中）如圖，P為內(nèi)的一點(diǎn)，，，．(1)求；(2)若，，求AC．【答案】(1)(2)2【分析】(1)根據(jù)正弦定理求，再根據(jù)向量數(shù)量積是負(fù)數(shù)，確定；(2)首先根據(jù)（1）的結(jié)果，確定的邊長和角度，種，根據(jù)余弦定理求，再根據(jù)勾股定理求.【詳解】（1）在中，由正弦定理知所以，即又因為，所以所以（舍）（2）在中，，，，所以又因為所以，

又因為，所以在中，由余弦定理知：所以，即解得或（舍）所以，即針對性鞏固練習(xí)練習(xí)一正余弦定理的選擇1．（2022·浙江杭州·高二期中）在中，已知，，，則等于（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理即可求解.【詳解】由正弦定理，，即，解得故選：B.2．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且，若，則的外接圓的半徑為（

）A． B． C．3 D．6【答案】A【解析】由余弦定理結(jié)合題意可得，進(jìn)而可得，由正弦定理即可得解.【詳解】，，由可得，，，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3．（2014·湖北隨州·高三期中（文））若的內(nèi)角所對的邊滿足,且,則的值為（）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】將展開，結(jié)合余弦定理，即可求得答案.【詳解】因為，所以，由余弦定理知，所以,故選：C.4．（2019·黑龍江·大慶實(shí)驗高一階段練習(xí)）在中，A最大，C最小，且，，則此三角形的三邊之比為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，化簡可得，結(jié)合余弦定理，求出，即可求得三邊比例關(guān)系.【詳解】由題，所以，根據(jù)正弦定理由余弦定理，即整理得：，解得或（舍去，因為），所以故選：B【點(diǎn)睛】此題考查二倍角公式的應(yīng)用，結(jié)合正余弦定理，建立等式，解方程得邊的比例關(guān)系.練習(xí)二邊角互化的應(yīng)用5．（2022·江蘇·常熟高三階段練習(xí)）在中，，，分別為三邊、、所對的角．若且滿足關(guān)系式，則（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】由，推導(dǎo)出，由，推導(dǎo)出.【詳解】，，可得，又，，，∴，，∴，∴．故選：A6．（2022·湖北·沙市高二階段練習(xí)）在中，若，則該三角形一定是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．不能確定【答案】A【分析】利用余弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊，然后化簡可得結(jié)果.【詳解】因為，所以由余弦定理得，所以，所以，因為，所以，所以為等腰三角形，故選：A7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正弦定理化簡已知條件，從而求得.【詳解】依題意，，由正弦定理得，，由正弦定理得.故選：A8．（2022·四川省德陽中高一階段練習(xí)（理））在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，AD是△ABC的角平分線，D在BC邊上，，b＝3c，則a的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理把題設(shè)等式中的角的正弦轉(zhuǎn)換成邊的關(guān)系，代入余弦定理中求得cosA的值，進(jìn)而求得A的值，由已知利用角平分線的性質(zhì)可得∠BAD＝∠DAC＝，由余弦定理，角平分線的性質(zhì)可得CD＝3BD，進(jìn)而解得c，b的值，進(jìn)而根據(jù)余弦定理可得a的值．【詳解】解：因為，所以由正弦定理化簡可得：a2＝b2+c2﹣bc，即：b2+c2﹣a2＝bc，故，由于A∈（0，π），可得：A＝，因為AD是△ABC的角平分線，D在BC邊上，可得∠BAD＝∠DAC＝，所以由余弦定理可得，因為b＝3c，所以CD＝3BD，即，整理可得，所以由余弦定理可得．故選：B．練習(xí)三三角形面積公式及其應(yīng)用9．（2022·陜西·永壽縣高二階段練習(xí)）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由平方關(guān)系求得，再由面積公式計算．【詳解】因為，，所以，所以．故選：A．10．（2022·江蘇·啟東高三階段練習(xí)）在中,,為的平分線,,則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用,得到和大小關(guān)系,即可得到結(jié)果.【詳解】,且,為的平分線,,即,(*),(*)式可化為:,即.故選:C.11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的兩個焦點(diǎn)為，過的直線與交于兩點(diǎn).若，的面積為，則的值為（

）A．4 B．3 C．5 D．6【答案】C【分析】設(shè)，再根據(jù)橢圓定義得到焦點(diǎn)弦三角形三邊，利用余弦定理和三角形面積公式，得到，再根據(jù)之間關(guān)系則求出值.【詳解】由題意設(shè)，，，，，根據(jù)橢圓定義，即，則，，所以，，，即，解得，，，故選：C.練習(xí)四判斷三角形解的個數(shù)12．（2022·陜西·武功縣普集高級高二階段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知，則此三角形（

）A．無解 B．一解 C．兩解 D．解的個數(shù)不確定【答案】C【分析】利用正弦定理結(jié)合已知條件分析判斷即可.【詳解】由正弦定理，得，解得.因為，所以.又因為，所以或，故此三角形有兩解，故選：C.13．（2022·山西·太原師范學(xué)院附屬高二開學(xué)考試）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，若只有一解，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】畫出三角形，數(shù)形結(jié)合分析臨界條件再判斷即可【詳解】如圖，，為正三角形，則點(diǎn)在射線上.易得當(dāng)在時，只有一解，此時；當(dāng)在或右邊時只有一解，此時.故或故選：D練習(xí)五解三角形的實(shí)際應(yīng)用14．（2022·江西贛州·高三階段練習(xí)（文））如圖，從無人機(jī)上測得正前方的峽谷的兩岸，的俯角分別為，，若無人機(jī)的高度是，則此時峽谷的寬度是（

）A．60 B． C．30 D．【答案】A【分析】利用銳角三角函數(shù)，得到，，進(jìn)而利用，即可得到答案.【詳解】由已知得，得到，，故選：A15．（2022·北京市八一高三階段練習(xí)）一艘海輪從處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東的方向直線航行，1小時后到達(dá)處，在處有一座燈塔，海輪在處觀察燈塔，其方向是南偏東，在處觀察燈塔，其方向是北偏東，那么兩點(diǎn)間的距離約為（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】C【分析】根據(jù)題設(shè)得，且海里，應(yīng)用