切線性質(zhì)與判定練習(xí)題

1/3《切線性質(zhì)及判定》練習(xí)題一．選擇題（共12小題）1．如圖，AB是⊙O的弦，PA是⊙O的切線，若∠PAB=40°，則∠AOB=（）A．80° B．60° C．40° D．20°2．如圖，AB、AC是⊙O的兩條弦，∠A=35°，過C點(diǎn)的切線及OB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，則∠D的度數(shù)為（）A．20° B．30° C．35° D．40°第1題圖第2題圖第3題圖3．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，DC切⊙O于點(diǎn)C，若∠A=25°，則∠D等于（）A．20° B．30° C．40° D．50°4．如圖，PA、PB切⊙O于A、B兩點(diǎn)，∠APB=80°，C是⊙O上不同于A、B的任一點(diǎn)，則∠ACB等于（）A．80° B．50°或130° C．100° D．40°第4題圖第5題圖第6題圖5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在第一象限，⊙P及x軸相切于點(diǎn)Q，及y軸交于M（2，0），N（0，8）兩點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）A．（5，3） B．（3，5） C．（5，4） D．（4，5）6．如圖，PC是⊙O的切線，切點(diǎn)為C，割線PAB過圓心O，交⊙O于點(diǎn)A、B，PC=2，PA=1，則PB的長(zhǎng)為（）A．5 B．4 C．3 D．27．如圖，在同心圓中，大圓的弦AB切小圓于點(diǎn)C，AB=8，則圓環(huán)的面積是（）A．8 B．16 C．16π D．8π8．如圖，PA、PB、CD是⊙O的切線，切點(diǎn)分別是A、B、E，CD分別交PA、PB于C、D兩點(diǎn)，若∠APB=60°，則∠COD的度數(shù)（）A．50°B．60° C．70° D．75°9．如圖，AB是⊙O的直徑，下列條件中不能判定直線AT是⊙O的切線的是（）A．AB=4，AT=3，BT=5 B．∠B=45°，AB=ATC．∠B=55°，∠TAC=55° D．∠ATC=∠B第7題圖第8題圖第9題圖11．如圖，AB是⊙O的直徑，⊙O交BC的中點(diǎn)于D，DE⊥AC于點(diǎn)E，連接AD，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）①AD⊥BC；②∠EDA=∠B；③OA=AC；④DE是⊙O的切線．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)12．如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交AC于E，交BC于D，DF⊥AC于F．給出以下五個(gè)結(jié)論：①BD=DC；②CF=EF；③弧AE=弧DE；④∠A=2∠FDC；⑤DF是⊙O的切線．其中正確的有（）A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)第10題圖第11題圖第12題圖12．如圖，在⊙O中，E是半徑OA上一點(diǎn)，射線EF⊥OA，交圓于B，P為EB上任一點(diǎn)，射線AP交圓于C，D為射線BF上一點(diǎn)，且DC=DP，下列結(jié)論：①CD為⊙O的切線；②PA＞PC；③∠CDP=2∠A，其中正確的結(jié)論有（）A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)二．填空題（共6小題）13．如圖，AB是⊙O的切線，B為切點(diǎn)，AO及⊙O交于點(diǎn)C，若∠BAO=40°，則∠OCB的度數(shù)為．14．如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點(diǎn)，C是劣弧AB上的一點(diǎn)，∠P=50°，∠C=．第13題圖第14題圖第15題圖15．如圖，PA、PB、DE分別切⊙O于點(diǎn)A、B、C，如果PA=10，那么△PDE的周長(zhǎng)是．若∠P=5O°，那么∠DOE=．16．如圖，⊙O的直徑AB及弦AC的夾角為30°，切線CD及AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，若⊙O的半徑為3，則AD的長(zhǎng)為．17．已知：如圖，在△ABC中，CB=3，AB=4，AC=5，以點(diǎn)B為圓心的圓及AC相切于點(diǎn)D，則⊙B的半徑為．第16題圖第17題圖第18題圖18．如圖，AB是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，AC是⊙O的弦，過點(diǎn)O作OH⊥AC于H．若OH=3，AB=12，BO=13．則弦AC的長(zhǎng)為．三．解答題19．．如圖，AE是圓O的直徑，點(diǎn)B在AE的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)D在圓O上，且AC⊥DC，AD平分∠EAC。求證：BC是圓O的切線．20．如圖，已知△ABC，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)D，且BD=CD，DF⊥AC于點(diǎn)F．求證：DF是⊙O的切線；21．如圖，半徑OA⊥OB，P是OB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PA交⊙O于D，過D作⊙O的切線CE交PO于C點(diǎn)，求證：PC=CD．22．如圖，OA、OB是⊙O的半徑，OA⊥OB，點(diǎn)C是OB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作⊙O的切線，點(diǎn)D是切點(diǎn)，連接AD交OB于點(diǎn)E．求證：CD=CE．23．如圖，PA切⊙O于點(diǎn)P，AB交⊙O于C，B兩點(diǎn)，求證：∠APC=∠B．24．如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，過D作⊙O的切線交AC于E，求證：DE⊥AC．25．如圖，AB是⊙O的直徑，半徑OC⊥AB，P是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PD切⊙O于點(diǎn)D，CD交AB于點(diǎn)E，判斷△PDE的形狀，并說明理由．26．已知：如圖，AB是⊙O的直徑，⊙O過BC的中點(diǎn)D，且DE⊥AC于點(diǎn)E．求證：DE是⊙O的切線；27．如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點(diǎn)，⊙P及OA相切于D，求證：OB及⊙P相切．28．如圖，△OAB為等腰三角形，OA=OB=2，AB=2，以O(shè)為圓心的⊙O半徑為1，求證：AB及⊙O相切．29．如圖，以等腰△ABC的腰AB為⊙O的直徑交底邊BC于D，DE⊥AC于E．求證：（1）DB=DC；（2）DE為⊙O的切線．《切線的性質(zhì)及判定》典型例題1．如圖，AB是⊙0的直徑，AE是弦，EF是⊙0的切線，E是切點(diǎn)，AF⊥EF，垂足為F，求證：AE平分∠FAB2．如圖，AB是⊙O的直徑，BC⊥AB于點(diǎn)B，連接OC交⊙O于點(diǎn)E，=．求證：（1）AD∥OC；（2）CD是⊙O的切線．3、如圖，△ABC為等腰三角形，AB=AC，O是底邊BC的中點(diǎn)，⊙O及腰AB相切于點(diǎn)D，求證：AC及⊙O相切．

3．如圖，在△ABC中，已知∠ABC=90°，在AB上取一點(diǎn)E，以BE為直徑的☉O恰及AC相切于點(diǎn)D．若AE=2，AD=4．求⊙O的直徑BE和線段BC的長(zhǎng)。4．如圖，⊙O及△ABC的三邊分別相切于點(diǎn)D、E、F，連接OB、OC．求證：∠BOC=90°﹣∠A．2016年11月12日切線性質(zhì)及判定學(xué)組卷參考答案及試題解析一．選擇題（共13小題）1．（2013?保定校級(jí)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在第一象限，⊙P及x軸相切于點(diǎn)Q，及y軸交于M（2，0），N（0，8）兩點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）A．（5，3） B．（3，5） C．（5，4） D．（4，5）【解答】解：作PH⊥MN于H，連結(jié)PQ，PM，∵M(jìn)（2，0），N（0，8），∴OM=2，ON=8，∴MN=6，∵PH⊥MN，∴HM=HN=MN=3，∴OH=OM+MH=2+3=5，∵⊙P及x軸相切于點(diǎn)Q，∴PQ⊥x軸，∴四邊形OQPH為矩形，∴PQ=OH=5，∴PM=PQ=5，在Rt△PMH中，PH==4，∴P（4，5）．故選D．2．（2012?合川區(qū)模擬）如圖，PC是⊙O的切線，切點(diǎn)為C，割線PAB過圓心O，交⊙O于點(diǎn)A、B，PC=2，PA=1，則PB的長(zhǎng)為（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：連接AC，BC，如圖所示：∵PC為圓O的切線，∴∠ACP=∠B，又∠P=∠P，∴△ACP∽△CBP，∴=，又∵PC=2，PA=1，∴BP==4．故選B3．（2012?溫州模擬）如圖，AB是⊙O的弦，PA是⊙O的切線，若∠PAB=40°，則∠AOB=（）A．80° B．60° C．40° D．20°【解答】解：∵PA為圓O的切線，∴PA⊥AO，∴∠PAO=90°，又∠PAB=40°，∴∠BAO=90°﹣40°=50°，又∵OA=OB，∴∠BAO=∠B=50°，則∠AOB=180°﹣50°﹣50°=80°．故選A4．（2011?集美區(qū)校級(jí)一模）如圖，已知AB為⊙O的直徑，PC切⊙O于C交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，∠CAP=35°，那么∠CPO的度數(shù)等于（）A．15° B．20° C．25° D．30°【解答】解：在△AOC中，OA=OC（⊙O的半徑），∴∠OAC=∠OCA（等邊對(duì)等角）；又∠CAP=35°，∴∠OCA=35°，∠POC=70°（同弧所對(duì)的圓周角是所對(duì)的圓心角的一半）；又∵PC切⊙O于C，∴OC⊥BC，∴∠PCO=90°；在Rt△POC中，∠CPO=90°﹣∠POC（直角三角形的兩個(gè)銳角互余），∴∠CPO=20°；故選B．5．（2011?樊城區(qū)模擬）如圖，AB、AC是⊙O的兩條弦，∠A=35°，過C點(diǎn)的切線及OB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，則∠D的度數(shù)為（）A．20° B．30° C．35° D．40°【解答】解：連接OC，∵CD是切線，∴∠OCD=90°，∵∠A=35°，∴∠COD=2∠A=70°，∴∠D=90°﹣70°=20°．故選A．6．（2002?呼和浩特）如圖，PA、PB切⊙O于A、B兩點(diǎn)，∠APB=80°，C是⊙O上不同于A、B的任一點(diǎn)，則∠ACB等于（）A．80° B．50°或130° C．100° D．40°【解答】解：連接AB，由切線長(zhǎng)定理知AP=BP，∠PAB=∠PBA=（180°﹣∠P）÷2=50°，由弦切角定理知，∠C=∠PAB=50°，若C點(diǎn)在劣弧AB上，則根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)知，∠C=180°﹣50°=130°，由選項(xiàng)，知只有B符合．故選B．7．（2012?金塔縣校級(jí)二模）如圖，在同心圓中，大圓的弦AB切小圓于點(diǎn)C，AB=8，則圓環(huán)的面積是（）A．8 B．16 C．16π D．8π【解答】解：連接OA，OC，∵大圓中長(zhǎng)為8的弦AB及小圓相切，∴OC⊥AB，AC=4，∴OA2﹣OC2=16，∴πOA2﹣πOC2=（OA2﹣OC2）π，∴圓環(huán)的面積=16π．故選C．8．（2011?蘭州）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，DC切⊙O于點(diǎn)C，若∠A=25°，則∠D等于（）A．20° B．30° C．40° D．50°【解答】解：如右圖所示，連接BC，∵AB是直徑，∴∠BCA=90°，又∵∠A=25°，∴∠CBA=90°﹣25°=65°，∵DC是切線，∴∠BCD=∠A=25°，∴∠D=∠CBA﹣∠BCD=65°﹣25°=40°．故選C．9．（2015秋?承德縣期末）如圖，PA、PB、CD是⊙O的切線，切點(diǎn)分別是A、B、E，CD分別交PA、PB于C、D兩點(diǎn)，若∠APB=60°，則∠COD的度數(shù)（）A．50° B．60° C．70° D．75°【解答】解：連接AO，BO，OE，∵PA、PB是⊙O的切線，∴∠PAO=∠PBO=90°，∵∠APB=60°，∴∠AOB=360°﹣2×90°﹣60°=120°，∵PA、PB、CD是⊙O的切線，∴∠ACO=∠ECO，∠DBO=∠DEO，∴∠AOC=∠EOC，∠EOD=∠BOD，∴∠COD=∠COE+∠EOD=∠AOB=60°．故選B．10．如圖，AB是⊙O的直徑，下列條件中不能判定直線AT是⊙O的切線的是（）A．AB=4，AT=3，BT=5 B．∠B=45°，AB=ATC．∠B=55°，∠TAC=55° D．∠ATC=∠B【解答】解：A、∵AB=4，AT=3，BT=5，∴AB2+AT2=BT2，∴△BAT是直角三角形，∴∠BAT=90°，∴直線AT是⊙O的切線，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∵∠B=45°，AB=AT，∴∠T=45°，∴∠BAT=90°，∴直線AT是⊙O的切線，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、∵AB為直徑，∴∠BAC=90°，∵∠B=55°，∴∠BAC=35°，∵∠TAC=55°，∴∠CAT=90°，∴直線AT是⊙O的切線，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、∠ATC=∠B，無法得出直線AT是⊙O的切線，故此選項(xiàng)正確．故選：D．11．（2009?伊春）如圖，AB是⊙O的直徑，⊙O交BC的中點(diǎn)于D，DE⊥AC于點(diǎn)E，連接AD，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）①AD⊥BC；②∠EDA=∠B；③OA=AC；④DE是⊙O的切線．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解答】解：∵AB是直徑，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，故①正確；連接DO，∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴CD=BD，∴△ACD≌△ABD（SAS），∴AC=AB，∠C=∠B，∵OD=OB，∴∠B=∠ODB，∴∠ODB=∠C，OD∥AC，∴∠ODE=∠CED，∴ED是圓O的切線，故④正確；由弦切角定理知，∠EDA=∠B，故②正確；∵點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，故③正確，故選D．12．（2013秋?贛榆縣校級(jí)月考）如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交AC于E，交BC于D，DF⊥AC于F．給出以下五個(gè)結(jié)論：①BD=DC；②CF=EF；③弧AE=弧DE；④∠A=2∠FDC；⑤DF是⊙O的切線．其中正確的有（）A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【解答】解：連接OD，AD．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角），∴AD⊥BC；而在△ABC中，AB=AC，∴AD是邊BC上的中線，∴BD=DC（正確）；∵AB是⊙O的直徑，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴DB=DC，∵OA=OB，∴OD是△ABC的中位線，即：OD∥AC，∵DF⊥AC，∴DF⊥OD．∴DF是⊙O的切線（正確）；∵DF⊥AC，AD⊥BC，∴∠FDC+∠C=∠CAD+∠C=90°，∴∠FDC=∠CAD，又AB=AC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠A=2∠CAD=2∠FDC（正確）；∵DF是⊙O的切線，∴∠FDE=∠CAD=∠FDC，∴∠C=∠DEC，∴DC=DE，又DF⊥AC，∴CF=EF（正確）；當(dāng)∠EAD=∠EDA時(shí)，=，此時(shí)△ABC為等邊三角形，當(dāng)△ABC不是等邊三角形時(shí)，∠EAD≠∠EDA，則≠，∴=（不正確）；綜上，正確結(jié)論的序號(hào)是①②④⑤，故選：B．13．（2006?賀州）如圖，在⊙O中，E是半徑OA上一點(diǎn)，射線EF⊥OA，交圓于B，P為EB上任一點(diǎn)，射線AP交圓于C，D為射線BF上一點(diǎn)，且DC=DP，下列結(jié)論：①CD為⊙O的切線；②PA＞PC；③∠CDP=2∠A，其中正確的結(jié)論有（）A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)【解答】解：∵DC=DP，∴∠DPC=∠DCP，∵∠DPC=∠APE，∴∠DCP=∠APE，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA；∵∠OAC+∠APE=90°，∴∠OCA+∠DCP=90°，∴CD為⊙O的切線（①正確）；②不一定；連接CO，∵CD是⊙O的切線，∴∠DCP=∠AOC．∵∠DCP=（180°﹣2∠A），又∵∠DCP=（180°﹣∠CDP），∴180°﹣2∠A=180°﹣∠CDP，∴∠CDP=2∠A，③正確．故選B．二．填空題（共9小題）14．（2014?烏海模擬）如圖，AB是⊙O的切線，B為切點(diǎn)，AO及⊙O交于點(diǎn)C，若∠BAO=40°，則∠OCB的度數(shù)為65°．【解答】解：∵AB是⊙O的切線，B為切點(diǎn)，∴∠OBA=90°，∵∠BAO=40°，∴∠O=50°，∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=180°﹣∠O）=65°，故答案為：65°．15．（2012秋?重慶校級(jí)期末）如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點(diǎn)，C是劣弧AB上的一點(diǎn)，∠P=50°，∠C=115°．【解答】解：連結(jié)OA、OB，在優(yōu)弧AB上取點(diǎn)D，連結(jié)DA、DB，如圖，∵PA、PB是⊙O的切線，∴∠OAP=∠OBP=90°，∴∠AOB=180°﹣∠P=180°﹣50°=130°，∴∠D=∠AOB=65°，∴∠C=180°﹣∠D=115°．故答案為115°．16．如圖，PA、PB、DE分別切⊙O于點(diǎn)A、B、C，如果PA=10，那么△PDE的周長(zhǎng)是20．若∠P=5O°，那么∠DOE=65°．【解答】解：∵PA、PB、DE分別切⊙O于點(diǎn)A、B、C，∴DA=DC，EB=EC，PA=PB=10，∴△PDE的周長(zhǎng)=PD+PE+DE=PD+DC+PE+CE=PD+DA+PE+EB=PA+PB=10+10=20；連結(jié)OA、OB、OC，如圖，∵PA、PB分別切⊙O于點(diǎn)A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠PAO=∠PBO=90°，∴∠AOB=180°﹣∠P=180°﹣50°=130°，∵DE切⊙O于點(diǎn)C，∴OC⊥DE，而DA=DC，EC=EB，∴OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，∴∠DOC=∠AOC，∠EOC=∠BOC，∴∠DOC+∠EOC=（∠AOC+∠BOC）=∠AOB=×130°=65°，即∠DOE=65°．故答案為20，65°．17．（2013?懷集縣二模）如圖，⊙O的直徑AB及弦AC的夾角為30°，切線CD及AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，若⊙O的半徑為3，則AD的長(zhǎng)為9．【解答】解：連接OC，∵CD為圓O的切線，∴CD⊥OC，即∠OCD=90°，∵OA=OC=3，∴∠A=∠ACO=30°，∴∠COD=60°，∴∠D=30°，∴OD=2OC=6，則AD=OA+OD=3+6=9．故答案為：9．18．（2016?建昌縣二模）已知：如圖，在△ABC中，CB=3，AB=4，AC=5，以點(diǎn)B為圓心的圓及AC相切于點(diǎn)D，則⊙B的半徑為2.4．【解答】解：連接BD，在△ABC中，∵CB=3，AB=4，AC=5，∴AB2+BC2=32+42=52=AC2，∴∠B=90°，∴△ABC是直角三角形，∵AC是⊙C的切線，∴BD⊥AC，∵S△ABC=AB?BC=AC?BD，∴AB?BC=AC?BD，即BD==2.4，故答案為：2.4．19．（2016?海南模擬）如圖，AB是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，AC是⊙O的弦，過點(diǎn)O作OH⊥AC于H．若OH=3，AB=12，BO=13．則弦AC的長(zhǎng)為8．【解答】解：∵AB是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，∴∠OAB=90°，∵AB=12，BO=13，∴AO===5，∵OH⊥AC，∴AC=2AH，∵OH=3，∴AH==4，∴AC=8，故答案為：8．20．如圖，在△ABC中，已知∠ABC=90°，在AB上取一點(diǎn)E，以BE為直徑的☉O恰及AC相切于點(diǎn)D．若AE=2，AD=4．則☉O的直徑BE=6；△ABC的面積為24．【解答】解：如圖，連接OD，∵AC及⊙O相切，∴OD⊥AC，設(shè)⊙O的半徑為x，則OE=OB=OD=x，∴AO=AE+OE=2+x，在Rt△AOD中，由勾股定理可得AO2=OD2+AD2，即（2+x）2=x2+42，解得x=3，∴BE=2x=6，∴AB=AE+BE=2+6=8，∵∠ABC=∠ADO=90°，∠OAD=∠CAB，∴△AOD∽△ACB，∴=，即=，解得BC=6，∴S△ABC=AB?BC=×8×6=24，故答案為：6；24．21．（2016春?德惠市校級(jí)月考）如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C、D在圓O上，且AD平分∠CAB．過點(diǎn)D作AC的垂線，及AC的延長(zhǎng)線相交于E，及AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F．求證：EF及圓O相切．【解答】證明：連接OD，如右圖所示，∵∠FOD=2∠BAD，AD平分∠CAB，∴∠EAF=2∠BAD，∴∠EAF=∠FOD，∵AE⊥EF，∴∠AEF=90°，∴∠EAF+∠EFA=90°，∴∠DFO+∠DOF=90°，∴∠ODF=90°，∴OD⊥EF，即EF及圓O相切．22．（2014秋?和縣月考）如圖，已知△ABC，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)D，且BDCD，DF⊥AC于點(diǎn)F．給出以下四個(gè)結(jié)論：①DF是⊙O的切線；②CF=EF；③=；④∠A=2∠FDC．其中正確結(jié)論的序號(hào)是①②④．【解答】解：連接OD、DE、AD，如圖所示：∵AB是⊙O的直徑，∴OA=OB，∵DB=DC，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴DF⊥OD．∴DF是⊙O的切線，①正確；∵DF是⊙O的切線，∴∠CED=∠B，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵BD=CD，∴AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠CED=∠C，∴DC=DE，又∵DF⊥AC，∴CF=EF，②正確；當(dāng)∠EAD=∠EDA時(shí)，，此時(shí)△ABC為等邊三角形，當(dāng)△ABC不是等邊三角形時(shí)，∠EAD≠∠EDA，則≠，∴=不正確；∵DF⊥AC，AD⊥BC，∴∠FDC+∠C=∠CAD+∠C=90°，∴∠FDC=∠CAD，又AB=AC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠A=2∠CAD=2∠FDC，④正確；故答案為：①②④．三．解答題（共18小題）23．如圖，半徑OA⊥OB，P是OB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PA交⊙O于D，過D作⊙O的切線CE交PO于C點(diǎn)，求證：PC=CD．【解答】證明：∵CD為⊙O的切線，∴∠ODC=90°，∴∠ADO+∠PDC=90°，而OA=OD，∴∠ADO=∠A，∴∠A+∠PDC=90°，∵OA⊥OB，∴∠A+∠P=90°，∴∠PDC=∠P，∴PC=CD．24．如圖，OA、OB是⊙O的半徑，OA⊥OB，點(diǎn)C是OB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作⊙O的切線，點(diǎn)D是切點(diǎn)，連接AD交OB于點(diǎn)E．求證：CD=CE．【解答】證明：連接OD，∵OA⊥OB，CD切⊙O于D，∴∠AOE=∠ODC=90°，∴∠A+∠AEO=90°，∠ODA+∠CDE=90°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠AEO=∠EDC，∵∠AEO=∠CED，∴∠CED=∠EDC，∴CD=CE．25．如圖，PA切⊙O于點(diǎn)P，AB交⊙O于C，B兩點(diǎn)，求證：∠APC=∠B．【解答】解：連接PO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，連接OC，DC，∵PA切⊙O于點(diǎn)P，∴OP⊥AP，∴∠APD=90°，∴∠APC+∠CPO=90°，∵PD為直徑，∴∠PCD=90°，∴∠PCO+∠DCO=90°，∵OP=OC，∴∠OPC=∠OCP，∴∠APC=∠OCD，∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠APC=∠PDC，∵∠B=∠D，∴∠APC=∠B．26．如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB均為⊙O的切線，A和B是切點(diǎn)，BC是直徑．求證：（1）∠APB=2∠ABC；（2）AC∥OP．【解答】證明：（1）連接AO，∵PA、PB均為⊙O的切線，A和B是切點(diǎn)，∴∠APO=∠BPO，OA⊥AP，PA=PB，∴∠APB=2∠APO，∠OAP=90°，PO⊥AB，∴∠OAB+∠BAP=90°，∠BAP+∠APB=90°，∴∠OAB=∠APB，∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAB，∴∠OBA=∠APO，∴∠APB=2∠ABC；（2）設(shè)AB交OP于F，∵PA，PB是圓的切線，∴PA=PB，∵OA=OB∴PO垂直平分AB．∴∠OFB=90°．∵BC是直徑，∴∠CAB=90°．∴∠CAB=∠OFB．∴AC∥OP．27．如圖，已知AB是半圓直徑，EC切半圓于點(diǎn)C，BE⊥CE交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．求證：AB=BF．【解答】證明：連接OC，∵CE是⊙O的切線，∴OC⊥CE，又∵BE⊥CE，∴OC∥BF，∴∠ACO=∠F，又∵OA=OC，∴∠OAC=∠ACO，∴∠OAC=∠F，∴AB=BF．28．如圖所示，BC是⊙O的直徑，P為⊙O外的一點(diǎn)，PA、PB為⊙O的切線，切點(diǎn)分別為A、B．試證明：AC∥OP．【解答】證明：連接AB交OP于F，連接AO．∵PA，PB是圓的切線，∴PA=PB，∵OA=OB∴PO垂直平分AB．∴∠OFB=90°．∵BC是直徑，∴∠CAB=90°．∴∠CAB=∠OFB．∴AC∥OP．29．如圖，⊙O及△ABC的三邊分別相切于點(diǎn)D、E、F，連接OB、OC．求證：∠BOC=90°﹣∠A．【解答】解：連結(jié)OD、OE、OF，如圖，∵⊙O及△ABC的三邊分別相切于點(diǎn)D、E、F，∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，BF=BD，CE=CD，∴OB平分∠DOF，OC平分∠DOE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠BOC=∠EOF，∵∠OEA=∠OFA=90°，∴∠A+∠EOF=180°，∴∠EOF=180°﹣∠A，∴∠BOC=（180°﹣∠A）=90°﹣∠A．30．如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，過D作⊙O的切線交AC于E，求證：DE⊥AC．【解答】證明：連接AD、OD．∵AB是圓O的直徑，∴∠ADB=90°．∴∠ADO+∠ODB=90°．∵DE是圓O的切線，∴OD⊥DE．∴∠EDA+∠ADO=90°．∴∠EDA=∠ODB．∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD．∴∠EDA=∠OBD．∵AC=AB，AD⊥BC，∴∠CAD=∠BAD．∵∠DBA+∠DAB=90°，∴∠EAD+∠EDA=90°．∴∠DEA=90°．∴DE⊥AC．31．如圖，AB是⊙O的直徑，半徑OC⊥AB，P是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PD切⊙O于點(diǎn)D，CD交AB于點(diǎn)E，判斷△PDE的形狀，并說明理由．【解答】解：△PDE是等腰三角形．理由是：連接OD，∵OC⊥AB，∴∠CEO+∠OCE=90°，∵OC=OD，∴∠OCE=∠ODE，∵PD切⊙O，∴∠ODE+∠PDE=90°，∵∠OEC=∠PED，∴∠PDE=∠PED，∴PD=PE，∴△PDE是等腰三角形．32．如圖，AB是⊙0的直徑，AE是弦，EF是⊙0的切線，E是切點(diǎn)，AF⊥EF，垂足為F，AE平分∠FAB嗎？為什么？【解答】解：AE平分∠FAB，理由如下：連接BE，∵AB是圓O的直徑，∴∠AEB=90°．∴∠AEB=∠AFE．∵EF是圓O的切線，∴∠FEO=90°，∵∠BEO+∠OEA=90°，∠OEA+∠AEF=90°，∴∠FEA=∠BEO，∵OE=OB，∴∠OEB=∠OBE，∴∠FEA=∠EBO，∴△AFE∽AEB，∴∠FAE=∠EAB，∴AE平分∠FAB的平分線．33．（2013秋?大興區(qū)期末）已知：如圖，AB是⊙O的直徑，⊙O過BC的中點(diǎn)D，且DE⊥AC于點(diǎn)E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若∠C=30°，CD=12，求⊙O的直徑．【解答】（1）證明：連接OD．∵D是BC的中點(diǎn)，O是AB的中點(diǎn)，∴OD∥AC，∴∠CED=∠ODE，∵DE⊥AC，∴∠CED=∠ODE=90°，∴OD⊥DE，OD是圓的半徑，∴DE是⊙O的切線．（2）解：連接AD，∵AB是⊙O直徑，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵CD=12，∠C=30°，∴AD=CD×tan30°=12×=4，∵OD∥AC，∴∠ODB=∠C=30°，∵OD=OB，∴∠B=∠ODB=30°，∵在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠B=30°，AD=4，∴AB=2AD=8，即⊙O的直徑是8．34．（2013秋?濱湖區(qū)校級(jí)期末）如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長(zhǎng)BD到點(diǎn)C，使DC=BD，連結(jié)AC，過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E．（1）求證：AB=AC；（2）求證：DE為⊙O的切線；（3）若⊙O的直徑為13，BC=10，求DE的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵BD=DC，∴AB=AC；（2）證明：連接OD，∵AO=BO，BD=DC，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∵OD為半徑，∴DE為⊙O的切線；（3）解：過D作DF⊥AB于F，∵AB=AC，AD⊥BC，∴AD平分∠CAB，∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴DE=DF，在Rt△ADB中，∠ADB=90°，BD=BC=×10=5，AB=13，由勾股定理得：AD=