河北省2022年中考數(shù)學(xué)人教版總復(fù)習(xí)教學(xué)案-第六章第3節(jié)圓的有關(guān)計(jì)算

第三節(jié)圓的有關(guān)計(jì)算【課標(biāo)要求】☆會(huì)計(jì)算圓的弧長(zhǎng)、扇形的面積．☆了解正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系．【教材對(duì)接】人教：九上第二十四章P105～116；冀教：九上第二十八章P167～169，九下第二十九章P16～19；北師：九下第三章P100～102.弧長(zhǎng)和扇形面積的相關(guān)計(jì)算圖示扇形簡(jiǎn)介r是扇形所在圓的半徑，n°為弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)，l是扇形的弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)l＝eq\f(n·2πr,360)＝eq\f(nπr,180)扇形面積S扇形＝eq\f(nπr2,360)＝eq\f(1,2)lr【基礎(chǔ)練1】(1)在半徑為9cm的圓中，60°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為3πcm.(2)已知扇形的圓心角為120°，半徑為6cm，則這個(gè)扇形的面積為12πcm2.圓錐的相關(guān)計(jì)算圖示eq\a\vs4\al()其中，h2＋r2＝l2，n＝eq\f(360r,l)圓錐簡(jiǎn)介(1)h是圓錐的高，r是圓錐底面半徑；(2)l是圓錐的母線，其長(zhǎng)為側(cè)面展開(kāi)后所得扇形的半徑；(3)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑等于l且弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)的扇形圓錐的側(cè)面積S側(cè)＝πrl圓錐的全面積S全＝πrl＋πr2【基礎(chǔ)練2】如果圓錐的底面周長(zhǎng)為20πcm，側(cè)面展開(kāi)后所得的扇形圓心角是120°，則該圓錐的側(cè)面積是300πcm2.(結(jié)果保留π)與圓有關(guān)的陰影部分面積的相關(guān)計(jì)算1．直接法：規(guī)則圖形的面積直接利用對(duì)應(yīng)公式計(jì)算．2．轉(zhuǎn)化法：利用轉(zhuǎn)化思想把不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積后再利用相應(yīng)公式進(jìn)行計(jì)算．(1)直接和差法圖示面積計(jì)算方法S陰影＝S△ACB－S扇形CADS陰影＝S扇形之和＝eq\f(n和πr2,360)＝eq\f(πr2,2)(2)間接和差法圖示轉(zhuǎn)化后的圖形面積計(jì)算方法S陰影＝S扇形BOE＋S△OCE－S扇形CODS陰影＝S△ODC－S扇形DOE(3)割補(bǔ)法(等積轉(zhuǎn)換)圖示D為eq\x\to(AB)的中點(diǎn)B為eq\x\to(CD)的中點(diǎn)續(xù)表轉(zhuǎn)化后的圖形面積計(jì)算方法S陰影＝S矩形ACDFS陰影＝S扇形BOC【方法點(diǎn)撥】牢記圓的有關(guān)計(jì)算公式，并靈活處理好公式之間的轉(zhuǎn)換，當(dāng)出現(xiàn)求不規(guī)則圖形的面積時(shí)，注意利用割補(bǔ)法與等面積變換轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，再利用規(guī)則圖形的面積公式進(jìn)行求解．【基礎(chǔ)練3】(1)(2021·東營(yíng)中考)如圖，在?ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，以E為圓心，BE長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交對(duì)角線AC于點(diǎn)F，若∠BAC＝60°，∠ABC＝100°，BC＝4，則扇形BEF的面積為eq\f(4π,9)．eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（1）題圖]))eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（2）題圖]))(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知⊙D經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B坐標(biāo)為(0，2eq\r(3))，OC與⊙D交于點(diǎn)C，∠OCA＝30°，則圖中陰影部分面積為2π－2eq\r(3)．(結(jié)果保留根號(hào)和π)(3)如圖，等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，若⊙O的半徑為2，則圖中陰影部分的面積等于eq\f(4π,3)．正多邊形與圓3．正多邊形：各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形．4．正多邊形與圓的關(guān)系(1)圓的內(nèi)接正n邊形：把一個(gè)圓n(n≥3)等分，順次連接各等分點(diǎn)所得的正n邊形叫做圓的內(nèi)接正n邊形，這個(gè)圓叫做正n邊形的外接圓；(2)正多邊形的中心：正多邊形的外接圓的圓心；(3)正多邊形的半徑：正多邊形的外接圓的半徑；(4)正多邊形的中心角：正多邊形的每一邊所對(duì)外接圓的圓心角；(5)正多邊形的邊心距：正多邊形的中心到邊的距離．5．正多邊形與圓的相關(guān)計(jì)算如果正多邊形的邊數(shù)為n，外接圓半徑為R，則(1)中心角：α＝eq\f(360°,n)；(2)邊長(zhǎng)：an＝2Rsineq\f(180°,n)；(3)邊心距：rn＝Rcoseq\f(180°,n)＝eq\r(R2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an,2)))\s\up12(2))；(4)周長(zhǎng)：C＝2nRsineq\f(180°,n)＝nan；(5)面積：S＝eq\f(1,2)nanrn＝eq\f(1,2)Crn.【方法點(diǎn)撥】正多邊形的有關(guān)計(jì)算常用方法是直接利用或構(gòu)造出由半徑、邊長(zhǎng)的一半、邊心距組成的直角三角形，然后利用勾股定理求解．【基礎(chǔ)練4】如圖，在圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF中，BF，BD分別交AC于點(diǎn)G，H.若該圓的半徑為15cm，則線段GH的長(zhǎng)為5eq\r(3)cm.eq\a\vs4\al(弧長(zhǎng)與扇形面積的相關(guān)計(jì)算)【例1】(2021·河北模擬)如圖，在扇形AOB中，AC為弦，∠AOB＝140°，∠CAO＝60°，OA＝6，則eq\x\to(BC)的長(zhǎng)為(B)A．eq\f(4,3)πB．eq\f(8,3)πC．2eq\r(3)πD．2π【解題思路】本題考查弧長(zhǎng)公式．連接OC.由OA＝OC，∠CAO＝60°，可判定△OAC是等邊三角形，得∠AOC＝60°，∠COB＝80°.利用弧長(zhǎng)公式即可求得eq\x\to(BC)的長(zhǎng)．1．(2021·賀州中考)如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，以點(diǎn)A為圓心，AD為半徑作圓與AB，AC分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為(C)A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,2)D．eq\f(2π,3)eq\a\vs4\al(正多邊形與圓的相關(guān)計(jì)算)【例2】(2021·石家莊一模)如圖，已知點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心，扇形AOE的面積是12π，則該正六邊形的邊長(zhǎng)是(A)A．6B．3eq\r(2)C．2eq\r(3)D．12【解題思路】連接OF，設(shè)⊙O的半徑為R.∵O是正六邊形ABCDEF的中心，∴∠AOF＝∠EOF＝eq\f(360°,6)＝60°，∴∠AOE＝120°.∵OA＝OF，∴△OAF是等邊三角形．∴AF＝OA＝R.∵扇形AOE的面積是12π，∴eq\f(120πR2,360)＝12π，∴R2＝36.直接開(kāi)平方即可求解．2．(2021·貴陽(yáng)中考)如圖，⊙O與正五邊形ABCDE的兩邊AE，CD相切于A，C兩點(diǎn)，則∠AOC的度數(shù)是(A)A．144°B．130°C．129°D．108°混淆圓錐的側(cè)面積與表面積、底面半徑、高與母線間的關(guān)系【例】如圖，已知扇形AOB的半徑為6cm，圓心角的度數(shù)為120°，若將此扇形圍成一個(gè)圓錐，則圍成的圓錐的側(cè)面積為()A．4πcm2B．6πcm2C．9πcm2D．12πcm2【錯(cuò)解分析】本題考查了圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖及扇形面積的計(jì)算方法，關(guān)鍵理解本題S側(cè)＝S扇形AOB.解題時(shí)因立體感不強(qiáng)，不理解兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系而出錯(cuò)．【正確解答】D1．(2021·廣元中考)如圖，從一塊直徑是2的圓形鐵片上剪出一個(gè)圓心角為90°的扇形，將剪下來(lái)的扇形圍成一個(gè)圓錐．那么這個(gè)圓錐的底面圓的半徑是(B)A.eq\f(π,4)B．eq\f(\r(2),4)C．eq\f(1,2)D．12．“趕陀螺”是一項(xiàng)深受人們喜愛(ài)的運(yùn)動(dòng)，如圖所示是一個(gè)陀螺的立體結(jié)構(gòu)圖．已知底面圓的直徑AB＝8cm，圓柱體部分的高BC＝6cm，圓錐體部分的高CD＝3cm，則這個(gè)陀螺的表面積是(C)A．68πcm2B．74πcm2C．84πcm2D．100πcm2eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第2題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第3題圖）))3．如圖，已知圓錐的母線長(zhǎng)為9cm.(1)若圓錐的底面半徑為4cm，則其側(cè)面展開(kāi)扇形圖的圓心角為160°；(2)若一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿圓錐側(cè)面爬行一周回到出發(fā)點(diǎn)，最短路徑長(zhǎng)為9eq\r(3)cm，則其側(cè)面展開(kāi)扇形圖的圓心角為120°．弧長(zhǎng)和扇形面積的相關(guān)計(jì)算(5年2考)1．(2020·河北中考)如圖，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，分別延長(zhǎng)OA到點(diǎn)C，OB到點(diǎn)D，使OC＝OD.以點(diǎn)O為圓心，分別以O(shè)A，OC為半徑在CD上方作兩個(gè)半圓．點(diǎn)P為小半圓上任一點(diǎn)(不與點(diǎn)A，B重合)，連接OP并延長(zhǎng)交大半圓于點(diǎn)E，連接AE，CP.(1)①求證：△AOE≌△POC；②寫(xiě)出∠1，∠2和∠C三者間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若OC＝2OA＝2，當(dāng)∠C最大時(shí)，直接指出CP與小半圓的位置關(guān)系，并求此時(shí)S扇形EOD(答案保留π)．,備用圖))(1)①證明：∵OA＝OP，∠AOE＝∠POC，OE＝OC，∴△AOE≌△POC(SAS)；②解：∠2＝∠1＋∠C.理由：由①知，△AOE≌△POC.∴∠1＝∠OPC.在△POC中，∠2＝∠OPC＋∠C.∴∠2＝∠1＋∠C；(2)解：當(dāng)∠C最大時(shí)，CP與小半圓相切．備用圖中，延長(zhǎng)CP交大半圓于點(diǎn)F，連接OP并延長(zhǎng)交大半圓于點(diǎn)E.只有當(dāng)CP與小半圓相切于點(diǎn)P時(shí)，∠C所對(duì)eq\x\to(DF)最長(zhǎng)，即∠C最大，此時(shí)OE⊥CF.∴∠1＝∠OPC＝90°.在Rt△AOE中，OE＝OC＝2OA＝2.∴cos∠AOE＝eq\f(OA,OE)＝eq\f(1,2).∴∠AOE＝60°.∴∠2＝120°.∴S扇形EOD＝eq\f(120π×22,360)＝eq\f(4π,3).2．(2017·河北中考)如圖，AB＝16，O為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)C在線段OB上(不與點(diǎn)O，B重合)，將OC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)270°后得到扇形COD，AP，BQ分別切優(yōu)弧eq\x\to(CD)于點(diǎn)P，Q，且點(diǎn)P，Q在AB異側(cè)，連接OP.(1)求證：AP＝BQ；(2)當(dāng)BQ＝4eq\r(3)時(shí)，求eq\x\to(QD)的長(zhǎng)(結(jié)果保留π)；(3)若△APO的外心在扇形COD的內(nèi)部，求OC的取值范圍．(1)證明：連接OQ.∵AP，BQ分別與eq\x\to(CD)相切，∴OP⊥AP，OQ⊥BQ.∴∠APO＝∠BQO＝90°.∵O為AB的中點(diǎn)，∴OA＝OB.又∵OP＝OQ，∴Rt△APO≌Rt△BQO(HL).∴AP＝BQ；(2)解：∵△APO≌△BQO，∴∠AOP＝∠BOQ.∴P，O，Q三點(diǎn)在同一直線上．在Rt△BOQ中，cosB＝eq\f(BQ,OB)＝eq\f(4\r(3),8)＝eq\f(\r(3),2)，∴∠B＝30°.∴∠BOQ＝60°.∴OQ＝eq\f(1,2)OB＝4.∴eq\x\to(QD)的長(zhǎng)為eq\f(（270－60）×π×4,180)＝eq\f(14,3)π；(3)解：∵Rt△APO的外心是OA的中點(diǎn)，OA＝8，∴△APO的外心在扇形COD的內(nèi)部時(shí)，OC的取值范圍為4＜OC＜8.正多邊形與圓的有關(guān)計(jì)算(5年2考)3．(2021·河北中考)如圖，⊙O的半徑為6，將該圓周12等分后得到表盤(pán)模型，其中整鐘點(diǎn)為An(n為1～12的整數(shù))，過(guò)點(diǎn)A7作⊙O的切線交A1A11的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.(1)通過(guò)計(jì)算比較直徑和劣弧A7A11長(zhǎng)度哪個(gè)更長(zhǎng)；(2)連接A7A11，則A7A11和PA1有什么特殊位置關(guān)系？請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；(3)求切線長(zhǎng)PA7的值