專題1.7二次函數(shù)的應(yīng)用及綜合問題（知識(shí)梳理+典例剖析+變式訓(xùn)練）-2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍原卷版【蘇科版】

2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【蘇科版】專題1.7二次函數(shù)的應(yīng)用及綜合問題精講精練【目標(biāo)導(dǎo)航】【知識(shí)梳理】二次函數(shù)的應(yīng)用關(guān)鍵在于建立二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，這就需要認(rèn)真審題，理解題意，利用二次函數(shù)解決實(shí)際問題，應(yīng)用最多的是根據(jù)二次函數(shù)的最值確定最大利潤(rùn)、最節(jié)省方案等問題． 應(yīng)用二次函數(shù)解決實(shí)際問題的一般思路：理解題意；建立數(shù)學(xué)模型；解決題目提出的問題．（一）簡(jiǎn)單應(yīng)用對(duì)于題目明確給出兩個(gè)變量間是二次函數(shù)關(guān)系，并且給出幾對(duì)變量值，要求求出函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用（或者直接給出二次函數(shù)的解析式，進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用）．解答的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用待定系數(shù)法，準(zhǔn)確求出函數(shù)關(guān)系式．（二）建模應(yīng)用利用二次函數(shù)解決拋物線型問題，一般是先根據(jù)實(shí)際問題的特點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)計(jì)合適的二次函數(shù)的解析式，把實(shí)際問題中的已知條件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)，代入解析式求解，最后要把求出的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的答案．（三）銷售問題二次函數(shù)解決銷售問題是我們生活中經(jīng)常遇到的問題，這類問題通常是根據(jù)實(shí)際條件建立二次函數(shù)關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的最值或自變量在實(shí)際問題中的取值解決利潤(rùn)最大問題．（四）運(yùn)用二次函數(shù)求實(shí)際問題中的最值即解二次函數(shù)最值應(yīng)用題，設(shè)法把關(guān)于最值的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，然后按求二次函數(shù)最值的方法求解，求最值時(shí)，要注意求的答案要符合實(shí)際問題．包括二次函數(shù)在沒有限制條件下的最值，二次函數(shù)在給定范圍條件下的最值和分段函數(shù)求最值．1．二次函數(shù)在沒有限制條件下的最值：二次函數(shù)的一般式()化成頂點(diǎn)式，如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值）．2．二次函數(shù)在給定范圍條件下的最值：如果自變量的取值范圍是，如果頂點(diǎn)在自變量的取值范圍內(nèi)，則需要計(jì)算當(dāng)，，時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，比較結(jié)果，最大的函數(shù)值為最大值，最小的函數(shù)值為最小值，如果頂點(diǎn)不在此范圍內(nèi)，則只需要計(jì)算當(dāng)，時(shí)的函數(shù)值，比較結(jié)果，最大的函數(shù)值為最大值，最小的函數(shù)值為最小值（或者用二次函數(shù)的增減性來(lái)解）．（五）二次函數(shù)綜合問題（1）二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結(jié)合問題解決此類問題時(shí)，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號(hào)，然后判斷新的函數(shù)關(guān)系式中系數(shù)的符號(hào)，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關(guān)系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即為正確選項(xiàng)．（2）二次函數(shù)與方程、幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用將函數(shù)知識(shí)與方程、幾何知識(shí)有機(jī)地結(jié)合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關(guān)鍵是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識(shí)，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．（3）二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用題從實(shí)際問題中分析變量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型．關(guān)鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立直角坐標(biāo)系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的取值范圍要使實(shí)際問題有意義．【典例剖析】【考點(diǎn)1】二次函數(shù)的應(yīng)用：面積問題【例1】（2022秋?興化市期中）某農(nóng)場(chǎng)要建一個(gè)長(zhǎng)方形的養(yǎng)雞場(chǎng)ABCD，雞場(chǎng)的一邊靠墻（墻長(zhǎng)27m），另外三邊用木欄圍成，木欄長(zhǎng)40m．（1）若雞場(chǎng)的面積為150m2，求AB的值；（2）AB為何值時(shí)，雞場(chǎng)的面積有最大值？最大值是多少？【變式1.1】（2022秋?徐州期中）如圖，某農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃建造一個(gè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng)，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場(chǎng)一面靠墻（墻的長(zhǎng)度為10m），另外三面用柵欄圍成，已知柵欄總長(zhǎng)度為18m，設(shè)矩形垂直于墻的一邊，即AB的長(zhǎng)為xm．（1）若矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的面積為36m2，求此時(shí)的x的值；（2）當(dāng)x為多少時(shí)，矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的面積最大？最大值是多少？【變式1.2】（2022秋?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）某農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃建造一個(gè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng)，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場(chǎng)一面靠墻（墻的長(zhǎng)度為13m，另外三面用棚欄圍成，中間再用棚欄把它分成兩個(gè)面積為1：2的矩形，已知柵欄的總長(zhǎng)度為24m，設(shè)較小矩形的寬為xm（如圖）．（1）若矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積為36m2，求此時(shí)x的值；（2）當(dāng)x為多少時(shí)，矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積最大？最大值為多少？【變式1.3】（2022秋?連云區(qū)校級(jí)月考）已知一個(gè)包裝盒的表面展開圖如圖．（1）若此包裝盒的容積為1125cm3，請(qǐng)列出關(guān)于x的方程，并求出x的值；（2）是否存在這樣的x的值，使得此包裝盒的容積最大？若存在，請(qǐng)求出相應(yīng)的x的值和最大容積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)2】二次函數(shù)的應(yīng)用：表格問題【例2】（2022春?江陰市校級(jí)月考）據(jù)統(tǒng)計(jì)，某景區(qū)僅有A，B兩個(gè)景點(diǎn)，售票處出示的三種購(gòu)票方式如表所示：購(gòu)票方式甲乙丙可游玩景點(diǎn)ABA和B門票價(jià)格100元/人80元/人160元/人據(jù)預(yù)測(cè)，六月份選擇甲、乙、丙三種購(gòu)票方式的人數(shù)分別有2萬(wàn)、3萬(wàn)和2萬(wàn)．并且當(dāng)甲、乙兩種門票價(jià)格不變時(shí)，丙種門票價(jià)格每下降1元，將有600人原計(jì)劃購(gòu)買甲種門票的游客和400人原計(jì)劃購(gòu)買乙種門票的游客改為購(gòu)買丙種門票．①若丙種門票價(jià)格下降10元，求景區(qū)六月份的門票總收入；②問：將丙種門票價(jià)格下降多少元時(shí)，景區(qū)六月份的門票總收入有最大值？最大值是多少萬(wàn)元？【變式2.1】（2022秋?海安市校級(jí)月考）某商家獨(dú)家銷售具有地方特色的某種商品，每件進(jìn)價(jià)為40元，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，一周的銷售量y件與銷售單價(jià)x（x＞50）元/件的關(guān)系如表：銷售單價(jià)x（元/件）…55607075…一周的銷售量y（件）…450400300250…（1）試銷過(guò)程發(fā)現(xiàn)，一周銷量y（萬(wàn)件）與銷售單價(jià)x（元/件）之間關(guān)系可以近似地看作一次函數(shù)，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)一周的銷售利潤(rùn)為S元，請(qǐng)求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，并確定當(dāng)銷售單價(jià)在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，一周的銷售利潤(rùn)不低于8000元？（3）在雅安地震發(fā)生時(shí)，商家已將商品一周的銷售利潤(rùn)全部寄往災(zāi)區(qū)，已知商家購(gòu)進(jìn)該商品的貨款不超過(guò)10000元，請(qǐng)你分析該商家當(dāng)時(shí)最大捐款數(shù)額是多少元？【變式2.2】（2022秋?如東縣期中）某汽車4S店銷售A，B兩種型號(hào)的轎車，具體信息如下表：每輛進(jìn)價(jià)（萬(wàn)元）每輛售價(jià)（萬(wàn)元）每季度銷量（輛）A60x﹣x+100B50y﹣2y+150（注：廠家要求4S店每季度B型轎車的銷量是A型轎車銷量的2倍．）根據(jù)以上信息解答下列問題：（1）用含x的代數(shù)式表示y；（2）今年第三季度該4S店銷售A，B兩種型號(hào)轎車的利潤(rùn)恰好相同（利潤(rùn)不為0），試求x的值；（3）求該4S店第四季度銷售這兩種轎車能獲得的最大利潤(rùn)．【變式2.3】（2020秋?東臺(tái)市月考）近期江蘇省各地均發(fā)布“霧霾”黃色預(yù)警，我市某口罩廠商生產(chǎn)一種新型口罩產(chǎn)品，每件制造成本為18元，試銷過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y（萬(wàn)件）與銷售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系滿足下表．銷售單價(jià)x（元/件）……20253040……每月銷售量y（萬(wàn)件）……60504020……（1）若y是x的一次函數(shù)，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為；（2）當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，廠商每月獲得的利潤(rùn)為440萬(wàn)元？（3）如果廠商每月的制造成本不超過(guò)540萬(wàn)元，那么當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，廠商每月獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少萬(wàn)元？【考點(diǎn)3】二次函數(shù)的應(yīng)用：銷售圖象問題【例3】（2021秋?漣水縣期末）某超市銷售一批成本為20元/千克的綠色健康食品，深受游客青睞．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該食品每天的銷售量y（千克）與銷售單價(jià)x（元/千克）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示．（1）求該食品每天的銷售量y（千克）與銷售單價(jià)x（元/千克）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若超市按售價(jià)不低于成本價(jià)，且不高于40元銷售，則銷售單價(jià)定為多少，才能使銷售該食品每天獲得的利潤(rùn)W（元）最大？最大利潤(rùn)是多少？【變式3.1】（2022秋?姑蘇區(qū)校級(jí)月考）云南某星級(jí)酒店共有50個(gè)房間供給受疫情影響需要隔離的人員居住，每間房?jī)r(jià)不低于200元且不超過(guò)350元，酒店還需對(duì)隔離人員居住的每個(gè)房間每天支出各種費(fèi)用共計(jì)120元已知需要隔離的人員居住的房間數(shù)y（單位：間）和每個(gè)房間定價(jià)x（單位：元）符合一次函數(shù)關(guān)系，如圖是y關(guān)于x的函數(shù)圖象．（1）求y與x之間的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)房?jī)r(jià)定為多少元時(shí)，酒店利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？【變式3.2】（2022?淮陰區(qū)校級(jí)一模）近年來(lái)，電動(dòng)車駕駛安全越來(lái)越被重視．某商店銷售頭盔，每個(gè)進(jìn)價(jià)50元．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研，當(dāng)售價(jià)為60元時(shí)，每月可銷售300個(gè)；售價(jià)每增加1元，銷售量將減少10個(gè)．為了提高銷售量，當(dāng)售價(jià)為80元時(shí)，啟用網(wǎng)絡(luò)主播直播帶貨，此時(shí)售價(jià)每增加1元，需支付給主播300元．物價(jià)局對(duì)此頭盔規(guī)定：售價(jià)最高不超過(guò)110元．如圖中的折線ABC表示該品牌頭盔的銷售量y（單位：個(gè)）與售價(jià)x（單位：元）之間的函數(shù)關(guān)系．（1）直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)，并求線段BC對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）啟用網(wǎng)絡(luò)主播直播帶貨后，當(dāng)售價(jià)為多少元時(shí)，該商家獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？【變式3.3】（2022春?豐縣月考）某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)一種每件成本為100元的新商品，在商場(chǎng)試銷發(fā)現(xiàn)：銷售單價(jià)x（元/件）與每天銷售量y（件）之間滿足如圖所示的關(guān)系：（1）求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）寫出每天的利潤(rùn)W與銷售單價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）疫情期間，有關(guān)部門規(guī)定每件商品的利潤(rùn)率不得超過(guò)30%，那么將售價(jià)定為多少，來(lái)保證每天獲得的總利潤(rùn)最大，最大總利潤(rùn)是多少？（利潤(rùn)率＝利潤(rùn)÷成本×100%）（4）疫情過(guò)后，有關(guān)部門規(guī)定每件商品的利潤(rùn)率不得超過(guò)50%，每銷售一件商品便向某慈善機(jī)構(gòu)捐贈(zèng)a元（10≤a≤25），捐贈(zèng)后發(fā)現(xiàn)，該商品每天銷售的總利潤(rùn)仍隨著售價(jià)的增大而增大．請(qǐng)直接寫出a的取值范圍．【考點(diǎn)4】二次函數(shù)的應(yīng)用：最大利潤(rùn)【例4】（2022春?崇川區(qū)校級(jí)月考）在“鄉(xiāng)村振興”行動(dòng)中，某村辦企業(yè)以A，B兩種農(nóng)作物為原料開發(fā)了一種有機(jī)產(chǎn)品，A原料的單價(jià)是B原料單價(jià)的1.5倍．若用900元收購(gòu)A原料會(huì)比用900元收購(gòu)B原料少100kg，生產(chǎn)該產(chǎn)品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，每盒還需其它成本9元．市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該產(chǎn)品每盒的售價(jià)是60元時(shí)，每天可以銷售500盒；每漲價(jià)1元，每天少銷售10盒．（1）求每盒產(chǎn)品的成本（成本＝原料費(fèi)+其它成本）；（2）若每盒產(chǎn)品漲價(jià)x元（x≤12，且x為整數(shù)），每天的利潤(rùn)是w元，①求w與x的函數(shù)解析式（不需要寫出自變量的取值范圍）；②若要使該產(chǎn)品銷售過(guò)程中的日利潤(rùn)不低于15750元，不超過(guò)15990元，請(qǐng)直接寫出x的取值范圍．【變式4.1】（2022?射陽(yáng)縣一模）新冠疫情爆發(fā)后，某超市發(fā)現(xiàn)使用濕巾紙量變大，其中A種濕巾紙售價(jià)為每包18元；B種濕巾紙售價(jià)為每包12元．該超市決定購(gòu)進(jìn)一批這兩種濕巾紙，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查得知，購(gòu)進(jìn)2包A種濕巾紙與購(gòu)進(jìn)3包B種濕巾紙的費(fèi)用相同，購(gòu)進(jìn)10包A種濕巾紙和購(gòu)進(jìn)6包B種濕巾紙共需168元．（1）求A、B兩種濕巾紙的進(jìn)價(jià)．（2）該超市平均每天可售出40包A種濕巾紙，后來(lái)經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，A種濕巾紙單價(jià)每降低1元，則平均每天的銷量可增加8包．為了盡量讓顧客得到更多的優(yōu)惠，該超市將A種濕巾紙調(diào)整售價(jià)后，當(dāng)天銷售A種濕巾紙獲利224元，那么A種濕巾紙的單價(jià)降了多少元？（3）該超市準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)A、B兩種濕巾紙共600包，其中B種濕巾紙的數(shù)量不少于A種濕巾紙數(shù)量的兩倍．請(qǐng)為該超市設(shè)計(jì)獲利最大的進(jìn)貨方案，并求出最大利潤(rùn)．【變式4.2】（2022?南京二模）某農(nóng)場(chǎng)有100畝土地對(duì)外出租，現(xiàn)有兩種出租方式：方式一：若每畝土地的年租金是400元，則100畝土地可以全部租出．每畝土地的年租金每增加5元土地少租出1畝．方式二：每畝土地的年租金是600元．（1）若選擇方式一，當(dāng)出租80畝土地時(shí)，每畝年租金是；（2）當(dāng)土地出租多少畝時(shí)，方式一與方式二的年總租金差最大？并求出最大值；（3）農(nóng)場(chǎng)熱心公益事業(yè)，若選擇方式一，農(nóng)場(chǎng)每租出1畝土地捐出a元（a＞0）給慈善機(jī)構(gòu)；若選擇方式二，農(nóng)場(chǎng)一次性捐款1800元給慈善機(jī)構(gòu)．當(dāng)租出的土地小于60畝時(shí)，方式一的年收入高于方式二的年收入，直接寫出a的取值范圍．（注：年收入＝年總租金﹣捐款數(shù)）【變式4.3】（2022春?錫山區(qū)期中）某商店出售一款電動(dòng)玩具，進(jìn)價(jià)為每件30元，銷售一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn)，該玩具的日銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元/件）滿足一次函數(shù)關(guān)系，其銷售單價(jià)、日銷售量的三組對(duì)應(yīng)數(shù)值如表：銷售單價(jià)x（元/件）505570日銷售量y（件）706550（1）請(qǐng)直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）求該商店銷售這款玩具獲得的最大日利潤(rùn)；（3）銷售一段時(shí)間以后，由于原材料成本上漲，該款玩具的進(jìn)價(jià)每件增加了10元，但物價(jià)部門為了規(guī)范市場(chǎng)經(jīng)營(yíng)秩序，規(guī)定銷售單價(jià)不能超過(guò)a元/件，在日銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元/件）保持（1）中函數(shù)關(guān)系不變的情況下，該玩具的日銷售最大利潤(rùn)是1500元，求a的值．【考點(diǎn)5】二次函數(shù)的應(yīng)用：拋物型問題【例5】（2022春?崇川區(qū)期末）5月19日，崇川區(qū)進(jìn)行了一次全民核酸檢測(cè)，某小區(qū)上午6點(diǎn)開始檢測(cè)，居民陸續(xù)到采集點(diǎn)排隊(duì)，7點(diǎn)20后排隊(duì)不再新增人數(shù)，秀秀就排隊(duì)采樣的時(shí)間和人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到下表：時(shí)間x（分鐘）020406080859095100人數(shù)y（人）80150200230240180120600秀秀把數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系里描點(diǎn)連線，得到如圖所示函數(shù)圖象：當(dāng)0≤x≤80，y是x的二次函數(shù)；當(dāng)80＜x≤100，y是x的一次函數(shù)．（1）如果B是二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，求二次函數(shù)解析式；（2）若排隊(duì)人數(shù)在200人及以上，即為滿負(fù)荷狀態(tài)，問滿負(fù)荷狀態(tài)持續(xù)的時(shí)間多長(zhǎng)？【變式5.1】（2022?玄武區(qū)二模）跳臺(tái)滑雪是冬季奧運(yùn)會(huì)的比賽項(xiàng)目．如圖，運(yùn)動(dòng)員通過(guò)助滑道后在點(diǎn)A處騰空，在空中沿拋物線飛行，直至落在著陸坡BC上的點(diǎn)P處．騰空點(diǎn)A到地面OB的距離OA為70m，坡高OC為60m，著陸坡BC的坡度（即tanα）為3：4．以O(shè)為原點(diǎn)，OB所在直線為x軸，OA所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．已知這段拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，75），（8，78）．（1）求這段拋物線表示的二次函數(shù)表達(dá)式；（2）在空中飛行過(guò)程中，求運(yùn)動(dòng)員到坡面BC豎直方向上的最大距離；（3）落點(diǎn)P與坡頂C之間的距離為m．【變式5.2】（2022秋?如皋市校級(jí)月考）如圖①，一個(gè)可調(diào)節(jié)高度的噴灌架噴射出的水流可以近似地看成拋物線．圖②是噴射出的水流在平面直角坐標(biāo)系中的示意圖，其中噴灌架置于點(diǎn)O處，噴水頭的高度（噴水頭距噴灌架底部的距離）設(shè)置的是1米，當(dāng)噴射出的水流距離噴水頭水平距離為8米時(shí)，達(dá)到最大高度5米．（1）求水流運(yùn)行軌跡的函數(shù)解析式；（2）若在距噴灌架12米處有一棵3.5米高的果樹，問：水流是否會(huì)碰到這棵果樹？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明．【變式5.3】（2022秋?如東縣期中）嘉嘉進(jìn)行鉛球訓(xùn)練，他嘗試?yán)脭?shù)學(xué)模型來(lái)研究鉛球的運(yùn)動(dòng)情況．他以水平方向?yàn)閤軸方向，1m為單位長(zhǎng)度，建立了如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，鉛球從y軸上的點(diǎn)A處出手，運(yùn)動(dòng)路徑可看作拋物線，嘉嘉某次試投時(shí)，鉛球行進(jìn)高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的函數(shù)關(guān)系是y＝﹣（x﹣4）2+3．如圖，B是該函數(shù)圖象上的一點(diǎn)．（1）畫出該函數(shù)的大致圖象；（2）若鉛球推出的距離不小于9m，成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀．請(qǐng)通過(guò)計(jì)算，判斷嘉嘉此次試投的成績(jī)是否能達(dá)到優(yōu)秀．【考點(diǎn)6】二次函數(shù)的應(yīng)用：分段函數(shù)問題【例6】（2022春?睢寧縣月考）因?yàn)橐咔椋w育中考中考生進(jìn)入考點(diǎn)需檢測(cè)體溫．防疫部門為了解學(xué)生錯(cuò)峰進(jìn)入考點(diǎn)進(jìn)行體溫檢測(cè)的情況，調(diào)查了一所學(xué)校某天上午考生進(jìn)入考點(diǎn)的累計(jì)人數(shù)y（人）與時(shí)間x（分鐘）的變化情況，數(shù)據(jù)如表：時(shí)間x（分鐘）01234567899＜x≤15人數(shù)y（人）0170320450560650720770800810810（1）研究表中數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)9分鐘內(nèi)考生進(jìn)入考點(diǎn)的累計(jì)人數(shù)是時(shí)間的二次函數(shù)，請(qǐng)求出9分鐘內(nèi)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．（2）如果考生一進(jìn)考點(diǎn)就開始排隊(duì)測(cè)量體溫，體溫檢測(cè)點(diǎn)有2個(gè)，每個(gè)檢測(cè)點(diǎn)每分鐘檢測(cè)20人，求排隊(duì)人數(shù)最多時(shí)有多少人？全部考生都完成體溫檢測(cè)需要多少時(shí)間？（3）在（2）的條件下，如果要在12分鐘內(nèi)讓全部考生完成體溫檢測(cè)，從一開始就應(yīng)該至少增加幾個(gè)檢測(cè)點(diǎn)？【變式6.1】（2022?南京模擬）某地實(shí)施產(chǎn)業(yè)扶貧種植某種水果，其成本經(jīng)過(guò)測(cè)算為20元/千克，投放市場(chǎng)后，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種水果在上市的一段時(shí)間內(nèi)的銷售單價(jià)p（元/千克）與時(shí)間t（天）之間的函數(shù)圖象如圖，且其日銷售量y（千克）與時(shí)間t（天）的關(guān)系是：y＝﹣2t+160．（0≤t＜80，且t為整數(shù)）（1）試求銷售單價(jià)p（元/千克）與時(shí)間t（天）之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）哪一天的銷售利潤(rùn)最大？最大日銷售利潤(rùn)為多少？【變式6.2】（2022春?錫山區(qū)校級(jí)期中）一大型商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)某種品牌商品，該商品的進(jìn)價(jià)為每件30元，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每周的銷售量y（件）與售價(jià)x（元/件）（x為正整數(shù)）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，下表記錄的是某三周的有關(guān)數(shù)據(jù)：x（元/件）405060y（件）1000095009000（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式（不求自變量的取值范圍）；（2）在銷售過(guò)程中要求銷售單價(jià)不低于成本價(jià)，且不高于150元/件．若某一周該商品的銷售量不少于6000件，求這一周該商場(chǎng)銷售這種商品獲得的最大利潤(rùn)和售價(jià)分別為多少元？（3）抗疫期間，該商場(chǎng)這種商品售價(jià)不大于150元/件時(shí)，每銷售一件商品便向某慈善機(jī)構(gòu)捐贈(zèng)m元（10≤m≤60），捐贈(zèng)后發(fā)現(xiàn)，該商場(chǎng)每周銷售這種商品的利潤(rùn)仍隨售價(jià)的增大而增大．請(qǐng)求出m的取值范圍．【變式6.3】（2021秋?沭陽(yáng)縣校級(jí)期末）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)農(nóng)貿(mào)公司新開設(shè)了一家網(wǎng)店，銷售當(dāng)?shù)剞r(nóng)產(chǎn)品，其中一種當(dāng)?shù)靥禺a(chǎn)在網(wǎng)上試銷售，其成本為每千克2元．公司在試銷售期間，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每天銷售量y（kg）與銷售單價(jià)x（元）滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系（其中2＜x≤10）．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）銷售單價(jià)x為多少元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？【考點(diǎn)7】二次函數(shù)的綜合：面積問題【例7】（2021秋?欽北區(qū)期末）如圖，拋物線y＝ax2+bx+6與直線y＝x+2相交于A（，）、B（4，6）兩點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)（不與A、B兩點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)C，點(diǎn)E是直線AB與x軸的交點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)C是拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，求△BCE的面積；（3）是否存在點(diǎn)P，使得△BCE的面積最大？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式7.1】（2022?茌平區(qū)一模）如圖，已知二次函數(shù)的圖象交x軸于點(diǎn)B（﹣8，0），C（2，0），交y軸點(diǎn)A．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）連接AC，AB，若點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B，C重合），過(guò)點(diǎn)P作PD∥AC，交AB于點(diǎn)D，試猜想△PAD的面積有最大值還是最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）連接OD，在（2）的條件下，求出的值．【變式7.2】（2022?官渡區(qū)二模）拋物線交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸正半軸于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線．（1）如圖1，若點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，2），則b＝，c＝；（2）若點(diǎn)P為第二象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，在（1）的條件下，求四邊形ABCP面積最大時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)和四邊形ABCP的最大面積；（3）如圖2，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作MN∥CD分別交拋物線于點(diǎn)M，N，當(dāng)MN＝3CD時(shí)，求c的值．【變式7.3】（2022?老河口市模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+2mx的頂點(diǎn)為A，直線l：y＝x﹣1與x軸交于點(diǎn)B．（1）如圖，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4），拋物線與直線l在第一象限交于點(diǎn)C．①求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；②點(diǎn)M為線段BC上不與B，C重合的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)t．當(dāng)EM＞BD時(shí)，求t的取值范圍；（2）過(guò)點(diǎn)A作AP⊥l于點(diǎn)P，作AQ∥l交拋物線于點(diǎn)Q，連接PQ，設(shè)△APQ的面積為S．直接寫出①S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式；②S的最小值及S取最小值時(shí)m的值．【考點(diǎn)8】二次函數(shù)的綜合：線段最值問題【例8】（2022?濱城區(qū)二模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0），經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）連接AC、BC，N為拋物線上的點(diǎn)且在第四象限，當(dāng)S△NBC＝S△ABC時(shí)，求N點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）問的條件下，過(guò)點(diǎn)C作直線l∥x軸，動(dòng)點(diǎn)P（m，3）在直線l上，動(dòng)點(diǎn)Q（m，0）在x軸上，連接PM、PQ、NQ，當(dāng)m為何值時(shí)，PM+PQ+QN最小，并求出PM+PQ+QN的最小值．【變式8.1】（2022?松江區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線y＝2x+8與x軸交于點(diǎn)A、與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）P是拋物線上一點(diǎn)，且位于直線AB上方，過(guò)點(diǎn)P作PM∥y軸、PN∥x軸，分別交直線AB于點(diǎn)M、N．①當(dāng)MN＝AB時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②聯(lián)結(jié)OP交AB于點(diǎn)C，當(dāng)點(diǎn)C是MN的中點(diǎn)時(shí)，求的值．【變式8.2】（2022?徐州二模）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B（2，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)（0，2）．（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）點(diǎn)Q在以BC為直徑的圓上（點(diǎn)Q與點(diǎn)O，點(diǎn)B，點(diǎn)C均不重合），試探究QO，QB，QC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）E點(diǎn)為該圖象在第一象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作直線BC的平行線，交x軸于點(diǎn)F．若點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)，沿著拋物線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，則點(diǎn)F經(jīng)過(guò)的路程為．【變式8.3】（2022?槐蔭區(qū)二模）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸分別交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，若A（﹣1，0）且OC＝3OA．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖1，點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)P（m，n）是第二象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)點(diǎn)，分別連接BD、BC、BP，當(dāng)∠PBA＝2∠CBD時(shí)，求m的值；（3）如圖2，∠BAC的角平分線交y軸于點(diǎn)M，過(guò)M點(diǎn)的直線l與射線AB，AC分別交于E，F(xiàn)，已知當(dāng)直線l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，為定值，請(qǐng)直接寫出該定值．【考點(diǎn)9】二次函數(shù)的綜合：與角數(shù)量關(guān)系問題【例9】（2022?牡丹江一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，且與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C．（1）求該拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)D為直線AB上方拋物線上的一點(diǎn)，∠ABD＝2∠BAC，直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)．【變式9.1】（2022?岱岳區(qū)二模）拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣3，0）和點(diǎn)B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）①如圖1，點(diǎn)P是第三象限拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，作PE⊥y軸于點(diǎn)E，當(dāng)四邊形DPEO周長(zhǎng)最大時(shí)，求的值．②如圖2，該拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得∠ACP＝∠OCB？若存在，請(qǐng)求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式9.2】（2022?播州區(qū)二模）已知拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的函數(shù)解析式．（2）如圖1，點(diǎn)D在拋物線上，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸，交直線BC于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，且0＜m＜3，求線段DE長(zhǎng)度的最大值．（3）如圖2，設(shè)M為拋物線的頂點(diǎn)，G（3，﹣2），在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使得∠GQM＝45°？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式9.3】（2022?婁底模擬）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）、B（3，0）和點(diǎn)C（0，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）若P為拋物線第四象限圖象上的動(dòng)點(diǎn)，連接AP交BC于點(diǎn)D．①試求的最大值；②在①的條件下，試問在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得∠APQ＝∠ABC？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)10】二次函數(shù)的綜合：與平行四邊形問題【例10】（2022?鄄城縣模擬）將拋物線y＝ax2（a≠0）向左平移1個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位后，得到拋物線H：y＝a（x﹣h）2+k．拋物線H與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C．已知A（﹣3，0），點(diǎn)P是拋物線H上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求拋物線H的表達(dá)式．（2）如圖1，點(diǎn)P在線段AC上方的拋物線H上運(yùn)動(dòng)（不與A、C重合），過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB，垂足為D，PD交AC于點(diǎn)E．作PF⊥AC，垂足為F，求△PEF的面積的最大值．（3）如圖2，點(diǎn)Q是拋物線H的對(duì)稱軸l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在拋物線H上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A、P、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．參考：若點(diǎn)P1（x1，y1）、P2（x2，y2），則線段P1P2的中點(diǎn)P0的坐標(biāo)為．【變式10.1】（2022?沙坪壩區(qū)校級(jí)三模）如圖，拋物線y＝ax2+x+c與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，已知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣）．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，連接AC，過(guò)點(diǎn)B作BD∥AC，交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)P是拋物線上位于直線AC下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PN∥y軸，交BD于點(diǎn)N，點(diǎn)M是直線BD上異于點(diǎn)N的一點(diǎn)，且PN＝PM，連接PM，求△PNM的周長(zhǎng)最大值以及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）將拋物線沿射線CB平移個(gè)單位，得到新拋物線y'，點(diǎn)E是新拋物線y'的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是直線BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出使得以點(diǎn)A、E、C、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形的點(diǎn)F的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由，若存在，請(qǐng)把其中一個(gè)求點(diǎn)F的坐標(biāo)的過(guò)程寫出來(lái)．【變式10.2】（2022?鐵鋒區(qū)三模）綜合與探究已知：如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象的頂點(diǎn)為D（﹣1，4），與x軸交于B，A兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)E為拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)△ACE的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為；（3）當(dāng)點(diǎn)E在x軸上方且∠BAE＝∠BDE時(shí)，試判斷CE與BD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（4）若點(diǎn)N是y軸上的一點(diǎn)，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在P，使以D、B、N、P為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式10.3】（2022?朝陽(yáng)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+2x+c與x軸分別交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），連接BC．（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)．（2）如圖，點(diǎn)P為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B，C重合），過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q，求線段PQ長(zhǎng)度的最大值．（3）動(dòng)點(diǎn)P以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段BC上由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)M以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段BO上由點(diǎn)B向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)P，M，B，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)11】二次函數(shù)的綜合：與三角形存在性問題【例11】（2022?市中區(qū)二模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，動(dòng)點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上．（1）求拋物線的關(guān)系式；（2）當(dāng)以P，A，C為頂點(diǎn)的三角形周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PAC的周長(zhǎng)；（3）若點(diǎn)Q是直線BC上方拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)△BCQ為直角三角形時(shí)，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【變式11.1】（2022?政和縣模擬）已知拋物線y＝mx2﹣3mx+n與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），且AB＝5；（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)N是線段OB上（端點(diǎn)除外）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作NM∥y軸，交BC于點(diǎn)P，交拋物線于點(diǎn)M，且PN：PM＝1：2．①求此時(shí)的N點(diǎn)坐標(biāo)；②試探究，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得△CNQ為直角三角形，若存在，請(qǐng)求Q點(diǎn)坐標(biāo)；不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式11.2】（2022?海口二模）如圖，直線y＝x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)的拋物線y＝ax2+bx+c與x軸的另一交點(diǎn)為B（1，0）．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)P是該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t（﹣4＜t＜0）．①求出四邊形PAOC面積S與t的函數(shù)表達(dá)式，并求S的最大值；②當(dāng)△PEC為等腰三角形時(shí)，求所有滿足條件的t的值．【變式11.3】（2022?新會(huì)區(qū)模擬）如圖，拋物線y＝﹣x2+mx+2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸直線x＝交x軸于點(diǎn)D．（1）求m的值；（2）在拋物線的對(duì)稱軸上找出點(diǎn)P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形，直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)E是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，與x軸相交于點(diǎn)H，連接CF、BF、OE．當(dāng)四邊形CDBF的面積最大時(shí)，請(qǐng)你說(shuō)明四邊形OCFE的形狀．【考點(diǎn)12】二次函數(shù)的綜合：相似問題【例12】（2022?郴州模擬）已知拋物線y＝ax2+bx+4與y軸交于點(diǎn)C，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0）．（1）求拋物線表達(dá)式；（2）如圖①，點(diǎn)P是第一象限拋物線上的一個(gè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥y軸，交y軸于點(diǎn)D，交線段BC于點(diǎn)Q．連接CP．若△CDQ與△CPQ的面積比為1：2，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；（3）如圖②，點(diǎn)M與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱．在線段BC上，是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)C，N，M為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式12.1】（2022?隴南一模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)N，連接BC，BC與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是對(duì)稱軸左側(cè)拋