專題21：第4章解三角形之一字型-備戰(zhàn)2021中考數(shù)學(xué)解題方法系統(tǒng)訓(xùn)練（全國通用）【有答案】

21第4章解三角形之一字型學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．如圖，一艘輪船從位于燈塔C的北偏東方向，距離燈塔60海里的小島A出發(fā)，沿正南方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔C的南偏東方向上的B處，這時輪船B與小島A的距離是()A．海里 B．海里 C．120海里 D．60海里【答案】B【解析】【分析】過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，先解Rt△ACD，求出AD，CD，再根據(jù)BD=CD，即可解出AB．【詳解】如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，則∠ACD=30°，∠BCD=45°，在Rt△ACD中，AD=CA=×60=30（海里），CD=CA·cos∠ACD=60×=（海里），∵∠BCD=45°，∠BDC=90°，∴在Rt△BCD中，BD=CD，∴AB=AD+BD=AD+CD=（30+）海里，故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用——方向角問題，解一般三角形的問題，一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解題的關(guān)鍵是作高線．2．如圖，港口在觀測站的正東方向，，某船西東從港口出發(fā)，沿北偏東方向航行一段距離后到達(dá)處，此時從觀測站處測得該船位于北偏東的方向，則該船航行的距離（即的長）為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】過點(diǎn)A作AD⊥OB于D．先解Rt△AOD，得出AD=OA=1，再由△ABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=1，則AB=AD=2．【詳解】如圖，過點(diǎn)A作AD⊥OB于D．

在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=2，

∴AD=OA=1．

在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB-∠AOB=75°-30°=45°，

∴BD=AD=1，

∴AB=AD=．

即該船航行的距離（即AB的長）為km．

故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．3．如圖，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球A看一棟樓頂部B的仰角為30°，看這棟樓底部C的俯角為60°，熱氣球A與樓的水平距離為120米，這棟樓的高度BC為（）A．160米 B．（60+160） C．160米 D．360米【答案】C【解析】【分析】過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D.根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系求出BD、CD的長，進(jìn)而可求出BC的長.【詳解】如圖所示，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D.在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，AD＝120m，BD＝AD?tan30°＝120×＝m；在Rt△ADC中，∠DAC＝60°，CD＝AD?tan60°＝120×＝m.∴BC＝BD＋DC＝m.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的有關(guān)知識，并牢記特殊角的三角函數(shù)值.4．如圖，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球A處看一棟樓頂部B處的仰角度數(shù)為α，看這棟樓底部C處的俯角度數(shù)為β，熱氣球A處與樓的水平距離為100m，則這棟樓的高度表示為（）A．100(tanα+tanβ)m B．100(sinα+sinβ)m C． D．【答案】A【解析】【分析】過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，利用解直角三角形分別求出BH，CH的長，再根據(jù)BC=BH+CH，代入計算可求出BC的長.【詳解】過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，∴∠AHB=∠AHC=90°，在Rt△ABH中，BH=AHtan∠BAH=100tanα；在Rt△ACH中，CH=AHtan∠CAH=100tanβ；∴BC=BH+CH=100tanα+100tanβ=100（tanα+tanβ）m.故選：A.【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，正確確定直角三角形是解題的關(guān)鍵.二、填空題5．如圖，海中有個小島A，一艘輪船由西向東航行，在點(diǎn)B處測得小島A位于它的東北方向，此時輪船與小島相距20海里，繼續(xù)航行至點(diǎn)D處，測得小島A在它的北偏西60°方向，此時輪船與小島的距離為________海里．【答案】20【解析】【分析】過點(diǎn)A作AC⊥BD，根據(jù)方位角及三角函數(shù)即可求解．【詳解】如圖，過點(diǎn)A作AC⊥BD，依題意可得∠ABC=45°∴△ABC是等腰直角三角形，AB=20(海里)∴AC=BC=ABsin45°=10(海里)在Rt△ACD中，∠ADC=90°-60°=30°∴AD=2AC=20(海里)故答案為：20．【點(diǎn)睛】此題主要考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟知特殊角的三角函數(shù)值．6．如圖，海上有一燈塔P，位于小島A北偏東60°方向上，一艘輪船從北小島A出發(fā)，由西向東航行到達(dá)B處，這時測得燈塔P在北偏東30°方向上，如果輪船不改變航向繼續(xù)向東航行，當(dāng)輪船到達(dá)燈塔P的正南方，此時輪船與燈塔P的距離是________．（結(jié)果保留一位小數(shù)，）【答案】20.8【解析】【分析】證明△ABP是等腰三角形，過P作PD⊥AB，從而求得PD的長即可．【詳解】解：過P作PD⊥AB于D，∵AB=24，∵∠PAB=90°-60°=30°，∠PBD=90°-30°=60°，∴∠BPD=30°，∴∠APB=30°，即∠PAB=∠APB，

∴AB=BP=24，

在直角△PBD中，PD=BP?sin∠PBD=24×=≈20.8.故答案為：20.8.【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確作出垂線，轉(zhuǎn)化為直角三角形的計算是解決本題的關(guān)鍵．7．如圖是某商場營業(yè)大廳自動扶梯示意圖．自動扶梯的傾斜角為，在自動扶梯下方地面處測得扶梯頂端的仰角為，、之間的距離為4．則自動扶梯的垂直高度=_________．（結(jié)果保留根號）【答案】【解析】【分析】先推出∠ABC=∠BAC，得BC=AC=4，然后利用三角函數(shù)即可得出答案．【詳解】∵∠BAC+∠ABC=∠BCD=60°，∠BAC=30°，∴∠ABC=30°，∴∠ABC=∠BAC，∴BC=AC=4，在Rt△BCD中，BD=BCsin60°=4×=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)，得出BC=AB=4是解題關(guān)鍵．8．某攔水壩的橫截面為梯形，迎水坡的坡角為，且，背水坡的坡度為是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比，壩面寬，壩高則壩底寬__________．【答案】【解析】【分析】添一條輔助線，作BFCD，AE=12m，根據(jù)，可得CF的長，根據(jù)背水坡AD的坡度，可得DE的長，且AB=EF，壩底CD=DE+EF+FC，可得出答案．【詳解】解：如圖所示，添一條輔助線，作BFCD，∵AE=12m，且，而，∴m，又∵背水坡AD的坡度，∴，故DE=30m，且EF=AB=3m，壩底CD=DE+EF+FC=30+3+16=49m，故答案為：49m．【點(diǎn)睛】本題主要考察了用正切值求邊長，坡度是坡角的正切，在直角三角形中，正切值為對邊∶斜邊，掌握定義就不會算錯．9．如圖，某輪船以每小時30海里的速度向正東方向航行，上午8：00，測得小島C在輪船A的北偏東45°方向上；上午10：00，測得小島C在輪船B的北偏西30°方向上，則輪船在航行中離小島最近的距離約為__海里（精確到1海里，參考數(shù)據(jù)≈1.414，≈1.732）．【答案】38．【解析】【分析】作CD⊥AB于點(diǎn)D，再求得AB、∠ACD、∠BCD的值，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)求出CD的長即可解答．【詳解】解：如圖，作CD⊥AB于點(diǎn)D，根據(jù)題意可知：AB＝30×（10﹣8）＝60（海里），∠ACD＝45°，∠BCD＝30°，在Rt△ACD中，CD＝AD，在Rt△CBD中，BD＝AB﹣AD＝60﹣CD，∴tan30°＝，即＝，解得CD≈38（海里）．答：輪船在航行中離小島最近的距離約為38海里．故答案為38．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握方向角的概念和解直角三角形的知識是解答本題的關(guān)鍵．10．如圖所示，輪船在處觀測燈塔位于北偏西方向上，輪船從處以每小時海里的速度沿南偏西方向勻速航行，小時后到達(dá)碼頭處，此時，觀測燈塔位于北偏西方向上，則燈塔與碼頭的距離是______海里(結(jié)果精確到個位，參考數(shù)據(jù)：，，)【答案】24【解析】【分析】作BD⊥AC于點(diǎn)D，在直角△ABD中，利用三角函數(shù)求得BD的長，然后在直角△BCD中，利用三角函數(shù)即可求得BC的長．【詳解】∠CBA=25°+50°=75°，作BD⊥AC于點(diǎn)D，則∠CAB=（90°﹣70°）+（90°﹣50°）=20°+40°=60°，∠ABD=30°，∴∠CBD=75°﹣30°=45°，在直角△ABD中，BD=AB?sin∠CAB=20×sin60°=20×=10，在直角△BCD中，∠CBD=45°，則BC=BD=10×=10≈10×2.4=24（海里），故答案是：24．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用——方向角問題，正確求得∠CBD以及∠CAB的度數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．三、解答題11．為加強(qiáng)我市創(chuàng)建文明衛(wèi)生城市宣傳力度，需要在甲樓A處到E處懸掛一幅宣傳條幅，在乙樓頂部D點(diǎn)測得條幅頂端A點(diǎn)的仰角∠ADF=45°，條幅底端E點(diǎn)的俯角為∠FDE=30°，DF⊥AB，若甲、乙兩樓的水平距離BC為21米，求條幅的長AE約是多少米？（，結(jié)果精確到0.1米）【答案】33.1米【解析】【分析】根據(jù)題意及解直角三角形的應(yīng)用直接列式求解即可．【詳解】解：過點(diǎn)D作DF⊥AB，如圖所示：在Rt△ADF中，DF=BC=21米，∠ADF=45°∴AF=DF=21米在Rt△EDF中，DF=21米，∠EDF=30°∴EF=DF×tan30°=米∴AE=AF+BF=+21≈33.1米．答：條幅的長AE約是33.1米．【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意及利用三角函數(shù)求出線段的長．12．如圖，是某小區(qū)的甲、乙兩棟住宅樓，小麗站在甲棟樓房的樓頂，測量對面的乙棟樓房的高度，已知甲棟樓房與乙棟樓房的水平距離米，小麗在甲棟樓房頂部B點(diǎn)，測得乙棟樓房頂部D點(diǎn)的仰角是，底部C點(diǎn)的俯角是，求乙棟樓房的高度（結(jié)果保留根號）．【答案】18(+1)m【解析】【分析】根據(jù)仰角與俯角的定義得到AB=BE=AC,再根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解．【詳解】如圖，依題意可得∠BCA=45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB=CE=∵∠DBE=30°∴DE=BE×tan30°=18∴的高度為CE+ED=18(+1)m．【點(diǎn)睛】此題主要考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟知三角函數(shù)的定義．13．汶川地震后，搶險隊(duì)派一架直升飛機(jī)去A、B兩個村莊搶險，飛機(jī)在距地面450米上空的P點(diǎn)，測得A村的俯角為30°，B村的俯角為60°(如圖)則A，B兩個村莊間的距離是多少米．(結(jié)果保留根號)．【答案】A，B兩個村莊間的距離300米．【解析】【分析】根據(jù)兩個俯角的度數(shù)可知ABP是等腰三角形，AB＝BP，在直角△PBC中，根據(jù)三角函數(shù)就可求得BP的長．【詳解】解：過P作AB的垂線，垂足是C，由題意得：∠A＝∠APQ＝30°，∠PBC＝∠BPQ＝60°，∴∠APB＝60°﹣30°，∴∠APB＝∠A，∴AB＝PB．在RtBCP中，∠C＝90°，∠PBC＝60°，PC＝450米，∴PB＝＝＝∴AB＝PB＝．答：A，B兩個村莊間的距離300米．【點(diǎn)睛】此題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，正確理解解直角三角形的條件，熟練運(yùn)用三角函數(shù)是解題關(guān)鍵．14．一艘漁船從位于A海島北偏東60°方向，距A海島60海里的B處出發(fā)，以每小時30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海島周圍50海里水域內(nèi)有暗礁．（參考數(shù)據(jù)：）

（1）這艘漁船在航行過程中是否有觸礁的危險？請說明理由．（2）漁船航行3小時后到達(dá)C處，求A，C之間的距離．【答案】（1）沒有危險，理由見解析；（2）79.50海里【解析】【分析】（1）過A點(diǎn)作于點(diǎn)D，在中求出AD與50海里比較即可得到答案；（2）在中求出BD得到CD，再根據(jù)勾股定理求出AC.【詳解】解：（1）過A點(diǎn)作于點(diǎn)D，∴，由題意可得，∴在中，，∴漁船在航行過程中沒有觸礁的危險；

（2）在中，，∵，∴，在中，，即A，C之間的距離為79.50海里.【點(diǎn)睛】此題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意，構(gòu)建直角三角形，將已知的線段和角度放在直角三角形中，利用銳角三角函數(shù)解決問題是解題的關(guān)鍵.15．熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為，看這棟高樓底部的俯角為，熱氣球與高樓的水平距離為66m，這棟高樓有多高？（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：）【答案】【解析】【分析】過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，根據(jù)仰角和俯角的定義得到和的度數(shù)，利用特殊角的正切值求出BD和CD的長，加起來得到BC的長．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，根據(jù)題意，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握利用特殊角的三角形函數(shù)值解直角三角形的方法．16．如圖，一艘輪船以每小時30海里的速度自東向西航行，在處測得小島位于其西北方向（北偏西方向），2小時后輪船到達(dá)處，在處測得小島位于其北偏東方向．求此時船與小島的距離（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，）．【答案】此時船與小島的距離約為44海里【解析】【分析】過P作PH⊥AB，設(shè)PH=x，由已知分別求PB、BH、AH，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)求出x值即可求解【詳解】如圖，過P作PH⊥AB，設(shè)PH=x，由題意，AB=60，∠PBH=30o，∠PAH=45o，在Rt△PHA中，AH=PH=x,在Rt△PBH中，BH=AB-AH=60-x，PB=2x，∴tan30o=，即，解得：，∴PB=2x=≈44（海里），答：此時船與小島的距離約為44海里．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的應(yīng)用，掌握方向角的概念和解直角三角形的知識是解答本題的關(guān)鍵．17．如圖，三條筆直公路兩兩相交，交點(diǎn)分別為、、，測得，，千米，求、兩點(diǎn)間的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，結(jié)果精確到1千米）．【答案】、兩點(diǎn)間的距離約為11千米．【解析】【分析】如圖（見解析），先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、勾股定理可求出CD、AD的長，再根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)可得BD的長，然后根據(jù)線段的和差即可得．【詳解】如圖，過點(diǎn)C作于點(diǎn)D在中，，千米（千米），（千米）在中，是等腰直角三角形千米（千米）答：、兩點(diǎn)間的距離約為11千米．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，通過作輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．18．如圖，平臺AB高為12m，在B處測得樓房CD頂部點(diǎn)D的仰角為45°，底部點(diǎn)C的俯角為30°，求樓房CD的高度（＝1．7）．【答案】32.4m．【解析】【分析】【詳解】試題分析：首先分析圖形，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形．本題涉及多個直角三角形，應(yīng)利用其公共邊構(gòu)造關(guān)系式求解．試題解析：如圖，過點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E，根據(jù)題意，∠DBE=45°，∠CBE=30°．∵AB⊥AC，CD⊥AC，∴四邊形ABEC為矩形，∴CE=AB=12m，在Rt△CBE中，cot∠CBE=，∴BE=CE?cot30°=12×=12，在Rt△BDE中，由∠DBE=45°，得DE=BE=12．∴C