專(zhuān)題04 幾何最值存在性問(wèn)題【有答案】

玩轉(zhuǎn)壓軸題，爭(zhēng)取滿(mǎn)分之備戰(zhàn)2020年中考數(shù)學(xué)解答題高端精品專(zhuān)題四幾何最值的存在性問(wèn)題【考題研究】在平面幾何的動(dòng)態(tài)問(wèn)題中，當(dāng)某幾何元素在給定條件變動(dòng)時(shí)，求某幾何量（如線(xiàn)段的長(zhǎng)度、圖形的周長(zhǎng)或面積、角的度數(shù)以及它們的和與差）的最大值或最小值問(wèn)題，稱(chēng)為最值問(wèn)題。從歷年的中考數(shù)學(xué)壓軸題型分析來(lái)看，經(jīng)常會(huì)考查到距離或者兩條線(xiàn)段和差最值得問(wèn)題，并且這部分題目在中考中失分率很高，應(yīng)該引起我們的重視。幾何最值問(wèn)題再教材中雖然沒(méi)有進(jìn)行專(zhuān)題講解，到卻給了我們很多解題模型，因此在專(zhuān)題復(fù)習(xí)時(shí)進(jìn)行壓軸訓(xùn)練是必要的?！窘忸}攻略】最值問(wèn)題是一類(lèi)綜合性較強(qiáng)的問(wèn)題，而線(xiàn)段和（差）問(wèn)題，要?dú)w歸于幾何模型：（1）歸于“兩點(diǎn)之間的連線(xiàn)中，線(xiàn)段最短”凡屬于求“變動(dòng)的兩線(xiàn)段之和的最小值”時(shí)，大都應(yīng)用這一模型．（2）歸于“三角形兩邊之差小于第三邊”凡屬于求“變動(dòng)的兩線(xiàn)段之差的最大值”時(shí)，大都應(yīng)用這一模型．

兩條動(dòng)線(xiàn)段的和的最小值問(wèn)題，常見(jiàn)的是典型的“牛喝水”問(wèn)題，關(guān)鍵是指出一條對(duì)稱(chēng)軸“河流”（如圖1）．三條動(dòng)線(xiàn)段的和的最小值問(wèn)題，常見(jiàn)的是典型的“臺(tái)球兩次碰壁”或“光的兩次反射”問(wèn)題，關(guān)鍵是指出兩條對(duì)稱(chēng)軸“反射鏡面”（如圖2）．兩條線(xiàn)段差的最大值問(wèn)題，一般根據(jù)三角形的兩邊之差小于第三邊，當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，兩條線(xiàn)段差的最大值就是第三邊的長(zhǎng)．如圖3，PA與PB的差的最大值就是AB，此時(shí)點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，即P′．解決線(xiàn)段和差的最值問(wèn)題，有時(shí)候求函數(shù)的最值更方便，建立一次函數(shù)或者二次函數(shù)求解最值問(wèn)題．【解題類(lèi)型及其思路】解決平面幾何最值問(wèn)題的常用的方法有：（1）應(yīng)用兩點(diǎn)間線(xiàn)段最短的公理（含應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系）求最值；（2）應(yīng)用垂線(xiàn)段最短的性質(zhì)求最值；（3）應(yīng)用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)求最值；（4）應(yīng)用二次函數(shù)求最值；（5）應(yīng)用其它知識(shí)求最值?！镜淅敢款?lèi)型一【確定線(xiàn)段（或線(xiàn)段的和，差）的最值或確定點(diǎn)的坐標(biāo)】【典例指引1】（2018·天津中考模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，長(zhǎng)方形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸的正半軸上．點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，4），將該長(zhǎng)方形沿OB翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，OD與BC交于點(diǎn)E．（I）證明：EO=EB；（Ⅱ）點(diǎn)P是直線(xiàn)OB上的任意一點(diǎn)，且△OPC是等腰三角形，求滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；（Ⅲ）點(diǎn)M是OB上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N是OA上任意一點(diǎn)，若存在這樣的點(diǎn)M、N，使得AM+MN最小，請(qǐng)直接寫(xiě)出這個(gè)最小值．【答案】（I）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）P的坐標(biāo)為（4，2）或（，）或P（﹣，﹣）或（，）；（Ⅲ）．【解析】分析：（Ⅰ）由折疊得到∠DOB=∠AOB，再由BC∥OA得到∠OBC=∠AOB，即∠OBC=∠DOB，即可；（Ⅱ）設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，分三種情況討論計(jì)算即可；（Ⅲ）根據(jù)題意判斷出過(guò)點(diǎn)D作OA的垂線(xiàn)交OB于M，OA于N，求出DN即可．詳解：（Ⅰ）∵將該長(zhǎng)方形沿OB翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，OD與BC交于點(diǎn)E，∴∠DOB=∠AOB，∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB，∴∠OBC=∠DOB，∴EO=EB；（Ⅱ）∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，4），∴直線(xiàn)OB解析式為y=x，∵點(diǎn)P是直線(xiàn)OB上的任意一點(diǎn)，∴設(shè)P（a，a）．∵O（0，0），C（0，4），∴OC=4，PO2=a2+（a）2=a2，PC2=a2+（4-a）2．當(dāng)△OPC是等腰三角形時(shí)，可分三種情況進(jìn)行討論：①如果PO=PC，那么PO2=PC2，則a2=a2+（4-a）2，解得a=4，即P（4，2）；②如果PO=OC，那么PO2=OC2，則a2=16，解得a=±，即P（，）或P（-，-）；③如果PC=OC時(shí)，那么PC2=OC2，則a2+（4-a）2=16，解得a=0（舍），或a=，即P（，）；故滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，2）或（，）或P（-，-）或（，）；（Ⅲ）如圖，過(guò)點(diǎn)D作OA的垂線(xiàn)交OB于M，交OA于N，此時(shí)的M，N是AM+MN的最小值的位置，求出DN就是AM+MN的最小值．由（1）有，EO=EB，∵長(zhǎng)方形OABC的頂點(diǎn)A，C分別在x軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，4），設(shè)OE=x，則DE=8-x，在Rt△BDE中，BD=4，根據(jù)勾股定理得，DB2+DE2=BE2，∴16+（8-x）2=x2，∴x=5，∴BE=5，∴CE=3，∴DE=3，BE=5，BD=4，∵S△BDE=DE×BD=BE×DG，∴DG=，由題意有，GN=OC=4，∴DN=DG+GN=+4=．即：AM+MN的最小值為．點(diǎn)睛：此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，極值的確定，進(jìn)行分類(lèi)討論與方程思想是解本題的關(guān)鍵．【舉一反三】（2020·云南初三）如圖，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（﹣1，0），C（2，3），拋物線(xiàn)與y軸的焦點(diǎn)A，與x軸的另一個(gè)焦點(diǎn)為D，點(diǎn)M為線(xiàn)段AD上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t．（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；（2）過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線(xiàn)，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)P，設(shè)線(xiàn)段PM的長(zhǎng)為1，當(dāng)t為何值時(shí)，1的長(zhǎng)最大，并求最大值；（先根據(jù)題目畫(huà)圖，再計(jì)算）（3）在（2）的條件下，當(dāng)t為何值時(shí)，△PAD的面積最大？并求最大值；（4）在（2）的條件下，是否存在點(diǎn)P，使△PAD為直角三角形？若存在，直接寫(xiě)出t的值；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)y=﹣x2+2x+3；（2）當(dāng)t=時(shí)，l有最大值，l最大=；（3）t=時(shí)，△PAD的面積的最大值為；（4）t=.【解析】試題分析：（1）利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題；（2）易知直線(xiàn)AD解析式為y=-x+3，設(shè)M點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則P（t，-t2+2t+3），M（t，-t+3），可得l=-t2+2t+3-（-t+3）=-t2+3t=-（t-）2+，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；（3）由S△PAD=×PM×（xD-xA）=PM，推出PM的值最大時(shí)，△PAD的面積最大；（4）如圖設(shè)AD的中點(diǎn)為K，設(shè)P（t，-t2+2t+3）．由△PAD是直角三角形，推出PK=AD，可得（t-）2+（-t2+2t+3-）2=×18，解方程即可解決問(wèn)題；試題解析：（1）把點(diǎn)B（﹣1，0），C（2，3）代入y=ax2+bx+3，則有，解得，∴拋物線(xiàn)的解析式為y=﹣x2+2x+3．（2）在y=﹣x2+2x+3中，令y=0可得0=﹣x2+2x+3，解得x=﹣1或x=3，∴D（3，0），且A（0，3），∴直線(xiàn)AD解析式為y=﹣x+3，設(shè)M點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+3），∵0＜t＜3，∴點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，∴l(xiāng)=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t=﹣（t﹣）2+，∴當(dāng)t=時(shí)，l有最大值，l最大=；（3）∵S△PAD=×PM×（xD﹣xA）=PM，∴PM的值最大時(shí)，△PAD的面積中點(diǎn)，最大值=×=．∴t=時(shí)，△PAD的面積的最大值為．（4）如圖設(shè)AD的中點(diǎn)為K，設(shè)P（t，﹣t2+2t+3）．∵△PAD是直角三角形，∴PK=AD，∴（t﹣）2+（﹣t2+2t+3﹣）2=×18，整理得t（t﹣3）（t2﹣t﹣1）=0，解得t=0或3或，∵點(diǎn)P在第一象限，∴t=.類(lèi)型二【確定三角形、四邊形的周長(zhǎng)的最值或符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)】【典例指引2】（2020·重慶初三期末）如圖，拋物線(xiàn)（）與雙曲線(xiàn)相交于點(diǎn)、，已知點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)在第三象限內(nèi)，且的面積為3（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.（1）求實(shí)數(shù)、、的值；（2）在該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)使得為等腰三角形？若存在請(qǐng)求出所有的點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.（3）在坐標(biāo)系內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)，恰使得，現(xiàn)要求在軸上找出點(diǎn)使得的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)求出的坐標(biāo)和周長(zhǎng)的最小值.【答案】（1），；（2）存在，，，，，；（3）【解析】【分析】（1）由點(diǎn)A在雙曲線(xiàn)上，可得k的值，進(jìn)而得出雙曲線(xiàn)的解析式．設(shè)()，過(guò)A作AP⊥x軸于P，BQ⊥y軸于Q，直線(xiàn)BQ和直線(xiàn)AP相交于點(diǎn)M．根據(jù)=3解方程即可得出k的值，從而得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，把A、B的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式即可得到結(jié)論；（2）拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為，設(shè)，則可得出；；．然后分三種情況討論即可；（3）設(shè)M(x，y)．由MO=MA=MB，可求出M的坐標(biāo)．作B關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'．連接B'M交y軸于Q．此時(shí)△BQM的周長(zhǎng)最小．用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算即可．【詳解】（1）由知：k=xy=1×4=4，∴．設(shè)()．過(guò)A作AP⊥x軸于P，BQ⊥y軸于Q，直線(xiàn)BQ和直線(xiàn)AP相交于點(diǎn)M，則S△AOP=S△BOQ=2．令：，整理得：，解得：，．∵m＜0，∴m=-2，故．把A、B帶入解出：，∴．（2）∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為．設(shè)，則，，．∵△POB為等腰三角形，∴分三種情況討論：①，即，解得：，∴，；②，即，解得：，∴，；③，即，解得：∴；（3）設(shè)．∵，，，∴，，．∵，∴解得：，∴．作B關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'坐標(biāo)為：(2，-2)．連接B'M交y軸于Q．此時(shí)△BQM的周長(zhǎng)最?。?MB'+MB．【名師點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題．考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、軸對(duì)稱(chēng)-最值問(wèn)題等．第（1）問(wèn)的關(guān)鍵是割補(bǔ)法；第（2）問(wèn)的關(guān)鍵是分類(lèi)討論；第（3）問(wèn)的關(guān)鍵是求出M的坐標(biāo)．【舉一反三】（2019·重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校初三）如圖1，已知拋物線(xiàn)y＝﹣x+3與x軸交于A和B兩點(diǎn)，（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求出直線(xiàn)BC的解析式．（2）M為線(xiàn)段BC上方拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)M作x軸的垂線(xiàn)交BC于H，過(guò)M作MQ⊥BC于Q，求出△MHQ周長(zhǎng)最大值并求出此時(shí)M的坐標(biāo)；當(dāng)△MHQ的周長(zhǎng)最大時(shí)在對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)R，使|AR﹣MR|最大，求出此時(shí)R的坐標(biāo)．（3）T為線(xiàn)段BC上一動(dòng)點(diǎn)，將△OCT沿邊OT翻折得到△OC′T，是否存在點(diǎn)T使△OC′T與△OBC的重疊部分為直角三角形，若存在請(qǐng)求出BT的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）y＝﹣x+3；（2）R（1，）；（3）BT＝2或BT＝．【解析】【分析】（1）由已知可求A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3），即可求BC的解析式；（2）由已知可得∠QMH＝∠CBO，則有QH＝QM，MH＝MQ，所以△MHQ周長(zhǎng)＝3QM，則求△MHQ周長(zhǎng)的最大值，即為求QM的最大值；設(shè)M（m，），過(guò)點(diǎn)M與BC直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)解析式為，交點(diǎn)，可求出，當(dāng)m＝2時(shí)，MQ有最大值；函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x＝1，作點(diǎn)M關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M'（0，3），連接AM'與對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)R，此時(shí)|AR﹣MR|＝|AR﹣M'R|＝AM'，|AR﹣MR|的最大值為AM'；求出AM'的直線(xiàn)解析式為，則可求；（3）有兩種情況：當(dāng)TC'∥OC時(shí)，GO⊥TC'；當(dāng)OT⊥BC時(shí)，分別求解即可．【詳解】解：（1）令y=0，即，解得，∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)∴A（﹣2，0），B（4，0），令x=0解得y=3，∴C（0，3），設(shè)BC所在直線(xiàn)的解析式為y=kx+3，將B點(diǎn)坐標(biāo)代入解得k=∴BC的解析式為y＝-x+3；（2）∵M(jìn)Q⊥BC，M作x軸，∴∠QMH＝∠CBO，∴tan∠QMH＝tan∠CBO＝，∴QH＝QM，MH＝MQ，∴△MHQ周長(zhǎng)＝MQ+QH+MH＝QM+QM+MQ＝3QM，則求△MHQ周長(zhǎng)的最大值，即為求QM的最大值；設(shè)M（m，），過(guò)點(diǎn)M與BC直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)解析式為，直線(xiàn)BC與其垂線(xiàn)相交的交點(diǎn)，∴，∴當(dāng)m＝2時(shí)，MQ有最大值，∴△MHQ周長(zhǎng)的最大值為，此時(shí)M（2，3），函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x＝1，作點(diǎn)M關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M'（0，3），連接AM'與對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)R，此時(shí)|AR﹣MR|＝|AR﹣M'R|＝AM'，∴|AR﹣MR|的最大值為AM'；∵AM'的直線(xiàn)解析式為y＝x+3，∴R（1，）；（3）①當(dāng)TC'∥OC時(shí)，GO⊥TC'，∵△OCT≌△OTC'，∴，∴∴BT＝2；②當(dāng)OT⊥BC時(shí)，過(guò)點(diǎn)T作TH⊥x軸，OT＝，∵∠BOT＝∠BCO，∴，∴OH＝，∴∴BT＝；綜上所述：BT＝2或BT＝．【點(diǎn)睛】本題是一道綜合題，考查了二次函數(shù)一次函數(shù)和三角形相關(guān)的知識(shí)，能夠充分調(diào)動(dòng)所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.類(lèi)型三【確定三角形、四邊形的面積最值或符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)】【典例指引3】（2019·甘肅中考真題）如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（1，0）、B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）若點(diǎn)P為拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，點(diǎn)F為對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，且以點(diǎn)A、B、P、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)E是二次函數(shù)第四象限圖象上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線(xiàn)，交直線(xiàn)BC于點(diǎn)D，求四邊形AEBD面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)．【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）點(diǎn)P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；（3）最大值為，E（，﹣）．【解析】【分析】（1）用交點(diǎn)式函數(shù)表達(dá)式，即可求解；（2）分當(dāng)AB為平行四邊形一條邊、對(duì)角線(xiàn)，兩種情況，分別求解即可；（3）利用S四邊形AEBD＝AB（yD﹣yE），即可求解．【詳解】解：（1）用交點(diǎn)式函數(shù)表達(dá)式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；故二次函數(shù)表達(dá)式為：y＝x2﹣4x+3；（2）①當(dāng)AB為平行四邊形一條邊時(shí)，如圖1，則AB＝PE＝2，則點(diǎn)P坐標(biāo)為（4，3），當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)時(shí)，即點(diǎn)C的位置，點(diǎn)A、B、P、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，故：點(diǎn)P（4，3）或（0，3）；②當(dāng)AB是四邊形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，如圖2，AB中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為2，其中點(diǎn)坐標(biāo)為：，即：＝2，解得：m＝2，故點(diǎn)P（2，﹣1）；故：點(diǎn)P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；（3）直線(xiàn)BC的表達(dá)式為：y＝﹣x+3，設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（x，x2﹣4x+3），則點(diǎn)D（x，﹣x+3），S四邊形AEBD＝AB（yD﹣yE）＝﹣x+3﹣x2+4x﹣3＝﹣x2+3x，∵﹣1＜0，故四邊形AEBD面積有最大值，當(dāng)x＝，其最大值為，此時(shí)點(diǎn)E（，﹣）．【點(diǎn)睛】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來(lái)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線(xiàn)段的長(zhǎng)度，從而求出線(xiàn)段之間的關(guān)系．【舉一反三】（2019·內(nèi)蒙古中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)與軸交于），兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接．（1）求該拋物線(xiàn)的解析式，并寫(xiě)出它的對(duì)稱(chēng)軸；（2）點(diǎn)為拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，連接，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）已知，若是拋物線(xiàn)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（其中），連接，求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．（4）若點(diǎn)為拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1），對(duì)稱(chēng)軸；（2）；（3）面積有最大值是，；（4）存在點(diǎn)使得以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，或或.【解析】【分析】（1）將點(diǎn)A（-1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+2即可；（2）過(guò)點(diǎn)D作DG⊥y軸于G，作DH⊥x軸于H，設(shè)點(diǎn)D（1，y），在Rt△CGD中，CD2=CG2+GD2=（2-y）2+1，在Rt△BHD中，BD2=BH2+HD2=4+y2，可以證明CD=BD，即可求y的值；（3）過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥y軸于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)F作直線(xiàn)FR⊥y軸于R，過(guò)點(diǎn)E作FP⊥FR于P，證明四邊形QRPE是矩形，根據(jù)S△CEF=S矩形QRPE-S△CRF-S△EFP，代入邊即可；（4）根據(jù)平行四邊形對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)可以得到存在點(diǎn)M使得以B，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)M（2，2）或M（4，-）或M（-2，-）；【詳解】解：（1）將點(diǎn)代入，可得，；對(duì)稱(chēng)軸；（2）如圖1：過(guò)點(diǎn)作軸于，作軸于，設(shè)點(diǎn)，，在中，，在中，，在中，，，；（3）如圖2：過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)軸于，過(guò)點(diǎn)作于，，四邊形是矩形，，，，當(dāng)時(shí)，面積有最大值是，此時(shí)；（4）存在點(diǎn)使得以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，設(shè)，①四邊形是平行四邊形時(shí)，②四邊形時(shí)平行四邊形時(shí)，，；③四邊形時(shí)平行四邊形時(shí)，，，；綜上所述：或或；【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)，及分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想.熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、靈活運(yùn)用勾股定理求邊長(zhǎng)、掌握平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【新題訓(xùn)練】1．如圖，直線(xiàn)y＝5x＋5交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C，過(guò)A，C兩點(diǎn)的二次函數(shù)y＝ax2＋4x＋c的圖象交x軸于另一點(diǎn)B.(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)連接BC，點(diǎn)N是線(xiàn)段BC上的動(dòng)點(diǎn)，作ND⊥x軸交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)D，求線(xiàn)段ND長(zhǎng)度的最大值；(3)若點(diǎn)H為二次函數(shù)y＝ax2＋4x＋c圖象的頂點(diǎn)，點(diǎn)M(4，m)是該二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)，在x軸，y軸上分別找點(diǎn)F，E，使四邊形HEFM的周長(zhǎng)最小，求出點(diǎn)F、E的坐標(biāo)．【答案】(1)y＝－x2＋4x＋5；(2)254;(3)F(137，0)，E(0，【解析】【分析】（1）先根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征由一次函數(shù)的表達(dá)式求出A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法可求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征由二次函數(shù)的表達(dá)式求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法可求一次函數(shù)BC的表達(dá)式，設(shè)ND的長(zhǎng)為d，N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為n，則N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-n+5，D點(diǎn)的坐標(biāo)為D（n，-n2+4n+5），根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式和二次函數(shù)的最值計(jì)算可求線(xiàn)段ND長(zhǎng)度的最大值；

（3）由題意可得二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為H（2，9），點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（4，5），作點(diǎn)H（2，9）關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)H1，可得點(diǎn)H1的坐標(biāo)，作點(diǎn)M（4，5）關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)HM1，可得點(diǎn)M1的坐標(biāo)連結(jié)H1M1分別交x軸于點(diǎn)F，y軸于點(diǎn)E，可得H1M1+HM的長(zhǎng)度是四邊形HEFM的最小周長(zhǎng)，再根據(jù)待定系數(shù)法可求直線(xiàn)H1M1解析式，根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求點(diǎn)F、E的坐標(biāo)．【詳解】解：(1)∵直線(xiàn)y＝5x＋5交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C，∴A(－1，0)，C(0，5)，∵二次函數(shù)y＝ax2＋4x＋c的圖象過(guò)A，C兩點(diǎn)，∴0＝解得a＝-1∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝－x2＋4x＋5；(2)如解圖①，第2題解圖①∵點(diǎn)B是二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)，∴由二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝－x2＋4x＋5得，點(diǎn)B的坐標(biāo)B(5，0)，設(shè)直線(xiàn)BC解析式為y＝kx＋b，∵直線(xiàn)BC過(guò)點(diǎn)B(5，0)，C(0，5)，∴5k+b＝0解得k＝-1∴直線(xiàn)BC解析式為y＝－x＋5，設(shè)ND的長(zhǎng)為d，N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為n，則N點(diǎn)的坐標(biāo)為(n，－n＋5)，D點(diǎn)的坐標(biāo)為(n，－n2＋4n＋5)，則d＝|－n2＋4n＋5－(－n＋5)|，由題意可知：－n2＋4n＋5＞－n＋5，∴d＝－n2＋4n＋5－(－n＋5)＝－n2＋5n＝－(n－52)2＋25∴當(dāng)n＝52時(shí)，線(xiàn)段ND長(zhǎng)度的最大值是25（3）∵點(diǎn)M(4，m)在拋物線(xiàn)y＝－x2＋4x＋5上，∴m＝5，∴M(4，5)．∵拋物線(xiàn)y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為H(2，9)，如解圖②，作點(diǎn)H(2，9)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)H1，則點(diǎn)H1的坐標(biāo)為H1(－2，9)；作點(diǎn)M(4，5)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M1，則點(diǎn)M1的坐標(biāo)為M1(4，－5)，連接H1M1分別交x軸于點(diǎn)F，y軸于點(diǎn)E，∴H1M1＋HM的長(zhǎng)度是四邊形HEFM的最小周長(zhǎng)，則點(diǎn)F，E即為所求的點(diǎn)．設(shè)直線(xiàn)H1M1的函數(shù)表達(dá)式為y＝mx＋n，∵直線(xiàn)H1M1過(guò)點(diǎn)H1(－2，9)，M1(4，－5)，∴9=-2m+n-5=4m+n解得m=-7∴y＝－73x＋13∴當(dāng)x＝0時(shí)，y＝133，即點(diǎn)E坐標(biāo)為(0，13當(dāng)y＝0時(shí)，x＝137，即點(diǎn)F坐標(biāo)為(13故所求點(diǎn)F，E的坐標(biāo)分別為(137，0)，(0，132．（2019·江蘇中考真題）如圖，已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合），直線(xiàn)l是經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的一條直線(xiàn)，把△ABC沿直線(xiàn)l折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B’.（1）如圖1，當(dāng)PB=4時(shí)，若點(diǎn)B’恰好在AC邊上，則AB’的長(zhǎng)度為_(kāi)____；（2）如圖2，當(dāng)PB=5時(shí)，若直線(xiàn)l//AC，則BB’的長(zhǎng)度為；（3）如圖3，點(diǎn)P在AB邊上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若直線(xiàn)l始終垂直于AC，△ACB’的面積是否變化？若變化，說(shuō)明理由；若不變化，求出面積；（4）當(dāng)PB=6時(shí)，在直線(xiàn)l變化過(guò)程中，求△ACB’面積的最大值.【答案】（1）4；（2）5；（3）面積不變，S△ACB’=；（4）24+4【解析】【分析】(1)證明△APB′是等邊三角形即可解決問(wèn)題；(2)如圖2中，設(shè)直線(xiàn)l交BC于點(diǎn)E，連接BB′交PE于O，證明△PEB是等邊三角形，求出OB即可解決問(wèn)題；(3)如圖3中，結(jié)論：面積不變，證明BB′//AC即可；(4)如圖4中，當(dāng)PB′⊥AC時(shí)，△ACB′的面積最大，設(shè)直線(xiàn)PB′交AC于點(diǎn)E，求出B′E即可解決問(wèn)題.【詳解】(1)如圖1，∵△ABC為等邊三角形，∴∠A=60°，AB=BC=CA=8，∵PB=4，∴PB′=PB=PA=4，∵∠A=60°，∴△APB′是等邊三角形，∴AB′=AP=4，故答案為4；(2)如圖2，設(shè)直線(xiàn)l交BC于點(diǎn)E，連接BB′交PE于O，∵PE∥AC，∴∠BPE=∠A=60°，∠BEP=∠C=60°，∴△PEB是等邊三角形，∵PB=5，B、B′關(guān)于PE對(duì)稱(chēng)，∴BB′⊥PE，BB′=2OB，∴OB=PB·sin60°=，∴BB′=5，故答案為5；(3)如圖3，結(jié)論：面積不變.過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC于E，則有BE=AB·sin60°=，∴S△ABC==16，∵B、B′關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，∴BB′⊥直線(xiàn)l，∵直線(xiàn)l⊥AC，∴AC//BB′，∴S△ACB’=S△ABC=16；(4)如圖4，當(dāng)B′P⊥AC時(shí)，△ACB′的面積最大，設(shè)直線(xiàn)PB′交AC于E，在Rt△APE中，PA=2，∠PAE=60°，∴PE=PA·sin60°=，∴B′E=B′P+PE=6+，∴S△ACB最大值=×(6+)×8=24+4.【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)變換，解直角三角形，平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)等知識(shí)，理解題意，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.3．（2019·湖南中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形ABCD的邊AB＝4，BC＝6．若不改變矩形ABCD的形狀和大小，當(dāng)矩形頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上左右移動(dòng)時(shí)，矩形的另一個(gè)頂點(diǎn)D始終在y軸的正半軸上隨之上下移動(dòng)．(1)當(dāng)∠OAD＝30°時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)設(shè)AD的中點(diǎn)為M，連接OM、MC，當(dāng)四邊形OMCD的面積為時(shí)，求OA的長(zhǎng)；(3)當(dāng)點(diǎn)A移動(dòng)到某一位置時(shí)，點(diǎn)C到點(diǎn)O的距離有最大值，請(qǐng)直接寫(xiě)出最大值，并求此時(shí)cos∠OAD的值．【答案】(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，3+2)；(2)OA＝3；(3)OC的最大值為8，cos∠OAD＝．【解析】【分析】(1)作CE⊥y軸，先證∠CDE＝∠OAD＝30°得CE＝CD＝2，DE＝，再由∠OAD＝30°知OD＝AD＝3，從而得出點(diǎn)C坐標(biāo)；(2)先求出S△DCM＝6，結(jié)合S四邊形OMCD＝知S△ODM＝，S△OAD＝9，設(shè)OA＝x、OD＝y(tǒng)，據(jù)此知x2+y2＝36，xy＝9，得出x2+y2＝2xy，即x＝y(tǒng)，代入x2+y2＝36求得x的值，從而得出答案；(3)由M為AD的中點(diǎn)，知OM＝3，CM＝5，由OC≤OM+CM＝8知當(dāng)O、M、C三點(diǎn)在同一直線(xiàn)時(shí)，OC有最大值8，連接OC，則此時(shí)OC與AD的交點(diǎn)為M，ON⊥AD，證△CMD∽△OMN得，據(jù)此求得MN＝，ON＝，AN＝AM﹣MN＝，再由OA＝及cos∠OAD＝可得答案．【詳解】(1)如圖1，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥y軸于點(diǎn)E，∵矩形ABCD中，CD⊥AD，∴∠CDE+∠ADO＝90°，又∵∠OAD+∠ADO＝90°，∴∠CDE＝∠OAD＝30°，∴在Rt△CED中，CE＝CD＝2，DE＝＝2，在Rt△OAD中，∠OAD＝30°，∴OD＝AD＝3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，3+2)；(2)∵M(jìn)為AD的中點(diǎn)，∴DM＝3，S△DCM＝6，又S四邊形OMCD＝，∴S△ODM＝，∴S△OAD＝9，設(shè)OA＝x、OD＝y(tǒng)，則x2+y2＝36，xy＝9，∴x2+y2＝2xy，即x＝y(tǒng)，將x＝y(tǒng)代入x2+y2＝36得x2＝18，解得x＝3(負(fù)值舍去)，∴OA＝3；(3)OC的最大值為8，如圖2，M為AD的中點(diǎn)，∴OM＝3，CM＝＝5，∴OC≤OM+CM＝8，當(dāng)O、M、C三點(diǎn)在同一直線(xiàn)時(shí)，OC有最大值8，連接OC，則此時(shí)OC與AD的交點(diǎn)為M，過(guò)點(diǎn)O作ON⊥AD，垂足為N，∵∠CDM＝∠ONM＝90°，∠CMD＝∠OMN，∴△CMD∽△OMN，∴，即，解得MN＝，ON＝，∴AN＝AM﹣MN＝，在Rt△OAN中，OA＝，∴cos∠OAD＝．【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．4.（2018·江蘇中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=﹣x+4的圖象與x軸和y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在線(xiàn)段AO上以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)O作勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)O停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)Q，以線(xiàn)段PQ為邊向上作正方形PQMN．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)t=秒時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是；（2）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)正方形PQMN與△AOB重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)表達(dá)式；（3）若正方形PQMN對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)為T(mén)，請(qǐng)直接寫(xiě)出在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中OT+PT的最小值．【答案】（1）（4，0）；（2）①當(dāng)0＜t≤1時(shí)，S=t2；②當(dāng)1＜t≤時(shí)，S=﹣t2+18t；③當(dāng)＜t≤2時(shí)，S=﹣3t2+12；（3）OT+PT的最小值為．【解析】【分析】（1）先確定出點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而求出AP，利用對(duì)稱(chēng)性即可得出結(jié)論；（2）分三種情況，①利用正方形的面積減去三角形的面積，②利用矩形的面積減去三角形的面積，③利用梯形的面積，即可得出結(jié)論；（3）先確定出點(diǎn)T的運(yùn)動(dòng)軌跡，進(jìn)而找出OT+PT最小時(shí)的點(diǎn)T的位置，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）令y=0，∴﹣x+4=0，∴x=6，∴A（6，0），當(dāng)t=秒時(shí)，AP=3×=1，∴OP=OA﹣AP=5，∴P（5，0），由對(duì)稱(chēng)性得，Q（4，0）；（2）當(dāng)點(diǎn)Q在原點(diǎn)O時(shí)，OQ=6，∴AP=OQ=3，∴t=3÷3=1，①當(dāng)0＜t≤1時(shí)，如圖1，令x=0，∴y=4，∴B（0，4），∴OB=4，∵A（6，0），∴OA=6，在Rt△AOB中，tan∠OAB=，由運(yùn)動(dòng)知，AP=3t，∴P（6﹣3t，0），∴Q（6﹣6t，0），∴PQ=AP=3t，∵四邊形PQMN是正方形，∴MN∥OA，PN=PQ=3t，在Rt△APD中，tan∠OAB=，∴PD=2t，∴DN=t，∵M(jìn)N∥OA∴∠DCN=∠OAB，∴tan∠DCN=，∴CN=t，∴S=S正方形PQMN﹣S△CDN=（3t）2﹣t×t=t2；②當(dāng)1＜t≤時(shí)，如圖2，同①的方法得，DN=t，CN=t，∴S=S矩形OENP﹣S△CDN=3t×（6﹣3t）﹣t×t=﹣t2+18t；③當(dāng)＜t≤2時(shí)，如圖3，S=S梯形OBDP=（2t+4）（6﹣3t）=﹣3t2+12；（3）如圖4，由運(yùn)動(dòng)知，P（6-3t，0），Q（6-6t，0），

∴M（6-6t，3t），

∵T是正方形PQMN的對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)，

∴T（6-），

∴點(diǎn)T是直線(xiàn)y=-x+2上的一段線(xiàn)段，（-3≤x＜6），

同理：點(diǎn)N是直線(xiàn)AG：y=-x+6上的一段線(xiàn)段，（0≤x≤6），

∴G（0，6），

∴OG=6，

∵A（6，0），

∴AG=6，在Rt△ABG中，OA=6=OG，

∴∠OAG=45°，

∵PN⊥x軸，

∴∠APN=90°，

∴∠ANP=45°，

∴∠TNA=90°，

即：TN⊥AG，

∵T正方形PQMN的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，

∴TN=TP，

∴OT+TP=OT+TN，

∴點(diǎn)O，T，N在同一條直線(xiàn)上（點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合時(shí)），且ON⊥AG時(shí)，OT+TN最小，

即：OT+TN最小，

∵S△OAG=OA×OG=AG×ON，

∴ON==．

即：OT+PT的最小值為3【點(diǎn)睛】此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了正方形的面積，梯形，三角形的面積公式，正方形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，用分類(lèi)討論的思想解決問(wèn)題是解本題的關(guān)鍵，找出點(diǎn)T的位置是解本題（3）的難點(diǎn)．5.（2020·江蘇初三期末）已知二次函數(shù)的圖象和軸交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線(xiàn)上方的拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn).(1)求直線(xiàn)的解析式.(2)當(dāng)是拋物線(xiàn)頂點(diǎn)時(shí)，求面積.(3)在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求面積的最大值.【答案】(1)；(2)3；(3)面積的最大值為.【解析】【分析】（1）由題意分別將x=0、y=0代入二次函數(shù)解析式中求出點(diǎn)C、A的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線(xiàn)AC的解析式；（2）由題意先根據(jù)二次函數(shù)解析式求出頂點(diǎn)，進(jìn)而利用割補(bǔ)法求面積；（3）根據(jù)題意過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)并設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為()，則點(diǎn)的坐標(biāo)為進(jìn)而進(jìn)行分析.【詳解】解：(1)分別將x=0、y=0代入二次函數(shù)解析式中求出點(diǎn)C、A的坐標(biāo)為；；將；代入，得到直線(xiàn)的解析式為.(2)由，將其化為頂點(diǎn)式為，可知頂點(diǎn)P為，如圖P為頂點(diǎn)時(shí)連接PC并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)G，則有，將P點(diǎn)和C點(diǎn)代入求出PC的解析式為，解得G為，所有=3；(3)過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn).設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為()，則點(diǎn)的坐標(biāo)為∴，當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為.∵，∴面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等腰三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)以及解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)解析式以及利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行綜合分析.6．（2020·江蘇初三期末）如圖，拋物線(xiàn)交軸于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)、.（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)是直線(xiàn)上方拋物線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)，連接，當(dāng)直線(xiàn)與直線(xiàn)的一個(gè)夾角等于的3倍時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）；（2），點(diǎn)坐標(biāo)為；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為，【解析】【分析】（1）利用B（5，0）用待定系數(shù)法求拋物線(xiàn)解析式；（2）作PQ∥y軸交BC于Q，根據(jù)求解即可；（3）作∠CAN=∠NAM1=∠ACB，則∠AM1B=3∠ACB,則NAM1∽ACM1,通過(guò)相似的性質(zhì)來(lái)求點(diǎn)M1的坐標(biāo)；作AD⊥BC于D,作M1關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M2,則∠AM2C=3∠ACB,根據(jù)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)特點(diǎn)可求M2的坐標(biāo).【詳解】（1）把代入得.∴；（2）作PQ∥y軸交BC于Q，設(shè)點(diǎn)，則∵∴OB=5，∵Q在BC上，∴Q的坐標(biāo)為（x，x-5），∴PQ==，∴==∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，∴點(diǎn)坐標(biāo)為.（3）如圖1，作∠CAN=∠NAM1=∠ACB，則∠AM1B=3∠ACB,∵∠CAN=∠NAM1,∴AN=CN,∵=-(x-1)(x-5),∴A的坐標(biāo)為（1，0），C的坐標(biāo)為（0，-5），設(shè)N的坐標(biāo)為（a,a-5），則∴，∴a=,∴N的坐標(biāo)為（,）,∴AN2==，AC2=26，∴，∵∠NAM1=∠ACB，∠NM1A=∠CM1A，∴NAM1∽ACM1,∴,∴,設(shè)M1的坐標(biāo)為（b,b-5），則∴,∴b1=，b2=6(不合題意，舍去)，∴M1的坐標(biāo)為，如圖2，作AD⊥BC于D,作M1關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M2,則∠AM2C=3∠ACB,易知ADB是等腰直角三角形，可得點(diǎn)D的坐標(biāo)是（3，-2），∴M2橫坐標(biāo)=，M2縱坐標(biāo)=，∴M2的坐標(biāo)是，綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)是或.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與幾何圖形的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，會(huì)運(yùn)用分類(lèi)討論的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．7.（2019·石家莊市第四十一中學(xué)初三）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝x（x﹣b）﹣12（1）若點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)x＝1對(duì)稱(chēng)，求b的值；（2）若OB＝OA，求△BCP的面積；（3）當(dāng)﹣1≤x≤1時(shí)，該拋物線(xiàn)上最高點(diǎn)與最低點(diǎn)縱坐標(biāo)的差為h，求出h與b的關(guān)系；若h有最大值或最小值，直接寫(xiě)出這個(gè)最大值或最小值．【答案】（1）2（2）2764【解析】【分析】（1）由點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)x＝1對(duì)稱(chēng)，可得出拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝1，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出b值；（2）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，結(jié)合OA＝OB可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，由點(diǎn)B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出拋物線(xiàn)的解析式，由拋物線(xiàn)的解析式利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用配方法可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用三角形的面積公式即可求出△BCP的面積；（3）分b≥2，0≤b＜2，﹣2＜b＜0和b≤﹣2四種情況考慮，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征結(jié)合二次函數(shù)的圖象找出h關(guān)于b的關(guān)系式，再找出h的最值即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)x＝1對(duì)稱(chēng)，y＝x（x﹣b）﹣12＝x2﹣bx﹣1∴﹣-b2解得：b＝2．（2）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝x2﹣bx﹣12＝﹣1∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，﹣12又∵OB＝OA，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣12將B（﹣12，0）代入y＝x2﹣bx﹣12，得：0＝14+1解得：b＝12∴拋物線(xiàn)的解析式為y＝x2﹣12x﹣1∵y＝x2﹣12x﹣12＝（x﹣14）2∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（14，﹣9當(dāng)y＝0時(shí)，x2﹣12x﹣1解得：x1＝﹣12，x2∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0）．∴S△BCP＝12×[1﹣（﹣12）]×|﹣916（3）y＝x2﹣bx﹣12＝（x﹣b2）2﹣12當(dāng)b2y最大＝b+12，y最?。僵乥+1∴h＝2b；當(dāng)0≤b2y最大＝b+12，y最小＝﹣12﹣∴h＝1+b+b24＝（1+b2當(dāng)﹣1＜b2y最大＝12﹣b，y最?。僵?2﹣∴h＝1﹣b+b24＝（1﹣b2當(dāng)b2y最大＝﹣b+12，y最?。絙+1h＝﹣2b．綜上所述：h＝2b(b?2)1+【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、三角形的面積、二次函數(shù)圖象以及二次函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是：（1）利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求出b的值；（2）利用二次函數(shù)圖象上的坐標(biāo)特征及配方法，求出點(diǎn)B，C，P的坐標(biāo)；（3）分b≥2，0≤b＜2，﹣2＜b＜0和b≤﹣2四種情況，找出h關(guān)于b的關(guān)系式．8.（2020·江西初三期中）如圖①，已知拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（-3，0），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）設(shè)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)M，問(wèn)在對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P，使△CMP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）如圖②，若點(diǎn)E為第二象限拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE、CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）存在，P（-1，）或P（-1，-）或P（-1，6）或P（-1，）；（3）當(dāng)a=-時(shí)，S四邊形BOCE最大，且最大值為，此時(shí)，點(diǎn)E坐標(biāo)為（-，）．【解析】【分析】（1）已知拋物線(xiàn)過(guò)A、B兩點(diǎn)，可將兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式中，用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；（2）可根據(jù)（1）的函數(shù)解析式得出拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，也就得出了M點(diǎn)的坐標(biāo)，由于C是拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)，因此C的坐標(biāo)為（0，3），根據(jù)M、C的坐標(biāo)可求出CM的距離．然后分三種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)CP=PM時(shí)，P位于CM的垂直平分線(xiàn)上．求P點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)鍵是求P的縱坐標(biāo)，過(guò)P作PQ⊥y軸于Q，如果設(shè)PM=CP=x，那么直角三角形CPQ中CP=x，OM的長(zhǎng)，可根據(jù)M的坐標(biāo)得出，CQ=3-x，因此可根據(jù)勾股定理求出x的值，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)與M的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)為x，由此可得出P的坐標(biāo)．②當(dāng)CM=MP時(shí)，根據(jù)CM的長(zhǎng)即可求出P的縱坐標(biāo)，也就得出了P的坐標(biāo)（要注意分上下兩點(diǎn)）．③當(dāng)CM=CP時(shí)，因?yàn)镃的坐標(biāo)為（0，3），那么直線(xiàn)y=3必垂直平分PM，因此P的縱坐標(biāo)是6，由此可得出P的坐標(biāo)；（3）由于四邊形BOCE不是規(guī)則的四邊形，因此可將四邊形BOCE分割成規(guī)則的圖形進(jìn)行計(jì)算，過(guò)E作EF⊥x軸于F，S四邊形BOCE=S△BFE+S梯形FOCE．直角梯形FOCE中，F(xiàn)O為E的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值，EF為E的縱坐標(biāo)，已知C的縱坐標(biāo)，就知道了OC的長(zhǎng)．在△BFE中，BF=BO-OF，因此可用E的橫坐標(biāo)表示出BF的長(zhǎng)．如果根據(jù)拋物線(xiàn)設(shè)出E的坐標(biāo)，然后代入上面的線(xiàn)段中，即可得出關(guān)于四邊形BOCE的面積與E的橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得四邊形BOCE的最大值及對(duì)應(yīng)的E的橫坐標(biāo)的值．即可求出此時(shí)E的坐標(biāo)．【詳解】(1)∵拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(?3,0)，∴解得：.∴所求拋物線(xiàn)解析式為：y=?x2?2x+3；(2)∵拋物線(xiàn)解析式為：y=?x2?2x+3，∴其對(duì)稱(chēng)軸為，∴設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(?1,a)，當(dāng)x=0時(shí)，y=3，∴C(0,3),M(?1,0)∴當(dāng)CP=PM時(shí),(?1)2+(3?a)2=a2,解得a=，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：；∴當(dāng)CM=PM時(shí),(?1)2+32=a2,解得，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：或；∴當(dāng)CM=CP時(shí),由勾股定理得：(?1)2+32=(?1)2+(3?a)2，解得a=6，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：P4(?1,6).綜上所述存在符合條件的點(diǎn)P,其坐標(biāo)為或或P(?1,6)或；(3)過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F,設(shè)E(a,?a2?2a+3)(?3<a<0)∴EF=?a2?2a+3，BF=a+3，OF=?a∴∴當(dāng)a=時(shí),S四邊形BOCE最大,且最大值為.此時(shí),點(diǎn)E坐標(biāo)為.9．（2020·山東初三期末）如圖，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過(guò)點(diǎn)C（0，1），頂點(diǎn)為Q（2，3），點(diǎn)D在x軸正半軸上，且OD=OC．（1）求直線(xiàn)CD的解析式；（2）求拋物線(xiàn)的解析式；（3）將直線(xiàn)CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°所得直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于另一點(diǎn)E，求證：△CEQ∽△CDO；（4）在（3）的條件下，若點(diǎn)P是線(xiàn)段QE上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是線(xiàn)段OD上的動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：在P點(diǎn)和F點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中，△PCF的周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)y=﹣x+1;(2)y=x2+2x+1;(3)證明見(jiàn)解析;(4)存在,,理由見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)解析式;（2）利用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)的解析式;（3）關(guān)鍵是證明△CEQ與△CDO均為等腰直角三角形;（4）如答圖②所示，作點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)QE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C″，連接C′C″，交OD于點(diǎn)F，交QE于點(diǎn)P，則△PCF即為符合題意的周長(zhǎng)最小的三角形，由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可知，△PCF的周長(zhǎng)等于線(xiàn)段C′C″的長(zhǎng)度．利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可以證明此時(shí)△PCF的周長(zhǎng)最?。绱饒D③所示，利用勾股定理求出線(xiàn)段C′C″的長(zhǎng)度，即△PCF周長(zhǎng)的最小值．【詳解】解：（1）∵C（0，1），OD=OC，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）．設(shè)直線(xiàn)CD的解析式為y=kx+b（k≠0），將C（0，1），D（1，0）代入得：，解得：∴直線(xiàn)CD的解析式為：y=﹣x+1．（2）設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a（x﹣2）2+3，將C（0，1）代入得：1=a×（﹣2）2+3，解得a=．∴y=（x﹣2）2+3=x2+2x+1．（3）證明：由題意可知，∠ECD=45°，∵OC=OD，且OC⊥OD，∴△OCD為等腰直角三角形，∠ODC=45°．∴∠ECD=∠ODC，∴CE∥x軸．∴點(diǎn)C、E關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸（直線(xiàn)x=2）對(duì)稱(chēng)，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，1）．如答圖①所示，設(shè)對(duì)稱(chēng)軸（直線(xiàn)x=2）與CE交于點(diǎn)F，則F（2，1）．∴ME=CM=QM=2．∴△QME與△QMC均為等腰直角三角形．∴∠QEC=∠QCE=45°．又∵△OCD為等腰直角三角形，∴∠ODC=∠OCD=45°．∴∠QEC=∠QCE=∠ODC=∠OCD=45°．∴△CEQ∽△CDO．（4）存在．如答圖②所示，作點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)QE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C″，連接C′C″，交OD于點(diǎn)F，交QE于點(diǎn)P，則△PCF即為符合題意的周長(zhǎng)最小的三角形，由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可知，△PCF的周長(zhǎng)等于線(xiàn)段C′C″的長(zhǎng)度．證明如下：不妨在線(xiàn)段OD上取異于點(diǎn)F的任一點(diǎn)F′，在線(xiàn)段QE上取異于點(diǎn)P的任一點(diǎn)P′，連接F′C″，F(xiàn)′P′，P′C′．由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可知，△P′CF′的周長(zhǎng)=F′C″+F′P′+P′C′．而F′C″+F′P′+P′C′是點(diǎn)C′，C″之間的折線(xiàn)段，由兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可知：F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″，即△P′CF′的周長(zhǎng)大于△PCE的周長(zhǎng)．）如答圖③所示，連接C′E，∵C，C′關(guān)于直線(xiàn)QE對(duì)稱(chēng)，△QCE為等腰直角三角形，∴△QC′E為等腰直角三角形．∴△CEC′為等腰直角三角形．∴點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（4，5）．∵C，C″關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，∴點(diǎn)C″的坐標(biāo)為（﹣1，0）．過(guò)點(diǎn)C′作C′N(xiāo)⊥y軸于點(diǎn)N，則NC′=4，NC″=4+1+1=6，在Rt△C′N(xiāo)C″中，由勾股定理得：．綜上所述，在P點(diǎn)和F點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中，△PCF的周長(zhǎng)存在最小值，最小值為．【點(diǎn)睛】本題是中考?jí)狠S題，綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、相似三角形、等腰直角三角形、勾股定理、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)等重要知識(shí)點(diǎn)，涉及考點(diǎn)較多，有一點(diǎn)的難度．本題難點(diǎn)在于第（4）問(wèn)，如何充分利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)確定△PCF周長(zhǎng)最小時(shí)的幾何圖形，是解答本題的關(guān)鍵．10．（2020·盤(pán)錦市雙臺(tái)子區(qū)第一中學(xué)初三月考）如圖①,已知拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，3)、B（1，0），其對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)l：x=2，過(guò)點(diǎn)A作AC∥x軸交拋物線(xiàn)于點(diǎn)C，∠AOB的平分線(xiàn)交線(xiàn)段AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)其橫坐標(biāo)為m.（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）若動(dòng)點(diǎn)P在直線(xiàn)OE下方的拋物線(xiàn)上，連結(jié)PE、PO，當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形AOPE面積最大，并求出其最大值；（3）如圖②，F(xiàn)是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸l上的一點(diǎn)，在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P使△POF成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）當(dāng)m=時(shí)，四邊形AOPE面積最大，最大值為.（3）P點(diǎn)的坐標(biāo)為：P1（，），P2（，），P3（，），P4（，）.【解析】分析：（1）利用對(duì)稱(chēng)性可得點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用交點(diǎn)式可得拋物線(xiàn)的解析式；（2）設(shè)P（m，m2-4m+3），根據(jù)OE的解析式表示點(diǎn)G的坐標(biāo)，表示PG的長(zhǎng)，根據(jù)面積和可得四邊形AOPE的面積，利用配方法可得其最大值；（3）存在四種情況：如圖3，作輔助線(xiàn)，構(gòu)建全等三角形，證明△OMP≌△PNF，根據(jù)OM=PN列方程可得點(diǎn)P的坐標(biāo)；同理可得其他圖形中點(diǎn)P的坐標(biāo)．詳解：（1）如圖1，設(shè)拋物線(xiàn)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，由對(duì)稱(chēng)性得：D（3，0），設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為：y=a（x-1）（x-3），把A（0，3）代入得：3=3a，a=1，∴拋物線(xiàn)的解析式；y=x2-4x+3；（2）如圖2，設(shè)P（m，m2-4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠AOE=45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE=OA=3，∴E（3，3），易得OE的解析式為：y=x，過(guò)P作PG∥y軸，交OE于點(diǎn)G，∴G（m，m），∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，∴S四邊形AOPE=S△AOE+S△POE，=×3×3+PG?AE，=+×3×（-m2+5m-3），=-m2+m，=（m-）2+，∵-＜0，∴當(dāng)m=時(shí)，S有最大值是；（3）如圖3，過(guò)P作MN⊥y軸，交y軸于M，交l于N，∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，易得△OMP≌△PNF，∴OM=PN，∵P（m，m2-4m+3），則-m2+4m-3=2-m，解得：m=或，∴P的坐標(biāo)為（，）或（，）；如圖4，過(guò)P作MN⊥x軸于N，過(guò)F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN=FM，則-m2+4m-3=m-2，解得：x=或；P的坐標(biāo)為（，）或（，）；綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是：（，）或（，）或（，）或（，）．點(diǎn)睛：本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)以及解一元二次方程的方法，解第（2）問(wèn)時(shí)需要運(yùn)用配方法，解第（3）問(wèn)時(shí)需要運(yùn)用分類(lèi)討論思想和方程的思想解決問(wèn)題．11．（2020·四川初三）如圖，一次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的解析式（2）如圖1，已知點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，作射線(xiàn)BD，點(diǎn)Q為線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作軸于點(diǎn)M，作于點(diǎn)N，過(guò)Q作軸交拋物線(xiàn)于點(diǎn)P，當(dāng)QM與QN的積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，連接AP，若點(diǎn)E為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）；（3）或【解析】【分析】（1）求出A、B的坐標(biāo)，設(shè)二次函數(shù)解析式為，把A（0，2）代入即可得出結(jié)論；（2）先求出D的坐標(biāo)和直線(xiàn)BD的解析式，過(guò)D作DT⊥x軸于T，可求得∠DBO=45°．設(shè)Q（m，m+2），則G（m，-m+4），MQ=m．設(shè)∠ABO=α，則∠NBQ=45°－α，∠MQB=180°－α．證明ΔGQN為等腰直角三角形，表示出NQ，MQ?NQ，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可；（3）如圖，過(guò)A作AH⊥PE于點(diǎn)H，解Rt△APH，得到AH=1，PH=2．設(shè)H（m，n），利用兩點(diǎn)間距離公式可求出H的坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．【詳解】（1）在中，令x=0，得y=2，∴A（0，2）；令y=0，得，解得：x=4，∴B（4，0）．設(shè)二次函數(shù)解析式為，將A（0，2）代入得：解得：，∴．（2）∵點(diǎn)D（1，n）在拋物線(xiàn)上，∴n==3，∴D（1，3）．設(shè)直線(xiàn)BD的解析式為y=kx+b，則，解得：，∴直線(xiàn)BD的解析式為：y=-x+4．過(guò)D作DT⊥x軸于T，則OT=1，DT=3．∵OB=4，∴BT=OB-OT=4-1=3，∴DT=BT，∴∠DBO=45°．設(shè)Q（m，m+2），則G（m，-m+4），MQ=m．設(shè)∠ABO=α，則∠NBQ=45°－α∠MQB=180°－α．又∵∠PQM=90°，∠NQB=90°－（45°－α）=45°+α，∴∠GQN=360°－90°－（180°－α）－（45°+α）=45°，∴ΔGQN為等腰直角三角形，∴NQ=，∴MQ?NQ=．當(dāng)m=2時(shí)，QM?QN最大，此時(shí)P（2，3）．（3）如圖，過(guò)A作AH⊥PE于點(diǎn)H，其中，∠APE=∠ABO．又A（0，2），P（2，3），，∴，∴PH=2AH．∵AP=，，∴，∴AH=1，PH=2．設(shè)H（m，n），則，，解得：；，∴，．①易求直線(xiàn)PH的解析式為：令解得：（舍）∴；②易求直線(xiàn)PH1的解析式為：．令，解得：，∴．綜上所述：符合題意的E點(diǎn)坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題．考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的最值、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)．靈活運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．12．（2019·廣東初三）如圖，已知拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c與x軸交于原點(diǎn)O和點(diǎn)A（6，0），拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為B．（1）求該拋物線(xiàn)的解析式和頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）若動(dòng)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)長(zhǎng)度單位的速度沿線(xiàn)段OB運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．問(wèn)當(dāng)t為何值時(shí)，△OPA是直角三角形？（3）若同時(shí)有一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以2個(gè)長(zhǎng)度單位的速度沿線(xiàn)段AO運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P、M其中一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），連接MP，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ABPM的面積最小？并求此最小值．【答案】（1）y＝﹣x2+2x，（3，3）；（2）t＝3時(shí)，△OPA是直角三角形；（3）當(dāng)t＝時(shí)，四邊形ABPM的面積取最小值，最小值為【解析】【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)O，A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出二次函數(shù)的解析式，再將二次函數(shù)解析式由一般式變形為頂點(diǎn)式，即可得出頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）由點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線(xiàn)OB的解析式，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，0），由tan∠POC＝可得出∠POC＝60°，結(jié)合OA的值可找出當(dāng)∠APO＝90°時(shí)OP的長(zhǎng)，由點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為1可求出此時(shí)t的值；（3）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t時(shí)，OP＝t，AM＝2t，PC＝t，PC＝t，OM＝6﹣2t，結(jié)合點(diǎn)P，M的運(yùn)動(dòng)速度可得出0≤t≤3，由S四邊形ABPM＝S△ABO﹣S△POM可得出四邊形ABPM的面積關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問(wèn)題．【詳解】解：（1）將O（0，0），A（6，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴該拋物線(xiàn)的解析式為y＝﹣x2+2x．∵y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣3）2+3，∴頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，3）．（2）設(shè)直線(xiàn)OB的解析式為y＝kx，將B（3，3）代入y＝kx，得：3＝3k，解得：k＝，∴直線(xiàn)OB的解析式為y＝x．過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C，如圖1所示．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，0）．∵tan∠POC＝＝，∴∠POC＝60°．當(dāng)∠APO＝90°，則cos∠POC＝＝，∴OP＝3．∵OP＝1×t＝3，∴t＝3．（3）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t時(shí)，OP＝t，AM＝2t，PC＝t，PC＝t，OM＝6﹣2t．∵當(dāng)P、M其中一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，∴0≤t≤3．S四邊形ABPM＝S△ABO﹣S△POM，＝?OA?yB﹣?OM?PC，＝×6×3﹣×（6﹣2t）×t，＝t2﹣t+9，＝（t﹣）2+．∵＞0，∴當(dāng)t＝時(shí)，四邊形ABPM的面積取最小值，最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、解直角三角形、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、三角形的面積以及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；（2）通過(guò)解直角三角形找出當(dāng)∠APO=90°時(shí)OP的長(zhǎng)；（3）利用分割圖形求面積法，找出四邊形ABPM的面積關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式.13．（2019·山東初三期中）如圖，已知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A（﹣3，0），B（0，3），且其對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝﹣1．（1）求此拋物線(xiàn)的解析式．（2）若點(diǎn)Q是對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)OQ+BQ最小時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．（3）若點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的動(dòng)點(diǎn)（不包括點(diǎn)A，點(diǎn)B），求△PAB面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)y＝﹣x2﹣2x+3；(2)點(diǎn)Q（﹣1，）；(3)S△PAB有最大值,點(diǎn)P（﹣，）【解析】【分析】（1）拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，則拋物線(xiàn)與軸另外一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為：，即可求解；（2）設(shè)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則，連接交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)，則點(diǎn)為所求，即可求解；（3）過(guò)點(diǎn)作軸的平行線(xiàn)交于點(diǎn)，由，即可求解．【詳解】解：（1）拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，則拋物線(xiàn)與軸另外一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為：，則拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：，即，解得：，個(gè)拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：；（2）設(shè)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則，連接交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)，則點(diǎn)為所求，則點(diǎn)的表達(dá)式為：，當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)；（3）過(guò)點(diǎn)作軸的平行線(xiàn)交于點(diǎn)，直線(xiàn)的表達(dá)式為：，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，則，，有最大值，此時(shí)，點(diǎn)，．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性、圖形的面積計(jì)算等，其中（2）用點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性求解線(xiàn)段的最值，其中（3）在坐標(biāo)系中利用三角形面積等于水平寬×鉛直高的一半表示是常用方法．14.（2019·四川中考真題）如圖，拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且與直線(xiàn)交于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）點(diǎn)D為拋物線(xiàn)上位于直線(xiàn)上方的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作軸交直線(xiàn)于點(diǎn)E，點(diǎn)P為對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線(xiàn)段的長(zhǎng)度最大時(shí)，求的最小值；（3）設(shè)點(diǎn)M為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）拋物線(xiàn)的解析式；（2）的最小值為；（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)：、．【解析】【分析】（1）將點(diǎn)B的坐標(biāo)為代入，，B的坐標(biāo)為，將，代入，解得，，因此拋物線(xiàn)的解析式；（2）設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，有最大值為2，此時(shí)，作點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，與對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)P．，此時(shí)最??；（3）作軸于點(diǎn)H，連接、、、、，由，，可得，因?yàn)?，，所以，可知外接圓的圓心為H，于是設(shè)，則，或，求得符合題意的點(diǎn)Q的坐標(biāo)：、．【詳解】解：（1）將點(diǎn)B的坐標(biāo)為代入，，∴B的坐標(biāo)為，將，代入，解得，，∴拋物線(xiàn)的解析式；（2）設(shè)，則，，∴當(dāng)時(shí)，有最大值為2，此時(shí)，作點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，與對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)P．，此時(shí)最小，∵，∴，，即的最小值為；（3）作軸于點(diǎn)H，連接、、、、，∵拋物線(xiàn)的解析式，∴，∵，∴，∵，，∴，可知外接圓的圓心為H，∴設(shè)，則，或∴符合題意的點(diǎn)Q的坐標(biāo)：、．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)，熟練運(yùn)用二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)與一次函數(shù)的性質(zhì)以及圓周角定理是解題的關(guān)鍵．15.（2019·天津中考真題）已知拋物線(xiàn)（為常數(shù)，）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)是軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（Ⅱ）點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，當(dāng)，時(shí)，求的值；（Ⅲ）點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，當(dāng)?shù)淖钚≈禐闀r(shí)，求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】【分析】（Ⅰ）把b=2和點(diǎn)代入拋物線(xiàn)的解析式，求出c的值，進(jìn)行配方即可得出頂點(diǎn)坐標(biāo)（Ⅱ）根據(jù)點(diǎn)和）點(diǎn)在拋物線(xiàn)上和得出點(diǎn)在第四象限，且在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)．過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，則點(diǎn)，再根據(jù)D、E兩點(diǎn)坐標(biāo)得出為等腰直角三角形，得出，再根據(jù)已知條件，，從而求出b的值（Ⅲ）根據(jù)點(diǎn)在拋物線(xiàn)上得出點(diǎn)在第四象限，且在直線(xiàn)的右側(cè)；取點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，與軸相交于點(diǎn)，得出，此時(shí)的值最?。贿^(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則點(diǎn)．再根據(jù)得出m與b的關(guān)系，然后根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式和的最小值為，列出關(guān)于b的方成即可【詳解】解：（Ⅰ）∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴．即．當(dāng)時(shí)，，∴拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，拋物線(xiàn)的解析式為．∵點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，∴．由，得，，∴點(diǎn)在第四象限，且在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)．如圖，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，則點(diǎn)．∴，．得．∴在中，．∴．由已知，，∴．∴．（Ⅲ）∵點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，∴．可知點(diǎn)在第四象限，且在直線(xiàn)的右側(cè)．考慮到，可取點(diǎn)，如圖，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，與軸相交于點(diǎn)，有，得，則此時(shí)點(diǎn)滿(mǎn)足題意．過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則點(diǎn)．在中，可知．∴，．∵點(diǎn)，∴．解得．∵，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)與判定等知識(shí)，關(guān)鍵是明確題意，作出合適的輔助線(xiàn)，利用數(shù)形結(jié)合的思想和二次函數(shù)的性質(zhì)解答．16.（2019·湖南中考真題）如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx（a＞0）過(guò)點(diǎn)E（8，0），矩形ABCD的邊AB在線(xiàn)段OE上（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)C、D在拋物線(xiàn)上，∠BAD的平分線(xiàn)AM交BC于點(diǎn)M，點(diǎn)N是CD的中點(diǎn)，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3.（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）F、G分別為x軸，y軸上的動(dòng)點(diǎn)，順次連接M、N、G、F構(gòu)成四邊形MNGF，求四邊形MNGF周長(zhǎng)的最小值；（3）在x軸下方且在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P，使△ODP中OD邊上的高為？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（4）矩形ABCD不動(dòng)，將拋物線(xiàn)向右平移，當(dāng)平移后的拋物線(xiàn)與矩形的邊有兩個(gè)交點(diǎn)K、L，且直線(xiàn)KL平分矩形的面積時(shí)，求拋物線(xiàn)平移的距離.【答案】（1）y＝x2﹣4x；（2）四邊形MNGF周長(zhǎng)最小值為12；（3）存在點(diǎn)P，P坐標(biāo)為（6，﹣6）；（4）拋物線(xiàn)平移的距離為3個(gè)單位長(zhǎng)度.【解析】【分析】（1）由點(diǎn)E在x軸正半軸且點(diǎn)A在線(xiàn)段OE上得到點(diǎn)A在x軸正半軸上，所以A（2，0）；由OA＝2，且OA：AD＝1：3得AD＝6.由于四邊形ABCD為矩形，故有AD⊥AB，所以點(diǎn)D在第四象限，橫坐標(biāo)與A的橫坐標(biāo)相同，進(jìn)而得到點(diǎn)D坐標(biāo).由拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)D、E，用待定系數(shù)法即求出其解析式；（2）畫(huà)出四邊形MNGF，由于點(diǎn)F、G分別在x軸、y軸上運(yùn)動(dòng)，故可作點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)點(diǎn)M'，作點(diǎn)N關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)點(diǎn)N'，得FM＝FM'、GN＝GN'.易得當(dāng)M'、F、G、N'在同一直線(xiàn)上時(shí)N'G+GF+FM'＝M'N'最小，故四邊形MNGF周長(zhǎng)最小值等于MN+M'N'.根據(jù)矩形性質(zhì)、拋物線(xiàn)線(xiàn)性質(zhì)等條件求出點(diǎn)M、M'、N、N'坐標(biāo)，即求得答案；（3）因?yàn)镺D可求，且已知△ODP中OD邊上的高，故可求△ODP的面積.又因?yàn)椤鱋DP的面積常規(guī)求法是過(guò)點(diǎn)P作PQ平行y軸交直線(xiàn)OD于點(diǎn)Q，把△ODP拆分為△OPQ與△DPQ的和或差來(lái)計(jì)算，故存在等量關(guān)系.設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為t，用t表示PQ的長(zhǎng)即可列方程.求得t的值要討論是否滿(mǎn)足點(diǎn)P在x軸下方的條件；（4）由KL平分矩形ABCD的面積可得K在線(xiàn)段AB上、L在線(xiàn)段CD上，畫(huà)出平移后的拋物線(xiàn)可知，點(diǎn)K由點(diǎn)O平移得到，點(diǎn)L由點(diǎn)D平移得到，故有K（m，0），L（2+m，-6）.易證KL平分矩形面積時(shí)，KL一定經(jīng)過(guò)矩形的中心H且被H平分，求出H坐標(biāo)為（4，﹣3），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式即求得m的值.【詳解】（1）∵點(diǎn)A在線(xiàn)段OE上，E（8，0），OA＝2∴A（2，0）∵OA：AD＝1：3∴AD＝3OA＝6∵四邊形ABCD是矩形∴AD⊥AB∴D（2，﹣6）∵拋物線(xiàn)y＝ax2+bx經(jīng)過(guò)點(diǎn)D、E∴解得：∴拋物線(xiàn)的解析式為y＝x2﹣4x（2）如圖1，作點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M'，作點(diǎn)N關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N'，連接FM'、GN'、M'N'∵y＝x2﹣4x＝（x﹣4）2﹣8∴拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝4∵點(diǎn)C、D在拋物線(xiàn)上，且CD∥x軸，D（2，﹣6）∴yC＝y(tǒng)D＝﹣6，即點(diǎn)C、D關(guān)于直線(xiàn)x＝4對(duì)稱(chēng)∴xC＝4+（4﹣xD）＝4+4﹣2＝6，即C（6，﹣6）∴AB＝CD＝4，B（6，0）∵AM平分∠BAD，∠BAD＝∠ABM＝90°∴∠BAM＝45°∴BM＝AB＝4∴M（6，﹣4）∵點(diǎn)M、M'關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)F在x軸上∴M'（6，4），F(xiàn)M＝FM'∵N為CD中點(diǎn)∴N（4，﹣6）∵點(diǎn)N、N'關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)G在y軸上∴N'（﹣4，﹣6），GN＝GN'∴C四邊形MNGF＝MN+NG+GF+FM＝MN+N'G+GF+FM'∵當(dāng)M'、F、G、N'在同一直線(xiàn)上時(shí)，N'G+GF+FM'＝M'N'最小∴C四邊形MNGF＝MN+M'N'=∴四邊形MNGF周長(zhǎng)最小值為12.（3）存在點(diǎn)P，使△ODP中OD邊上的高為.過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸交直線(xiàn)OD于點(diǎn)Q∵D（2，﹣6）∴OD＝，直線(xiàn)OD解析式為y＝﹣3x設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（t，t2﹣4t）（0＜t＜8），則點(diǎn)Q（t，﹣3t）①如圖2，當(dāng)0＜t＜2時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)D左側(cè)∴PQ＝y(tǒng)Q﹣yP＝﹣3t﹣（t2﹣4t）＝﹣t2+t∴S△ODP＝S△OP