專題08 整式中規(guī)律性探索的三種考法（解析版）（北師大版）

專題08整式中規(guī)律探索的三種考法類型一、數(shù)字類規(guī)律探索問題例1．將一列有理數(shù)，2，3，4，，6，……，如圖所示有序排列．根據(jù)圖中的排列規(guī)律可知，“峰1”中峰頂?shù)奈恢茫–的位置）是有理數(shù)4，那么，“峰6”中C的位置是有理數(shù)____，2022應(yīng)排在A、B、C、D、E中____的位置．正確的選項是（）

A．，A B．30，D C．29，B D．，A【答案】A【分析】觀察不難發(fā)現(xiàn)，每個峰排列5個數(shù)，求出5個峰排列的數(shù)的個數(shù)，再求出，“峰6”中C位置的數(shù)的序數(shù)，然后根據(jù)排列的奇數(shù)為負(fù)數(shù)，偶數(shù)為正數(shù)解答；用除以5，根據(jù)商和余數(shù)的情況確定所在峰中的位置即可．【詳解】解：由題意得，每個峰排列5個數(shù)，排列的奇數(shù)為負(fù)數(shù)，偶數(shù)為正數(shù)∵每個峰需要5個數(shù)，∴，，∴“峰6”中C位置的數(shù)的是，∵，∴2022應(yīng)排在A、B、C、D、E中A的位置，故選：A．【點睛】本題是對數(shù)字變化規(guī)律的考查，觀察出每個峰有5個數(shù)是解題的關(guān)鍵，難點在于峰上的數(shù)的排列是從2開始．例2．一組按規(guī)律排列的式子：，，，那么第個式子是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分子的變化得出分子變化的規(guī)律，根據(jù)分母的變化得出分母變化的規(guī)律，根據(jù)分?jǐn)?shù)符號的變化規(guī)律得出分?jǐn)?shù)符號的變化規(guī)律，即可得到該組式子的變化規(guī)律．【詳解】解：分子為，其指數(shù)為2，5，8，11，…其規(guī)律為，分母為，其指數(shù)為1，2，3，4，…其規(guī)律為，分?jǐn)?shù)符號為，，，，，其規(guī)律為，所以第個式子．故選：C．【點睛】此題考查了探索規(guī)律，先根據(jù)分子、分母的變化得出規(guī)律，再根據(jù)分式符號的變化得出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】找規(guī)律：觀察算式；；；；…(1)按規(guī)律填空；．(2)由上面的規(guī)律計算：（要求：寫出計算過程）【答案】(1)3025；(2)1622600【分析】（1）根據(jù)題干中算式總結(jié)出公式：，根據(jù)規(guī)律計算即可；（2）根據(jù)規(guī)律用前50項減前10項即可；【詳解】（1）該列數(shù)的規(guī)律是：，，，故答案為：3025，；（2）；【點睛】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，總結(jié)歸納出規(guī)律并應(yīng)用規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】觀察下列等式：，，，將以上三個等式兩邊分別相加得：．(1)猜想并寫出______．(2)計算下列各式的計算結(jié)果：．(3)探究并計算：．【答案】(1)，；(2)；(3)【分析】（1）根據(jù)已知等式做出猜想，再計算即可；（2）原式利用得出的規(guī)律變形，計算即可得到結(jié)果；（3）仿照（2）將：原式轉(zhuǎn)換成，即可輕易算出結(jié)果．【詳解】（1）解：猜想：，∴；（2）；（3）【點睛】本題考查了數(shù)字的變換規(guī)律問題，解題的關(guān)鍵是能夠總結(jié)出規(guī)律等式并應(yīng)用于求和運算．【變式訓(xùn)練3】對于實數(shù)，規(guī)定，例如，，那么計算的結(jié)果是．【答案】【分析】通過計算，發(fā)現(xiàn)，...，據(jù)此即可求解．【詳解】解：∵，，...∴，且，...∴故答案為：【點睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的數(shù)字得到．類型二、圖表類規(guī)律探索問題例1．為給同學(xué)們創(chuàng)造更好的讀書條件，學(xué)校準(zhǔn)備新建一個長度為L的讀書長廊，并準(zhǔn)備用若干塊帶有花紋和沒有花紋的兩種規(guī)格、大小相同的正方形地面磚搭配在一起，按如圖所示的規(guī)律拼成圖案鋪滿長廊，已知每個小正方形地面磚的邊長均為0.6．

（1）按圖示規(guī)律，第一個圖案的長度，第二個圖案的長度．（2）請用代數(shù)式表示帶有花紋的地面磚塊數(shù)與走廊的長度之間的關(guān)系．【答案】【分析】（1）觀察題目中的已知圖形，可得前兩個圖案中有花紋的地面磚分別有：1，2個，第二個圖案比第一個圖案多1個花紋的地面磚，所以可得第n個圖案有花紋的地面磚有n塊；第一個圖案邊長，第二個圖案邊長；（2）由（1）得出則第n個圖案邊長為．【詳解】解：（1）第一個圖案的長度，第二個圖案的長度；故答案為：，；（2）解：觀察可得：第一個圖案中有花紋的地面磚有1塊，第二個圖案中有花紋的地面磚有2塊，……，故第n個圖案中有花紋的地面磚有n塊；第一個圖案邊長，第二個圖案邊長，則第n個圖案邊長為；所以帶有花紋的地面磚塊數(shù)n與走廊的長度之間的關(guān)系為；故答案為：．【點睛】本題主要考查了平面圖形的有規(guī)律變化，以及列代數(shù)式等，解題的關(guān)鍵是分析、歸納出其中的規(guī)律．例2．如圖所示，將形狀大小完全相同的“”按照一定規(guī)律擺成下列圖形，第1幅圖中“”的個數(shù)為，第2幅圖中“”的個數(shù)為，第3幅圖中“”的個數(shù)為，，以此類推，若（為正整數(shù)），則的值為．

【答案】【分析】先根據(jù)已知圖形得出，代入到方程中，再將左邊利用所得規(guī)律化簡即可．【詳解】解：由圖形知，，，．可轉(zhuǎn)化為：，，，．故答案為：4043．【點睛】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知圖形得出規(guī)律是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】觀察下列圖形：

它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第6個圖形中共有個★．【答案】19【分析】先根據(jù)圖形得到規(guī)律第個圖形有個★，再當(dāng)時，代入即可求得答案．【詳解】解：根據(jù)圖形可得：第1個圖形有個★，第2個圖形有個★，第3個圖形有個★，第4個圖形有個★，……第個圖形有個★，第6個圖形中有個★，故答案為：19．【點睛】本題主要考查了整式—圖形規(guī)律類，根據(jù)圖形找到規(guī)律第個圖形有個★，是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】觀察與思考：我們知道，那么結(jié)果等于多少呢？請你仔細(xì)觀察，找出下面圖形與算式的關(guān)系，解決下列問題：；；；；(1)規(guī)律觀察：；(2)推算概括：用含n的式子表示出的值；(3)拓展應(yīng)用：求的值．【答案】(1)15；(2)；(3)5050【分析】（1）根據(jù)所給的式子進(jìn)行分析即可得出結(jié)果；（2）結(jié)合（1）進(jìn)行求解即可；（3）利用（2）中的規(guī)律進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：，，，，；故答案為：15；（2）由（1）得：；（3）．【點睛】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的圖形總結(jié)出存在的規(guī)律，并靈活運用．【變式訓(xùn)練1】我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過，“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非”，數(shù)形結(jié)合的思想方法在數(shù)學(xué)中應(yīng)用極為廣泛．觀察下列按照一定規(guī)律堆砌的鋼管的橫截面圖：用含n的式子表示第n個圖的鋼管總數(shù)．【分析思路】圖形規(guī)律中暗含數(shù)字規(guī)律，我們可以采用分步的方法，從圖形排列中找規(guī)律；把圖形看成幾個部分的組合，找到每一部分對應(yīng)的數(shù)字規(guī)律，進(jìn)而找到整個圖形對應(yīng)的數(shù)字規(guī)律．如：要解決上面問題，我們不妨先從特例入手（統(tǒng)一用表示第n個圖形鋼管總數(shù)）．【解決問題】(1)如圖，如果把每個圖形按照它的行來分割觀察，你發(fā)現(xiàn)了這些鋼管的堆砌規(guī)律了嗎？像的情形那樣，在所給橫線上，請用數(shù)學(xué)算式表達(dá)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律．，___________．(2)其實，對同一個圖形，我們的分析眼光可以是不同的．請你像（1）那樣對每一個所給圖形添加分割線，提供與（1）不同的分割方式；并在所給橫線上，請用數(shù)學(xué)算式表達(dá)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：___________，___________，___________，___________．(3)用含n的式子列式，并計算第n個圖的鋼管總數(shù)為___________．【答案】(1)；(2)，，，；(3)．【分析】（1）根據(jù)所給的式子的形式進(jìn)行解答即可；（2）結(jié)合圖形的特點，對圖形進(jìn)行分割，從而可求得相應(yīng)的圖形中鋼管的總數(shù)；（3）根據(jù)（1）（2）進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：由題意得：，故答案為：；（2）如圖，；；；，故答案為：，，，；（3）∵；；；，..．∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的圖形總結(jié)出存在的規(guī)律．【變式訓(xùn)練2】用大小一樣的黑白兩種顏色的小正方形紙片，按如圖的規(guī)律擺放：(1)第5個圖案有張黑色小正方形紙片；(2)第n個圖案有張黑色小正方形紙片；(3)第幾個圖案中白色紙片和黑色紙片共有81張？【答案】(1)16；(2)；(3)20【分析】（1）觀察圖形，發(fā)現(xiàn)：黑色紙片在4的基礎(chǔ)上，依次多3個；（2）根據(jù)（1）中的規(guī)律，用字母表示即可；（3）根據(jù)（2）的規(guī)律，得出，解之得出n的值即可作出判斷．【詳解】（1）∵第1個圖形中黑色紙片的數(shù)量，第2個圖形中黑色紙片的數(shù)量，第3個圖形中黑色紙片的數(shù)量，……，∴第5個圖片中黑色紙片的數(shù)量為，故答案為：16；（2）由（1）知，第n個圖案中黑色紙片的數(shù)量為，故答案為：；（3）設(shè)第n個圖案中共有81張紙片，由，解得：，即第20個圖案中共有81張紙片．【點睛】本題考查規(guī)律型：圖形的變化類，解題時必須仔細(xì)觀察規(guī)律，通過歸納得出結(jié)論．注意由特殊到一般的分析方法，此題的規(guī)律為：第n個圖案中有張黑色紙片．類型二、程序類問題例．有一數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如圖所示，若開始輸入x的值是1，可發(fā)現(xiàn)第一次輸出的結(jié)果是4，第二次輸出的結(jié)果是2，……，請你探索第2023次輸出的結(jié)果是．

【答案】4【分析】由題意知，第一次輸出的結(jié)果是4，第二次輸出的結(jié)果是2，第三次輸出的結(jié)果是1，第四次輸出的結(jié)果是4，第五次輸出的結(jié)果是2，……，可知三次為一個循環(huán)，由，進(jìn)而可得第2023次輸出的結(jié)果．【詳解】解：由題意知，第一次輸出的結(jié)果是4，第二次輸出的結(jié)果是2，第三次輸出的結(jié)果是1，第四次輸出的結(jié)果是4，第五次輸出的結(jié)果是2，……，∴可知三次為一個循環(huán)，∵，∴第2023次輸出的結(jié)果是4，故答案為：4．【點睛】本題考查了程序流程圖與有理數(shù)計算，規(guī)律探究．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)推導(dǎo)一般性規(guī)律．【變式訓(xùn)練1】按下面的程序計算：若輸入n=100，輸出結(jié)果是501；若輸入n=25，輸出結(jié)果是631，若開始輸入的n值為正整數(shù)，最后輸出的結(jié)果為656，則開始輸入的n值可能有（

）A．1種 B．2種 C．3種 D．4種【答案】C【分析】分三種情況討論，當(dāng)輸入n經(jīng)過一次運算即可得到輸出的結(jié)果為當(dāng)輸入n經(jīng)過兩次運算即可得到輸出的結(jié)果為當(dāng)輸入n經(jīng)過三次運算即可得到輸出的結(jié)果為再列方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：當(dāng)輸入n經(jīng)過一次運算即可得到輸出的結(jié)果為，當(dāng)輸入n經(jīng)過兩次運算即可得到輸出的結(jié)果為當(dāng)輸入n經(jīng)過三次運算即可得到輸出的結(jié)果為．綜上：開始輸入的n值可能是5或26或131．故選：C．【點睛】本題考查的是程序框圖的含義，一元一次方程的解法，分類思想的應(yīng)用，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】按如圖所示的運算程序，能使輸出結(jié)果的值為11的是（）A．x＝3，y＝1 B．x＝2，y＝2 C．x＝2，y＝3 D．x＝0，y＝1.5【答案】A【分析】把各項中的x與y的值代入運算程序中計算得到結(jié)果，即可作出判斷．【詳解】A、把x＝3，y＝1代入運算程序中得：輸出結(jié)果為9+2＝11，符合題意；B、把x＝2，y＝2代入運算程序中得：4﹣4＝0，不符合題意；C、把x＝2，y＝3代入運算程序中得：4﹣6＝﹣2，不符合題意；D、把x＝0，y＝1.5代入運算程序得：0﹣3＝﹣3，不符合題意，故選：A．【點睛】此題考查計算機的程序計算，能正確理解程序圖的計算過程及要求是解題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練3】按圖示的程序計算，若開始輸入的x為正整數(shù)，最后輸出的結(jié)果為67，則x的值是（）A．2或7 B．2或22 C．2或22或7 D．2或12或22【答案】C【分析】根據(jù)運算程序列出方程求得相應(yīng)的x值，直到x不是正整數(shù)為止即可解答．【詳解】解：∵最后輸出的結(jié)果為67，∴3x+1=67，解得：x=22；當(dāng)3x+1=22時，解得：x=7；當(dāng)3x+1=7時，解得：x=2；當(dāng)3x+1=2時，解得：x=，∵開始輸入的x為正整數(shù)，∴x=不合題意．∴x的值可能為：2或7或22．故選：C．【點睛】本題主要考查了運算程序、一元一次方程的應(yīng)用等知識點，根據(jù)運算程序正確列出關(guān)于x的一元一次方程是解題的關(guān)鍵．課后訓(xùn)練1．定義一種對正整數(shù)的“”運算：①當(dāng)為奇數(shù)時，結(jié)果為；②當(dāng)為偶數(shù)時，結(jié)果為其中是使為奇數(shù)的正整數(shù)，并且運算可以重復(fù)進(jìn)行，例如，取，則：若，則第次“運算”的結(jié)果是()

A． B． C． D．【答案】B【分析】分別計算出前次“運算”的結(jié)果即可得到規(guī)律，根據(jù)規(guī)律求解即可．【詳解】解：當(dāng)時，第1次“F運算”的結(jié)果是，第次“運算”的結(jié)果是，第次“運算”的結(jié)果是，第次“運算”的結(jié)果是，第次“運算”的結(jié)果是，第次“運算”的結(jié)果是，…∴可知每次運算為一個循環(huán)，運算的結(jié)果為，，，，，循環(huán)出現(xiàn)，∵，∴第次“運算”的結(jié)果與第次“F運算”的結(jié)果相同，即為，故選B．【點睛】本題主要考查了數(shù)字類的規(guī)律探索，正確進(jìn)行計算找到數(shù)字間的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．2．如圖所示的運算程序中，如果開始輸入的x的值為，我們發(fā)現(xiàn)第一次輸出的結(jié)果為，第二次輸出的結(jié)果為2，…，則第2023次輸出的結(jié)果為（

）

A． B．2 C． D．【答案】C【分析】計算出第次，第次的輸出結(jié)果，發(fā)現(xiàn)輸出結(jié)果以、、為一個循環(huán)組依次循環(huán)，然后計算即可．【詳解】解：∵第次輸出的結(jié)果為，第次輸出的結(jié)果為，∴第次輸出的結(jié)果為，第次輸出的結(jié)果為，∴輸出結(jié)果以、、為一個循環(huán)組依次循環(huán)，∵，∴第2023次輸出的結(jié)果為，故選：C．【點睛】本題考查了規(guī)律型—數(shù)字的變化類，找出變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．3．將正整數(shù)1至1050按一定規(guī)律排列如圖所示，從表中任取一個的方框，方框中九個數(shù)的和可能是（

）．12345678910111213141516171819202122232425262728…A．2025 B．2018 C．2016 D．2007【答案】D【分析】組成方框的九個數(shù)不能從第六列、第七列開始，故因此確定且，然后依據(jù)數(shù)據(jù)規(guī)律逐一分析適合題意的答案即可．【詳解】觀察表格中的數(shù)據(jù)可知，能組成3方框的a值需滿足：且，這里k為正整數(shù)（即從第六列、第七列開始的方框不存在）．方框中九個數(shù)的和，故九個數(shù)之和必須滿足是9的倍數(shù)，將變形得：，對于A選項，由于，a屬于型，故A錯誤；對于B選項，由于不是9的倍數(shù)，故B錯誤；對于C選項，由于，屬于型，故C錯誤；對于D選項，由于，不屬于型，故D正確．組成的方框為，九個數(shù)之和為2007．故選：D．【點睛】本題考查了規(guī)律型的數(shù)字變化類，根據(jù)題意恰當(dāng)?shù)乇硎境鼍艂€數(shù)的代數(shù)式并結(jié)合方框所處的位置分析是解題的關(guān)鍵．4．如圖是由相同的菱形按一定規(guī)律擺放而成，第1個圖形有3個菱形，第2個圖形有7個菱形，第3個圖形有13個菱形，按此規(guī)律排列下去，第9個圖形的菱形個數(shù)為（

）A．73 B．81 C．91 D．109【答案】C【分析】根據(jù)圖形，將每個圖形分為上下兩部分，分別數(shù)出每個圖形兩部分中菱形的個數(shù)，總結(jié)出數(shù)量變化的一般規(guī)律即可．【詳解】解：由圖可知：第一個圖形：上面由3個菱形，下面有0個菱形，第二個圖形：上面有6個菱形，下面有1個菱形，第三個圖形：上面有10個菱形，下面有3個菱形，第四個圖形：上面有15個菱形，下面有6個菱形，……第n個圖形：上面有個菱形，下面有個菱形，∴第9個圖形的菱形個數(shù)為：．故選：C．【點睛】本題主要考查了圖形的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形，總結(jié)出變化的一般規(guī)律．5．如圖，古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)．例如：稱圖中的數(shù)1，5，12，22…為五邊形數(shù)，則第7個五邊形數(shù)是（）A．62 B．70 C．84 D．108【答案】B【分析】觀察圖形得到第1個五邊形數(shù)為1，第2個五邊形數(shù)為，第3個五邊形數(shù)為，第4個五邊形數(shù)為，即每個五邊形數(shù)是從1開始，后面的數(shù)都比前面一個數(shù)大3的幾個數(shù)的和，且數(shù)的個數(shù)等于序號數(shù)，則第7個五邊形數(shù)為．【詳解】解：∵第1個五邊形數(shù)為1，第2個五邊形數(shù)為，第3個五邊形數(shù)為，第4個五邊形數(shù)為，∴第5個五邊形數(shù)為，第6個五邊形數(shù)為，第7個五邊形數(shù)為．故選：B．【點睛】本題考查了圖形的變化規(guī)律，通過從一些特殊的圖形變化中發(fā)現(xiàn)不變的因素或按規(guī)律變化的因素，然后推廣到一般情況．6．如圖是按照一定規(guī)律“生長”的“勾股樹”．經(jīng)觀察可以發(fā)現(xiàn)：圖①中共有3個正方形，圖②中共有7個正方形，圖③中共有15個正方形，照此規(guī)律“生長”下去，圖⑤中共有正方形的個數(shù)是（

）

A．31 B．32 C．63 D．64【答案】C【分析】根據(jù)圖形，可以得到正方形個數(shù)的變化特點，從而可以得到圖⑤中正方形的個數(shù)．【詳解】解：由圖可得，第①個圖形中正方形的個數(shù)為：，第②個圖形中正方形的個數(shù)為：，第③個圖形中正方形的個數(shù)為：，…則第⑤個圖形中正方形的個數(shù)為：，故選：C．【點睛】本題考查圖形的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)正方形個數(shù)的變化特點，求出圖⑤中正方形的個數(shù)．7．下列圖形都是由大小相同的小正方形按一定規(guī)