2024年中考數(shù)學(xué)常見(jiàn)幾何模型全歸納之模型解讀與提分精練（全國(guó)通用）：專題12 全等模型-角平分線模型（原卷版）

專題12全等模型-角平分線模型角平分線在中考數(shù)學(xué)中都占據(jù)著重要的地位，角平分線常作為壓軸題中的?？贾R(shí)點(diǎn)，需要掌握其各類模型及相應(yīng)的輔助線作法，且輔助線是大部分學(xué)生學(xué)習(xí)幾何內(nèi)容中的弱點(diǎn)，本專題就角平分線的幾類全等模型作相應(yīng)的總結(jié)，需學(xué)生反復(fù)掌握。模型1.角平分線垂兩邊（角平分線+外垂直）【模型解讀與圖示】條件：如圖1，為的角平分線、于點(diǎn)A時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作.結(jié)論：、≌.圖1圖2常見(jiàn)模型1（直角三角形型）條件：如圖2，在中，，為的角平分線，過(guò)點(diǎn)D作.結(jié)論：、≌.（當(dāng)是等腰直角三角形時(shí)，還有.）圖3常見(jiàn)模型2（鄰等對(duì)補(bǔ)型）條件：如圖3，OC是∠COB的角平分線，AC=BC，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OA、CE⊥OB。結(jié)論：①；②；③.例1．（2022·北京·中考真題）如圖，在中，平分若則____．例2．（2022·山東泰安·中考真題）如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC的平分線BP交于點(diǎn)P，若∠BPC＝40°，則∠CAP＝（）A．40° B．45° C．50° D．60°例3．（2023·廣東中山·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，中，、的角平分線、交于點(diǎn)P，延長(zhǎng)、，，，則①平分；②；③；④．上述結(jié)論中正確的是（

）

A．①② B．①③ C．②③④ D．①②③④例4．（2023秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形中，，點(diǎn)O為的中點(diǎn)，且平分．(1)求證：平分；(2)求證：；(3)求證：．

例5．（2022·河北·九年級(jí)專題練習(xí)）已知OP平分∠AOB，∠DCE的頂點(diǎn)C在射線OP上，射線CD交射線OA于點(diǎn)F，射線CE交射線OB于點(diǎn)G．（1）如圖1，若CD⊥OA，CE⊥OB，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段CF與CG的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，若∠AOB=120°，∠DCE=∠AOC，試判斷線段CF與CG的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．模型2.角平分線垂中間（角平分線+內(nèi)垂直）【模型解讀與圖示】條件：如圖1，為的角平分線，，結(jié)論：△AOC≌△BOC，是等腰三角形、是三線合一等。圖1圖2圖3條件：如圖2，為的角平分線，，延長(zhǎng)BA，CE交于點(diǎn)F.結(jié)論：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三線合一等。例1．（2023·山東淄博·?？级＃┤鐖D，點(diǎn)在內(nèi)部，平分，且，連接．若的面積為，則的面積為．

例2．（2022秋·湖北黃岡·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，中，是的角平分線，；若的最大值為，則長(zhǎng)為．例3．（2022·綿陽(yáng)市·九年級(jí)期中）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D．（1）如圖1，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，連接AF交BD于點(diǎn)E．若AB=BF，求證：BD垂直平分AF．（2）如圖2，CE⊥BD，垂足E在BD的延長(zhǎng)線上．試判斷線段CE和BD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）如圖3，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，∠EFC=∠ABC，CE⊥EF，垂足為E，EF與AC交于點(diǎn)M．直接寫(xiě)出線段CE與線段FM的數(shù)量關(guān)系．例4．（2022·安徽黃山·九年級(jí)期中）如圖，在中，，，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，于．（1）如圖（1），若平分時(shí)，①求的度數(shù)；②延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，補(bǔ)全圖形，探究與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）如圖（2），過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，猜想線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．模型3.角平分線構(gòu)造軸對(duì)稱模型（角平分線+截線段相等）【模型解讀與圖示】條件：如圖，為的角平分線，A為任意一點(diǎn)，在上截取，連結(jié).結(jié)論：≌，CB=CA。條件：如圖，分別為和的角平分線，，在上截取，連結(jié).結(jié)論：≌，≌，AB+CD=BC。例1．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）在△ABC中，AD為△ABC的角平分線，點(diǎn)E是直線BC上的動(dòng)點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，則∠ABC的度數(shù)為．（2）如圖2，AC＞AB，點(diǎn)P在線段AD延長(zhǎng)線上，比較AC+BP與AB+CP之間的大小關(guān)系，并證明．（3）連接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且滿足AB+AC＝EC，請(qǐng)求出∠ACB的度數(shù)（要求：畫(huà)圖，寫(xiě)思路，求出度數(shù)）．例2．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，是的平分線，延長(zhǎng)至點(diǎn)，，試求的度數(shù)．例3．（2022·北京九年級(jí)專題練習(xí)）在四邊形中，是邊的中點(diǎn)．（1）如圖（1），若平分，，則線段、、的長(zhǎng)度滿足的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____；（直接寫(xiě)出答案）；（2）如圖（2），平分，平分，若，則線段、、、的長(zhǎng)度滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出結(jié)論并證明．例4．（2022·湖北十堰·九年級(jí)期末）在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如圖①，當(dāng)∠C＝90°，AD為∠BAC的角平分線時(shí)，在AB上截取AE＝AC，連結(jié)DE，易證AB＝AC＋CD．（1）如圖②，當(dāng)∠C≠90°，AD為∠BAC的角平分線時(shí)，線段AB，AC，CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？不需要證明，請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想；（2）如圖③，當(dāng)AD為△ABC的外角平分線時(shí)，線段AB，AC，CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并對(duì)你的猜想給予證明．

課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2022秋·福建廈門·九年級(jí)校考期中）如圖，（是常量）．點(diǎn)P在的平分線上，且，以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，的兩邊分別與，相交于M，N兩點(diǎn)，若始終與互補(bǔ)，則以下四個(gè)結(jié)論：①；②的值不變；③四邊形的面積不變；④點(diǎn)M與點(diǎn)N的距離保持不變．其中正確的為（）A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③2．（2022·江蘇常州·一模）如圖，已知四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，且，，．過(guò)頂點(diǎn)C作于E，則的值為（

）A． B．9 C．6 D．7．23．（2023·成都·中考模擬）已知，如圖，BC=DC，∠B+∠D=180°．連接AC，在AB，AC，AD上分別取點(diǎn)E，P，F(xiàn)，連接PE，PF．若AE=4，AF=6，△APE的面積為4，則△APF的面積是（

）A．2 B．4 C．6 D．84．（2023·福建廈門·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，（是常量）．點(diǎn)P在的平分線上，且，以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，的兩邊分別與，相交于M，N兩點(diǎn)，若始終與互補(bǔ)，則以下四個(gè)結(jié)論：①；②的值不變；③四邊形的面積不變；④點(diǎn)M與點(diǎn)N的距離保持不變．其中正確的為（）A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③5．（2022·安徽合肥·一模）如圖，中，AD平分，E是BC中點(diǎn)，，，，則DE的值為（

）A．1 B．2 C． D．6．（2022·福建·福州一模）如圖，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于點(diǎn)D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于點(diǎn)B，交CD于點(diǎn)F，H是BC邊的中點(diǎn)，連接DH交BE于點(diǎn)G，現(xiàn)給出以下結(jié)論：①△ACD≌△FBD；②AE=CE；③△DGF為等腰三角形；④S四邊形ADGE=S四邊形GHCE．其中正確的有_________（寫(xiě)出所有正確結(jié)論序號(hào)）．7．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形中，，為上一點(diǎn)，連接，，，若，則線段的長(zhǎng)為．8．（2023·達(dá)州·校考一模）如圖，已知四邊形中，平分，，求證：．9．（2022·安徽蕪湖·九年級(jí)期中）如圖，已知，是的平分線，且交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．求證：．10．（2022·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，在中，分別平分，交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)過(guò)點(diǎn)作，垂足為．若的周長(zhǎng)為56，，求的面積．11．（2022秋·湖北武漢·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在△ABE中，D、C分別在AE、BE上且CD＝CB，AC平分∠EAB，CH⊥AB于點(diǎn)H．(1)求證：；(2)若AD＝3，AB＝8，求AH的長(zhǎng)．12．（2023·寧夏銀川·校考二模）問(wèn)題提出（1）如圖①，已知，以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在的內(nèi)部交于點(diǎn)C，畫(huà)射線，連接，則圖①中與全等的是___________；

問(wèn)題探究（2）如圖②，在中，平分，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)M，連接，，若，求證：；問(wèn)題解決（3）如圖③，工人劉師傅有塊三角形鐵板，，他需要利用鐵板的邊角裁出一個(gè)四邊形，并要求，．劉師傅先在紙稿上畫(huà)出了三角形鐵板的草圖，再用尺規(guī)作出的平分線交于點(diǎn)D，作的平分線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，得到四邊形．請(qǐng)問(wèn)，若按上述作法，裁得的四邊形是否符合要求？請(qǐng)證明你的結(jié)論．13．（2022·江蘇·一模）如圖，已知，AE，BD是的角平分線，且交于點(diǎn)P．（1）求的度數(shù)．（2）求證：點(diǎn)在的平分線上．（3）求證：①；②．14．（2022·北京西城·二模）在△ABC中，AB=AC，過(guò)點(diǎn)C作射線CB′，使∠ACB′=∠ACB（點(diǎn)B′與點(diǎn)B在直線AC的異側(cè)）點(diǎn)D是射線CB′上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），點(diǎn)E在線段BC上，且∠DAE+∠ACD=90°．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，AD與的位置關(guān)系是______，若，則CD的長(zhǎng)為_(kāi)_____；（用含a的式子表示）(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合時(shí)，連接DE．①用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；②用等式表示線段BE，CD，DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．15．（2022·重慶·二模）已知：如圖1，四邊形ABCD中，，連接AC、BD，交于點(diǎn)E，．(1)求證：；(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)B作，交DC于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)G，若，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，若，求線段GF的長(zhǎng)．16．（2022·陜西西安·一模）如圖，△ABD和△BCE都是等邊三角形，∠ABC＜105°，AE與DC交于點(diǎn)F．（1）求證：AE＝DC；（2）求∠BFE的度數(shù)；（3）若AF＝9.17cm，BF＝1.53cm，CF＝7.53cm，求CD．17．（2022·自貢市九年級(jí)月考）根據(jù)圖片回答下列問(wèn)題．(1)如圖①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB____DC．(2)如圖②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°，求證：DB=DC．18．（2023·山東·九年級(jí)專題練習(xí)）【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材96頁(yè)的部分內(nèi)容．已知：如圖13.5.4，是的平分線，P是上任意一點(diǎn)，，垂足分別為點(diǎn)D和點(diǎn)E．求證：．分析：圖中有兩個(gè)直角三角形和，只要證明這兩個(gè)三角形全等便可證得【問(wèn)題解決】請(qǐng)根據(jù)教材分析，結(jié)合圖①寫(xiě)出證明的過(guò)程．【類比探究】（1）如圖②，是的平分線，P是上任意一點(diǎn)，點(diǎn)分別在和上，連接和，若，求證：；（2）如圖③，的周長(zhǎng)是12，分別平分和于點(diǎn)D，若，則的面積為．19．（2023·安徽·九年級(jí)期末）如圖，在中，，平分．（1）如圖1，若，求證：；（2）如圖2，若，求的度數(shù)；（3）如圖3，若，求證：．20．（2023·湖北孝感·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）（情景呈現(xiàn)）畫(huà)，并畫(huà)的平