專題34 與角平分線有關(guān)的動(dòng)角問(wèn)題（解析版）

專題34與角平分線有關(guān)的動(dòng)角問(wèn)題1．如圖1，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作射線OC，使．將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一直角邊OM在射線OB上，另一直角邊ON在直線AB的下方．(1)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2，使邊OM在的內(nèi)部，且恰好平分．問(wèn)：此時(shí)直線ON是否平分？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O以每秒6°的速度沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，第n秒時(shí)，直線ON恰好平分，則n的值為______（點(diǎn)接寫結(jié)果）(3)若圖1中的三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至圖3，使ON在的內(nèi)部時(shí)，的度數(shù)是多少？【答案】(1)平分，理由見解析(2)10或40(3)30°【分析】（1）由角的平分線的定義和等角的余角相等求解；（2）由∠BOC＝120°可得∠AOC＝60°，則∠BON＝30°，即旋轉(zhuǎn)60°或240°時(shí)ON平分∠AOC，據(jù)此求解；（3）因?yàn)椤螹ON＝90°，∠AOC＝60°，所以∠AOM＝90°﹣∠AON、∠NOC＝60°﹣∠AON，然后作差即可．（1）解：（1）直線ON平分∠AOC．理由：設(shè)ON的反向延長(zhǎng)線為OD，∵OM平分∠BOC，∴∠MOC＝∠MOB，又∵OM⊥ON，∴∠MOD＝∠MON＝90°，∴∠COD＝∠BON，又∵∠AOD＝∠BON（對(duì)頂角相等），∴∠COD＝∠AOD，∴OD平分∠AOC，即直線ON平分∠AOC；（2）解：由（1）得，∠BOM＝60°時(shí)，直線ON恰好平分，即旋轉(zhuǎn)60°時(shí)，ON平分∠AOC，再旋轉(zhuǎn)180°即旋轉(zhuǎn)240°時(shí)，ON平分∠AOC，由題意得，6n＝60°或6n＝240°，∴n＝10或40；故答案為：10或40；（3）解：∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，∴∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝60°﹣∠AON，∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，應(yīng)該認(rèn)真審題并仔細(xì)觀察圖形，找到各個(gè)量之間的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．2．如圖1：已知OB⊥OD，OA⊥OC，∠COD＝40°，若射線OA繞O點(diǎn)以每秒30°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線OC繞O點(diǎn)每秒10°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，兩條射線同時(shí)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)一條射線與射線OD重合時(shí)，停止運(yùn)動(dòng)．(1)開始旋轉(zhuǎn)前，∠AOB＝．(2)若射線OB也繞O點(diǎn)以每秒20°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，三條射線同時(shí)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)一條射線與射線OD重合時(shí)，停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)三條射線中其中一條射線是另外兩條射線夾角的角平分線時(shí)，求旋轉(zhuǎn)的時(shí)間．(3)【實(shí)際應(yīng)用】從今天上午6時(shí)整開始到上午7時(shí)整結(jié)束的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，經(jīng)過(guò)多少分鐘時(shí)針與分針?biāo)纬傻拟g角等于120°（直接寫出所有可能結(jié)果）．【答案】(1)(2)秒或秒，秒或秒，秒或秒(3)分鐘或分鐘【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等可得；（2）根據(jù)路程等于速度乘以時(shí)間分別求得運(yùn)動(dòng)到所需要的時(shí)間，進(jìn)而求得停止的時(shí)間，根據(jù)角度的和差可得，根據(jù)角度的方向以及角平分線的定義，建立絕對(duì)值方程，解方程求解即可；（3）根據(jù)題意作出圖形，類比（2）建立方程，在周角內(nèi)求角度，進(jìn)而解方程求解即可．(1)OB⊥OD，OA⊥OC，∠COD＝40°故答案為：(2)設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至所需要的時(shí)間為：（秒）當(dāng)旋轉(zhuǎn)至所需要的時(shí)間為：（秒）當(dāng)旋轉(zhuǎn)至所需要的時(shí)間為：（秒）當(dāng)旋轉(zhuǎn)至?xí)r，其他線段都停止，則，旋轉(zhuǎn)秒后，，，，，①當(dāng)平分時(shí)，，即或解得：或②當(dāng)平分時(shí)，,即或解得：或③當(dāng)平分時(shí)，,即或解得：或綜上所述，或，或，或(3)如圖，根據(jù)題意，6時(shí)整時(shí)，，6時(shí)至7時(shí)，旋轉(zhuǎn)了30°，旋轉(zhuǎn)了360°則的速度為度/分鐘，的速度為度/分鐘，6點(diǎn)整之后，設(shè)分鐘后，則或解得：或【點(diǎn)睛】本題考查了角度的旋轉(zhuǎn)，幾何圖形中角度的計(jì)算，一元一次方程的應(yīng)用，鐘表角的計(jì)算，根據(jù)題意建立一元一次方程是解題的關(guān)鍵．3．已知直線AB和CD交于點(diǎn)O，∠AOC＝α，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．（1）當(dāng)α＝30°時(shí)，則∠EOC＝_________°；∠FOD＝_________°．（2）當(dāng)α＝60°時(shí)，射線OE′從OE開始以12°/秒的速度繞點(diǎn)O逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí)射線OF′從OF開始以8°/秒的速度繞點(diǎn)O順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)射線OE′轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)射線OF′也停止轉(zhuǎn)動(dòng)，求經(jīng)過(guò)多少秒射線OE′與射線OF′第一次重合？（3）在（2）的條件下，射線OE′在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中，當(dāng)∠E′OF′＝90°時(shí)，請(qǐng)直接寫出射線OE′轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為_________秒．【答案】（1）60，75；（2）秒；（3）3或12或21或30【分析】（1）根據(jù)題意利用互余和互補(bǔ)的定義可得：∠EOC與∠FOD的度數(shù)．（2）由題意先根據(jù)，得出∠EOF=150°，則射線OE'、OF'第一次重合時(shí)，其OE'運(yùn)動(dòng)的度數(shù)+OF'運(yùn)動(dòng)的度數(shù)=150，列式解出即可；（3）根據(jù)題意分兩種情況在直線OE的左邊和右邊，進(jìn)而根據(jù)其夾角列4個(gè)方程可得時(shí)間．【詳解】解：（1）∵∠BOE=90°，∴∠AOE=90°，∵∠AOC=α＝30°，∴∠EOC=90°-30°=60°，∠AOD=180°-30°=150°，∵OF平分∠AOD，∴∠FOD=∠AOD=×150°=75°；故答案為：60，75；（2）當(dāng)，．設(shè)當(dāng)射線與射線重合時(shí)至少需要t秒，可得，解得：；答：當(dāng)射線與射線重合時(shí)至少需要秒；（3）設(shè)射線轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，由題意得：或或或，解得：或12或21或30．答：射線轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為3或12或21或30秒．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)頂角相等，鄰補(bǔ)角互補(bǔ)的定義，角平分線的定義，角的計(jì)算，第三問(wèn)有難度，熟記相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意要分情況討論．4．若A、O、B三點(diǎn)共線，，將一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處（注：，）．(1)如圖1，使三角板的長(zhǎng)直角邊OD在射線OB上，則____________°；(2)將圖1中的三角板DOE繞點(diǎn)O以每秒2°的速度按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2位置，此時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間的值；(3)將圖2中的三角板DOE再繞點(diǎn)O以每秒5°的速度按順時(shí)針轉(zhuǎn)方向旋轉(zhuǎn)一周，經(jīng)過(guò)秒后，直線OC恰好平分，求的值．【答案】(1)50(2)25秒(3)11或47【分析】（1）由余角的性質(zhì)可求解；（2）由角的數(shù)量關(guān)系列出等式可求解；（3）分兩種情況討論即可.（1）解：∵∠DOE＝90°，∠BOC＝40°，∴∠COE=∠DOE-∠BOC＝90°-40°=50°，故答案為：50；（2）解：∵三角板DOE繞點(diǎn)O以每秒2°的速度按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，∴經(jīng)過(guò)t秒，∠COD=∠BOD-∠BOC=2t-40o，∠AOE=90o-2t，∵，∴2t-40o=（90o-2t），解得t=25.即運(yùn)動(dòng)時(shí)間為25秒.（3）解：圖2中∠AOE=90o-2t=40o，∠D1OE1=∠DOE=90o∵三角板DOE再繞點(diǎn)O以每秒5°的速度按順時(shí)針轉(zhuǎn)方向旋轉(zhuǎn)一周，情況①如圖：經(jīng)過(guò)秒后，∠EOE1=5t∵直線OC恰好平分，∴∵∠BOC=40o∠AOC=∠AOE+∠EOE1+=140o即40o+5t+45o=140o解得：t=11；情況②如圖：此時(shí)有：5t-10o-45o=180o，解得t=47故的值為11或47.【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，角平分線的定義，平角的性質(zhì)等知識(shí)，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．5．【閱讀理解】射線OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線，若∠AOC＝∠BOC，則稱射線OC是射線OA在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”．如圖1，若∠AOB＝75°，∠AOC＝25°，則∠AOC＝∠BOC，所以射線OC是射線OA在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”．【解決問(wèn)題】(1)在圖1中，若作∠BOC的平分線OD，則射線OD（填“是”或“不是”）射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”；(2)如圖2，∠AOB的度數(shù)為n，射線OM是射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”，ON平分∠AOB，則∠MON的度數(shù)為（用含n的代數(shù)式表示）；(3)如圖3，射線OB先從與射線OA重合的位置出發(fā)，繞點(diǎn)O以每秒1°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)；10秒后射線OC也從與射線OA重合的位置出發(fā)，繞點(diǎn)O以每秒5°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線OC與射線OA的延長(zhǎng)線重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．問(wèn)：當(dāng)射線OC運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少秒時(shí)，射線OA，OB，OC中恰好有一條射線是余下兩條射線中某條射線在余下兩條射線所組成的角內(nèi)的一條“友好線”？【答案】(1)是(2)n(3)或或或或秒【分析】（1）根據(jù)“友好線”定義即可作出判斷；（2）根據(jù)“友好線”定義即可求解；（3）利用分類討論思想，分別作出圖形，分情況進(jìn)行計(jì)算即可．(1)解：∵OB是∠BOC的平分線，∴∠BOD＝∠COD，∵∠COA＝∠BOC，∴∠BOD＝∠AOD，∴射線OD是射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”．故答案為：是．(2)∵射線OM是射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”，∠AOB的度數(shù)為n，∴∠BOM＝∠AOB＝n，∵ON平分∠AOB，∴∠BON＝∠AOB＝n，∴∠MON＝∠BON﹣∠BOM＝n﹣n＝n．故答案為：n．(3)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒時(shí)，射線OA、OB、OC中恰好有一條射線是其余兩條射線中某條射線的“友好線”．當(dāng)射線OC與射線OA的延長(zhǎng)線重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止如圖，當(dāng)射線OC是射線OA在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”時(shí)，當(dāng)時(shí)，根據(jù)題意可得,,則解得如圖,當(dāng)射線OC是射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”時(shí)，當(dāng)時(shí)，,,解得即運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，射線OC是射線OB的“友好線”．③如圖，當(dāng)射線OB是射線OA在∠AOC內(nèi)的一條“友好線”時(shí)，則∠AOB＝∠COB，,,所以10+x＝，解得x＝（符合題意），即運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，射線OB是射線OA的“友好線”．④如圖，當(dāng)射線OB是射線OC在∠AOC內(nèi)的一條“友好線”時(shí)，則∠AOB＝∠COB，,,解得⑤如圖，,當(dāng)時(shí)解得：當(dāng)時(shí)解得：綜上所述，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為或或或或秒時(shí)，符合題意要求．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，角的計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵是利用分類討論思想．6．如圖1，直線與直線相交于點(diǎn)，、兩點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度沿直線向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度沿直線向上運(yùn)動(dòng)．(1)若運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)比點(diǎn)多運(yùn)動(dòng)1個(gè)單位；運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程和為6個(gè)單位，則_________，_________．(2)如圖2，當(dāng)直線與直線垂直時(shí)，設(shè)和的角平分線相交于點(diǎn)．在點(diǎn)、在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請(qǐng)求出其值（寫出主要過(guò)程）；若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)如圖3，將（2）中的直線不動(dòng)，直線繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，其他條件不變．（i）用含有的式子表示的度數(shù)_________．（ii）如果再分別作的兩個(gè)外角，的角平分線相交于點(diǎn)，并延長(zhǎng)、交于點(diǎn)．則下列結(jié)論正確的是_________（填序號(hào)）．①與互補(bǔ)；②為定值；③為定值；④與互余．【答案】(1)1，2(2)不變，135°(3)（i）；（ii）①③④【分析】（1）構(gòu)建方程組即可解決問(wèn)題；（2）根據(jù)角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理求出∠APB即可；（3）（?。└鶕?jù)角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理即可解決問(wèn)題；（ⅱ）結(jié)論：①③④正確．根據(jù)角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理一一證明即可；（1）由題意：，解得，故答案為1，2．（2）解：不變化．．理由：如圖2，∵直線直線，∴，即，∵平分，平分，∴，，∴，在中，，∴度數(shù)不變化，總是等于．（3）（i）由題意得∠AOB＝90°＋α，∠OAB＋∠OBA＝90°?α，∵AP平分∠BAO，BP平分∠ABO，∴∠PAB＋∠PBA＝＝45°?α，∴∠APB＝180°?（45°?α）＝135°＋α故答案為：．（ii）①∠APB與∠Q互補(bǔ)；正確．理由：∵AQ平分∠CAB，BQ平分∠ABD，∴∠Q＝180°?(∠QAB＋∠QBA)＝180°?[(180°?∠OAB)＋(180°?∠OBA)]＝(∠OAB＋∠OBA)＝[180°?(90°＋α)]＝45°?α，∴∠APB＋∠Q＝135°＋α＋45°?α＝180°②∠M?∠Q為定值．錯(cuò)誤．理由：∵∠Q＝45°?α，∴∠M＝90°?∠Q＝45°＋α，∴∠M?∠Q＝α，不是定值．③∠APB?∠M為定值；正確．理由：同法可證：∠PAM＝90°，∴∠APB＝∠PAM＋∠M，∴∠APB?∠M＝90°為定值．④∠Q與∠M互余；正確．理由：∵BQ平分∠ABD，BM平分∠ABO，∴∠MBQ＝(∠ABD＋∠ABO)＝90°，∴∠Q＋∠M＝90°．故答案為①③④【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合題、角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理、二元一次方程組等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．7．【閱讀理解】射線OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線，若∠COA＝∠BOC，則稱射線OC是射線OA在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”．如圖1，∠AOB＝60°，∠AOC＝20°，則∠AOC＝∠BOC，所以射線OC是射線OA在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”．【解決問(wèn)題】（1）在圖1中，若作∠BOC的平分線OD，則射線OD射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”；（填“是”或“不是”）（2）如圖2，∠AOB的度數(shù)為n，射線OM是射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”，ON平分∠AOB，則∠MON的度數(shù)為；（用含n的代數(shù)式表示）（3）如圖3，射線OB從與射線OA重合的位置出發(fā)，繞點(diǎn)O以每秒3°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)；同時(shí)，射線OC從與射線OA的反向延長(zhǎng)線重合的位置出發(fā)，繞點(diǎn)O以每秒5°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線OC與射線OA重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．問(wèn)：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少秒時(shí)，射線OA、OB、OC中恰好有一條射線是余下兩條射線中某條射線在余下兩條射線所組成的角內(nèi)的一條“友好線”？【答案】（1）是；（2）n；（3）或或或30秒【分析】（1）根據(jù)“友好線”定義即可作出判斷；（2）根據(jù)“友好線”定義即可求解；（3）利用分類討論思想，分四種情況進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：（1）∵OB是∠BOC的平分線，∴∠BOD＝∠COD，∵∠COA＝∠BOC，∴∠BOD＝∠AOD，∴射線OD是射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”．（2）∵射線OM是射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”，∠AOB的度數(shù)為n，∴∠BOM＝∠AOB＝n，∵ON平分∠AOB，∴∠BON＝∠AOB＝n，∴∠MON＝∠BON﹣∠BOM＝n﹣n＝n；（3）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（x≤36）秒時(shí)，射線OA、OB、OC中恰好有一條射線是其余兩條射線中某條射線的“友好線”．當(dāng)射線OB是射線OA在∠AOC內(nèi)的一條“友好線”時(shí)，則∠AOB＝∠COB，所以3x＝（180﹣5x﹣3x），解得x＝（符合題意），即運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，射線OB是射線OA的“友好線”．當(dāng)射線OB是射線OC在∠AOC內(nèi)的一條“友好線”時(shí)，則∠COB＝∠AOB，所以180﹣5x﹣3x＝×3x，解得x＝（符合題意），即運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，射線OB是射線OC的“友好線”．當(dāng)射線OC是射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”時(shí)，則∠COB＝∠AOC，所以3x+5x﹣180＝（180﹣5x），解得x＝（符合題意），即運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，射線OC是射線OB的“友好線”．當(dāng)射線OC是射線OA在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”時(shí)，則∠AOC＝∠COB，所以180﹣5x＝（5x+3x﹣180），解得x＝30（符合題意），即運(yùn)動(dòng)時(shí)間為30秒時(shí)，射線OC是射線OA的“友好線”．綜上所述，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為或或或30秒時(shí)，符合題意要求．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，角的運(yùn)算，理解新定義，并用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．8．如圖①，直線?相交于點(diǎn)O，射線，垂足為點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作射線使．（1）將圖①中的直線繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖②，在的內(nèi)部，當(dāng)平分時(shí)，是否平分，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）將圖①中的直線繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖③，在的內(nèi)部，探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）若，將圖①中的直線繞點(diǎn)O按每秒5°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度度（），設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒，當(dāng)與互余時(shí)，求t的值．【答案】（1）平分，理由見解析；（2），理由見解析；（3）或時(shí)，與互余．【分析】（1）根據(jù)平分線的定義可得，根據(jù)，可得，從而得到，所以可得結(jié)論；（2）設(shè)為，根據(jù)可得，根據(jù)可得，從而得到與之間的數(shù)量關(guān)系；（3）根據(jù)題意可知，因?yàn)?，所以可得，可求出，根?jù)“直線繞點(diǎn)O按每秒5°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)”可得出，，，，然后分情況進(jìn)行討論：①時(shí)，②時(shí)，③時(shí)，，從而得出結(jié)果．【詳解】解：（1）平分，理由如下：∵且平分∴∵∴∴∴∴即平分（2），理由如下：設(shè)為，則∵∴∴即（3）∵且∴又∵∴∴∵直線繞點(diǎn)O按每秒5°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∴①時(shí)，若與互余，則解得②時(shí)，若與互余，則此時(shí)無(wú)解③時(shí)，若與互余，則解得綜上所述，或時(shí)，與互余．【點(diǎn)睛】本題考查了角的計(jì)算，角平分線有關(guān)的計(jì)算，余角相關(guān)計(jì)算．關(guān)鍵是認(rèn)真審題并仔細(xì)觀察圖形，找到各個(gè)量之間的關(guān)系．9．[閱讀]材料1：如圖1，在透明紙上畫一個(gè)角，把這個(gè)角對(duì)折，使角的兩邊重合，再展平紙片，折痕把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角．我們稱這條折痕所在直線l平分這個(gè)角．材料2：如圖2中，三角板OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到三角板OCD的位置，這時(shí)，三角板的邊OA、OB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到OC、OD的位置；如圖3中，三角板OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到三角板OCD的位置，這時(shí)，三角板的邊OA、OB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到OC、OD的位置．[問(wèn)題解決]（1）將兩個(gè)大小一樣的含30°角的直角三角板按圖3的方式擺放（頂點(diǎn)A、C重合）．現(xiàn)在將三角板OCD固定不動(dòng)，從起始位置（圖4）開始，將三角板OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)一周，轉(zhuǎn)動(dòng)速度為每秒5°．設(shè)三角板OAB轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．①當(dāng)三角板OAB轉(zhuǎn)動(dòng)到圖5的位置時(shí)，它的一邊OA平分∠COD，求t的值；②當(dāng)三角板OAB的一邊OB所在直線平分∠COD時(shí)，t＝秒；（直接寫出結(jié)果）（2）將兩個(gè)大小一樣的含30°角的直角三角板按圖6的方式擺放（頂點(diǎn)A、O、C在一條直線上）．在三角板OAB繞點(diǎn)O以每秒5°的速度順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，三角板OCD繞點(diǎn)O以每秒3°的速度逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)三角板OAB轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)三角板OCD也停止轉(zhuǎn)動(dòng)．兩塊三角板同時(shí)從起始位置（圖6）開始轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)三角板OAB轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．當(dāng)三角板OAB的一邊OB所在直線平分∠COD時(shí)，t＝秒．（直接寫出結(jié)果）【答案】（1）①t的值是6；②60；（2）15或37.5．【分析】（1）①可知∠DOC=60°，根據(jù)平分和三角板OAB轉(zhuǎn)動(dòng)的速度可得t的值；②根據(jù)角平分先和三角板OAB轉(zhuǎn)動(dòng)的速度可得t的值；（2）分線段OB平分∠DOC和直線OB平分∠DOC兩種情況，分情況討論即可．【詳解】解：（1）①由三角板可知∠DOC＝60°，∵三角板OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)一周，轉(zhuǎn)動(dòng)速度為每秒5°，∴t秒后，∠AOC＝5t．當(dāng)OA平分∠DOC時(shí)，∠AOC＝30°，∴5t＝30°，解得t＝6．答：t的值是6．②∵OB平分∠DOC時(shí)，∴∠BOC＝30°，∠AOC＝90°﹣30°＝60°，∴5t＝360°﹣60°＝300°，解得t＝60．故答案為：60．（2）設(shè)三角板OAB和三角板OCD旋轉(zhuǎn)后分別為三角板OA′B′和三角板OC′D′，①線段OB平分∠DOC時(shí)，如圖：∠AOA′＝5t，∠COC′＝3t，∵∠B′OC′＝30°，∴∠A′OC′＝60°，∴5t+3t+60°＝180°，解得t＝15；②直線OB平分∠DOC時(shí)，如圖：∠AOA′＝5t，∠COC′＝3t，∠AOA′＝90°∵∠B′OC′＝30°，∴∠A′OC′＝90°+30°＝120°，∴5t+3t﹣120°＝180°，解得t＝37.5；故答案為：15或37.5．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)和折疊，角度的計(jì)算，掌握角平分線并會(huì)分類討論是解題關(guān)鍵．10．定義：在同一平兩內(nèi)，有公共端點(diǎn)的三條射線中，一條射線是另兩條射線組成夾角的角平分線，我們稱這三條射線為“共生三線”．如圖為一量角器的平面示意圖，為量角器的中心．作射線，，，并將其所對(duì)應(yīng)的量角器外圈刻度分別記為，，．（1）若射線，，為“共生三線”，且為的角平分線．①如圖1，，，則______；②當(dāng)，時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D2中作出射線，，，并直接寫出的值；③根據(jù)①②的經(jīng)驗(yàn)，得______（用含，的代數(shù)式表示）．（2）如圖3，，．在刻度線所在直線上方區(qū)域內(nèi)，將，，按逆時(shí)針方向繞點(diǎn)同時(shí)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)速度分別為每秒，，，若旋轉(zhuǎn)秒后得到的射線，，為“共生三線”，求的值．【答案】（1）①40；②畫圖見解析，95；③；（2）或12或30【分析】（1）①根據(jù)“共生三線”的定義直接計(jì)算；②分別畫出OA，OB，再根據(jù)OC為∠AOB的平分線畫出OC；③根據(jù)①②的經(jīng)驗(yàn)直接可得結(jié)論；（2）分OB′為∠A′OC′的平分線，OA′為∠B′OC′的平分線，OC′為∠A′OB′的平分線三種情況，列出方程求解．【詳解】解：（1）①∵OA，OB，OC為“共生三線”，OC平分∠AOB，∴∠AOB=b°-a°=80°，∴m°=∠AOB=×80°=40°，故m=40；②如圖，∵，，∴m=（a+b）÷2=95；③根據(jù)①②的經(jīng)驗(yàn)可得：m=；（2）∵a=0，b=m=60，∴t秒后，a=12t，b=60+6t，m=60+8t，當(dāng)OB′為∠A′OC′的平分線時(shí)，b=，即60+6t=（12t+60+8t），解得：t=；當(dāng)OA′為∠B′OC′的平分線時(shí)，a=，即12t=（60+6t+60+8t），解得：t=12；當(dāng)OC′為∠A′OB′的平分線時(shí)，m=，即60+8t=（12t+60+6t），解得：t=30；綜上：t的值為或12或30．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義的運(yùn)用，一元一次方程，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)“共生三線”的定義分類討論，列出方程．11．已知射線在的內(nèi)部，射線平分，射線平分．（1）如圖1，若，則__________度；（2）若，①如圖2，若射線在的內(nèi)部繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，求的度數(shù)；②若射線在的外部繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)中、均是指小于180°的角），其余條件不變，請(qǐng)借助圖3探究的大小，直接寫出的度數(shù)．【答案】（1）60；（2）①∠EOF=α；②當(dāng)射線OE，OF只有1條在∠AOB外部時(shí)，∠EOF=α；當(dāng)射線OE，OF都在∠AOB外部時(shí)，∠EOF=180°-α．【分析】（1）先求出∠BOC度數(shù)，根據(jù)角平分線定義求出∠EOC和∠FOC的度數(shù)，求和即可得出答案；（2）①根據(jù)角平分線定義得出∠COE=∠AOC，∠COF=∠BOC，求出∠EOF=∠EOC+∠FOC=∠AOB，代入求出即可；②分兩種情況：當(dāng)射線OE，OF只有1條在∠AOB外部時(shí)，根據(jù)角平分線定義得出∠COE=∠AOC，∠COF=∠BOC，求出∠EOF=∠FOC-∠COE=∠AOB；當(dāng)射線OE，OF都在∠AOB外部時(shí)，根據(jù)角平分線定義得出∠EOF=∠AOC，∠COF=∠BOC，求出∠EOF=∠EOC+∠COF=（360°-∠AOB），代入求出即可．【詳解】解：（1）∵∠AOB=120°，∠AOC=32°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=88°，∵OE，OF分別是∠AOC和∠COB的角平分線，∴∠EOC=∠AOC=16°，∠FOC=∠BOC=44°，∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=16°+44°=60°．故答案為：60；（2）①∵OE，OF分別是∠AOC和∠COB的角平分線，∴∠EOC=∠AOC，∠FOC=∠BOC，∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=∠AOB=α；②分以下兩種