專題10 幾何中的尺規(guī)作圖問題（原卷版）

專題10幾何中的尺規(guī)作圖問題目錄一、熱點題型歸納【題型一】線段的尺規(guī)作圖【題型二】角的尺規(guī)作圖【題型三】垂線的尺規(guī)作圖【題型四】三角形的尺規(guī)作圖二、最新?？碱}組練【題型一】線段的尺規(guī)作圖【典例分析】如圖，已知直線a、b及點P．過點P作線段，使得點A、B分別在直線a、b上，分別根據(jù)下列條件作圖．（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，并作簡要說明）(1)PA＝PB；(2)PA＝2PB．【提分秘籍】基本規(guī)律1.作一條線段等于已知線段。已知：如圖，線段a。求作：線段AB，使AB=a。作法：（1）作射線AP；（2）在射線AP上截取AB=a。則線段AB就是所求作的圖形。2.作已知線段的垂直平分線已知：如圖，線段MN。求作：點O，使MO=NO（即O是MN的中點）。作法：（1）分別以M、N為圓心，大于的相同線段為半徑畫弧，兩弧相交于P，Q；（2）連接PQ交MN于O；則點PQ就是所求作的ＭＮ的垂直平分線?！咀兪窖菥殹?．（2022·江蘇無錫·?？寄M預(yù)測）如圖,已知線段a,直線AB和CD相交于點O.利用尺規(guī)按下列要求作圖：（1）在射線OA、OB、OC、OD上作線段OA′、OB′、OC′、OD′，使它們分別與線段a相等；（2）連接A′C′、C′B′、B′D′、D′A′.你得到了一個怎樣的圖形？2．按要求作圖，并保留作圖痕跡．如圖，已知線段a、b、c，用圓規(guī)和直尺作線段AD，使AD=a+2b﹣c．【題型二】角的尺規(guī)作圖【典例分析】如圖，在中，．(1)請在圖1中上方作射線，使得；在射線上作一點，作以為直徑的圓，使其恰好過點；（作圖使用沒有刻度的直尺和圓規(guī)，不寫作法，保留作圖痕跡，并在圖中標注字母、）(2)在（1）中所作的圖形中，設(shè)圓交于點，若，，則的長為______．（如需畫草圖，請使用圖2）【提分秘籍】基本規(guī)律1.作已知角的角平分線。已知：如圖，∠AOB，求作：射線OP，使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。作法：（1）以O(shè)為圓心，任意長度為半徑畫弧，分別交OA，OB于M，N；（2）分別以M、Ｎ為圓心，大于的線段長，為半徑畫弧，兩弧交∠AOB內(nèi)于Ｐ；（3）作射線OP；則射線OP就是∠AOB的角平分線。2.作一個角等于已知角。已知：如圖，∠AOB。求作：∠A'O'B'，使A'O'B'=∠AOB作法：（1）作射線O'A'；（2）以O(shè)為圓心，任意長度為半徑畫弧，交OA于M，交OB于N；（3）以O(shè)'為圓心，以O(shè)M的長為半徑畫弧，交O'A'于M'；（4）以M'為圓心，以MN的長為半徑畫弧，交前弧于N'；（5）連接O'N'并延長到B'；則∠A'O'B'就是所求作的角。【變式演練】1．如圖，已知，P、F是、上一點．(1)用尺規(guī)作圖法作；(2)若，，，求與的距離．2．請用尺規(guī)作出符合下列要求的點（不寫作法，保留作圖痕跡）．（1）在圖①中作出一點D，使得∠ADB＝2∠C；（2）在圖②中作出一點E，使得∠AEB＝∠C．【題型三】垂線的尺規(guī)作圖【典例分析】如圖，在中，．(1)請在圖1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：作的角平分線交于點D，在，上求作點M，N，使A，D關(guān)于直線對稱；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，連接，，若，，則四邊形的周長為．（如需畫草圖，請使用圖2）【提分秘籍】基本規(guī)律1.經(jīng)過直線上一點做已知直線的垂線。已知：如圖，P是直線AB上一點。求作：直線CD，是CD經(jīng)過點P，且CD⊥AB。作法：（1）以P為圓心，任意長為半徑畫弧，交AB于M、N；（2）分別以M、N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點Q；（3）過D、Q作直線CD；則直線CD是求作的直線。2.經(jīng)過直線外一點作已知直線的垂線已知：如圖，直線AB及外一點P。求作：直線CD，使CD經(jīng)過點P，且CD⊥AB。作法：（1）以P為圓心，任意長為半徑畫弧，交AB于M、N；（2）分別以M、N圓心，大于長度的一半為半徑畫弧，兩弧交于點Q；（3）過P、Q作直線CD；則直線CD就是所求作的直線。【變式演練】1．如圖1，點O是線段上的一點，經(jīng)過點B(1)尺規(guī)作圖：過點A作的一條切線，切點為P（不寫作法，保留作圖痕跡，用黑筆描黑加粗）(2)在（1）的條件下，連接，若，如圖2，求證：2．如圖所示，要把殘破的輪片復(fù)制完整，已知弧上的三點A，B，C．(1)用尺規(guī)作圖法找出所在圓的圓心；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)設(shè)是等腰三角形，底邊，腰，求圓片的半徑R．【題型四】三角形的尺規(guī)作圖【典例分析】如圖，已知線段a，h，用直尺和圓規(guī)按下列要求分別作一個等腰三角形ABC(保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明)．(1)△ABC的底邊長為a，底邊上的高為h；(2)△ABC的腰長為a，腰上的高為h．【提分秘籍】基本規(guī)律1.已知三邊作三角形已知：如圖，線段a，b，c.求作：△ABC，使AB=c，AC=b，BC=a.作法：（1）作線段AB=c；（2）以A為圓心，以b為半徑作弧，以B為圓心，以a為半徑作弧與前弧相交于C；（3）連接AC，BC；則△ABC就是所求作的三角形。2.已知兩邊及夾角作三角形已知：如圖，線段m，n，∠。求作：△ABC，使∠A=∠，AB=m，AC=n。作法：（1）作∠A=∠；（2）在AB上截取AB=m，AC=n；（3）連接BC；則△ABC就是所求作的三角形。3.已知兩角及夾邊作三角形。已知：如圖，∠，∠，線段m。 求作：△ABC，使∠A=∠，∠B=∠，AB=m。作法：（1）作線段AB=m；（2）在AB的同旁，作∠A=∠，作∠B=∠，∠A與∠B的另一邊相交于C；則△ABC就是所求作的圖形（三角形）。【變式演練】1．已知正五邊形，請僅用無刻度直尺作圖．（1）在圖1中作點P，使得是等腰三角形：（2）在圖2中作點，使點稱為正五邊形的中心．2．如圖，點都在上，請僅用無刻度的直尺分別按下列要求畫圖.（不寫作法，保留作圖痕跡）（1）在圖1中，若，畫一個的內(nèi)接等腰直角三角形.（2）在圖2中，若點在弦上，且，畫一個的內(nèi)接等腰直角三角形.1．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）已知：如圖，中，，點是邊上一點．(1)尺規(guī)作圖：以為對角線作平行四邊形（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)填空：當時，平行四邊形是菱形．2．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考一模）如圖，已知．(1)請在圖1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：作的內(nèi)切圓；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，若，，，則__________．（如需畫草圖，請使用圖2）3．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考一模）如圖，已知點是矩形中邊的中點，連接．(1)分別在、邊上求作點、點，使得點關(guān)于的對稱點恰好落在線段上；（請保留作圖痕跡，不需要寫作法）(2)在（1）的條件下，若，，求．4．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考一模）【尺規(guī)作圖】在中，點D、E、F分別在邊上，請嘗試用無刻度的直尺和圓規(guī)完成下列作圖，不寫作法，保留作圖痕跡，(1)如圖1，連接，若是的中線，請作出點F，使平分線段；(2)如圖2，當時，請作出點D，使；【方案設(shè)計】如圖3，在問題（2）中，如果符合條件的點D有且僅有一個，請設(shè)計畫圖方案，畫出圖形（無需尺規(guī)作圖）5．（2023·江蘇揚州·校聯(lián)考一模）（1）如圖1，在中，E為的中點，在上找出一點N，使得請僅用無刻度的直尺完成下列畫圖，不寫畫法，保留畫圖痕跡．（2）如圖，已知，點P為平面上一點，請用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)，按下列要求作圖：（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）①如圖2，若點P在邊上，且，請在邊上確定一點Q，使得；②如圖3，若點P在內(nèi)，過點P作線段，M在邊上，N在邊上滿足．6．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·校聯(lián)考一模）如圖，的邊上有一點，以點為圓心，為半徑作圓，與邊的另一交點為點，過點作的切線，點在射線上．(1)僅用圓規(guī)，在邊上求作一點（不與、重合），使、所在直線與互相垂直（保留作圖痕跡）；(2)連接交于點，，．①若的半徑為2，求長；②當?shù)陌霃綖槎嗌贂r，取最大值？7．（2023·江蘇無錫·?？级＃┤鐖D，矩形中，，，是邊上的一點，點在邊上，且滿足．(1)請用不帶刻度的直尺和圓規(guī)，在所給的圖中作出符合條件的點；（不要求寫作法，但保留作圖痕跡）(2)若，試確定的值．8．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考一模）數(shù)學實驗室：有一個直角三角形紙板，，，．小明計劃以三角形的一條邊為直徑所在的邊，先剪出一個最大的半圓，用這個半圓圍成一個圓錐的側(cè)面，然后在剩下的紙板上再剪出一個完整的圓，用這個圓作為圓錐的底面圓．如圖1，小明首先以斜邊為直徑所在的邊進行嘗試，發(fā)現(xiàn)無法實現(xiàn)他的計劃，他打算換成直角邊來繼續(xù)實驗．(1)請你在圖2中，任選一條直角邊為直徑所在的邊，幫小明畫出一個最大的半圓（請使用無刻度的直尺和圓規(guī)完成作圖）；(2)如果小明按照你選的直角邊繼續(xù)往下操作，他能否順利得到這個圓錐的底面圓？如果能，請說明理由；如果不能，那么換另一條直角邊能否實現(xiàn)？同樣請說明理由．（友情提醒：請利用圖3完成題（2）的解答）9．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考一模）【問題提出】在一次折紙活動課上，老師提出這樣一個問題：如何把一張正方形的紙通過折疊的方式等分成若干份？【解決問題】以下是某個小組的活動過程：若是等分成兩份，如圖①直接對折，四等分、八等分在二等分的基礎(chǔ)上進行對折即可，那三等分呢？學習過相似三角形的相關(guān)知識后，小明提出了如下方法：如圖②，折出的中點E、F，連接交對角線于點G、H，過點G、H折出的平行線，折痕三等分正方形紙片．(1)小明的想法正確嗎？若正確，請證明；(2)尺規(guī)作圖：如圖③，請你用尺規(guī)作圖，作線段的三等分點（保留作圖痕跡，并簡要說明作法）．10．（2022·江蘇鹽城·校考三模）如圖，在中，點是的中點，．(1)試用無刻度的直尺和圓規(guī)，在上作一點，使得直線平分的周長；(不要求寫作法，但要保留作圖痕跡)；(2)在（1）的條件下，若，，求的長．11．（2023·江蘇常州·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形ABCD中，AC是對角線．(1)實踐與操作：利用尺規(guī)作線段AC的垂直平分線，垂足為點O，交邊AD于點E，交邊BC于點F（要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標明字母），(2)猜想與證明：試猜想線段AE與CF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．12．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考二模）如圖，已知．點，分別在，上，且滿足，．(1)用直尺和圓規(guī)確定點，；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)連接，，與交于點．①求證；②若，，，則的長為________．13．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考二模）【概念認識】與矩形一邊相切（切點不是頂點）且經(jīng)過矩形的兩個頂點的圓叫做矩形的第Ⅰ類圓；與矩形兩邊相切（切點都不是頂點）且經(jīng)過矩形的一個頂點的圓叫做矩形的第Ⅱ類圓．(1)【初步理解】如圖①~③，四邊形是矩形，和都與邊相切，與邊相切，和都經(jīng)過點，經(jīng)過點，3個圓都經(jīng)過點．在這3個圓中，是矩形的第Ⅰ類圓的是________是矩形的第Ⅱ類圓的是________．(2)【計算求解】已知一個矩形的相鄰兩邊的長分別為4和6，直接寫出它的第Ⅰ類圓和第Ⅱ類圓的半徑長．(3)【深入研究】如圖④，已知矩形，用直尺和圓規(guī)作圖．（保留作圖痕跡，并寫出必要的文字說明）①作它的1個第Ⅰ類圓；②作它的1個第Ⅱ類圓．14．（2022·