專題01 一元二次方程的解法重難點題型專訓（解析版）

專題01一元二次方程的解法重難點題型專訓【題型目錄】題型一用直接開方法解一元二次方程題型二用配方法解一元二次方程題型三用公式法解一元二次方程題型四用因式分解法解一元二次方程題型五用換元法解一元二次方程題型六根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況題型七根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)題型八配方法的應用【經(jīng)典例題一用直接開方法解一元二次方程】【解題技巧】開平方法：對于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一邊是含有未知數(shù)的一次式的平方，而另一邊是一個非負數(shù)，可用開平方法求解.形如的方程的解法：當時，;當時，;當時，方程無實數(shù)根?！纠?】（2023春·安徽·八年級淮北一中校聯(lián)考階段練習）若一元二次方程的兩根分別是和，則的值為（

）A．16 B． C．25 D．或25【答案】B【分析】直接開平方得到：，得到方程的兩個根互為相反數(shù)，所以，解得，則方程的兩個根分別是，，則有，然后兩邊平方即可得出答案．【詳解】解：∵一元二次方程的兩個根分別是與，且，∴，解得：，即方程的根是：，，∴，故選：B．【點睛】題目主要考查了解一元二次方程及一元一次方程，靈活運用一元二次方程的兩根互為相反數(shù)是解題關鍵．【變式訓練】1．（2022春·八年級單元測試）下列哪個是一元二次方程的解（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】兩邊同時除以2，再兩邊開方，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可．【詳解】解：，，，解得，，，故選：C【點睛】本題考查了解一元二次方程-直接開平方法，類型有：；（同號且）；；同號且．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開平方取正負，分開求得方程解．2．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預測）在平面直角坐標系中，直線分別與的正半軸、的負半軸相交于兩點，已知的面積等于，則的值為______．【答案】【分析】依據(jù)題目求出，，再根據(jù)的面積等于，即可得出答案．【詳解】當時，∴，∴，當時，∴，∵直線分別與的正半軸、的負半軸相交于兩點，∴，∵的面積等于16，∴，解得：，（不合題意，舍去）．故答案為：．【點睛】此題考查了一次函數(shù)與軸、軸的交點問題，以及三角形面積問題，一元二次方程的解，掌握一次函數(shù)與軸、軸的交點的求法是解題的關鍵．3．（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）解關于的方程：．【答案】，．【分析】根據(jù)直接開平方法解一元二次方程即可．【詳解】解：，∴，∴或，解得：，．【點睛】本題考查一元二次方程的解法，解題的關鍵是靈活運用直接開平方法解一元二次方程．【經(jīng)典例題二用配方法解一元二次方程】【解題技巧】配方法：通過配方的方法把一元二次方程轉(zhuǎn)化為的方程，再運用開平方法求解。配方法的一般步驟：①移項：把一元二次方程中含有未知數(shù)的項移到方程的左邊，常數(shù)項移到方程的右邊；②“系數(shù)化1”：根據(jù)等式的性質(zhì)把二次項的系數(shù)化為1；③配方：將方程兩邊分別加上一次項系數(shù)一半的平方，把方程變形為的形式；④求解：若時，方程的解為，若時，方程無實數(shù)解?！纠?】（2023春·八年級課時練習）用配方法解下列方程時，配方正確的是（

）A．化為 B．化為C．化為 D．化為【答案】D【分析】根據(jù)配方法求解一元二次方程的性質(zhì)，對各個選項逐個分析，即可得到答案.【詳解】∵∴∴，故選項A錯誤，不符合題意；∵∴∴，故選項B錯誤，不符合題意；∵∴∴∴，故選項C錯誤，不符合題意；∵∴∴∴，故選項D正確，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的知識；解題的關鍵是熟練掌握配方法求解一元二次方程的性質(zhì)，從而完成求解．【變式訓練】1．（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預測）將方程配方成的形式，下列配方結(jié)果正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先二次項化系數(shù)為1，將常數(shù)項移到方程的右邊，然后方程兩邊同時加上一次項系數(shù)的一半，即可求解．【詳解】解：二次項化系數(shù)為1得：移項得：配方得：整理得：故選：D．【點睛】本題考查了利用配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法是解題關鍵．2．（2022秋·河南駐馬店·九年級?？茧A段練習）若定義如果存在一個數(shù)i，使，那么當時，有，從而是方程的兩個根．據(jù)此可知：方程的兩根為___________（根用i表示）．【答案】，【分析】方程利用配方法，結(jié)合閱讀材料中的方法求出解即可．【詳解】解：方程整理，得，配方得，即，開方，得，解得，，故答案為：，．【點睛】本題考查了解一元二次方程-配方法，以及新定義的運算，讀懂新定義并熟練掌握配方法解一元二次方程是解本題的關鍵．3．（2022春·廣東揭陽·八年級統(tǒng)考期末）把代數(shù)式通過配湊等手段，得到局部完全平方式．再進行有關運算和解題，這種解題方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：，解：原式②，利用配方法求的最小值，解：∵，∴當時，有最小值1．請根據(jù)上述材料解決下列問題：(1)在橫線上添加一個常數(shù)，使之成為完全平方式：______．(2)用配方法因式分解：．(3)若，求的最小值．(4)已知，則的值為______．【答案】(1)(2)(3)(4)4【分析】（1）根據(jù)題意，由完全平方公式，可以知道橫線上是，（2）按照題干上的示例可以將分為，再利用完全平方公式即可求解，（3）根據(jù)題意的方法，先將因式分解為完全平方的形式即，即可求出最小值，（4）根據(jù)題意先將因式分解，變成完全平方的形式即，然后得出，，的值，代入即可求出結(jié)果．【詳解】（1）解：，故答案為：；（2）解：；（3）解：，∵，∴當時，有最小值為；（4）解：，，，∵，，，∴，∴，，，∴，故答案為：4．【點睛】本題考查了利用配方法解決數(shù)學中的問題；把代數(shù)式通過配湊等手段，得到局部完全平方式，再進行有關運算和解題，這種解題方法叫做配方法；配方法在數(shù)學中應用比較廣泛，既可以利用配方法進行因式分解，也可以利用配方法求最小值，同時對于（4）中幾個非負數(shù)的和為零時，可得這幾個加數(shù)同時為零，求出未知數(shù)的值，這一知識在數(shù)學中經(jīng)常運用，要熟練掌握．【經(jīng)典例題三用公式法解一元二次方程】【解題技巧】公式法：一元二次方程的根當時，方程有兩個實數(shù)根,且這兩個實數(shù)根不相等；當時，方程有兩個實數(shù)根,且這兩個實數(shù)根相等，寫為；當時，方程無實數(shù)根.公式法的一般步驟：①把一元二次方程化為一般式；②確定的值；③代入中計算其值，判斷方程是否有實數(shù)根；④若代入求根公式求值，否則，原方程無實數(shù)根。（因為這樣可以減少計算量。另外，求根公式對于任何一個一元二次方程都適用，其中也包括不完全的一元二次方程。）【例3】（2023春·浙江溫州·八年級校考期中）被稱為“幾何之父”的古希臘數(shù)學家歐幾里得，在他的幾何原本中，記載了用圖解法解方程的方法，類似地我們可以用折紙的方法求方程的一個正根如圖，一張邊長為的正方形的紙片，先折出，的中點，，再沿過點的直線折疊使落在線段上，點的對應點為點，折痕為，點在邊上，連接，，則長度恰好是方程的一個正根的線段為（

）A．線段 B．線段 C．線段 D．線段【答案】B【分析】設，則，從而可以用表示等式．利用正方形的面積等于圖中各個三角形的面積和，列等量關系．根據(jù)方程解出正根為，再判斷這個數(shù)值和題目中的哪條線段接近．【詳解】解：設，則．由題意可知：，是的中點，，．∴，，，．的解為：，取正值為．這條線段是線段．故選：B．【點睛】此題考查的是一元二次方程的應用，運用勾股定理和面積法找到線段的關系是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2021·浙江·九年級自主招生）已知正數(shù)x，y滿足方程，求（

）A． B． C．0 D．1【答案】C【分析】由，得出x和的值，再代入求解即可．【詳解】解：解方程得：，（舍），解方程得：，（舍），∴，∴．故選：C．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，解題的關鍵是求出x和的值．2．（2022春·八年級單元測試）將方程化成一般形式為，則________，此方程的根是________．【答案】217或【分析】（1）直接將化為一般形式即可得出a、b、c，代入即可求出的值，再利用公式法求解即可．【詳解】解：∵∴；∴次方程的根：，∴或；【點睛】本題考查用公式法解一元二次方程，熟練運用公式是解題的關鍵．3．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）用公式法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】運用公式法求解即可．【詳解】（1）解：，，，，，原方程的解為：，；（2）解：，，，，，原方程的解為：，．【點睛】本題考查了運用公式法解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的求根公式是解題的關鍵．【經(jīng)典例題四用因式分解法解一元二次方程】【解題技巧】因式分解法：①因式分解法解一元二次方程的依據(jù)：如果兩個因式的積等于0，那么這兩個因式至少有一個為0，即：若，則；②因式分解法的一般步驟：若方程的右邊不是零，則先移項，使方程的右邊為零；把方程的左邊分解因式；令每一個因式都為零，得到兩個一元一次方程；解出這兩個一元一次方程的解可得到原方程的兩個解。（5）選用適當方法解一元二次方程①對于無理系數(shù)的一元二次方程，可選用因式分解法，較之別的方法可能要簡便的多，只不過應注意二次根式的化簡問題。②方程若含有未知數(shù)的因式，選用因式分解較簡便，若整理為一般式再解就較為麻煩。（6）解含有字母系數(shù)的方程（1）含有字母系數(shù)的方程，注意討論含未知數(shù)最高項系數(shù)，以確定方程的類型；（2）對于字母系數(shù)的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可選用別的方法，此時一定不要忘記對字母的取值進行討論?！纠?】（2023·貴州遵義·統(tǒng)考二模）對于兩個不相等的實數(shù)a，b，我們規(guī)定符號表示a，b中的較大值，如：，因此，；按照這個規(guī)定，若，則x的值是（

）A．5 B．5或 C．或 D．5或【答案】B【分析】根據(jù)題意進行分類討論，當時，可得，求出x的值即可；當時，可得求出x的值即可．【詳解】解：當時，則，∴，即，解得：（不符合題意，舍去），當時，則，∴，即，解得：（不符合題意，舍去），，綜上：x的值是5或，故選：B．【點睛】本題主要考查了新定義下的運算和解一元二次方程，解題的關鍵是正確理解題目所給新定義的運算法則，熟練掌握解一元二次方程的方法和步驟．【變式訓練】1．（2023春·上海靜安·八年級上海市回民中學?？计谥校┤魓為實數(shù)，且滿足，則（）A． B． C．或 D．無法確定【答案】B【分析】設，方程變形后，求出的值，即為的值．【詳解】解：設，方程變形為，即，解得：或，當時，化簡得，，方程無解，則故選：B【點睛】此題考查了換元法解分式方程，用換元法解一些復雜的分式方程是比較簡單的一種方法，根據(jù)方2．（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）已知等腰三角形的一邊長，另外兩邊的長程特點設出相應未知數(shù)，解方程能夠使問題簡單化，注意求出方程解后要驗根．恰好是關于的一元二次方程的兩個根，則的周長為___________【答案】15【分析】分情況討論：若a作為腰，則方程的一個根為6，將6代入求出k的值，然后求出方程的解，得出三角形的周長；將a作為底，則說明方程有兩個相等的實數(shù)根，則根據(jù)求出k的值，然后將k的值代入方程求出解，得出周長．【詳解】若為腰，則中還有一腰，即6是方程的一個根．∴解得：將代入得：解得：．，此時能構(gòu)成三角形，的周長為：若為底，則，即方程有兩個相等的實根．∴解得：將代入得：解得：．，∵∴此時不能構(gòu)成三角形，不能計算周長綜上可得：的周長為15．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、一元二次方程的根、一元二次方程的解法、根的判別式等知識，按若是否為底邊分類討論和構(gòu)成三角形的條件是解題的關鍵．特別注意驗證是否能構(gòu)成三角形．3．（2022秋·八年級單元測試）對于m，n，定義：若，則稱m與n是關于1的“對稱數(shù)”．(1)填空：7與______是關于1的“對稱數(shù)”；與______是關于1的“對稱數(shù)”；(2)已知，其中a，b均為常數(shù)，且無論x取何值，A與B都是關于1的“對稱數(shù)”，求a，b的值；(3)若，且C與D是關于1的“對稱數(shù)”，求滿足條件的x的值．【答案】(1)(2)(3)滿足條件的x值為或1【分析】（1）根據(jù)定義計算即可；（2）根據(jù)定義得到，整理得，再根據(jù)a，b均為常數(shù)，且無論x取何值，A與B都是關于1的“對稱數(shù)”，得到即可；（3）根據(jù)定義得到，解方程即可．【詳解】（1）解：根據(jù)關于1的“對稱數(shù)”的定義，得，故答案為：；（2）根據(jù)題意，得，即，∴，整理得，∵a，b均為常數(shù)，且無論x取何值，A與B都是關于1的“對稱數(shù)”，∴，解得；（3）∵C與D是關于1的“對稱數(shù)”，∴，整理，得，解得或，∴滿足條件的x值為或1．【點睛】此題考查了新定義，解一元二次方程，因式分解的應用，正確理解新定義并靈活應用是解題的關鍵．【經(jīng)典例題五用換元法解一元二次方程】【解題技巧】把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法；換元的實質(zhì)轉(zhuǎn)化，關鍵是構(gòu)造圓和設元【例5】（2021秋·新疆·九年級新疆農(nóng)業(yè)大學附屬中學?？茧A段練習）若實數(shù)滿足方程，那么的值為（

）A．或5 B．5 C． D．3或【答案】B【分析】設，然后將原方程變形，利用因式分解法解方程求出y的值，即可得到的可能取值，再分情況利用根的判別式判斷是否符合題意即可．【詳解】解：設，則原方程變?yōu)椋淼茫?，因式分解得，∴或，∴或，當時，即，整理得，∵，∴方程有實數(shù)根，符合題意，當時，即，整理得，∵，∴方程沒有實數(shù)根，不符合題意，∴的值為5，故選：B．【點睛】本題考查了換元法解一元二次方程，根的判別式的意義，一元二次方程的根與有如下關系：當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程無實數(shù)根．【變式訓練】1．（2022秋·新疆烏魯木齊·九年級新疆師范大學附屬中學?？茧A段練習）已知x為實數(shù)，且，則的值為（）A．4 B．4或 C． D．或3【答案】A【分析】設，然后將原方程變形，利用因式分解法解方程求出y的值，即可得到的可能取值，再分情況利用根的判別式判斷是否符合題意即可．【詳解】解：設，則原方程變?yōu)?，整理得：，因式分解得，∴或，∴或，當時，即，整理得，∵，∴方程有實數(shù)根，符合題意，當時，即，整理得，∵，∴方程沒有實數(shù)根，不符合題意，∴的值為4，故選：A．【點睛】本題考查了換元法解一元二次方程，根的判別式的意義，一元二次方程的根與有如下關系：當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程無實數(shù)根．2．（2023春·浙江溫州·八年級溫州市第十二中學?？计谥校┮阎匠痰母鶠?，，則方程的根是________．【答案】，【分析】設，可得，根據(jù)的根為，，可得或，即可得到答案；【詳解】解：設，可得，∵的根為，，∴或，解得：，，故答案為，；【點睛】本題考查換元法求方程的解，解題的關鍵是設，得到，結(jié)合方程的根為，．3．（2023春·八年級單元測試）（換元法）解方程：解：設則原方程可化為解得：當時，，解得當時，，解得∴原方程的根是，根據(jù)以上材料，請解方程：(1)．(2)【答案】(1)原方程的根是；(2)原方程的根是．【分析】(1)設，則原方程可化為，解得的值，即可得到原方程的根；(2)設，則原方程可化為，解得的值，檢驗后即可得到原方程的根．【詳解】（1）設，則原方程可化為解得∶當時，，解得當時，，方程無解原方程的根是；（2）設，則原方程可化為去分母，可得解得當時，，解得當時，，方程無解經(jīng)檢驗∶都是原方程的解原方程的根是．【點睛】本題主要考查了運用換元法解一元二次方程以及分式方程，解數(shù)學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法．【經(jīng)典例題六根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況】【解題技巧】了解一元二次方程根的判別式概念，能用判別式判定根的情況，并會用判別式求一元二次方程中符合題意的參數(shù)取值范圍。（1）=（2）根的判別式定理及其逆定理：對于一元二次方程（）①當方程有實數(shù)根；（當方程有兩個不相等的實數(shù)根；當方程有兩個相等的實數(shù)根；）②當方程無實數(shù)根；從左到右為根的判別式定理；從右到左為根的判別式逆定理?！纠?】（2023·山東日照·統(tǒng)考三模）對于函數(shù)，規(guī)定，例如若則有，已知函數(shù)，則方程的解的情況是（

）A．沒有實數(shù)根 B．有一個實數(shù)根 C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．有兩個相等的實數(shù)根【答案】A【分析】根據(jù)規(guī)定將方程轉(zhuǎn)化為一般式，再由根的判別式判斷即可．【詳解】解：根據(jù)題意：，由：，故：，即：，，沒有實數(shù)根．故選：A．【點睛】本題考查了利用根的判別式來判斷方程根的情況，解題的關鍵是：要理解規(guī)定的內(nèi)容，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為一般式后，方程就為一元二次方程再解即可．【變式訓練】1．（2023·河北衡水·校聯(lián)考二模）若是一元二次方程的一個根，那么方程的根的情況是（

）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有一個根是C．沒有實數(shù)根 D．有兩個相等的實數(shù)根【答案】B【分析】先將代入中得到，再根據(jù)一元二次方程根的判別式進行求解即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵是一元二次方程的一個根，∴，即，對于方程，∵，∴方程有兩個實數(shù)根，故選項A、C、D錯誤，不符合題意；當時，，即是方程的一個根，故選項B正確，符合題意，故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的解和根的判別式，解答的關鍵是理解一元二次方程的解的意義，掌握一元二次方程根的情況與根的判別式的關系：當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程沒有實數(shù)根．2．（2021秋·江蘇徐州·九年級校考階段練習）若（a2﹣2a）2﹣9＝0，則代數(shù)式a2﹣2a的值為_____．【答案】3【分析】設a2﹣2a＝x，可得x＝±3，然后分情況討論，注意運用根的判別式進行驗證．【詳解】解：（a2﹣2a）2﹣9＝0，設a2﹣2a＝x，則原方程化為：x2﹣9＝0，解得：x＝±3，當x＝3時，a2﹣2a＝3，解得：a＝2或﹣1；當x＝﹣3時，a2﹣2a＝﹣3，a2﹣2a+3＝0，△＝（﹣2）2﹣4×1×3＝﹣8＜0，此方程無解；所以a2﹣2a的值是3，故答案為：3．【點睛】本題考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程的解法以及根的判別式是解本題的關鍵．3．（2023·廣東廣州·?？家荒＃┮阎P于x的一元二次方程，其中a、b、c分別為三邊的長．(1)如果是方程的根，試判斷的形狀，并說明理由．(2)如果方程有兩個相等的實數(shù)根，試判斷的形狀，并說明理由．(3)如果是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根．【答案】(1)等腰三角形，見解析(2)直角三角形，見解析(3)x1=0，x2=-1【分析】（1）將代入方程中，然后化簡得出，即可判斷的形狀；（2）利用一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，可用建立方程，即可得出，即可判斷的形狀；（3）由等邊三角形的性可得，再代入化簡可得，然后運用因式分解法求解即可．【詳解】（1）解：是等腰三角形，理由如下：∵當時，由方程的解得意義可得：，∴，∴是等腰三角形．（2）解：是直角三角形，理由如下：∵方程有兩個相等的實數(shù)根，∴，∴，∴是直角三角形．（3）解：∵是等邊三角形，∴，∴原方程可化為：，即：，∴，∴，∴這個一元二次方程的根為．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應用、根的判別式、勾股定理逆定理、等邊三角形的性質(zhì)等知識點，根據(jù)已知條件確定適當?shù)牡攘筷P系是解題關鍵．【經(jīng)典例題七根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)】【例7】1（2023·寧夏銀川·?？家荒＃┮阎P于的方程有實數(shù)根，則的取值范圍為（

）A． B． C．且 D．且【答案】B【分析】根據(jù)題設“關于的方程”，得：二次項系數(shù)可以等于0，所以要分“當時”、“當”時兩種情況討論即可．【詳解】解：當時，原方程可整理得：，符合題意；當時，∵關于x的方程kx2+4x-1=0有實數(shù)根，得：，解得：．綜上所述：．故選B．【點睛】本題考查了根的判別式和一元二次方程的定義，正確掌握根的判別式公式和一元二次方程的定義是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023春·浙江紹興·八年級校聯(lián)考期中）關于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．且 C． D．且【答案】B【分析】根據(jù)關于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根知，據(jù)此得出a的范圍，再結(jié)合一元二次方程的定義可得答案．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，∴，解得，，又∵，∴且，故選：B．【點睛】本題主要考查一元二次方程的定義及根的判別式，一元二次方程的根與有如下關系：①當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；②當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；③當時，方程無實數(shù)根．2．（2023·山東濟南·統(tǒng)考三模）關于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，則a的最大整數(shù)解是______．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式的意義得到，再解不等式，然后在a的取值范圍找出最大的整數(shù)即可．【詳解】解：根據(jù)題意得，解得，所以a的最大整數(shù)解為1．故答案為：1．【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關系：當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程無實數(shù)根．3．（2023春·浙江衢州·八年級?？茧A段練習）已知關于x的方程．(1)求證：無論m為何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2)若方程根的判別式的值為5，求m的值及方程的根．【答案】(1)見解析(2)或3，當時，方程的解為；當時，方程的解為；【分析】（1）先得出一元二次方程根的判別式，再證明判別式大于0即可解答；（2）令判別式等于5求得或3，然后分和兩種情況，分別代入方程求解即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴不論m為何值時，方程總有兩個不相等的實數(shù)根．（2）解：令，則，解得：或3當時，原方程可化為：∴∴；當時，原方程可化為：∴∴；綜上，當時，方程的解為；當時，方程的解為．【點睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式、解一元二次方程等知識點，由方程根的情況得到判別式的符號是解題的關鍵．【經(jīng)典例題八配方法的應用】【例8】（2023春·山東威海·八年級統(tǒng)考期中）已知，，下列結(jié)論正確的是（

）A．的最大值是0 B．的最小值是C．當時，為正數(shù) D．當時，為負數(shù)【答案】B【分析】利用配方法表示出，以及時，用含的式子表示出，確定的符號，進行判斷即可．【詳解】解：∵，，∴；∴當時，有最小值；當時，即：，∴，∴，∴，即是非正數(shù)；故選項錯誤，選項正確；故選B．【點睛】本題考查整式加減運算，配方法的應用．熟練掌握合并同類項，以及配方法，是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2020·福建泉州·九年級福建省泉州第一中學校聯(lián)考階段練習）已知實數(shù)，，滿足，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由變形得，代入中得到，再進行配方，根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】故選：A．【點睛】本題主要考查了配方法的應用，涉及非負數(shù)的性質(zhì)、偶次方，熟練運用上述知識是解題的關鍵．2．（2023春·江蘇南通·九年級校聯(lián)考階段練習）若實數(shù)x，y滿足關系式，則的最大值為______．【答案】4【分析】將適當變形得到用含有x的代數(shù)式表示的形式，再利用配方法變形后，根據(jù)x的取值范圍即可解答．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，，∵∴∴當時的最大值為．故答案為4．【點睛】本題主要考查了代數(shù)式的極值、配方法等知識點，利用配方法對式子靈活變形是解題的關鍵．3．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考二模）（1）數(shù)學活動小組在研究函數(shù)的圖像時提出了下列問題：①函數(shù)的自變量x的取值范圍是；②容易發(fā)現(xiàn)，當時，；當時，．由此可見，圖像在第象限；③閱讀材料：當時，．當時，即時，有最小值是2．請仿照上述過程，求出當時，的最大值；（2）當時，求的最小值；（3）如圖，四邊形的對角線，相交于點，、的面積分別為4和9，求四邊形面積的最小值．【答案】（1）①；②一、三；③當時，的最大值為；（2）最小值為11；（3）25【分析】（1）①根據(jù)分母不為0即可求解；②根據(jù)當時，；當時，即可判斷；③模仿求解過程，利用配方法即可求解；（2）將的分子分別除以分母，展開，將含的項用題中所給公式求得最小值，再加上常數(shù)即可；（3）設，已知，，則由等高三角形可知：，用含的式子表示出，四邊形的面積用含的代數(shù)式表示出來，再按照題中所給公式求得最小值，加上常數(shù)即可．【詳解】解：（1）①函數(shù)的自變量x的取值范圍為：；②容易發(fā)現(xiàn)，當時，；當時，．由此可見，圖像在第一、三象限；③當時，；當時，當時，的最小值為2；當時，的最大值為．故答案為：①；②一、三；③當時，的最大值為；（2）由，，，當時，最小值為11．（3）設，已知，則由等高三角形可知：四邊形面積當且僅當時取等號，即四邊形面積的最小值為25．【點睛】本題考查了配方法在最值問題中的應用，同時本題還考查了分式化簡和等高三角形的性質(zhì)，本題難度中等略大，屬于中檔題．【重難點訓練】1．（2023春·全國·八年級專題練習）解一元二次方程時，配方后得到方程，則c等于（

）A．6 B．4 C．2 D．【答案】C【分析】先把常數(shù)項移到方程右側(cè)，再把方程兩邊加上4，然后把方程左邊寫成完全平方的形式，從而求得c.【詳解】解：，，，，．故選：C．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程的配方法，熟練掌握用配方法解一元二次方程的一般步驟是解答關鍵.2．（2023·吉林長春·統(tǒng)考二模）已知關于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則的值是（

）A． B．0 C．4 D．8【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根得出，求解即可得到答案．【詳解】解：一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，，解得：，故選：C．【點睛】本題考查了根的判別式的應用，注意：一元二次方程（為常數(shù)，），當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程無實數(shù)根．3．（2023·浙江金華·校聯(lián)考二模）若關于的一元二次方程有實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（

）．A． B． C．且 D．且【答案】C【分析】關于x的一元二次方程有實數(shù)根，則，且，求出k的取值范圍即可．【詳解】關于x的一元二次方程有實數(shù)根，則，且，∴，解得：且，故選：C．【點睛】本題是對一元二次方程的考查，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解決本題的關鍵．4．（2023春·浙江·七年級專題練習）代數(shù)式的最小值為（

）．A． B．0 C．3 D．5【答案】A【分析】利用配方法對代數(shù)式做適當變形，通過計算即可得到答案．【詳解】代數(shù)式∵，∴即代數(shù)式，故選：A．【點睛】本題考查了完全平方公式和不等式的知識；解題的關鍵是熟練掌握完全平方公式和不等式的性質(zhì)，從而完成求解．5．（2023·河北滄州·模擬預測）已知直線與雙曲線只有一個交點，將直線向上平移1個單位長度后與雙曲線相交于，兩點，，則點A的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可列方程，化為整式方程為，再根據(jù)題意可知，即，可得雙曲線；然后再求得平移后直線解析式為；然后再列方程組求得、，最后根據(jù)即可確定點A的坐標．【詳解】解：∵，∴,∵直線與雙曲線只有一個交點，∴，解得:，∴雙曲線，將直線向上平移1個單位長度后得，解方程組：，解得：，，∵，∴,．故選A．【點睛】本題主要考查了直線與雙曲線的交點問題、直線的平移、一元二次方程根的判別式等知識點，根據(jù)直線與雙曲線只有一個交點確定k的值是解答本題的關鍵．6．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）在講解一元二次方程時，老師故意把常數(shù)項“□”空下了，讓同學們填一個正整數(shù)，使這個一元二次方程有兩不等實根，問大家其中所填的值可能有（

）A．6個 B．8個 C．9個 D．10個【答案】B【分析】設常數(shù)項為a，根據(jù)一元二次方程有兩不等實根，可得判別式，求出a的取值范圍即可得出結(jié)果．【詳解】解：設常數(shù)項為a，∵一元二次方程有兩不等實根，∴，∴，∵a為正整數(shù)，∴常數(shù)項有8種可能的值，故選：B．【點睛】本題考查根的判別式與一元二次方程的系數(shù)的關系，熟練掌握一元二次方程有兩不等實根，是解題的關鍵．7．（2023春·湖北恩施·九年級校考階段練習）若關于的方程有四個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】原方程整理得，得到或，根據(jù)題意得，解不等式組即可求解．【詳解】解：原方程整理得，∴或，∴或，∵關于的方程有四個不相等的實數(shù)根，∴，解得，，故選：C．【點睛】本題考查了因式分解法解方程，解不等式組，把當作整體進行因式分解是解題的關鍵．8．（2023春·浙江舟山·八年級校聯(lián)考期中）對于一元二次方程，有下列說法：①若方程有兩個不相等的實數(shù)根，則方程必有兩個不相等的實數(shù)根；②若方程有兩個實數(shù)根，則方程一定有兩個實數(shù)根；③若c是方程的一個根，則一定有成立；④若是一元二次方程的根，則其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】①根據(jù)根的判別式直接求解即可；②根據(jù)一元二次方程的定義直接判斷即可，需使二次項系數(shù)不為零才有兩個實根；③將根代入方程中，直接解方程即可；④根據(jù)一元二次方程根的定義，將根直接代入方程求解即可．【詳解】①若方程有兩個不相等的實數(shù)根，則，則方程中，，因此必有兩個不相等的實數(shù)根；故正確；②若方程有兩個實數(shù)根，則，則方程中，若，則不是一元二次方程；故錯誤；③若c是方程的一個根，則，，則或；故錯誤；④若是一元二次方程的根，則，將化簡為：；故錯誤；故選：A【點睛】此題考查一元二次方程的根的定義和根的判別式，解題關鍵是出現(xiàn)方程的根時，直接代入方程即可．9．（2023春·北京房山·八年級統(tǒng)考期末）關于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，則的取值范圍是_________．【答案】/【分析】一元二次方程的根與有如下關系：當時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；當時，方程無實數(shù)根．利用判別式的意義得到，然后解的不等式即可．【詳解】解：根據(jù)題意得，解得．故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式以及解一元一次不等式，理解并掌握一元二次方程的根的判別式的意義是解題關鍵．10．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考二模）已知關于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則的值為______．【答案】或【分析】根據(jù)一元二次方程的定義求出的值，根據(jù)兩個相等的實數(shù)根（）求出的值，然后相加即可；【詳解】解：為一元二次方程，，，解得：，方程為：，又有兩個相等的實數(shù)根，，即：，解得：，或，故答案為：或．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義以及根的判別式，熟練理解定義是解題關鍵．11．（2023·山東青島·統(tǒng)考二模）用配方法解一元二次方程時，將它化為的形式，則的值為______．【答案】【分析】對用配方法處理化為的形式即可．【詳解】解：進行移項得，二次項系數(shù)化為1得，配成完全平方式得，即，因為用配方法解一元二次方程時，將它化為的形式，所以，，則；故答案為：．【點睛】本題主要考查的是一元二次方程的配方法等知識，靈活掌握一元二次方程的配方法過程是解題的關鍵．12．（2022春·八年級單元測試）已知，則的值是_____．【答案】【分析】把已知條件式相加得到，利用非負數(shù)的性質(zhì)求出a、b、c的值即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：0．【點睛】本題主要考查了配方法的應用，正確根據(jù)已知條件式推出是解題的關鍵．13．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】使用直接開平方法、因式分解法求出方程的解．【詳解】（1）解：①，②，解得：；（2）解：解得：；（3）解：整理得：，，解得：；（4）∵∴原方程是一元二次方程，，，解得：．【點睛】本題考查了一元二次方程的解法，注意方法的恰當選擇是解題的關鍵．14．（2023·北京大興·統(tǒng)考二模）已知關于x的方程．(1)求證：該方程總有兩個實數(shù)根；(2)若該方程有一個根小于1，求m的取值范圍．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得，由此可證出方程總有兩個實數(shù)根；（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出，，根據(jù)方程有一根小于1，即可得出的取值范圍．【詳解】（1）解∶∵∴方程總有兩個實數(shù)根．（2）解：由求根公式，得∴，，依題意可得．【點睛】本題考查了根的判別式、公式法解一元二次方程，利用公式法解一元二次方程表示出方程的兩個根，熟練掌握當時，方程有兩個實數(shù)根是解題關鍵．15．（2023·貴州貴陽·?？家荒＃?）已知不等式，請你寫出一個不等式______，使它與已知不等式組成的不等式組的解集為．（2）在數(shù)學活動課上，老師出了一道一元二次方程的試題：“”讓同學們解答，甲、乙兩位同學的做法如下：甲同學乙同學解：原方程可化為：，解：原方程可化為：，當時，解得，，當時，解得，，∴，．∴，∴，．小組在交流過程中發(fā)現(xiàn)甲、乙兩位同學的結(jié)果不同，請判斷哪位同學的做法有誤______（填“甲”或“乙”），并根據(jù)該同學使用的方法寫出正確的解答過程．【答案】（1）；（2）乙，正確的解答過程見解析【分析】（1）先求出不等式的解集為，再根據(jù)不等式組的解集為，只需要寫出一個解集為的不等式即可；（2）乙同學在移項的時候3沒有變號，導致后續(xù)計算結(jié)果錯誤；利用配方法進行求解即可．【詳解】解：（1）解不等式，得，∵不等式組的解集為，∴不等式可以是．（2）乙，正確的解答過程如下：原方程可化為：，，∴，∴，．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，根據(jù)不等式組的解集求不等式的解集等等，靈活運用所學知識是解題的關鍵．16．（2022春·八年級單元測試）已知關于的方程．(1)求證：無論取什么數(shù)，方程總有兩個實數(shù)根；(2)若已知方程有一個實數(shù)根是，試求出另一個實數(shù)根．【答案】(1)見解析(2)方程的另一個實數(shù)根是【分析】（1）根據(jù)根的判別式進行判斷即可；（2）把代入方程，求出m的值，再把m的值代入原方程，解方程即可．【詳解】（1）證明：關于的方程中，，，，則，∴無論取什么數(shù)，方程總有兩個實數(shù)根；（2）解：把代入方程得：，解得：，把代入原方程得：，整理得：，解得：，，∴方程的另一個實數(shù)根是．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，根的判別式，解題的關鍵是熟練掌握一元二次方程的根與有如下關系：當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程無實數(shù)根．17．（2023春·浙江·七年級專題練習）把代數(shù)式通過配湊等手段，得到局部完全平方式，再進行有關運算和解題，這種解題方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：，解：原式②，利用配方法求M的最小值：解：因為，所以當時，M有最小值5請根據(jù)上述材料解決下列問題：(1)在橫線上添加一個常數(shù)，使之成為完全平方式；(2)用配方法因式分解；(3)若，求M的最小值．【答案】(1)16(2)(3)【分析】（1）利用完全平方公式，加上一次項系數(shù)一半的平方即可；（2）利用配方法分解因式即可；（3）利用配方法得到，然后根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)確定M的最小值．【詳解】（1）解：，故答案為：16；（2）解：；（3）解：∵，∴當時，M有最小值．【點睛】本題考查了因式分解?配方法等，熟練掌握配方法和平方差公式及完全平方公式是解決問題的關鍵．18．（2023春·廣東深圳·八年級深圳市南山外國語學校校聯(lián)考期中）閱讀材料：①用配方法因式分解：．解：原式．②若，利用配方法求M的最小值．解：．∵，，∴當時，M有最小值1．請根據(jù)上述材料解決下列問題：(1)在橫線上添上一個常數(shù)項使之稱為完全平方式：_____=______．(2)用配方法因式分解：．(3)若，求M的最大值．【答案】(1)4；(2)(3)M的最大值3【分析】（1）根據(jù)常數(shù)項等于一次項系數(shù)的一半的平方進行配方即可求解；（2）將143化成，前三項配成完全平方式，再利用平方差公式進行因式分解；（3）先提取，將二次項系數(shù)化為1，再配成完全平方，即可得答案．【詳解】（1）解：∵，故答案為：4；（2）解：；（3）解：，∵，∴當時，M有最大值，最大值為3．【點睛】本題考查了配方法在代數(shù)式求值中的應用，明確如何配方及偶次方的非負性，是解題的關鍵．19．（2023春·浙江·八年級專題練習）如圖，四邊形是證明勾股定理時用到的一個圖形，a，b，c是和邊長，易知，這時我們把關于x的形如的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”．請解決下列問題：(1)寫出一個“勾系一元二次方程”；(2)求證：關于x的“勾系一元二次方程”必有實數(shù)根；(3)若是“勾系一元二次方程”的一個根，且四邊形的周長是，求面積．【答案】(1)（答案不唯一）(2)證明見解析(3)1【分析】（1）直接找一組勾股數(shù)代入方程即可；（2）通過判斷根的判別式的正負來證明結(jié)論；（3）利用根的意義和勾股定理作為相等關系先求得的值，根據(jù)完全平方公式求得的值，從而可求得面積．【詳解】（1）解：當，，時勾系一元二次方程為；（2）證明：根據(jù)題意，得，∵，∴∴，∴勾系一元二次方程必有實數(shù)根；（3）解：當時，有，即，∵四邊形的周長是，∴，即，∴，∴，∴，，∵，∴∴，∴．【點睛】本題主要考查了勾股定理，完全平方公式的變形求值，一元二次方程的解和一元二次方程根的判別式，正確讀懂題意是解題的關鍵．20．（2022春·浙江杭州·八年級杭州外國語學校?？计谥校τ谌我庖粋€三位數(shù)k，如果k滿足各個數(shù)位上的數(shù)字都不為零，且十位上的數(shù)字的平方等于百位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之積的4倍，那么稱這個數(shù)為“喜鵲數(shù)”．例如：k＝169，因為62＝4×1×9，所以169是“喜鵲數(shù)”．(1)已知一個“喜鵲數(shù)”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c為正整數(shù)），請直接寫出a，b，c所滿足的關系式；判斷241

“喜鵲數(shù)”（填“是”或“不是”），并寫出一個“喜鵲數(shù)”；(2)利用（1）中“喜鵲數(shù)”k中的a，b，c構(gòu)造兩個一元二次方程ax2+bx+c＝0①與cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一個根，x＝n是方程②的一個根，求m與n滿足的關系式；(3)在（2）中條件下，且m