17.4 第2課時(shí) 一元二次方程的應(yīng)用 （解析版）

17.4一元二次方程的應(yīng)用第2課時(shí)一元二次方程的實(shí)際問題會(huì)分析實(shí)際問題中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，找出等量關(guān)系,列出一元二次方程解決實(shí)際問題，并根據(jù)具體問題的實(shí)際意義,取符合實(shí)際意義的解作答經(jīng)歷分析和解決實(shí)際問題的過程,體會(huì)一元二次方程的數(shù)學(xué)建模作用體會(huì)數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐,反過來又作用于實(shí)踐,增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí).知識(shí)點(diǎn)一列一元二次方程解實(shí)際問題的一般步驟1.列方程解實(shí)際問題的實(shí)質(zhì)列方程解實(shí)際問題就是先把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題(即轉(zhuǎn)化)然后通過解決數(shù)學(xué)問題來解決實(shí)際問題。列一元二次方程解實(shí)際問題的一般步驟審:是指審清題意,明確哪些是已知量,哪些是未知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系.設(shè):是指設(shè)元,也就是設(shè)未知數(shù),設(shè)元又分直接設(shè)元和間接設(shè)元.所謂直接設(shè)元就是問什么設(shè)什么;如果直接設(shè)元列方程比較難或列出的方程比較復(fù)雜,這時(shí)可以考慮間接設(shè)元,間接設(shè)元雖然所設(shè)未知數(shù)不是我們所要求的,但更便于列出方程,因此間接設(shè)元也是常用的一種方法.列:列方程,一般先找出能夠表達(dá)應(yīng)用題全部含義的一個(gè)等量關(guān)系,然后列代數(shù)式表示這個(gè)等量關(guān)系，就得到含有未知數(shù)的等式，即方程.解:解方程,求出未知數(shù)的值.驗(yàn):檢驗(yàn)方程的解是否正確及能否使實(shí)際問題有意義.答:回答問題一定要遵循“問什么答什么，怎樣問就怎樣答”的原則.簡記：審設(shè)列解驗(yàn)答。即學(xué)即練（2022秋·上海靜安·八年級(jí)?？计谥校┠吵幸辉路莸臓I業(yè)額為300萬元，一月、二月、三月的總營業(yè)額1200萬元，如果平均每月增長率為x，則由題意列方程為（

）A．3001+x2=1200C．300+3001+x2=1200【答案】D【分析】根據(jù)增長率分別表示出二月、三月的營業(yè)額即可求解．【詳解】解：由題意得：二月的營業(yè)額為：300三月的營業(yè)額為：300故一月、二月、三月的總營業(yè)額為：300+300故根據(jù)總營業(yè)額為1200萬元，可列方程為：300故選：D【點(diǎn)睛】本題考查增長率問題．分別表示出二月、三月的營業(yè)額是解題關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)二列一元二次方程解常見的實(shí)際問題常見題型列方程的理論依據(jù)行程問題路程=速度×?xí)r間平均增長率(降低率)問題為起始量,為終止量，為增長(或降低)的次數(shù)，平均增長率公式:(為平均增長率)平均降低率公式:(為平均降低率)傳播問題傳播的第二輪可以抽象為一元二次方程，設(shè)為傳染源數(shù)，為每個(gè)傳染源傳播的個(gè)數(shù)，則傳播兩輪后感染總個(gè)數(shù)為銷售利潤問題利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià);；售價(jià)=進(jìn)價(jià)×(1+利潤率);總利潤=總售價(jià)－總成本=單件利潤×總銷售量幾何圖形問題利用幾何圖形的面積、周長公式存款利息問題本息和＝本金+利息;利息＝本金×利率×期數(shù)數(shù)字問題兩位整數(shù)＝十位數(shù)字×10＋個(gè)位數(shù)字;三位整數(shù)＝百位數(shù)字×100＋十位數(shù)字×10＋個(gè)位數(shù)字工程問題一般情況把工作總量設(shè)為單位“1”當(dāng)甲獨(dú)立完成整個(gè)工作時(shí)，工作時(shí)間與工作效率互為倒數(shù)工作效率×工作時(shí)間＝工作總量動(dòng)態(tài)幾何問題運(yùn)用幾何知識(shí)以及行程公式，一般采用間接設(shè)元的方法即學(xué)即練（2022秋·上海青浦·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，要建一個(gè)面積為65平方米的倉庫，倉庫的一邊靠墻，并在與墻平行的一邊開一道1米寬的小門，現(xiàn)有32米長的木板，求倉庫的長與寬．設(shè)倉庫垂直于墻面的一邊長度為x米，則可列方程為（

）．

A．33-2xx=65 B．C．31-2xx=65 D．【答案】A【分析】設(shè)倉庫的垂直于墻的一邊長為x，而與墻平行的一邊開一道1米寬的門，現(xiàn)有能圍成32米長的木板，那么平行于墻的一邊長為32-2x+1米，而倉庫的面積為65平方米，由此即可列出方程．【詳解】解：設(shè)倉庫的垂直于墻的一邊長為x，則平行于墻的一邊長為32-2x+1米，依題意得32-2x+1x=65，即故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是弄懂題意，找出題目中的等量關(guān)系．題型一傳播問題例1（2022秋·上海寶山·八年級(jí)校考期中）有一個(gè)人利用手機(jī)發(fā)短信，獲得信息的人也按他的發(fā)送人數(shù)發(fā)送該條短信，經(jīng)過兩輪信息的發(fā)送，共有90人手機(jī)上獲得同一條信息，則每輪發(fā)送短信過程中平均一個(gè)人向人發(fā)送短信．【答案】9【分析】設(shè)每輪發(fā)送短信平均一個(gè)人向x個(gè)人發(fā)送短信，第一輪后共有1+x人收到短信，第二輪發(fā)送短信的過程中，又平均一個(gè)人向x個(gè)人發(fā)送短信，則第二輪后共有x1+x人收到短信，根據(jù)這樣經(jīng)過兩輪短信的發(fā)送共有90【詳解】解：設(shè)每輪發(fā)送短信平均一個(gè)人向x個(gè)人發(fā)送短信，則：x1+x整理得：x解得x=9或x=-10（舍去）故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程．該類題解答的關(guān)鍵在于分析每一輪中發(fā)送的人數(shù)與接收的人數(shù)，并能結(jié)合題意，列出方程．舉一反三1（2023·廣東陽江·統(tǒng)考一模）自年月以來，甲流便肆虐橫行，成為當(dāng)前主流流行疾?。骋恍^(qū)有位住戶不小心感染了甲流，由于甲流傳播感染非?？?，小區(qū)經(jīng)過兩輪傳染后共有人患了甲流．(1)每輪感染中平均一個(gè)人傳染幾人？(2)如果按照這樣的傳播速度，經(jīng)過三輪傳染后累計(jì)是否超過人患了甲流？【答案】(1)人(2)不超過【分析】（1）設(shè)每輪感染中平均一個(gè)人傳染人，根據(jù)題意列方程解方程即可；（2）根據(jù)（1）可知每輪感染中平均一個(gè)人傳染人，進(jìn)而得到三輪后患病總?cè)藬?shù)為即可解答．【詳解】（1）解：設(shè)每輪感染中平均一個(gè)人傳染人．根據(jù)題意得，解得，或，∵，∴，答：每輪感染中平均一個(gè)人傳染人；（2）解：根據(jù)題意可得：第三輪的患病人數(shù)為，∵，∴經(jīng)過三輪傳染后累計(jì)患甲流的人數(shù)不會(huì)超過人，答：經(jīng)過三輪傳染后累計(jì)患甲流的人數(shù)不超過人；【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程與實(shí)際問題，讀懂題意明確數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．舉一反三2（2023秋·廣東惠州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）參加一次活動(dòng)的每個(gè)人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人參加活動(dòng)？設(shè)有人參加活動(dòng)，可列方程為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)有人參加活動(dòng)，每個(gè)人與其他人握手的次數(shù)均為次，并且每個(gè)人與其他人握手均重復(fù)一次，由此列出方程即可．【詳解】解：設(shè)有x人參加活動(dòng)，每個(gè)人與其他人握手的次數(shù)均為次，并且每個(gè)人與其他人握手均重復(fù)一次，由此可得：，故選：A．【點(diǎn)睛】題目主要考查一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，列出方程是解題關(guān)鍵．題型二增長率問題例2（2022秋·上海奉賢·八年級(jí)校聯(lián)考期中）某超市于今年年初以每件25元的進(jìn)價(jià)購進(jìn)一批商品．當(dāng)商品售價(jià)為40元時(shí)，一月份銷售256件．二、三月該商品十分暢銷．銷售量持續(xù)走高．在售價(jià)不變的基礎(chǔ)上，三月底的銷售量達(dá)到400件．設(shè)二、三這兩個(gè)月的月平均增長率不變．(1)求二、三這兩個(gè)月的月平均增長率；(2)從四月份起，商場(chǎng)決定采用降價(jià)促銷的方式回饋顧客，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每降價(jià)1元，銷售量增加5件，當(dāng)商品降價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)獲利4250元？【答案】(1)25%(2)5元【分析】（1）設(shè)二、三這兩個(gè)月的月平均增長率為x，則二月份的銷售量為：2561+x件；三月份的銷售量為：2561+x1+x件，又知三月份的銷售量為400（2）設(shè)當(dāng)商品降價(jià)m元時(shí)，商品獲利4250元，再利用“銷量×每件商品的利潤=4250”列出方程求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)二、三這兩個(gè)月的月平均增長率為x，根據(jù)題意可得：2561+x解得：x1=0.25，答：二、三這兩個(gè)月的月平均增長率為25%．（2）解：設(shè)當(dāng)商品降價(jià)m元時(shí)，商品獲利4250元，根據(jù)題意可得：40-25-m400+5m解得：m1=5，答：當(dāng)商品降價(jià)5元時(shí)，商品獲利4250元．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意、找到等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．舉一反三1（2023·廣東湛江·統(tǒng)考二模）某超市一月份的營業(yè)額為300萬元，第一季度的營業(yè)額共1200萬元，如果平均每月增長率為，則由題意可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先得到二月份的營業(yè)額，三月份的營業(yè)額，然后根據(jù)一月份的營業(yè)額+二月份的營業(yè)額+三月份的營業(yè)額=1200列方程即可．【詳解】解：∵一月份的營業(yè)額為300萬元，平均每月增長率為x，∴二月份的營業(yè)額為，∴三月份的營業(yè)額為，∴可列方程為．即．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．舉一反三2（2022秋·上海青浦·八年級(jí)校考期中）最近國家出臺(tái)了一系列的政策，全國各地房市遇冷，以上海某地一處小區(qū)二手房為例，原價(jià)600萬元，經(jīng)過連續(xù)兩次降價(jià)，現(xiàn)價(jià)為486萬元，則平均降價(jià)率為．【答案】10%【分析】直接利用降低率公式列出方程進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：設(shè)平均降價(jià)率為x，由題意可得，600x1=0.1，0.1×100%=10%，故答案為：10%．【點(diǎn)睛】本題考查了增長率問題，牢記增長率（或降低率）公式a1±xn=b，其中a是原來的量，x是平均增長率（或平均降低率），n題型三營銷問題例3（2022秋·上海青浦·八年級(jí)?？计谥校橹?jiān)脫貧，某村村委會(huì)在網(wǎng)上直播銷售該村優(yōu)質(zhì)農(nóng)產(chǎn)品禮包，已知其3月份的銷售量達(dá)到400包，若農(nóng)產(chǎn)品禮包每包的進(jìn)價(jià)25元，原售價(jià)為每包40元，該村在今年4月進(jìn)行降價(jià)促銷，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若農(nóng)產(chǎn)品禮包每包降價(jià)1元，銷售量可增加5袋，當(dāng)農(nóng)產(chǎn)品禮包每包降價(jià)多少元時(shí)，這種農(nóng)產(chǎn)品在4月份可獲利4620元？【答案】每包降價(jià)4元【分析】先設(shè)當(dāng)農(nóng)產(chǎn)品每袋降價(jià)m元時(shí)，該農(nóng)產(chǎn)品在4月份可獲利4620元，然后根據(jù)：利潤=（售價(jià)-進(jìn)價(jià)）×數(shù)量，列出方程并解答即可．【詳解】解：設(shè)當(dāng)農(nóng)產(chǎn)品禮包每包降價(jià)m元時(shí)，這種農(nóng)產(chǎn)品在4月份可獲利4620元，由題意得：40-25-m400+5m解得：m1=4，m2=-69答：當(dāng)農(nóng)產(chǎn)品禮包每包降價(jià)4元時(shí)，這種農(nóng)產(chǎn)品在4月份可獲利4620元．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找到等量關(guān)系列出相應(yīng)的方程是解答本題的關(guān)鍵．舉一反三1（2022秋·上海浦東新·八年級(jí)統(tǒng)考期中）某商店如果將進(jìn)貨價(jià)為每件10元的商品按每件12元出售，每天可銷售200件，這種商品如果每漲價(jià)一元，其銷售量就減少10件．(1)將售價(jià)定為每件多少元時(shí)，能使這天所獲利潤達(dá)到1200元？(2)將售價(jià)定為每件多少元時(shí)，能使這天所獲利潤最大？最大的利潤是多少？【答案】(1)把售價(jià)定為每件20元或22元能使每天利潤達(dá)到1200元(2)將售價(jià)定位每件21元時(shí)，能使這天可獲的利潤最大，最大利潤是1210元【分析】對(duì)于（1），設(shè)商品的售價(jià)定為x元，再表示出單間利潤和銷售量，然后根據(jù)單間利潤×銷售量=總利潤列出方程，再求出解即可；對(duì)于（2），設(shè)這天的利潤為y元，結(jié)合（1）列出函數(shù)關(guān)系式，再配方討論極值即可．【詳解】（1）設(shè)每件商品的售價(jià)定為x元，依題意，得(x-10)[200-10(x-12)]=1200，整理得：x2解得：x1=20，∴把售價(jià)定為每件20元或22元能使每天利潤達(dá)到1200元；（2）設(shè)這天的利潤為y元，則y=(x-10)[200-10(x-12)]=-10(x-21)∵-10＜∴當(dāng)x=21時(shí)，y有最大值，最大值為1210，答：將售價(jià)定位每件21元時(shí)，能使這天可獲的利潤最大，最大利潤是1210元．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，函數(shù)最大值的問題等，根據(jù)等量關(guān)系列出關(guān)系式（方程）是解題的關(guān)鍵．舉一反三2（2023春·廣東梅州·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）現(xiàn)在全社會(huì)對(duì)空氣污染問題越來越重視，空氣凈化器的銷量也大增，商場(chǎng)從廠家購進(jìn)了A、B兩種型號(hào)的空氣凈化器，已知一臺(tái)A型空氣凈化器的進(jìn)價(jià)比一臺(tái)B型空氣凈化器的進(jìn)價(jià)多300元，用7500元購進(jìn)A型空氣凈化器和用6000元購進(jìn)B型空氣凈化器的臺(tái)數(shù)相同．(1)求一臺(tái)B型空氣凈化器的進(jìn)價(jià)為多少元？(2)在銷售過程中，A型空氣凈化器因?yàn)閮艋芰?qiáng)，嗓音小而更受消費(fèi)者的歡迎，為了增大B型空氣凈化器的銷量，商場(chǎng)決定對(duì)B型空氣凈化器進(jìn)行降價(jià)銷售．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，當(dāng)B型空氣凈化器的售價(jià)為1800元時(shí)，每天可賣出4臺(tái)，在此基礎(chǔ)上，售價(jià)每降低50元，每天多賣出1臺(tái)，如果每天商場(chǎng)銷售B型空氣凈化器的利潤為3200元，請(qǐng)問商場(chǎng)應(yīng)將B型空氣凈化器的售價(jià)定為多少元？【答案】(1)1200元(2)1600元【分析】（1）設(shè)每臺(tái)B種空氣凈化器為x元，A種凈化器為元，根據(jù)用6000元購進(jìn)B種空氣凈化器的數(shù)量與用7500元購進(jìn)A種空氣凈化器的數(shù)量相同，列方程求解；（2）根據(jù)總利潤單件利潤銷量列出一元二次方程求解即可．【詳解】（1）設(shè)每臺(tái)B型空氣凈化器為x元，A型凈化器為元，由題意得，，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根，則，答：每B型空氣凈化器、每臺(tái)A型空氣凈化器的進(jìn)價(jià)分別為1200元，1500元；（2）設(shè)B型空氣凈化器的售價(jià)為a元，根據(jù)題意得:，解得：，答：如果每天商社電器銷售B型空氣凈化器的利潤為3200元，商社電器應(yīng)將B型空氣凈化器的售價(jià)定為1600元．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程及分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系，注意分式方程應(yīng)該檢驗(yàn)，難度不大．題型四行程問題例4（2023秋·重慶開州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）隨著人們對(duì)健康生活的追求，全民健身意識(shí)日益增強(qiáng)，徒步走成為人們鍛煉的日常，中老年人尤為喜愛．(1)張大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的倍，張大伯走分鐘，李大伯走分鐘，共走米，求張大伯和李大伯每分鐘各走多少米？(2)天氣好，天色早，張大伯和李大伯鍛煉興致很濃，又繼續(xù)走，與（1）中相比，張大伯的速度不變，李大伯的速度每分鐘提高了米，時(shí)間都各自多走了分鐘，結(jié)果兩人又共走了米，求的值．【答案】(1)張大伯每分鐘走米，李大伯每分鐘走米(2)的值為【分析】（1）設(shè)李大伯徒步走的速度為每分鐘米，則張大伯每分鐘走米，根據(jù)兩人共走了米列方程，解得的值代入中計(jì)算即可；（2）結(jié)合（1）中所求可得到李大伯提高速度后每分鐘走米，由已知條件可得張大伯走了分鐘，李大伯走了分鐘，根據(jù)兩人又共走了米列方程，解方程并根據(jù)實(shí)際意義確定值即可．【詳解】（1）解：設(shè)李大伯徒步走的速度為每分鐘米，得解得∴（米）所以，張大伯每分鐘走米，李大伯每分鐘走米；（2）解：依題意，得整理得解得（舍），答：的值為．【點(diǎn)睛】本題考查了列一元一次方程解決問題，列一元二次方程解決問題，正確找到數(shù)量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．舉一反三1（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考一模）小明在平整的草地上練習(xí)帶球跑，他將球沿直線踢出后隨即跟著球的方向跑去，追上球后，又將球踢出……球在草地上滾動(dòng)時(shí)，速度變化情況相同，小明速度達(dá)到6m/s后保持勻速運(yùn)動(dòng)．下圖記錄了小明的速度以及球的速度隨時(shí)間的變化而變化的情況，小明在4s時(shí)第一次追上球．（提示：當(dāng)速度均勻變化時(shí)，平均速度，距離）(1)當(dāng)時(shí)，求關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；(2)求圖中a的值；(3)小明每次踢球都能使球的速度瞬間增加6m/s，球運(yùn)動(dòng)方向不變，當(dāng)小明帶球跑完200m，寫出小明踢球次數(shù)共有____次，并簡要說明理由．【答案】(1)(2)(3)7，理由見解析【分析】（1）設(shè)關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為，根據(jù)經(jīng)過點(diǎn)利用待定系數(shù)法即可得到答案；（2）先求出球前4秒的平均速度，再求出小明前a秒的平均速度和a秒后速度為，利用小明在4s時(shí)第一次追上球可得方程，解方程即可得到答案；（3）根據(jù)題意找到速度、時(shí)間、路程的變化規(guī)律，即可得到答案．【詳解】（1）解：設(shè)關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為，把點(diǎn)代入得，，解得，∴關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為；（2）解：對(duì)于球來說，，小明前a秒的平均速度為，a秒后速度為，由小明在4s時(shí)第一次追上球可得，，解得，即圖中a的值為；（3）小明第一次踢球已經(jīng)帶球跑了16米，還需要跑米，由（1）知，，假設(shè)每次踢球t從0開始計(jì)算，因?yàn)榍蛟诓莸厣蠞L動(dòng)時(shí)，速度變化情況相同，則第二次踢球后變化規(guī)律為，，，則，，第二次踢后，則，（舍去），，此時(shí)又經(jīng)過了米，，第三次踢后，變化規(guī)律為，，，則，，第三次追上，則，（舍去），，此時(shí)又經(jīng)過了米，，又開始下一個(gè)循環(huán)，故第四次踢球所需時(shí)間為，經(jīng)過24米，故第五次踢球所需時(shí)間為，經(jīng)過48米，故第六次踢球所需時(shí)間為，經(jīng)過24米，故第七次踢球所需時(shí)間為，經(jīng)過48米，∵，，∴帶球走過200米，在第七次踢球時(shí)實(shí)現(xiàn)，故小明小明踢球次數(shù)共有七次，故答案為：7【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用，讀懂題意，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．舉一反三2（2023春·重慶云陽·九年級(jí)校聯(lián)考期中）周末，小明和小紅約著一起去公園跑步鍛煉身體若兩人同時(shí)從A地出發(fā)，勻速跑向距離處的B地，小明的跑步速度是小紅跑步速度的1.2倍，那么小明比小紅早5分鐘到達(dá)B地．(1)求小明、小紅的跑步速度；(2)若從A地到達(dá)B地后，小明以跑步形式繼續(xù)前進(jìn)到C地（整個(gè)過程不休息），據(jù)了解，在他從跑步開始前30分鐘內(nèi)，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，超過30分鐘后，每多跑步1分鐘，平均每分鐘消耗的熱量就增加1卡路里，在整個(gè)鍛煉過程中，小明共消耗2300卡路里的熱量，小明從A地到C地鍛煉共用多少分鐘．【答案】(1)；(2)【分析】（1）分別設(shè)小紅和小明的速度，根據(jù)等量關(guān)系（小明比小紅早5分鐘到達(dá)B地）列出等量關(guān)系式，按照分式方程即可求解，求解后檢驗(yàn)所求解是不是方程解．（2）先求出小明前30分鐘中的5分鐘是從B地到C地，然后按照小明共消耗2300卡里的熱量列方程，最后求解．【詳解】（1）解：設(shè)小紅的速度為，則小明的速度為，依據(jù)題意列方程得，，，，經(jīng)檢驗(yàn)，是原式方程的解．．小紅的速度為，小明的速度為．故答案為：；．（2）解：小明的速度為，小明從A地道B地需要的時(shí)間為：．小明在他從跑步開始前30分鐘內(nèi)，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，．設(shè)B地到C地的距離為，依據(jù)題意列方程得，，，，，或（舍去）．A地到C地所需要時(shí)間為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用和一元二次方程的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于是否能根據(jù)題意列出等量關(guān)系式，解題的重點(diǎn)在于是否能了解小明的前30分鐘內(nèi)的最后5分鐘是屬于B地到C地時(shí)間．題型五工程問題例5某工程隊(duì)采用A、B兩種設(shè)備同時(shí)對(duì)長度為4800米的公路進(jìn)行施工改造．原計(jì)劃A型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)路面比B型設(shè)備的2倍多30米，則32小時(shí)恰好完成改造任務(wù)．(1)求A型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)的路面長度；(2)通過勘察，此工程的實(shí)際施工里程比最初的4800米多了1000米．在實(shí)際施工中，B型設(shè)備在鋪路效率不變的情況下，時(shí)間比原計(jì)劃增加了小時(shí)，同時(shí)，A型設(shè)備的鋪路速度比原計(jì)劃每小時(shí)下降了米，而使用時(shí)間增加了小時(shí)，求的值．【答案】(1)A型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)的路面110米(2)18【分析】（1）設(shè)B型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)的路面x米，可得：，解方程即可解得答案；（2）根據(jù)A型設(shè)備鋪的路+B型設(shè)備鋪的路=5800列方程，解方程即可得答案．【詳解】（1）設(shè)B型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)的路面x米，則A型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)路面米，由題意得，解得，米，所以A型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)的路面110米；（2）根據(jù)題意得：，解得，（舍去），答：m的值是18．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程、一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系列出方程．舉一反三1（2022秋·上海靜安·八年級(jí)新中初級(jí)中學(xué)?？计谀┰诮衲?月5號(hào)的學(xué)雷鋒活動(dòng)中，八年級(jí)和九年級(jí)的共青團(tuán)員去參加美化校園活動(dòng)，如果八年級(jí)共青團(tuán)員單獨(dú)做3小時(shí)，九年級(jí)共青團(tuán)員再單獨(dú)做2小時(shí)，那么恰好能完成全部任務(wù)的25%；如果九年級(jí)共青團(tuán)員先做4小時(shí)，剩下的由八年級(jí)共青團(tuán)員單獨(dú)完成，那么八年級(jí)共青團(tuán)員所用時(shí)間恰好比九年級(jí)共青團(tuán)員單獨(dú)完成美化校園所用時(shí)間多2【答案】八年級(jí)共青團(tuán)員單獨(dú)完成美化校園所用時(shí)間為24小時(shí)，九年級(jí)共青團(tuán)員單獨(dú)完成美化校園所用時(shí)間為16小時(shí)．【分析】設(shè)九年級(jí)共青團(tuán)員單獨(dú)完成美化校園所用時(shí)間為x小時(shí)，則八年級(jí)共青團(tuán)員單獨(dú)完成美化校園所用時(shí)間為x(x+2)x-4小時(shí)，根據(jù)“八年級(jí)共青團(tuán)員單獨(dú)做3小時(shí)，九年級(jí)共青團(tuán)員再單獨(dú)做2小時(shí)，那么恰好能完成全部任務(wù)的25%”，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可求出九年級(jí)共青團(tuán)員單獨(dú)完成美化校園所用時(shí)間，再將其代入x(x+2)【詳解】解：設(shè)九年級(jí)共青團(tuán)員單獨(dú)完成美化校園所用時(shí)間為x小時(shí)，則八年級(jí)共青團(tuán)員單獨(dú)完成美化校園所用時(shí)間為x(x+2)x-4依題意得：3x(x+2)整理得：x2解得：x1經(jīng)檢驗(yàn)，x1=0是原方程的增根，舍去；x∴x(x+2)x-4∴八年級(jí)共青團(tuán)員單獨(dú)完成美化校園所用時(shí)間為24小時(shí)，九年級(jí)共青團(tuán)員單獨(dú)完成美化校園所用時(shí)間為16小時(shí)．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．舉一反三2（2023春·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)河南師大附中校聯(lián)考期中）某市總預(yù)算億元用三年時(shí)間建成一條軌道交通線.軌道交通線由線路敷設(shè)、搬遷安置、輔助配套三項(xiàng)工程組成.從2015年開始，市政府在每年年初分別對(duì)三項(xiàng)工程進(jìn)行不同數(shù)額的投資.2015年年初，對(duì)線路敷設(shè)、搬遷安置的投資分別是輔助配套投資的2倍、4倍.隨后兩年，線路敷設(shè)投資每年都增加億元，預(yù)計(jì)線路敷設(shè)三年總投資為54億元時(shí)會(huì)順利如期完工；搬遷安置投資從2016年初開始遂年按同一百分?jǐn)?shù)遞減，依此規(guī)律，在2017年年初只需投資5億元，即可順利如期完工；輔助配套工程在2016年年初的投資在前一年基礎(chǔ)上的增長率是線路敷設(shè)2016年投資增長率的1.5倍，2017年年初的投資比該項(xiàng)工程前兩年投資的總和還多4億元，若這樣，輔助配套工程也可以如期完工.經(jīng)測(cè)算，這三年的線路敷設(shè)、輔助配套工程的總投資資金之比達(dá)到3:2.（1）這三年用于輔助配套的投資將達(dá)到多少億元？（2）市政府2015年年初對(duì)三項(xiàng)工程的總投資是多少億元？（3）求搬遷安置投資逐年遞減的百分?jǐn)?shù).【答案】（1）36；（2）35億元；（3）50%【分析】（1）由線路敷設(shè)三年總投資為54億元及這三年的線路敷設(shè)、輔助配套工程的總投資資金之比達(dá)到3：2，可得答案．（2）設(shè)2015年年初，對(duì)輔助配套的投資為x億元，則線路敷設(shè)的投資為2x億元，搬遷安置的投資是4x億元，根據(jù)“線路敷設(shè)三年總投資為54億元、輔助配套三年的總投資為36億元”列方程組，解之求得x、b的值可得答案．（3）由x=5得出2015年初搬遷安置的投資為20億元，設(shè)從2016年初開始，搬遷安置投資逐年遞減的百分?jǐn)?shù)為y，根據(jù)“2017年年初搬遷安置的為投資5億”列方程求解可得．【詳解】解：（1）三年用于輔助配套的投資將達(dá)到54×=36（億元）；（2）設(shè)2015年年初，對(duì)輔助配套的投資為x億元，則線路敷設(shè)的投資為2x億元，搬遷安置的投資是4x億元，根據(jù)題意，得：，解得：，∴市政府2015年年初對(duì)三項(xiàng)工程的總投資是7x=35億元；（3）由x=5得，2015年初搬遷安置的投資為20億元，設(shè)從2016年初開始，搬遷安置投資逐年遞減的百分?jǐn)?shù)為y，由題意，得：20（1﹣y）2=5，解得：y1=0.5，y2=1.5（舍）答：搬遷安置投資逐年遞減的百分?jǐn)?shù)為50%．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出方程是關(guān)鍵.題型六數(shù)字問題例6（2023春·四川廣安·九年級(jí)四川省武勝烈面中學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，是某月的日歷表，在此日歷表上可以用一個(gè)矩形圈出個(gè)位置相鄰的數(shù)（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．如果圈出的9個(gè)數(shù)中，最小數(shù)x與最大數(shù)的積為161，那么根據(jù)題意可列方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)日歷上數(shù)字規(guī)律得出，圈出的9個(gè)數(shù)，最大數(shù)與最小數(shù)的差為16，以及利用最大數(shù)與最小數(shù)的積為161，列出方程即可．【詳解】解：根據(jù)圖表可以得出，圈出的9個(gè)數(shù)，最大數(shù)與最小數(shù)的差為16，設(shè)最小數(shù)為，則最大數(shù)為，根據(jù)題意得出：，故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，根據(jù)已知得出最大數(shù)與最小數(shù)的差為16是解題關(guān)鍵．舉一反三1（2023秋·湖南岳陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）小北同學(xué)在學(xué)習(xí)了“一元二次方程”后，改編了蘇軾的詩詞《念奴嬌·赤壁懷古》：“大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流人物．而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)，十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽同．哪位學(xué)子算得快，多少年華數(shù)周瑜？”大意為：“周瑜去世時(shí)年齡為兩位數(shù)，該數(shù)的十位數(shù)字比個(gè)位小3，個(gè)位的平方恰好等于該數(shù)．”若設(shè)周瑜去世時(shí)年齡的個(gè)位數(shù)字為x，則可列方程（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)周瑜去世時(shí)年齡的個(gè)位數(shù)字為x，則設(shè)周瑜去世時(shí)年齡的十位數(shù)字為x-3，然后根據(jù)個(gè)位的平方恰好等于該數(shù)列出方程即可．【詳解】解：設(shè)周瑜去世時(shí)年齡的個(gè)位數(shù)字為x，則設(shè)周瑜去世時(shí)年齡的十位數(shù)字為x-3，由題意得，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了從實(shí)際問題中抽象出一元二次方程，正確理解題意找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．舉一反三2已知一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字小4，且個(gè)位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字的平方和比這個(gè)兩位數(shù)小4，則這個(gè)兩位數(shù)是．【答案】84【分析】等量關(guān)系為：個(gè)位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字的平方和＝這個(gè)兩位數(shù)﹣4，把相關(guān)數(shù)值代入求得整數(shù)解即可．【詳解】設(shè)十位上的數(shù)字為x，則個(gè)位上的數(shù)字為（x﹣4）．可列方程為：x2+（x﹣4）2＝10x+（x﹣4）﹣4解得：x1＝8，x2＝1.5（舍），∴x﹣4＝4，∴10x+（x﹣4）＝84．答：這個(gè)兩位數(shù)為84．故答案為：84【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．題型七幾何圖形問題例7（2023秋·河北唐山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，某小區(qū)計(jì)劃在一個(gè)長，寬的矩形場(chǎng)地上，修建三條同樣寬的小路，豎直的與平行，水平的與平行，其余部分種草，已知草坪部分的總面積為，設(shè)小路寬，若滿足的方程為（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)小路寬，則草坪的總長度為，總寬度為，根據(jù)題意得，進(jìn)行計(jì)算即可得．【詳解】解：設(shè)小路寬，則草坪的總長度為，總寬度為，根據(jù)題意得，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，根據(jù)題意列出方程．舉一反三1（2023秋·湖北武漢·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，有一農(nóng)戶要建一個(gè)矩形雞舍，雞舍的一邊利用長為的墻，另外三邊用長的籬笆圍成，為方便進(jìn)出，在垂直于墻的一邊上留一個(gè)寬的門．

(1)矩形的邊長分別為多少時(shí)，雞舍面積為？(2)雞舍面積能否達(dá)到？【答案】(1)矩形雞舍的長為，寬為(2)不能，見解析【分析】（1）設(shè)矩形雞舍垂直于房墻的邊為，矩形雞舍的另一邊長為，根據(jù)正方形面積的公式列式求出答案；（2）當(dāng)，列出后進(jìn)行整理得，最后根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況．【詳解】（1）解：設(shè)矩形雞舍垂直于房墻的一邊長為，則矩形雞舍的另一邊長為．依題意，得，解得，．當(dāng)時(shí)，（舍去），當(dāng)時(shí)，．答：矩形雞舍的長為，寬為；（2）解：當(dāng)，則，整理得：，則，故所圍成雞舍面積不能為平方米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，用題目給的條件列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．舉一反三2（2023秋·山西陽泉·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，某景區(qū)計(jì)劃在一個(gè)長為，寬為40m的矩形空地上修建一個(gè)停車場(chǎng)，停車場(chǎng)中修建三塊相同的矩形停車區(qū)域，它們的面積之和為，三塊停車區(qū)域之間以及周邊留有寬度相等的行車通道，問行車通道的寬度是多少m？設(shè)行車通道的寬度是，則可列方程為（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)行車通道的寬度為，再根據(jù)停車區(qū)域面積之和為列出一元二次方程，然后求解即可．【詳解】解：設(shè)行車通道的寬度為．根據(jù)題意，得．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解答本題的關(guān)鍵．舉一反三3（2022秋·上海靜安·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在一個(gè)長為40m，寬為26m的矩形花園中修建小道（圖中陰影部分），其中AB=CD=EF=GH=xm，每段小道的兩邊緣平行，剩余的地方種植花草，要使種植花草的面積為

【答案】1040-【分析】題目中存在的等量關(guān)系為矩形花園的面積-小道的面積=864m【詳解】根據(jù)題意，得S小道=2×26x+40x-2x根據(jù)S矩形花園1040--2故答案為：1040--2【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)際問題與二元一次方程，能用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．舉一反三4（2022秋·上海靜安·八年級(jí)上海市市西中學(xué)?？计谥校┤鐖D，小明家要建一個(gè)面積為150平方米的養(yǎng)雞場(chǎng)，養(yǎng)雞場(chǎng)的一邊靠墻，另三邊（門除外）用竹籬笆圍成．這堵墻長18米，在與墻平行的一邊，要開一扇2米寬的門．已知圍建養(yǎng)雞場(chǎng)的竹籬笆總長為33米（沒有剩余材料，接頭忽略不計(jì)），那么小明家養(yǎng)雞場(chǎng)的長和寬應(yīng)分別為多少米？【答案】小明家養(yǎng)雞場(chǎng)的長和寬應(yīng)分別為15米，10米【分析】設(shè)垂直于墻的一邊長為x米，結(jié)合題意可得到平行于墻的一邊長為33-2x+2米，再通過面積150平方米列出方程，從而計(jì)算得到答案．【詳解】設(shè)垂直于墻的一邊長為x米，則平行于墻的一邊長為33-2x+2米，由題意得x×∴2∴x1=當(dāng)x=10時(shí)，33-2x+2=15當(dāng)x=152時(shí)，33-2x+2=20＞∴這個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)與墻垂直的一邊應(yīng)長10米．則33-2×10+2=15米∴小明家養(yǎng)雞場(chǎng)的長和寬應(yīng)分別為15米，10米．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用；求解的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的解法并運(yùn)用到實(shí)際問題的求解過程中，即可得到答案．題型八動(dòng)態(tài)幾何圖形問題例8（2023·湖南湘潭·湘潭江聲實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？既＃┤鐖D，在中，，．點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，另外一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．

(1)幾秒后，四邊形的面積等于？(2)的面積能否等于？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)1秒(2)不能，見解析【分析】（1）根據(jù)題意可得當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為時(shí)，，，，根據(jù)題意列出方程，進(jìn)行求解即可；（2）看的面積能否等于，只需要看方程是否有解即可．【詳解】（1）解：，，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為時(shí)，，根據(jù)題意可得：，整理得：，解得：或，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)重合，不符合題意，舍去，∴經(jīng)過1秒鐘，四邊形的面積等于；（2）解：的面積不能等于，理由如下：根據(jù)題意可得：，整理得：，，所列方程沒有實(shí)數(shù)根，∴的面積不能等于．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用以及根的判別式，關(guān)鍵在于理解清楚題意，找出等量關(guān)系列出方程求解．舉一反三1如圖，矩形中，，，點(diǎn)從開始沿邊向點(diǎn)以厘米/秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以厘米/秒的速度移動(dòng)，如果、分別是從同時(shí)出發(fā)，求經(jīng)過幾秒時(shí)，(1)的面積等于平方厘米？(2)五邊形的面積最??？最小值是多少？【答案】(1)2秒或4秒(2)3秒時(shí)，五邊形的面積最小，最小值是39平方厘米【分析】（1）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則，，再由面積公式建立方程求解即可；（2）由（1）可得：要使的面積有最大值，則要使取最大值，則此時(shí)，面積為9，則此時(shí)五邊形的面積最小，從而可得答案．【詳解】（1）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則，，則，解得：或．∴經(jīng)過2秒或4秒時(shí)，的面積等于8平方厘米．（2）由（1）可得：∴要使的面積有最大值，則要使取最大值，則此時(shí)，面積為9，則此時(shí)五邊形的面積最小，最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查動(dòng)點(diǎn)問題，一元二次方程的應(yīng)用，配方法的應(yīng)用，熟練的解一元二次方程是解本題的關(guān)鍵．舉一反三2（2023春·云南昆明·九年級(jí)云南省昆明市第十中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知：如圖所示，在中，，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊向點(diǎn)B以的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以的速度移動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后，另外一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．(1)運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)四邊形的面積為？(2)的面積能否等于面積的一半？若能，求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間，若不能，說明理由．【答案】(1)2秒(2)不能，理由見解析【分析】（1）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，表示出和，利用的面積減去，令其結(jié)果為16，得出方程，解之即可；（2）根據(jù)三角形的面積公式列出方程，根據(jù)一元二次方程根的判別式判斷即可．【詳解】（1）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，由題意可得：，，∴，∴四邊形的面積為，則，解得：或(舍)，∴運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，四邊形的面積為；（2）由題意可得：，整理得：，∵，∴不存在某一時(shí)刻，使得的面積等于的面積的一半．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，得出等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．題型九圖表信息問題例9某旅行社一則旅游消息如下：旅游人數(shù)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)不超過人人均收費(fèi)元超過人每增加一人，人均收費(fèi)減少元，但人均收費(fèi)不低于元(1)甲公司員工分兩批參加該項(xiàng)旅游，分別支付給旅行社元和元，甲公司員工有__________人．(2)乙公司員工一起參加該項(xiàng)旅游，支付給旅行社元，乙公司員工多少人？【答案】(1)15；(2)乙公司人．【分析】（1）設(shè)甲公司員工有x人，根據(jù)第一次、第二次支付的費(fèi)用和人均收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，判斷出兩次都不超過10人，直接用總費(fèi)用除以人均收費(fèi)，即可得出答案；（2）設(shè)乙公司員工人，根據(jù)支付的費(fèi)用先判斷出公司去的人數(shù)超過了10人，再根據(jù)每增加一人，人均收費(fèi)減少60元，列出方程，求出的值，再根據(jù)人均收費(fèi)不低于1500元，即可得出乙公司去的人數(shù)．【詳解】（1）解：設(shè)甲公司有人，，，（人）．故答案為：（2）設(shè)乙公司人，，，，若，每人費(fèi)用：，不符舍去，若，每人費(fèi)用：，符合，答：乙公司人．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，讀懂題意正確列式和列方程是解題的關(guān)鍵．舉一反三1某商店購進(jìn)800個(gè)旅游紀(jì)念品，進(jìn)價(jià)為每個(gè)50元，第一周以每個(gè)80元的價(jià)格售出200個(gè)，第二周若按每個(gè)80元的價(jià)格銷售仍可售出200個(gè)，但商店為了適當(dāng)增加銷量，決定降價(jià)銷售（根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，單價(jià)每降低1元，可多售出10個(gè)，但售價(jià)不得低于進(jìn)價(jià)），單價(jià)降低x元銷售銷售一周后，商店對(duì)剩余旅游紀(jì)念品以及清倉處理，以每個(gè)40元的價(jià)格全部售出，如果這批旅游紀(jì)念品共獲利9000元．（1）填表（結(jié)果需化簡）

時(shí)間

第一周

第二周

清倉時(shí)單價(jià)（元）

80

40銷售量（件）

200（2）求第二周每個(gè)旅游紀(jì)念品的銷售價(jià)格為多少元？【答案】（1）填表見解析；（2）第二周每個(gè)旅游紀(jì)念品的銷售價(jià)格為70元．【分析】（1）第二周的單價(jià)=第一周的單價(jià)-降低的價(jià)格，銷售量=200+10×降低的單價(jià)；清倉時(shí)的銷售量為：800-第一周的銷售量-第二周的銷售量；（2）等量關(guān)系為：總售價(jià)-總進(jìn)價(jià)=9000．把相關(guān)數(shù)值代入計(jì)算即可．【詳解】解：（1）填表（結(jié)果需化簡）

時(shí)間

第一周

第二周

清倉時(shí)單價(jià)（元）

80

80-x

40銷售量（件）

200

200+10x

400-10x故答案為：80-x，200+10x，400-10x；（2）80×200+（80-x）（200+10x）+40×(400-10x）-800×50=9000，x2-20x+100=0，解得：x1=x2=10，當(dāng)x=10時(shí)，80-x=70．答：第二周每個(gè)旅游紀(jì)念品的銷售價(jià)格為70元．【點(diǎn)睛】本題主要考查了列代數(shù)式以及一元二次方程的應(yīng)用，找出相等關(guān)系列一元二次方程求解是解題的關(guān)鍵．舉一反三2（2023·湖南張家界·統(tǒng)考一模）在日歷上，我們可以發(fā)現(xiàn)其中某些數(shù)滿足一定的規(guī)律，如圖是2019年1月份的日歷．我們?nèi)我膺x擇其中所示的菱形框部分，將每個(gè)菱形框部分中去掉中間位置的數(shù)之后，相對(duì)的兩對(duì)數(shù)分別相乘，再相減，例如：，．不難發(fā)現(xiàn)，結(jié)果都是48．（1）請(qǐng)證明發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；（2）若用一個(gè)如圖所示菱形框，再框出5個(gè)數(shù)字，其中最小數(shù)與最大數(shù)的積為435，求出這5個(gè)數(shù)中的最大數(shù)；

（3）嘉琪說：她用一個(gè)如圖所示菱形框，框出5個(gè)數(shù)字，其中最小數(shù)與最大數(shù)的積是95，直接判斷他的說法是否正確（不必?cái)⑹隼碛桑敬鸢浮浚?）證明見解析；（2）這5個(gè)數(shù)中最大數(shù)為29．（3）嘉琪的說法不正確．【分析】（1）、根據(jù)題目數(shù)據(jù)，設(shè)中間的數(shù)為a，則另外4個(gè)數(shù)可以用a的式子表示出來，即可列出算式進(jìn)行證明；（2）、設(shè)最大數(shù)為x，列出方程組解答即可；（3）參考（2）問題思路，解出最大數(shù)，然后根據(jù)最大數(shù)所在位置即可判定．【詳解】（1）證明：設(shè)中間的數(shù)為a，則另外4個(gè)數(shù)分別為（a﹣7），（a﹣1），（a+1），（a+7），∴（a﹣1）（a+1）﹣（a﹣7）（a+7），=a2﹣1﹣（a2﹣49），=48．（2）解：設(shè)這5個(gè)數(shù)中最大數(shù)為x，則最小數(shù)為（x﹣14），依題意，得：x（x﹣14）＝435，解得：x1＝29，x2＝﹣15（不合題意，舍去）．答：設(shè)這5個(gè)數(shù)中最大數(shù)為29．（3）嘉琪的說法不正確．設(shè)這5個(gè)數(shù)中最大數(shù)為y，則最小數(shù)為（y﹣14），依題意，得：y（y﹣14）=95，解得：y1＝19，y2＝﹣5（不合題意，舍去）．∵19在日歷的最后一列，∴不符合題意，∴嘉琪的說法不正確．【點(diǎn)睛】本題考查方程的應(yīng)用問題，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確的設(shè)未知數(shù)，然后列出方程解答．單選題1.如圖，長方形鐵皮的長為，寬為，現(xiàn)在它的四個(gè)角上剪去邊長為的正方形，做成底面積為的無蓋的長方體盒子，則x的值為（）A．2 B．7 C．2或7 D．3或6【答案】A【分析】根據(jù)各邊之間的關(guān)系，可得出做成無蓋的長方體盒子的底面是長為，寬為的長方形，結(jié)合長方體盒子的底面積為，可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵長方形鐵皮的長為，寬為，且在它的四個(gè)角上剪去邊長為的正方形，∴做成無蓋的長方體盒子的底面是長為長為，寬為的長方形．根據(jù)題意得：，整理得：，解得：（不符合題意，舍去），∴x的值為2．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．2.（2023秋·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在長為30米，寬為18米的矩形地面上修筑等寬的道路（圖中陰影部分），余下部分種植草坪，要使草坪的面積為480平方米，設(shè)道路的寬為x米，則可列方程為（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】先將圖形利用平移進(jìn)行轉(zhuǎn)化，可得空白長方形的面積=長×寬，列方程即可．【詳解】利用圖形平移可將原圖轉(zhuǎn)化為下圖，道路的寬為x米．

根據(jù)題意可得：．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的實(shí)際運(yùn)用，找到關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確的列出方程是解決問題的關(guān)鍵．3．某商品經(jīng)過連續(xù)兩次降價(jià)，價(jià)格由100元降為64元．已知兩次降價(jià)的百分率都是x，則x滿足的方程是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】若兩次降價(jià)的百分率均是x，則第一次降價(jià)后價(jià)格為元，第二次降價(jià)后價(jià)格為元，根據(jù)題意找出等量關(guān)系：第二次降價(jià)后的價(jià)格元，由此等量關(guān)系列出方程即可．【詳解】解：∵兩次降價(jià)的百分率都是x，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查列一元二次方程，關(guān)鍵在于讀清楚題意，找出合適的等量關(guān)系列出方程．二、解答題4.（2023春·廣東廣州·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）由陳冬、劉洋和蔡旭哲組成的神舟十四號(hào)航天員乘組，已于2022年12月4日由東風(fēng)著陸場(chǎng)勝利返回．此次返回意義重大、影響深遠(yuǎn)．2022年是中國完成空間站建造的決戰(zhàn)決勝之年，也是中國載人航天工程立項(xiàng)實(shí)施30周年。飛天逐夢(mèng)，不僅讓飛行器深入太空，更讓科學(xué)精神扎根廣大青少年心中．神州十二號(hào)載人飛船脫離核心艙后繞地球飛行大約20圈后用時(shí)28.3個(gè)小時(shí)后返回東風(fēng)著陸場(chǎng)，神州十三號(hào)繞地球飛行圈數(shù)逐漸減少而神州十四號(hào)載人飛船脫離空間站后繞地球飛行約5圈后用時(shí)9個(gè)多小時(shí)勝利返回．祖國的科技發(fā)展日新月異，作為未來接班人的同學(xué)們，建設(shè)航天強(qiáng)國，是我們不懈追求的航天夢(mèng)．請(qǐng)利用上面數(shù)據(jù)，編制一道一元二次方程的應(yīng)用題并解答”．【答案】見解析【分析】根據(jù)題意編寫合情合理的應(yīng)用題并進(jìn)行解答即可．【詳解】飛天逐夢(mèng)，不僅讓飛行器深入太空，更讓科學(xué)精神扎根廣大青少年心中．神州十二號(hào)載人飛船脫離核心艙后繞地球飛行大約20圈返回東風(fēng)著陸場(chǎng)，，再次發(fā)射載人飛船繞地球飛行圈數(shù)逐漸減少，神州十四號(hào)載人飛船脫離空間站后繞地球飛行約5圈后勝利返回．求每次發(fā)射載人飛船繞地球飛行圈數(shù)的下降率．解：設(shè)每次發(fā)射載人飛船繞地球飛行圈數(shù)的下降率為，則，解得：(舍去)答：每次發(fā)射載人飛船繞地球飛行圈數(shù)的下降率為．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解法，能提取相關(guān)數(shù)據(jù)是解題的關(guān)鍵．5.（2023秋·廣東惠州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）某商場(chǎng)一種商品的進(jìn)價(jià)為每件30元，售價(jià)為每件40元，每天可以銷售48件，為盡快減少庫存，商場(chǎng)決定降價(jià)促銷．(1)若該商品連續(xù)兩次下調(diào)相同的百分率后售價(jià)降至每件元，求兩次下降的百分率；(2)經(jīng)調(diào)查，若該商品每降價(jià)元，每天可多銷售4件，那么每天要想獲得512元的利潤，每件應(yīng)降價(jià)多少元？【答案】(1)(2)2元【分析】（1）設(shè)每次降價(jià)的百分率為，根據(jù)題意列出方程求解即可；（2）設(shè)每件商品應(yīng)降價(jià)元，由銷售問題的數(shù)量關(guān)系建立方程求出其解即可．【詳解】（1）解：設(shè)每次降價(jià)的百分率為，由題意，得，（不符合題意，舍去）．答：該商品連續(xù)兩次下調(diào)相同的百分率后售價(jià)降至每件元，兩次下降的百分率為；（2）解：設(shè)每天要想獲得512元的利潤，且更有利于減少庫存，則每件商品應(yīng)降價(jià)元，由題意，得，解得：．答：要使商場(chǎng)每天要想獲得512元的利潤，每件應(yīng)降價(jià)2元．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系，列出方程，解答即可．6．（2023春·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶市天星橋中學(xué)校考階段練習(xí)）“鐵路建設(shè)助推經(jīng)濟(jì)發(fā)展”，近年來我國政府十分重視鐵路建設(shè)．渝利鐵路通車后，從重慶到上海比原鐵路全程縮短了320千米，列車設(shè)計(jì)運(yùn)行時(shí)速比原鐵路設(shè)計(jì)運(yùn)行時(shí)速提高了120千米/小時(shí)，全程設(shè)計(jì)運(yùn)行時(shí)間只需8小時(shí)，比原鐵路設(shè)計(jì)運(yùn)行時(shí)間少用16小時(shí)．（1）渝利鐵路通車后，重慶到上海的列車設(shè)計(jì)運(yùn)行里程是多少千米？（2）專家建議：從安全的角度考慮，實(shí)際運(yùn)行時(shí)速要比設(shè)計(jì)時(shí)速減少m%，以便于有充分時(shí)間應(yīng)對(duì)突發(fā)事件，這樣，從重慶到上海的實(shí)際運(yùn)行時(shí)間將增加小時(shí)，求m的值．【答案】（1）1600；（2）20．【分析】（1）利用“從重慶到上海比原鐵路全程縮短了320千米，列車設(shè)計(jì)運(yùn)行時(shí)速比原鐵路設(shè)計(jì)運(yùn)行時(shí)速提高了l20千米/小時(shí)，全程設(shè)計(jì)運(yùn)行時(shí)間只需8小時(shí)，比原鐵路設(shè)計(jì)運(yùn)行時(shí)間少用16小時(shí)”，分別得出等式組成方程組求出即可；（2）根據(jù)題意得出：進(jìn)而求出即可．【詳解】（1）設(shè)原時(shí)速為xkm/h，通車后里程為ykm，則有：，解得：，答：渝利鐵路通車后，重慶到上海的列車設(shè)計(jì)運(yùn)行里程是1600千米；（2）由題意可得出：，解得：，（不合題意舍去），答：m的值為20．7．（2023秋·內(nèi)蒙古包頭·九年級(jí)統(tǒng)考期末）中，，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊向終點(diǎn)B以1的速度移動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊向終點(diǎn)C以2的速度移動(dòng)．如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)填空______，______（用含t的代數(shù)式表示）；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，的長度等于？(3)是否存在t的值，使得的面積等于？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)或時(shí)，的長度等于(3)存在，【分析】（1）根據(jù)路程速度時(shí)間即可得出，然后用就可得出的值；（2）運(yùn)用勾股定理可得：，代入（1）中數(shù)據(jù)計(jì)算即可；（3）根據(jù)三角形面積計(jì)算公式可得：，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．【詳解】（1）解：由題意得，，，，故答案為：；（2），∴是直角三角形，根據(jù)勾股定理得：，即：，解得：，，或時(shí)，的長度等于；（3）由題意得：，即，解得：，，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，即，解得，時(shí)，的面積等于．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的動(dòng)點(diǎn)問題，考查了列代數(shù)式，一元二次方程的解法，勾股定理的應(yīng)用，三角形面積公式的運(yùn)用，在解答時(shí)要注意所求的實(shí)際問題有意義．8．疫情期間，“大白”成了身穿防護(hù)服的人員的代稱．開學(xué)以來，我校很多老師在繁重的課務(wù)之余承擔(dān)起了核酸檢測(cè)的任務(wù)，化身可敬可愛的“大白”．據(jù)多日檢測(cè)結(jié)果調(diào)查發(fā)現(xiàn)一個(gè)熟能生巧的現(xiàn)象，當(dāng)每位大白檢測(cè)人數(shù)是人時(shí)，每位同學(xué)人均檢測(cè)時(shí)間是秒，而檢測(cè)人數(shù)每提高人，人均就少耗時(shí)秒（若每位大白的檢測(cè)人數(shù)不超過人，設(shè)人均少耗時(shí)秒）．(1)補(bǔ)全下列表格：檢測(cè)人數(shù)（人）人均檢測(cè)時(shí)間（秒）(2)某位大白一節(jié)課（）剛好同時(shí)完成了檢測(cè)任務(wù)，那么他今日檢測(cè)總?cè)藬?shù)為多少人？【答案】(1)40，，29，26(2)他今日檢測(cè)總?cè)藬?shù)為人【分析】（1）設(shè)檢測(cè)人數(shù)為y，人均檢測(cè)時(shí)間為t（秒），由題意可得出y、t與x之間的函數(shù)關(guān)系式，即可補(bǔ)全表格；（2）根據(jù)人均檢測(cè)時(shí)間×檢測(cè)人數(shù)＝總檢測(cè)時(shí)間，可得關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)檢測(cè)人數(shù)為，人均檢測(cè)時(shí)間為秒，由題意得：、，補(bǔ)全表格如下：檢測(cè)人數(shù)人人均檢測(cè)時(shí)間秒（2）解：由題意得，，解得，，當(dāng)時(shí)，檢測(cè)總?cè)藬?shù)為人，每位大白的檢測(cè)人數(shù)不超過人，不符合題意，舍去，當(dāng)時(shí)，檢測(cè)總?cè)藬?shù)為人，答：他今日檢測(cè)總?cè)藬?shù)為人．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)條件建立函數(shù)關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．9．（2023·四川成都·成都實(shí)外校考一模）為切實(shí)推進(jìn)廣大青少年學(xué)生走向操場(chǎng)、走進(jìn)大自然、走到陽光下，積極參加體育鍛煉，陽光體育長跑是如今學(xué)校以及當(dāng)代年輕人選擇最多的運(yùn)動(dòng)．學(xué)生堅(jiān)持長跑，不僅能夠幫助身體健康，還能夠收獲身心的愉悅．周末，小明和小齊相約一起去天府綠道跑步．若兩人同時(shí)從地出發(fā)，勻速跑向距離處的地，小明的跑步速度是小齊跑步速度的1.2倍，那么小明比小齊早5分鐘到達(dá)地．根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)小明每分鐘跑多少米？(2)若從地到達(dá)地后，小明以跑步形式繼續(xù)前進(jìn)到地（整個(gè)過程不休息）．據(jù)了解，從他跑步開始，前30分鐘內(nèi)，平均每分鐘消耗熱量1