專題13 幾何中的折疊與旋轉(zhuǎn)問題（解析版）

專題13幾何中的折疊與旋轉(zhuǎn)問題目錄一、熱點(diǎn)題型歸納【題型一】平移變換問題【題型二】折疊問題問題【題型三】旋轉(zhuǎn)變換問題二、最新模考題組練【題型一】平移變換問題【典例分析】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+3(a≠0)與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，且A(﹣2，0)，直線BC的解析式為y3．(1)求拋物線的解析式；(2)過點(diǎn)A作ADBC，交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)E為直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接CE、EB、BD、DC，求四邊形BECD面積的最大值時(shí)相應(yīng)點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)將拋物線y＝ax2+bx+3(a≠0)向左平移2個(gè)單位，已知點(diǎn)M為拋物線y＝ax2+bx+3(a≠0)的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為平移后的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．在(2)中，當(dāng)四邊形BECD的面積最大時(shí)，是否存在以A，E，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)yx2+x+3(2)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(3,)(3)存在，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(﹣2,2)或(7,﹣2)或(﹣3,﹣2)【分析】（1）利用直線BC的解析式求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，代入拋物線求得a、b的值，即可得拋物線的表達(dá)式；（2）根據(jù)四邊形BECD面積最大值時(shí)，E點(diǎn)到直線BC的距離最遠(yuǎn)，即此時(shí)直線yx+n與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)立直線和拋物線，使該方程判別式為0即可求得E的坐標(biāo)；（3）分AE是平行四邊形的邊、AE是平行四邊形的對(duì)角線兩種情況，分別求解即可．【詳解】（1）解：∵直線BC的解析式為y3，∴令y＝0，則x＝6，令x＝0，則y＝3，∴點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為(6,0)、(0,3)；∵A(﹣2,0)，∴代入拋物線得：，解得：，∴拋物線的表達(dá)式為：yx2+x+3．（2）解：∵ADBC，∴設(shè)直線AD的表達(dá)式為：yx+m，將A(﹣2，0)代入直線AD即可求得：m＝﹣1，∴直線AD：yx﹣1，設(shè)過點(diǎn)E與直線BC平行的直線：yx+n，∵四邊形BECD面積最大值時(shí)，E點(diǎn)到直線BC的距離最遠(yuǎn)，即此時(shí)直線yx+n與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，∴令yx+nx2+x+3，化簡(jiǎn)得：x2﹣6x+4n﹣12＝0①，由Δ＝36﹣4(4n﹣12)＝0得：n，∴方程①的解為：x1＝x2＝3，∴四邊形BECD面積最大值時(shí)相應(yīng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(3,)．（3）解：存在，理由：①當(dāng)AE是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，∵y(x+2)2+(x+2)+3x2+4，∴新拋物線的表達(dá)式為：yx2+4，且原拋物線對(duì)稱軸為直線x＝2，∵點(diǎn)A、E的坐標(biāo)分別為(﹣2,0)、(3,)，∴AE中點(diǎn)的坐標(biāo)為(,)，設(shè)點(diǎn)M(2,t)，點(diǎn)N(s,t2+4)，則由中點(diǎn)公式得：，，解得：s＝﹣2，t＝2(負(fù)值舍去)，∴N(﹣2,2)；②當(dāng)AE是平行四邊形的邊時(shí)，設(shè)M(2,t')，點(diǎn)N(s',t'2+4)，則s'﹣2＝5，解得s'＝7，N(7,﹣2)，s'﹣2＝﹣5，解得s'＝﹣3，N(﹣3,﹣2)，綜上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為：(﹣2,2)或(7,﹣2)或(﹣3,﹣2)．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、圖形的平移、面積的計(jì)算等，其中(3)問要注意分類求解，避免遺漏．【提分秘籍】基本規(guī)律1.平移是運(yùn)動(dòng)的一種形式，是圖形變換的一種，本講的平移是指平面圖形在同一平面內(nèi)的變換；2.圖形的平移有兩個(gè)要素：一是圖形平移的方向，二是圖形平移的距離，這兩個(gè)要素是圖形平移的依據(jù)；3.圖形的平移是指圖形整體的平移，經(jīng)過平移后的圖形，與原圖形相比，只改變了位置，而不改變圖形的大小，這個(gè)特征是得出圖形平移的基本性質(zhì)的依據(jù)．4．平移的基本性質(zhì)：由平移的概念知，經(jīng)過平移，圖形上的每一個(gè)點(diǎn)都沿同一個(gè)方向移動(dòng)相同的距離，平移不改變圖形的形狀和大小，因此平移具有下列性質(zhì)：經(jīng)過平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等，對(duì)應(yīng)角相等。【變式演練】1．平面直角坐標(biāo)系中，A（a，0），B（0，b），a，b滿足，將線段AB平移得到CD，A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C，D，其中點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸上．（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖1，連AD交BC于點(diǎn)E，若點(diǎn)E在y軸正半軸上，求的值；（3）如圖2，點(diǎn)F，G分別在CD，BD的延長(zhǎng)線上，連結(jié)FG，∠BAC的角平分線與∠DFG的角平分線交于點(diǎn)H，求∠G與∠H之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）；（2）；（3）與之間的數(shù)量關(guān)系為．【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和解二元一次方程組求解即可；（2）設(shè)，先根據(jù)平移的性質(zhì)可得，過D作軸于P，再根據(jù)三角形ADP的面積得出，從而可得，然后根據(jù)線段的和差可得，由此即可得出答案；（3）設(shè)AH與CD交于點(diǎn)Q，過H，G分別作DF的平行線MN，KJ，設(shè)，由平行線的性質(zhì)可得，由此即可得出結(jié)論．【詳解】（1）∵，且∴解得：則；（2）設(shè)∵將線段AB平移得到CD，∴由平移的性質(zhì)得如圖1，過D作軸于P∴∵∴即解得∴∴；（3）與之間的數(shù)量關(guān)系為，求解過程如下：如圖2，設(shè)AH與CD交于點(diǎn)Q，過H，G分別作DF的平行線MN，KJ∵HD平分，HF平分∴設(shè)∵AB平移得到CD∴∴，∴∵∴∴∵∴∴∴．【點(diǎn)睛】本題屬于一道較難的綜合題，考查了解二元一次方程組、平移的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（3），通過作兩條輔助線，構(gòu)造平行線，從而利用平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．兩個(gè)全等的直角三角形ABC和DEF重疊在一起，其中∠A＝60°，AC＝4．固定△ABC不動(dòng)，將△DEF進(jìn)行如下操作：(1)操作發(fā)現(xiàn)如圖①，△DEF沿線段AB向右平移(即D點(diǎn)在線段AB內(nèi)移動(dòng))，連接DC，CF，F(xiàn)B，四邊形CDBF的形狀在不斷的變化，那么它的面積大小是否變化呢?如果不變化，請(qǐng)求出其面積．(2)猜想論證如圖②，當(dāng)D點(diǎn)移到AB的中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)你猜想四邊形CDBF的形狀，并說明理由．(3)拓展探究如圖③，△DEF的D點(diǎn)固定在AB的中點(diǎn)，然后繞D點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)△DEF，使DF落在AB邊上，此時(shí)F點(diǎn)恰好與B點(diǎn)重合，連接AE，求sin【答案】（1）不變，8（2）菱形，理由見解析；（3）【詳解】解：（1）不變化，理由：如圖1，∵△DEF沿線段AB向右平移（即D點(diǎn)在線段AB內(nèi)移動(dòng)），∴CF=AD，AC=DF，∴四邊形ACFD為平行四邊形，∴AD∥CF，∴S△DCF=S△BCF=S△ACD，∴S四邊形CDBF=S△CDB+S△BCF=S△CDB+S△ACD=S△ACB，在Rt△ACB中，∵∠A=60°，∴BC=AC=4，∴S△ABC=×4×4=8，∴S四邊形CDBF=8；（2）四邊形CDBF為菱形．理由如下：如圖2，∵點(diǎn)D為斜邊AB的中點(diǎn)，∴DC=DA=DB，∵CF∥AD，CF=AD，∴CF=BD，CF∥DB，∴四邊形CDBF為平行四邊形，而DC=DB，∴四邊形CDBF為菱形；（3）作DH⊥AE于H，如圖，在Rt△ACB中，∵∠A=60°，∴AB=2AC=8，∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴AD=BD=AB=4，∵繞D點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)△DEF，使DF落在AB邊上，此時(shí)F點(diǎn)恰好與B點(diǎn)重合，∴∠EFD=90°，EB=4，DE=AB=8，在Rt△ABE中，AE=，∵DH?AE=AD?EB，∴DH=，在Rt△EDH中，sinα=．

【題型二】折疊問題【典例分析】如圖，在△ABC中，∠BCA=90°，BC=8，AC=6，點(diǎn)D是AB邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)E是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DE，將△BDE沿DE翻折得到△FDE．

(1)如圖①，線段DF與線段BC相交于點(diǎn)G，當(dāng)BE=2時(shí)，則_______；(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，線段EF與線段AB相交于點(diǎn)P，求DP的長(zhǎng)；(3)如圖③，連接CD，線段EF與線段CD相交于點(diǎn)M，當(dāng)△DFM為直角三角形時(shí)，求BE的長(zhǎng)．【分析】（1）連接CD，根據(jù)勾股定理得到AB=10，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CD=BD=AB=5，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠F=∠B，EF=EB=2，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論；（3）①如圖③-a，當(dāng)∠FMD=90°時(shí)，如圖③b，當(dāng)∠FDM=90°時(shí)，作DH⊥BC于H，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：連接CD，∵在△ABC中，∠BCA=90°，BC=8，AC=6，∴AB==10，∵點(diǎn)D是AB邊上的中點(diǎn)，∴CD=BD=AB=5，∴∠DCB=∠B，∵將△BDE沿DE翻折得到△FDE，∴∠F=∠B，EF=EB=2，∵∠CGD=∠FGE，∴△CDG∽△FEG，∴，故答案為：；（2）解：∵∠PCD=∠BCD，∠BCD=∠B，∴∠PCD=∠B，∵∠CPD=∠BPC，∴△CPD∽△BPC，∴，設(shè)DP=5k，CP=8k，∵CP2=PD?PB，∴64k2=5k（5k+5），∴k=，∴PD=5k=；（3）解：①如圖③-a，當(dāng)∠FMD=90°時(shí)，∵∠F=∠B，∠FMD=∠ACB=90°，∴△FDM∽△BAC，∴，∴，∴DM=3，∴CM=CD-DM=2，∵∠ECM=∠B，∴∠CME=∠ACB=90°，∴△CEM∽△BAC，∴，∴，∴CE=，∴BE=；如圖③b，當(dāng)∠FDM=90°時(shí)，∵∠F=∠BCD，∠FMD=∠CME，∴∠CEM=∠FDM=90°，∴∠FED=∠BED=45°，作DH⊥BC于H，則△BDH∽△BAC，∴，∴，∴DH=3，BH=4，∴EH=DH=3，∴BE=3+4=7．綜上所述，BE=或7．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【提分秘籍】基本規(guī)律軸對(duì)稱變換的性質(zhì)

①關(guān)于直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形。

②如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線。

③兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，如果它們對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸上。

④如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同一直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱?！咀兪窖菥殹?．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組開展實(shí)踐探究活動(dòng)，將三角形ABC紙片沿某條直線折疊，使其中一個(gè)角的頂點(diǎn)落在一邊上．在△ABC中，AB＝9，BC＝6．(1)如圖1，若∠ACB＝90°，將△ABC沿CM折疊，使點(diǎn)B與邊AB上的點(diǎn)N重合，求BM的長(zhǎng)(2)如圖2，若∠ACB＝2∠A，將△ABC沿CM折疊，使點(diǎn)B與邊AC上的點(diǎn)N重合，①求AC的長(zhǎng)；②若O是AC的中點(diǎn)，P為線段ON上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△APM沿PM折疊得到△A′PM，與相交于點(diǎn)，則的取值范圍為．【分析】（1）由題意得，從而可得，然后證明，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可以求出答案，（2）①由∠ACB＝2∠A及將△ABC沿CM折疊，使點(diǎn)B與邊AC上的點(diǎn)N重合，得，從而論證，利用相似三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例求出答案；②利用折疊得到，從而得到，利用相似三角形的性質(zhì)得到，再根據(jù)最長(zhǎng)為OA的長(zhǎng)，最短為AN的長(zhǎng)，從而求出答案.【詳解】（1）解：如圖1，將△ABC沿CM折疊，使點(diǎn)B與邊AB上的點(diǎn)N重合，，，∠ACB＝90°，，，，，AB＝9，BC＝6，，；（2）解：①如圖2，將△ABC沿CM折疊，使點(diǎn)B與邊AC上的點(diǎn)N重合，BC＝6，，∠ACB＝2∠A，，，，，AB＝9，BC＝6，，；，AB＝9，；，AB＝9，BC＝6，，；②如圖4，將△APM沿PM折疊得到△A′PM，，，，，，，P為線段ON上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，最長(zhǎng)，最短，，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)定理找到三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．2．如圖，已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合），直線是經(jīng)過點(diǎn)的一條直線，把△ABC沿直線l折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B′．(1)基礎(chǔ)圖形：如圖1，當(dāng)PB＝4時(shí)，若點(diǎn)B′恰好在AC邊上，求的長(zhǎng)度；(2)模型變式：如圖2，當(dāng)PB＝5時(shí)，若直線l∥AC，則的長(zhǎng)度為______；(3)動(dòng)態(tài)探究：如圖3，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)到直線的距離為．①如果直線始終垂直于，那么的值是否變化？若變化，求出的變化范圍；若不變化，求出的值；②當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出在直線的變化過程中，的最大值．【分析】(1)證明△APB′是等邊三角形即可解決問題；(2)如圖2中，設(shè)直線l交BC于點(diǎn)Q，連接BB′交PQ于D，證明△PQB是等邊三角形，求出DB即可解決問題；(3)①如圖3中，結(jié)論：m不變，證明BB′//AC,再證四邊形B′BFF′為矩形即可；②如圖4中，當(dāng)PB′⊥AC時(shí)，m最大，設(shè)直線交于F′，求出B′F′即可解決問題.【詳解】（1）解是等邊三角形，，，，，，是等邊三角形，．當(dāng)直線經(jīng)過時(shí)，點(diǎn)與重合，此時(shí)，綜上所述，的長(zhǎng)為4或0；（2）解如圖2中，設(shè)直線交于點(diǎn)Q．連接交于D．，，，是等邊三角形，，，關(guān)于對(duì)稱，

，，，故答案為：；（3）解①結(jié)論：的值不變，理由如下：如圖3，連接，過作于，過B′作B′F′⊥AC于F′，是等邊三角形，，，，，關(guān)于直線對(duì)稱，直線，

直線，，∴∠B′BF+∠BFF′=180°∵∠BFF′=90°∴∠B′BF=90°，∴∠B′BF=∠B′F′F=∠BFF′=90°∴四邊形B′BFF′為矩形∴B′F′=BF=，∴；②如圖4中，當(dāng)時(shí)，的值最大，設(shè)直線交于F′，在中，，，，，即的最大值為．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱變換，矩形判定與性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，平行線的判定與性質(zhì)等知識(shí)，理解題意，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.【題型三】相似三角形的存在性問題【典例分析】如圖1，在中，，，點(diǎn)，分別在邊，上，且，連接．現(xiàn)將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，如圖2，連接，，．(1)當(dāng)時(shí)，求證：；(2)如圖3，當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求的度數(shù)；(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，探究的面積的是否存在最小值，若存在寫出此時(shí)旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)和面積最小值，若不存在，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）利用“”證得即可得到結(jié)論；（2）先證明為等邊三角形，得出，由，得出，求出，求出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出結(jié)果即可；（3）根據(jù)中，邊的長(zhǎng)是定值，得出邊上的高取最小值時(shí)的面積有最小值，根據(jù)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓上，根據(jù)垂線段最短，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到的距離最小，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理，利用三角形的面積公式求出結(jié)果即可．【詳解】（1）證明：∵，，，在和中，，，；（2）解：∵，，∴為等邊三角形，∴，根據(jù)解析（1）可知，，∴，∴，∴，∴．（3）解：存在；；面積的最小值為；中，邊的長(zhǎng)是定值，則邊上的高取最小值時(shí)的面積有最小值，∵，∴點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓上，∵垂線段最短，∴過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到的距離最小，根據(jù)解析（2）可知，為等邊三角形，∴，，∵，，∴，，∴此時(shí)旋轉(zhuǎn)角，∴，∴，∴的最小值為．【提分秘籍】基本規(guī)律圖形通過旋轉(zhuǎn)，圖形中每一點(diǎn)都繞著旋轉(zhuǎn)中心沿相同的方向旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度，任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線都是旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等，旋轉(zhuǎn)過程中，圖形的形狀、大小都沒有發(fā)生變化?！咀兪窖菥殹?．把兩個(gè)等腰直角和按如圖所示的位置擺放，，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，如圖，連接，，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為．(1)求證：．(2)如圖3，若點(diǎn)在線段上，且，，求的長(zhǎng)．(3)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角時(shí)，的面積最大．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出，，根據(jù)角度差得出，即可證明；（2）過點(diǎn)作于，由證明同理可得，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出是斜邊中線，在中,,在中，勾股定理得出，根據(jù)，進(jìn)而即可求解；（3）點(diǎn)軌跡在以為圓心，為半徑的圓上，得出當(dāng)時(shí)，面積最大，即點(diǎn)在直線上，根據(jù)題意，面積最大，進(jìn)而畫出圖形即可求解．【詳解】（1）證明：，都是等腰直角三角形，，，，則，，；（2）解：如圖，過點(diǎn)作于，由證明同理可得，，是等腰直角三角形，，是斜邊中線，，在中，，，，在中，，∴，；（3）解：點(diǎn)軌跡在以為圓心，為半徑的圓上，的長(zhǎng)度為定值，的長(zhǎng)度為定值，底邊上的高，當(dāng)時(shí)，面積最大，即點(diǎn)在直線上，①如圖當(dāng)時(shí)，，面積最大，②如圖，當(dāng)時(shí)，，面積最大，當(dāng)為或時(shí)，面積最大；故答案為：或．2．如圖，在四邊形中，，，．將沿剪下來，以為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，、與所在的直線的交點(diǎn)分別為、．(1)求證：；(2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為時(shí)，如圖2所示，求重疊部分的面積；(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，若，如圖3所示，求的長(zhǎng)；(4)在旋轉(zhuǎn)過程中，若，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)（用含的式子表示）．【答案】(1)見解析；(2)；(3)；(4)【分析】（1）根據(jù)題意可得，四邊形是平行四邊形，證明，即可得證；（2）根據(jù)題意得到是等腰直角三角形，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)角為時(shí)，平分，設(shè)交于點(diǎn)，則是等腰直角三角形，根據(jù)三角形面積公式進(jìn)行計(jì)算即可求解；（3）如圖所示，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)是點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則，連接，則，證明，則，設(shè)，則，在中，，勾股定理求得，即可求解；（4）設(shè)，，同（3）的方法，在中，，勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：∵∴四邊形是平行四邊形∴在中，∴；（2）解：∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵∴∴旋轉(zhuǎn)角為時(shí)，平分，∴，如圖2，設(shè)交于點(diǎn)，∴是等腰直角三角形，∴重疊面積為（3）解：如圖所示，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)是點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則，連接，∴，則，∵，∴，∵，∴，在中，,∴，∴，設(shè)，則，∴，在中，，即，解得：，∴；（4）解：設(shè)，，由（3）可得，則，設(shè)，則，∴，在中，，即，解得：，即，1．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）如圖，等邊三角形中，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與，點(diǎn)重合），連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)探究的形狀；(2)求證：；(3)若延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，求的正切值．【答案】(1)等邊三角形；(2)見詳解；(3)【分析】（1）根據(jù)等邊三角形及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可判斷；（2）可證四邊形是平行四邊形，從而可證，進(jìn)而可得證；（3）過作，交于，設(shè)，可證，從而可求，，即可求解．【詳解】（1）解：是等邊三角形．理由：是等邊三角形，，由旋轉(zhuǎn)得：，，是等邊三角形．（2）證明：和是等邊三角形，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，即：，在和中，（）（3）解：如圖，過作，交于，設(shè)，，，，，，，，，，，，是等邊三角形，，在中：，，在中：，，，，，．故的正切值為．2．（2023·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）已知和為等腰直角三角形，，，，將兩三角形如圖1所示放置，其中、、在同一直線上，．現(xiàn)將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度為．(1)如圖2，當(dāng)線段過點(diǎn)時(shí)，若，，則的度數(shù)為______；(2)若點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，連接，請(qǐng)?jiān)趫D3中補(bǔ)全圖形，探究線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)若點(diǎn)為的中點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)至如圖4所示位置，連接、交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且，請(qǐng)直接寫出的值．【答案】(1)15°(2)作圖見解析；，證明見解析(3)【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，證明是等腰直角三角形，則，得，由得到，則，可得，即可得到的度數(shù)；（2）過作于，過作于，結(jié)合字型全等，等腰直角三角形，四點(diǎn)共圓即可得到答案；（3）過點(diǎn)作的平行線，點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)；過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作，證明，設(shè)，則，，結(jié)合勾股定理、相似三角形及解直角三角形的知識(shí)進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】（1）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，∵，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，即的度數(shù)為，故答案為：（2）解：線段、、之間的數(shù)量關(guān)系：，證明如下：過作于，過作于，如圖3：∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴點(diǎn)四點(diǎn)共圓，∴，∵，∴和為等腰直角三角形，∴，，∴；（3）過點(diǎn)作的平行線，點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)；過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖4：∵是等腰直角三角形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∵，∴，即，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，由，設(shè)，則，；∴，∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴，，∴為等腰直角三角形，∴，∴為等腰直角三角形，為等腰直角三角形，∴，，，，∴，∴，∴，∴；在中，，∴，設(shè)，∴，在中，，∴，∵，∴，∴，∴．3．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考一模）【問題思考】如圖1，點(diǎn)是正方形內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線，以為邊向右側(cè)作正方形，連接，直線與直線交于點(diǎn)，則線段與之間的關(guān)系為______．【問題類比】如圖2，當(dāng)點(diǎn)是正方形外的一點(diǎn)時(shí)，【問題思考】中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不成立，請(qǐng)說明理由；【拓展延伸】如圖3，點(diǎn)是邊長(zhǎng)為6的正方形所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，【問題思考】中其他條件不變，則動(dòng)點(diǎn)到邊的最大距離為______（直接寫出結(jié)果）．【答案】【問題思考】，；【問題類比】：【問題思考】中的結(jié)論成立，理由見解析；【拓展應(yīng)用】【問題思考】根據(jù)“”證明，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出答案；【問題類比】同理證明，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出答案；【拓展應(yīng)用】根據(jù)可得點(diǎn)的運(yùn)用軌跡即為以為直徑的上，所以當(dāng)點(diǎn)位于右側(cè)，且經(jīng)過圓心時(shí)，動(dòng)點(diǎn)到邊的距離最大，據(jù)此解答即可．【詳解】解：?jiǎn)栴}思考：設(shè)和交于點(diǎn)，∵四邊形和四邊形都為正方形，∴，，∴，即，∴，∴，，∵，∴，即，∵，∴，即，故答案為：，；問題類比：?jiǎn)栴}思考中的結(jié)論仍然成立，理由如下：設(shè)和交于點(diǎn)，∵四邊形和四邊形都為正方形，∴，，∴，即，∴，∴，，∵，∴，即，∵，∴，即，故答案為：，；拓展應(yīng)用：∵，∴點(diǎn)的運(yùn)用軌跡即為以為直徑的上，如圖：當(dāng)點(diǎn)位于右側(cè)，且經(jīng)過圓心時(shí)，動(dòng)點(diǎn)到邊的距離最大，∵正方形的邊長(zhǎng)為，∴，，∴，∴，即動(dòng)點(diǎn)到邊的最大距離為，故答案為：．4．（2023·江蘇無錫·模擬預(yù)測(cè)）問題提出：已知矩形，點(diǎn)為上的一點(diǎn)，，交于點(diǎn)．將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則與有怎樣的數(shù)量關(guān)系．【問題探究】探究一：如圖，已知正方形，點(diǎn)為上的一點(diǎn)，，交于點(diǎn)．（1）如圖1，直接寫出的值；（2）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置，連接、，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；探究二：如圖，已知矩形，點(diǎn)為上的一點(diǎn)，，交于點(diǎn)．如圖3，若四邊形為矩形，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、點(diǎn)，連接、，則的值是否隨著的變化而變化．若變化，請(qǐng)說明變化情況；若不變，請(qǐng)求出的值．【一般規(guī)律】如圖3，若四邊形為矩形，，其它條件都不變，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，請(qǐng)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．【答案】[問題探究]探究一：(1)；(2)，證明見解析；探究二：．[一般規(guī)律]【分析】探究一（1）由正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)即可得解；（2）由（1）的結(jié)論即旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明，則，即可得到答案；探究二：證明，得到，由繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則，再證明，則，即可得到答案；一般規(guī)律：同探究二，在中，，證明，得到，即可得到結(jié)論；【詳解】[問題探究]探究一（1）是正方形的對(duì)角線，，，，，，，故答案為：；（2），理由：由（1）知，，，，由旋轉(zhuǎn)知，，，，；探究二：四邊形為矩形，，，，，，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到即；一般規(guī)律如圖，四邊形為矩形，，，，，，，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，，，即．5．（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考一模）已知：拋物線經(jīng)過，，，三點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點(diǎn)為直線上方拋物線上任意一點(diǎn)，連，交直線于點(diǎn)，設(shè)，求當(dāng)取最大值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，并求此時(shí)的值；(3)如圖2，是的正半軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線，與直線交于點(diǎn)，與拋物線交于點(diǎn)，連結(jié)，將沿翻折