湖南省益陽(yáng)市資陽(yáng)區(qū)過(guò)鹿坪鎮(zhèn)聯(lián)校高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

湖南省益陽(yáng)市資陽(yáng)區(qū)過(guò)鹿坪鎮(zhèn)聯(lián)校高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.下列函數(shù)為偶函數(shù)的是（）A．

B．

C．

D．參考答案：D2.右邊程序運(yùn)行后，輸出的結(jié)果為

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C略3.定義行列式運(yùn)算，將函數(shù)的圖象向左平移（）個(gè)單位，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，則的最小值為（

） A．

B．

C．

D．參考答案：A略4.設(shè)函數(shù)，將的圖像向右平移個(gè)單位，使得到的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的最小值為（

） A． B． C． D．參考答案：D5.已知集合，在區(qū)間上任取一實(shí)數(shù)，則“”的概率為

(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：D略6.定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)記為，滿足，且當(dāng)時(shí)，恒有.若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A．(－∞,1]

B．

C．[1,+∞)

D．參考答案：D7.如果雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，一條漸近線方程為那么它的兩條準(zhǔn)線間的距離是

（A）（B）4（C）2（D）1參考答案：答案：C解析：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為且①漸近線方程為其中一條是②③由①②③式聯(lián)立解得兩條準(zhǔn)線間的距離【高考考點(diǎn)】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)【易錯(cuò)點(diǎn)】：求錯(cuò)漸近線方程及兩準(zhǔn)線間距離公式【備考提示】：熟練掌握橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)8.．甲、乙、丙、丁、戊五人出差，分別住在、、、、號(hào)房間，現(xiàn)已知：（）甲與乙不是鄰居；（）乙的房號(hào)比丁??；（）丙住的房是雙數(shù)；（）甲的房號(hào)比戊大．根據(jù)上述條件，丁住的房號(hào)是（

）． A．號(hào) B．號(hào) C．號(hào) D．號(hào)參考答案：B解：根據(jù)題意可知，、、、、號(hào)房間分別住的是乙、戊、丁、丙、甲，故丁住的房號(hào)是．故選．9.設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)z=x﹣3y的取值范圍為（）A．[﹣12，1] B．[﹣12，0] C．[﹣2，4] D．[1，4]參考答案：C【考點(diǎn)】7C：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線的截距，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．【解答】解：由z=x﹣3y得y=，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖（陰影部分）：平移直線y=，由圖象可知當(dāng)直線y=經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（4，0）時(shí)，直線y=的截距最小，此時(shí)z最大，此時(shí)z=4，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，直線截距最大，此時(shí)z最小，由，解得，即B（，）．代入目標(biāo)函數(shù)z=x﹣3y，得z=﹣3×=﹣2，即﹣2≤z≤4，故選：C．10.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，其中n∈N*，則下列命題錯(cuò)誤的是（）A．若an＞0，則Sn＞0B．若Sn＞0，則an＞0C．若an＞0，則{Sn}是單調(diào)遞增數(shù)列D．若{Sn}是單調(diào)遞增數(shù)列，則an＞0參考答案：D【考點(diǎn)】數(shù)列的求和．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：?n∈N*，an＞0，則Sn＞0，反之也成立．a(chǎn)n＞0，d＞0，則{Sn}是單調(diào)遞增數(shù)列．若{Sn}是單調(diào)遞增數(shù)列，則d＞0，而an＞0不一定成立．即可判斷出正誤．【解答】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：?n∈N*，an＞0，則Sn＞0，反之也成立．a(chǎn)n＞0，d＞0，則{Sn}是單調(diào)遞增數(shù)列．因此A，B，C正確．對(duì)于D：{Sn}是單調(diào)遞增數(shù)列，則d＞0，而an＞0不一定成立．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和直角的關(guān)系、等差數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖是某個(gè)四面體的三視圖，該四面體的體積為

．參考答案：12略12.i是虛數(shù)單位，計(jì)算=

．參考答案：略13.已知向量⊥，||=3，則?=

．參考答案：9【考點(diǎn)】9R：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】由已知結(jié)合平面向量是數(shù)量積運(yùn)算求得答案．【解答】解：由⊥，得?=0，即?（）=0，∵||=3，∴．故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了向量模的求法，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．14.若在R上可導(dǎo)，，則____________．參考答案：略15.從邊長(zhǎng)為1的正方形的中心和頂點(diǎn)這五點(diǎn)中，隨機(jī)（等可能）取兩點(diǎn)，則該兩點(diǎn)間的距離為的概率是___________。參考答案：

若使兩點(diǎn)間的距離為，則為對(duì)角線一半，選擇點(diǎn)必含中心，概率為.16.的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為243，則該展開式中常數(shù)項(xiàng)為▲參考答案：10略17.設(shè)命題p：α＝，命題q：sinα＝cosα，則p是q的___________條件．參考答案：充分不必要三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分15分）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面底面，點(diǎn)在棱上，且．求證：平面平面；已知與底面所成角為，求二面角的正切值．參考答案：19.已知橢圓Γ的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸，離心率為，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍．（1）求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)P（2，0）過(guò)橢圓Γ左焦點(diǎn)F的直線l交Γ于A，B兩點(diǎn)，若對(duì)滿足條件的任意直線l，不等式恒成立，求λ的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出橢圓方程；（2）設(shè)出A，B坐標(biāo)，討論直線l的斜率，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出，求出的最大值即可；【解答】解：（1）設(shè)橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為（a＞b＞0），則，解得a2=2，b2=1，∴橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），∴=（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=x1x2﹣2（x1+x2）+4+y1y2．①當(dāng)直線l垂直x軸時(shí)，x1=x2=﹣1，y1=﹣y2且y12=，∴=9﹣=．②當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線l方程為：y=k（x+1），聯(lián)立方程組，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，y1y2=k2（x1+1）（x2+1）=k2（x1x2+x1+x2+1）=．∴=++4﹣==﹣＜．∵對(duì)滿足條件的任意直線l，不等式恒成立，∴λ≥，即λ的最小值為．20.某數(shù)學(xué)老師對(duì)本校2013屆高三學(xué)生的高考數(shù)學(xué)成績(jī)按1:200進(jìn)行分層抽樣抽取了20名學(xué)生的成績(jī)，并用莖葉圖記錄分?jǐn)?shù)如圖所示，但部分?jǐn)?shù)據(jù)不小心丟失，同時(shí)得到如下所示的頻率分布表：分?jǐn)?shù)段（分）[50,70)[70,90)[90,110)[110,130)[130,150]總計(jì)頻數(shù)

頻率0.25

（1）求表中的值及分?jǐn)?shù)在[90,100)范圍內(nèi)的學(xué)生人數(shù)，并估計(jì)這次考試全校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的及格率（分?jǐn)?shù)在[90,150]內(nèi)為及格）.（2）從成績(jī)大于等于110分的學(xué)生中隨機(jī)選兩人，求這兩人成績(jī)的平均分不小于130分的概率.參考答案：解：（1）由莖葉圖可知分?jǐn)?shù)在[50，70）范圍內(nèi)的有2人，在范圍內(nèi)有3人,…………………2分又分?jǐn)?shù)在范圍內(nèi)的頻率為，所以分?jǐn)?shù)在范圍內(nèi)的頻率為，所以分?jǐn)?shù)在范圍內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，由題中的莖葉圖可知分?jǐn)?shù)在范圍內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為4，所以分?jǐn)?shù)在范圍內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為.

……………………4分從題中的頻率分布表可知分?jǐn)?shù)在[70,90)范圍內(nèi)的頻率為，所以分?jǐn)?shù)在[70,90)范圍內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，所以數(shù)學(xué)成績(jī)及格的學(xué)生為13人，所以以估計(jì)這次考試全校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的及格率為…………6分（2）設(shè)A表示事件“從成績(jī)大于等于110分的學(xué)生中隨機(jī)選兩人，其平均成績(jī)大于等于130分”，由莖葉圖可知成績(jī)大于等于110分的學(xué)生有5人，記這5人分別為，…7分則選取學(xué)生的所有可能結(jié)果為共10種情況，…………9分事件A包含的結(jié)果有11分…………………12分略21.（本小題滿分12分）在中，，分別為邊上的點(diǎn)，且.沿將折起（記為），使二面角為直二面角.（1）當(dāng)點(diǎn)在何處時(shí)，的長(zhǎng)度最小，并求出最值；

（2）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最小時(shí)，求直線與平面所成的角的大小.參考答案：解：⑴如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)。此時(shí)為邊的中點(diǎn)，為邊的中點(diǎn)。故當(dāng)為邊的中點(diǎn)時(shí)，的長(zhǎng)度最小，其值為；…………6分⑵設(shè)為面的法向量，因，故。取，得。又因，故。因此，從而，所以；…………12分22.已知函數(shù)f（x）=ax2﹣ex（a∈R），f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；（2）若f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若當(dāng)x≥0時(shí)，不等式f（x）≤﹣x﹣1恒成立，求實(shí)數(shù)a的最大值．參考答案：考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用．專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（Ⅰ）由題意求出f′（x），再求出f′（0）和f（0）的值，代入點(diǎn)斜式進(jìn)行化簡(jiǎn)，化為一般式方程；（Ⅱ）先構(gòu)造函數(shù)g（x）=f′（x），再將題意轉(zhuǎn)化為x1，x2是方程g（x）=0的兩個(gè)實(shí)根，再求出g′（x），對(duì)a進(jìn)行分類分別求出g（x）的單調(diào)區(qū)間以及最大值，再令最大值大于零，列出關(guān)于a的不等式求解；（Ⅲ）由題意先構(gòu)造函數(shù)h（x）=ex﹣ax2﹣x﹣1，轉(zhuǎn)化為h（x）≥0在[0，+∞）恒成立問(wèn)題，再求出h（x）的單調(diào)性和最小值，關(guān)鍵是對(duì)a進(jìn)行分類后，得到“當(dāng)a=0時(shí)，ex≥1+x”這一結(jié)論在后面的應(yīng)用．解答：心理年齡解：（Ⅰ）由題意得，當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x2﹣ex，∴f′（x）=2x﹣ex，則切線的斜率為f′（0）=﹣1，∵f（0）=﹣e0=﹣1，∴所求的切線方程為：x+y+1=0；（Ⅱ）設(shè)g（x）=f′（x）=2ax﹣ex，由題意得，x1，x2是方程g（x）=0（即2ax﹣ex=0）的兩個(gè)實(shí)根，則g′（x）=2a﹣ex，當(dāng)a≤0時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在定義域上遞減，即方程g（x）=0不可能有兩個(gè)實(shí)根，當(dāng)a＞0時(shí)，由g′（x）=0，得x=ln2a，當(dāng)x∈（﹣∞，ln2a）時(shí)，g′（x）＞0，則g（x）在（﹣∞，ln2a）上遞增，當(dāng)x∈（ln2a，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，則g（x）在（﹣∞，ln2a）上遞減，∴gmax（x）=g（ln2a）=2aln2a﹣2a，∵方程g（x）=0（即2ax﹣ex=0）有兩個(gè)實(shí)根，∴2aln2a﹣2a＞0，解得2a＞e即，（Ⅲ）設(shè)h（x）=ex﹣ax2﹣x﹣1，則由題意得h（x）=ex﹣ax2﹣x﹣1≥0在[0，+∞）恒成立，則h′（x）=ex﹣2ax﹣1，當(dāng)a=0時(shí)，h′（x）≥0，h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，∴h（x）≥h（0）=0，即ex≥1+x，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立，∴h′（x）=ex﹣2ax﹣1≥1+x﹣2ax﹣1=x（1﹣2a），當(dāng)1﹣2a≥0時(shí)，即a≤，此時(shí)h′（x）≥0，h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，∴h（x）≥h（0）=e0﹣0﹣1=0，即h（x）≥0，因而a