大學物理靜電場(三)

三.高斯定理

下面通過對任一閉合曲面的電通量的討論，得到產生電場的源電荷和通過閉合面的的定量關系，即產生電場的源電荷和其激發(fā)的電場的關系----即靜電場的一個重要定理----高斯定理。它是描寫靜電場性質的基本方程之一數學表達式：依據：庫侖定律和場疊加原理真空中任一靜電場中，穿過任一閉合面的電通量

在數值上等于該閉合面內包圍的電荷的代數和除以真空中的介電常數內容：S----封閉面，高斯面(外法線為正)----S內包圍電荷的代數和----S面上各點的電場強度1下面對此定理從個別到一般進行推證。不進行嚴格證明定理的推證：+qS1：S1面上任一點的場強大小

方向沿半徑向外（與r無關）1.在點電荷的電場中，取3個閉合曲面，求2+qS2：因為線是連續(xù)的，在沒有電荷的地方不會自行中斷，所以穿過S1面的電力線必會全部穿過S2（與q在S內的位置無關）+qS3

：從q發(fā)出的電力線穿入S3后必穿出S3

，所以：S132.在多個點電荷的電場中，對任一閉合曲面的等于每個點電荷單獨存在時產生的穿過該閉合曲面的通量的代數和。

n

個點電荷在S內，

k

個點電荷在S外空間的電場是

n+k

個點電荷電場的疊加，任一點的電場強度即高斯面上任一點的可由上式表示q1q2qnqn+1qn+2qn+kS通過S的通量：4結論：在真空中任意靜電場中，通過任一封閉面的的通量等于面S所包圍電荷的代數和乘以關于高斯定理的幾點說明：1.S----高斯封閉面，幾何面(外法線為正)----S內包圍電荷的代數和5----

高斯面上的電場強度，是空間所有電荷（

S內和S外的電荷）產生的電場

的矢量和。----通過封閉面S的總通量。由S內電荷的代數和確定。因為面外電荷對面的總通量的貢獻為零。如：q1q2q1Sq3由q2，q3定由q1

，q2，q3定q1移動，面上的變，但不變。62.若，則，即，等否推出？一般來說從數學上看----積分結果為零，被積函數不一定為零從物理上看----的通量和是完全不同的二個量如：+qS-q即但S上處處不為零又如：Sq即但S上處處不為零73.電荷恰在封閉面上？研究這種情況是沒有物理意義的

高斯面是幾何面，沒有厚度。任何一個帶電體都是有一定的形狀和大小，不在面內就在面外；或部分在面內，部分在面外。高斯定理指出：僅S內的電荷對有貢獻。4.空間電荷的分布是任意的，高斯面的選取是任意的。對任一封閉面，高斯定理都成立，但一般情況下，只僅利用高斯定理不能把場中的分布求出來。但對具有對稱分布的電場，選取合適的高斯面，可簡潔求出。何為對稱分布電場？若電荷分布對稱，則電場分布對稱。一般有球對稱電場：點電荷，均勻帶電球殼，均勻帶電球體軸對稱電場：平面對稱電場：無限長帶電線，無限長帶電圓筒、圓柱體無限大帶電平面8高斯定理的應用：------求解對稱分布的電場1.均勻帶電球面的電場R

q

此電場球對稱分布，任一同心球面上各點的

大小相同（各點無差別、不可區(qū)分），方向沿半徑向外呈輻射狀Roq1。r>R

以r為半徑做一同心球面為高斯面（外法線方向為正）2。r<R

以r為半徑做一同心球面為高斯面。面內包圍的電荷rr9結論：均勻帶電球面的電場，在球面內空間

，在球面外空間的相當于全部電荷都集中在球心時產生的電場：orR+q-q3。r=R

處，

值有一個躍變，不連續(xù)。102.均勻帶電球體的電場R

q電場球對稱分布Roqrr過P做高斯球面S1（外法線方向為正）1。r>R

球體外任一點P的PS12。r<R做高斯球面S2S211orR球內：球心處：球外：q全部集中在球心的點電荷的電場3.無限大均勻帶電平面（s

）的電場電場以帶電平面為對稱面，平面對稱分布。求場中任一點P的。以平面為對稱面，過P點作一封閉柱面S，其軸線和平面垂直，二底面平行于平面。S1S3S2s規(guī)定外法線方向為正12+s均勻電場，平面對稱分布。s1s2疊加原理：P1P2+13思考題：(1)二同心均勻帶電球面求：電場分布Q1Q2R1R2(2)無限大，厚度為b均勻帶電平面，rbr求：電場分布145.無限長均勻帶電柱面的電場R

lr<R同上分析，做一高斯柱面S1RlhS1r>R做高斯柱面S2S2hor15(2)

均勻無限長帶電柱面的電荷分布在柱面上。一般可以給出面電荷分布s

，也可以給出線電荷分布l

。(3)

用疊加原理求同軸無限長帶電柱面的電場

。自己思考(1)

均勻無限長帶電柱面的電場：柱內，柱外的電場同帶等量電荷（等

l）的無限長帶電線的電場相同。16歸納用高斯定理解題的方法1.分析帶電體的對稱性若電荷分布是對稱的，則電場分布也是對稱的。球對稱電場：點電荷，均勻帶電球面、球體、球殼軸對稱電場：平面對稱電場：無限長帶電線，帶電柱面、柱體無限大帶電平面典型的對稱分布電場：（球形電容器）（電纜線）（平板電容器，偏轉電級……）172.選取合適的高斯面1。

找出電場的對稱中心，取對稱面，所求在高斯面上2。

高斯面是簡單、封閉的幾何面3。

面上各部分（此部分通量為）（此部分通量為）（此部分通量為）

和

夾角為3.求出通量求出面內的從高斯定理求184.某些有限大小的帶電體的電場具有對稱性，但找不出一個高斯面，使E可以從積分號內提出，只能用積分法求解。如：帶電線段帶電環(huán)小平面圓柱5.對于比較復雜的電場，可認為是簡單電場的疊加。如：Pl2l1s1s2PQ1Q2補償法19僅利用高斯定理不能求任意電場的從物