激光原理第二章2.1-2.5

2.1.1共軸球面諧振腔的穩(wěn)定性條件

1.

規(guī)定曲率半徑為R，焦距為f，物距s和象距s′在反射鏡前面為正，在反射鏡后面的為負(fù)，則有：1)對于凹透鏡，R>0，f=R/2>02)對于凸透鏡，R<0，f=R/2<03)對于平面鏡，2.成像公式為:2.1.2平凹腔ABM1M2圖（2.2.2）(a)半共焦腔F圖（2.2.2）(b)半共心腔ABM1M2O1.

平凹腔是由一塊平面鏡和一塊曲率半徑為R的凹面鏡組成的光學(xué)諧振腔。圖（2.2.2）(a)為半共焦腔，凹面鏡的焦點(diǎn)正好落在平面鏡上；圖（2.2.2）(b)為半共心腔，凹面鏡的球心正好落在平面鏡上。圖（2.2.2）(c)不穩(wěn)定腔h0A1O1h0B1C1h1A2B'0FO2B2h2M1M2B0Lfh32.

如果繼續(xù)將兩反射鏡之間的距離拉大，使L>2f，如圖（2.2.2）(c)所示。1）平行光A1A2經(jīng)M2反射后的光線A2B1經(jīng)過焦點(diǎn)F，由ΔA2O2F∽ΔB1O1F，h1:h0=(L-f):f2）M1的反射光B1B2對M2來說相當(dāng)于由F在M1中的象B0發(fā)出的，即B0O1=L-f，所以B0到M2的距離sB=B0O2=2L-f，由ΔB0O1B1∽ΔB0O2B2，h2:h1=(2L-f):(L-f)3）M2的反射光B2C1將通過B0在M2中的象點(diǎn)B'0，則象距s'B=B'0O2可由成像公式求出。又由ΔC1B‘0O1∽ΔB2B‘0O2，h3:h2=(L-s‘B):s‘B4）依此類推，求出h4，h5，…，可以計(jì)算出：這種腔中的傍軸光線不能在腔內(nèi)往返傳播任意多次而不逸出腔外。在反射鏡M1上，有：h0<h1<h3<…在反射鏡M2上，有：h0<h2<h4<…5）由上面的分析得出結(jié)論：用平、凹反射鏡構(gòu)成的穩(wěn)定腔其腔長L必須滿足L≤2f，否則都是不穩(wěn)定腔。2.1.3對稱凹面鏡腔1.

由兩塊凹面鏡也能組成光學(xué)諧振腔，如圖（2.2.3）(a)是對稱共焦腔，圖（2.2.3）(b)是共心腔。B圖（2.2.3）(a)對稱共焦腔AM1M2F圖（2.2.3）(b)共心腔BOAM1M22.

同理，如圖（2.2.3）(c)當(dāng)兩塊凹面鏡的腔長L>2R的時(shí)候就稱為了不穩(wěn)定腔。圖（2.2.3）(c)不穩(wěn)定凹面腔OM1M22.1.4對稱凸面鏡腔如圖（2.2.4）由兩塊凸面鏡組成的光學(xué)諧振腔也是不穩(wěn)定腔。圖（2.2.4）不穩(wěn)定凸面腔2.1.5穩(wěn)定腔的表達(dá)式光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定與否是由諧振腔的幾何形狀決定的。可用一個(gè)不等式來表示諧振腔的穩(wěn)定條件。穩(wěn)定腔應(yīng)該滿足的條件是hn≤h0，可以證明滿足這個(gè)不等式的腔必然滿足：其中：2.1.6穩(wěn)定圖和穩(wěn)定腔的分類令為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)，由下式可以作出兩條雙曲線，它們是穩(wěn)定腔和非穩(wěn)定腔的分界線。如圖（2.2.5）所示。把穩(wěn)定腔大致分為四類，在圖上用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ標(biāo)出。ⅡⅠⅠⅡⅢⅢⅣⅣAB11圖（2.2.5）穩(wěn)定腔圖O在坐標(biāo)系上，直線線段BOA代表第一類腔(Ⅰ)---對稱腔。其特點(diǎn)是：R1=R2=R。而坐標(biāo)原點(diǎn)O則代表R1=R2=L，即共焦腔；A點(diǎn)代表R1=R2→∞，即平行平面腔；B代表R1=R2=L/2，即共心腔。（一）對稱腔ⅡⅠⅠⅡⅢⅢⅣⅣAB11圖（2.2.5）穩(wěn)定腔圖O在坐標(biāo)系上和的區(qū)域，這是第二類腔，即圖中的第Ⅱ部分，代表曲率半徑大于腔長的非對稱腔。其特點(diǎn)：R1≠R2；R1＞L，R2＞L（二）長焦距非對稱腔（三）短焦距非對稱腔在坐標(biāo)系上除去OB的整個(gè)和的區(qū)域，這是第三類腔，即圖中的第Ⅲ部分，代表曲率半徑小于腔長的非對稱腔。其特點(diǎn)：R1≠R2；0＜R1＜L，0＜R2＜L，但必須滿足R1+R2＞L（四）凹凸腔坐標(biāo)系上、

和、的區(qū)域代表第四類腔，即圖中的第Ⅳ部分，它是由一塊R＜0的凸面鏡和一塊R＞L的凹面鏡構(gòu)成，其特點(diǎn)：｜R1｜＞

R2－L；其中R1＜0，R2＞L1.

突出焦距與腔長的關(guān)系時(shí)，將穩(wěn)定的光學(xué)諧振腔分為：（五）腔的分類對稱共焦腔：半共焦腔：非共焦腔：除去圖中原點(diǎn)和點(diǎn)（1，0.5）外的整個(gè)穩(wěn)定區(qū)2.

突出兩塊反射鏡的形象時(shí)，將光學(xué)諧振腔分為：平行平面腔：平凹腔：平凸腔：凹凸腔：雙凹腔：雙凸腔：五、穩(wěn)定圖的使用說明1.

例一：一個(gè)腔長為L的對稱穩(wěn)定腔，其反射鏡曲率半徑如何確定？2.

例二：穩(wěn)定腔的一塊反射鏡已有如R1=2L，另一塊反射鏡的曲率半徑的取值范圍如何確定？3.

例三：如果兩塊反射鏡的曲率半徑分別為R1、R2，欲用它們組成穩(wěn)定腔，腔長的取值范圍如何確定？圖(2-3)穩(wěn)定圖的應(yīng)用2.1.1共軸球面諧振腔的穩(wěn)定性條件

1.

規(guī)定曲率半徑為R，焦距為f，物距s和象距s′在反射鏡前面為正，在反射鏡后面的為負(fù)，則有：1)對于凹透鏡，R>0，f=R/2>02)對于凸透鏡，R<0，f=R/2<03)對于平面鏡，2.成像公式為:3.如圖(2-1)所示，共軸球面腔的結(jié)構(gòu)可以用三個(gè)參數(shù)來表示：兩個(gè)球面反射鏡的曲率半徑R1、R2，和腔長即與光軸相交的反射鏡面上的兩個(gè)點(diǎn)之間的距離L?？梢宰C明共軸球面腔的穩(wěn)定性條件是:

圖(2-1)共軸球面腔結(jié)構(gòu)示意圖2.1.2共軸球面諧振腔的穩(wěn)定圖及其分類

1.常常穩(wěn)定圖來表示共軸球面腔的穩(wěn)定條件，定義：共軸球面諧振腔的穩(wěn)定性條件可改寫為:如圖(2-2)所示，圖中沒有斜線的部分是諧振腔的穩(wěn)定工作區(qū)，其中包括坐標(biāo)原點(diǎn)。圖中畫有斜線的陰影區(qū)為不穩(wěn)定區(qū)，在穩(wěn)定區(qū)和非穩(wěn)區(qū)的邊界上是臨界區(qū)。對工作在臨界區(qū)的腔，只有某些特定的光線才能在腔內(nèi)往返而不逸出腔外。

當(dāng)時(shí)，共軸球面諧振腔為穩(wěn)定腔當(dāng)時(shí)，共軸球面諧振腔為非穩(wěn)腔當(dāng)時(shí)，共軸球面諧振腔為臨界腔圖(2-2)共軸球面腔的穩(wěn)定圖2.1.2共軸球面諧振腔的穩(wěn)定圖及其分類

2.利用穩(wěn)定條件可將球面腔分類如下:

雙凹穩(wěn)定腔，由兩個(gè)凹面鏡組成，對應(yīng)圖中l(wèi)、2、3和4區(qū)平凹穩(wěn)定腔，由一個(gè)平面鏡和一個(gè)凹面鏡組成，對應(yīng)圖中AC、AD段凹凸穩(wěn)定腔，由一個(gè)凹面鏡和一個(gè)凸面鏡組成，對應(yīng)圖中5區(qū)和6區(qū)。共焦腔，R1＝R2＝L，因而，g1=0，g2=0，對應(yīng)圖中的坐標(biāo)原點(diǎn)。半共焦腔，由一個(gè)平面鏡和一個(gè)R=2L的凹面鏡組成的腔，對應(yīng)圖中E和F點(diǎn)。(1)穩(wěn)定腔(2)臨界腔平行平面腔，對應(yīng)圖中的A點(diǎn)。只有與腔軸平行的光線才能在腔內(nèi)往返。共心腔，滿足條件R2＋R2＝L，對應(yīng)圖中第一象限的g1g2＝1的雙曲線。

半共焦腔，由一個(gè)平面鏡和一個(gè)凹面鏡組成，對應(yīng)圖中C點(diǎn)和D點(diǎn)。(3)非穩(wěn)腔對應(yīng)圖中陰影部分的光學(xué)諧振腔都是非穩(wěn)腔。2.1.3穩(wěn)定圖的應(yīng)用1.制作一個(gè)腔長為L的對稱穩(wěn)定腔，反射鏡曲率半徑的取值范圍如何確定？2.給定穩(wěn)定腔的一塊反射鏡，要選配另一塊反射鏡的曲率半徑，其取值范圍如何確定?3.如果已有兩塊反射鏡，曲率半徑分別為R1、R2，欲用它們組成穩(wěn)定腔，腔長范圍如何確定？圖(2-3)穩(wěn)定圖的應(yīng)用一、速率方程組1.

圖（2.4.1）為簡化的四能級圖，n0、n1、n2分別為基態(tài)、上能級、下能級的粒子數(shù)密度；n為單位體積內(nèi)增益介質(zhì)的總粒子數(shù)，R1、R2分別是激勵(lì)能源將基態(tài)E0上的粒子抽運(yùn)到E1、E2能級上的速率；則E2能級在單位時(shí)間內(nèi)增加的粒子數(shù)密度為：圖（2.4.1）簡化的四能級圖同理，單位時(shí)間內(nèi)E1能級上增加的粒子數(shù)密度為：以上三式即為在增益介質(zhì)中同時(shí)存在抽運(yùn)、吸收、自發(fā)輻射和受激輻射時(shí)各能級上的粒子數(shù)密度隨時(shí)間變化的速率方程組。二、小訊號工作時(shí)的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布1.

圖（2.4.2）為小訊號情況下激光上下能級的躍遷圖。在此忽略了受激輻射和受激吸收，并且假設(shè)E1、E2能級的簡并度相同；又A2

A21；在抽運(yùn)和躍遷達(dá)到動(dòng)平衡時(shí)，圖（2.4.2）小訊號時(shí)粒子的能級躍遷則有：式中左上角的”0”表示小訊號時(shí)各能級的粒子數(shù)密度。則有：將兩式結(jié)合可得：則在小訊號時(shí)，粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布的表達(dá)式為：因此，1）2）R2愈大愈好，R1愈小愈好三、一般情況下的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布1.

在受激輻射和吸收不能忽略時(shí)，E1、E2上的粒子數(shù)密度與前面的不同了。當(dāng)激光器工作處在穩(wěn)態(tài)時(shí)，有：將上兩式相加可得：由上式可得：則激光上下能級粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布的表達(dá)式為：2.

對于均勻增寬的介質(zhì)：如果介質(zhì)中傳播的光波頻率為，則有：如果介質(zhì)中傳播的光波頻率，則有：則有：一般情況下的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布可以表示為：這就是均勻增寬型介質(zhì)E2、E1能級之間粒子數(shù)反轉(zhuǎn)分布的表達(dá)式。它給出能級間的粒子數(shù)反轉(zhuǎn)分布值與腔內(nèi)光強(qiáng)I、光波的中心頻率、介質(zhì)的飽和光強(qiáng)、激勵(lì)能源的抽運(yùn)速率以及介質(zhì)能級的壽命等參量的關(guān)系。3.

討論：1）當(dāng)腔內(nèi)光強(qiáng)I=0(即小訊號)時(shí)，粒子數(shù)反轉(zhuǎn)分布最大。當(dāng)腔內(nèi)光強(qiáng)的影響不能忽略時(shí)，將隨光強(qiáng)的增加而減小，這現(xiàn)象稱為粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值的飽和效應(yīng)。2）當(dāng)腔內(nèi)光強(qiáng)一定時(shí)粒子數(shù)反轉(zhuǎn)分布值隨腔內(nèi)光波頻率變化，圖(2.4.3）為I一定時(shí)隨變化的曲線。圖（2.4.3）⊿n的飽和效應(yīng)3.

討論：3）為了更具體的說明頻率對粒子數(shù)反轉(zhuǎn)分布的影響，令腔中的光強(qiáng)都等于Is，頻率為、強(qiáng)度為IS的光波使減少了，把使減少的光波頻率與之間的間隔定義為使介質(zhì)產(chǎn)生飽和作用的頻率范圍：一、小訊號增益系數(shù)與介質(zhì)的線型函數(shù)1.

增益系數(shù)

小訊號時(shí)的增益系數(shù)：由于值很大，線寬，所以可以用代替上式中的，即：上式說明小訊號的G與光強(qiáng)無關(guān)，僅為頻率的函數(shù)，且與有近似的變化規(guī)律。如圖（2.5.2）所示。圖（2.5.2）均勻增寬型小訊號增益曲線2.

對均勻增寬型介質(zhì)有：上式表明中心頻率處的與線寬成反比，如何解釋？3.

對非均勻增寬型介質(zhì)（如多普勒增寬型）有：三、均勻增寬型介質(zhì)的增益飽和1.

當(dāng)光強(qiáng)為I、頻率為的準(zhǔn)單色光進(jìn)入增益介質(zhì)，其增益系數(shù)為：其中為介質(zhì)譜線的中心頻率，為被放大的光波頻率2.增益飽和3.

對飽和增益分三種情況討論（一）介質(zhì)對頻率為、光強(qiáng)為I的光波的增益系數(shù)介質(zhì)對此光波的增益系數(shù)為：增益飽和的物理解釋飽和光強(qiáng)Is：是激光工作物質(zhì)的一個(gè)重要參量。（二）介質(zhì)對頻率為、光強(qiáng)為I的光波的增益系數(shù)此時(shí)均勻介質(zhì)對光波的增益系數(shù)為：上表為各頻率光波的光強(qiáng)均為飽和光強(qiáng)時(shí)增益系數(shù)與頻率的關(guān)系。很明顯介質(zhì)對頻率為的光波的增益系數(shù)值最大，該光波的增益飽和作用也最大。同樣，當(dāng)時(shí)，介質(zhì)對光波的增益作用以及光波對介質(zhì)的增益飽和作用都很微弱。今后我們討論介質(zhì)對光波的增益作用以及光波對介質(zhì)的增益飽和作用都是對頻率在（三）在頻率為、光強(qiáng)為I的強(qiáng)光作用下的增益介質(zhì)對另一小訊號的增益系數(shù)在腔內(nèi)傳播著頻率為、強(qiáng)度為I的光波時(shí)，介質(zhì)中E2上能級上的粒子數(shù)密度在I的激勵(lì)下大大減少為：則此時(shí)介質(zhì)對光波的增益系數(shù)也下降為：對于均勻增寬型介質(zhì)來說，在光強(qiáng)I的作用下，介質(zhì)的光譜線型不變、線寬不變、增益系數(shù)隨頻率的分布也不變，它僅僅使增益系數(shù)在整個(gè)線寬范圍內(nèi)下降同樣的倍數(shù)（二）

對于非均勻增寬型介質(zhì)有：1.E2能級上的粒子中速度在v1到v1+dv1之間的粒子數(shù)密度為：一、介質(zhì)在小訊號時(shí)的粒子數(shù)反轉(zhuǎn)分布值（一）

在系統(tǒng)到達(dá)動(dòng)平衡時(shí)，對均勻增寬介質(zhì)有：2.E1能級上的粒子中速度在v1到v1+dv1之間的粒子數(shù)密度為：3.

若E1、E2能級的簡并度相同，則速度在v1到v1+dv1之間的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值為：4.E1、E2能級各種速度的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值之和為：（二）

對于非均勻增寬型介質(zhì)二、頻率與粒子數(shù)反轉(zhuǎn)分布（一）

對均勻增寬介質(zhì)，全部用于輻射中心頻率為、線型函數(shù)為均勻增寬型函數(shù)的光波。1.

在E1、E2能級間躍遷的粒子輻射的光波也是中心頻率為的自然增寬型函數(shù)。但由于多普勒效應(yīng)，在正對著粒子運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)速度為v1）的方向上接受到的光波的線型函數(shù)變?yōu)橹行念l率為的自然增寬型函數(shù)了。能夠輻射中心頻率為的單位頻率間隔內(nèi)的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值為：介質(zhì)中能夠輻射中心頻率為的光波的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值為：三、小訊號增益系數(shù)（一）

對均勻增寬介質(zhì)的小訊號增益系數(shù)為：（二）

對于非均勻增寬型介質(zhì)，它的小訊號增益系數(shù)是由具有不同速度的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值提供的。1.

頻率為的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布對小訊號增益系數(shù)的貢獻(xiàn)為：2.

介質(zhì)中總的小訊號增益系數(shù)為：（二）

對于非均勻增寬型介質(zhì)1.

當(dāng)頻率為、光強(qiáng)為I的光波在其中傳播時(shí)，對中心頻率為的粒子來說，2.

當(dāng)頻率為、光強(qiáng)為I的光波在其中傳播時(shí)，對中心頻率為附近單位頻率間隔內(nèi)粒子數(shù)反轉(zhuǎn)分布值的飽和效應(yīng)規(guī)律為：（一）

均勻增寬型介質(zhì)四、一般情況下的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布即頻率為的光波也可以引起頻率為的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值的飽和。光波起作用的頻率范圍可以根據(jù)上式對介質(zhì)中各種頻率的減少的程度作表進(jìn)行比較。令光波強(qiáng)度為Is、光波頻率為，由表中數(shù)據(jù)可以看出，光波對頻率為的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布的飽和作用已很弱。3.

頻率為、強(qiáng)度為I的光波僅使圍繞中心頻率、寬度為

范圍內(nèi)的粒子有飽和作用，因此在曲線上（如圖（2.6.4））形成一個(gè)以為中心的孔?？椎膶挾葹椋嚎椎拿娣e為：baca′b′圖（2.6.4）非均勻增寬型反轉(zhuǎn)粒子數(shù)密度飽和圖（2.4.3）⊿n的飽和效應(yīng)孔的深度為：五、增益飽和（一）

均勻增寬型介質(zhì)（二）

對于非均勻增寬型介質(zhì)1.

頻率為、強(qiáng)度為I的光波僅在頻率附近寬度為范圍內(nèi)的粒子有增益飽和作用，如圖（2.6.5）所示，增益系數(shù)在處下降的現(xiàn)象稱為增益系數(shù)的”燒孔”作用?？椎膶挾热詾椋簣D（2.6.5）非均勻增寬型增益飽和但孔的深度淺了一些，在頻率為、強(qiáng)度為I的光波作用下，介質(zhì)的增益系數(shù)為：2.

從上面的分析可以看出，光波I使均勻增寬型介質(zhì)對各種頻率的光波的增益系數(shù)都下降同樣的倍數(shù)；而對非均勻增寬型介質(zhì)它只能引起某個(gè)范圍內(nèi)的光波的增益系數(shù)下降，并且下降的倍數(shù)不同。3.

對于多普勒增寬來講，光波I使頻率為（即速度為）附近的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布飽和；同樣沿負(fù)軸傳播的光波I也會使速度為-v1（其對應(yīng)的頻率為）的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布飽和，即沿腔軸負(fù)方向傳播的頻率為的光波將在增益曲線上的附近燒一個(gè)孔。如圖（2.6.3）所示。圖（2.6.3）非均勻增寬型激光器中增益飽和一、損耗（一）

增益介質(zhì)內(nèi)部損耗1.

當(dāng)光穿過增益介質(zhì)獲得增益的同時(shí)，會因?yàn)閮?nèi)部損耗(由于成分不均勻、粒子數(shù)密度不均勻或有缺陷而使光產(chǎn)生折射、散射等)的存在以相對速率a內(nèi)

(稱為內(nèi)損耗系數(shù))而減小，則此時(shí)光在增益介質(zhì)中的變化規(guī)律為：

（二）

鏡面損耗1.

當(dāng)強(qiáng)度為I的光波射到鏡面上，其中r1I(或r2I)反射回腔內(nèi)繼續(xù)放大，其它的部分均為損耗，包括t1I(或t2I)、鏡面的散射、吸收以及由于光的衍射使光束擴(kuò)散到反射鏡范圍以外造成的損耗，用a1I(或a2I)表示2.

又經(jīng)過增益介質(zhì)進(jìn)行放大，再傳到M1時(shí)，二、激光器內(nèi)形成穩(wěn)定光強(qiáng)的過程1.

由于自發(fā)輻射