專題2.7與圓有關(guān)的新定義及材料閱讀問題（培優(yōu)強(qiáng)化30題）-2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【蘇科版】（解析版）

2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【蘇科版】專題2.7與圓有關(guān)的新定義及材料閱讀問題（培優(yōu)強(qiáng)化30題）一、解答題1．（2021·全國(guó)·九年級(jí)期中）【提出問題】（1）已知點(diǎn)P是⊙O外的一點(diǎn)，在⊙O上找一點(diǎn)A，使P、A兩點(diǎn)間距離最短．如圖①，連接OP，OP與⊙O的交點(diǎn)A即為所求，此時(shí)線段PA最短．為了證明點(diǎn)A即為所求，不妨在⊙O上另外任取一點(diǎn)B，連接PB，OB，證明PB＞PA．請(qǐng)完成這個(gè)證明．【變式探究】（2）已知直線l與⊙O相離，在⊙O上找一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到直線l的距離最短．小明給出下列解答，請(qǐng)你補(bǔ)全小明的解答．小明的解答如圖②，過點(diǎn)O作ON⊥l，垂足為N，ON與⊙O的交點(diǎn)M即為所求，此時(shí)線段MN最短．為了證明點(diǎn)M即為所求，不妨在⊙O上另外任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PQ⊥l，垂足為Q，連接OP，OQ，即證明PQ＞MN．∵，OQ＞ON，∴OP+PQ＞ON．又，∴OP+PQ＞OM+MN．又OP＝OM，∴PQ＞MN．【拓展研究】（3）如圖③，已知直線l和直線外一點(diǎn)A，線段MN的長(zhǎng)度為1．請(qǐng)用直尺和圓規(guī)作出一個(gè)⊙O，使⊙O經(jīng)過點(diǎn)A，且⊙O上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值為1．（不寫作法，保留作圖痕跡）（4）如圖④，在△ABC中，AC＝8，BC＝12，∠C＝30°，⊙O經(jīng)過點(diǎn)A，且⊙O上的點(diǎn)到直線BC的距離的最小值為2，距離最小值為2時(shí)所對(duì)應(yīng)的⊙O上的點(diǎn)記為點(diǎn)P，若點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部（不包括邊界），則⊙O的半徑r的取值范圍是．【答案】（1）見解析；（2）OP+PQ＞OQ，ON＝OM+MN；（3）見解析；（4）1≤r＜4．【分析】（1）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系以及同圓的半徑相等即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系以及同圓的半徑相等即可得出結(jié)論；（3）作直線l的垂線垂足為P，在垂線上與點(diǎn)A同側(cè)截取PT＝MN＝1，連接AT，作AT的垂直平分線交直線PT于點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OA為半徑作⊙O即為所求；（4）作到直線BC距離為2的直線l，則l∥BC，當(dāng)P點(diǎn)在AC邊上時(shí)，此時(shí)r最大，作AP的垂直平分線、并過P作l的垂線，與垂直平分線交于點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)度為半徑作圓，設(shè)OA＝r，過A作AH⊥OP于點(diǎn)H，AE⊥BC于點(diǎn)E，證明△OAP為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得OA＝4，當(dāng)A、O、P三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)r最小，求出r的最小值，即可得⊙O的半徑r的取值范圍．【詳解】解：（1）證明：在⊙O上另外任取一點(diǎn)B，連接PB，OB，∵OA、OB是⊙O的半徑，∴OA＝OB，在△OPB中，PB＞OP﹣OB，∴PB＞OP﹣OA，即PB＞PA，∴點(diǎn)A即為⊙O上使P、A兩點(diǎn)間距離最短的點(diǎn)；（2）證明：在⊙O上另外任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PQ⊥l，垂足為Q，連接OP，OQ，∵OP+PQ＞OQ，OQ＞ON，∴OP+PQ＞ON．又ON＝OM+MN，∴OP+PQ＞OM+MN．又OP＝OM，∴PQ＞MN．故答案為：OP+PQ＞OQ，ON＝OM+MN；（3）作圖不唯一，如圖：（4）如圖，作到直線BC距離為2的直線l，則l∥BC，∵P點(diǎn)到BC的距離為2，∴P點(diǎn)在直線l上，又∵點(diǎn)P為⊙O上到BC的距離最小的點(diǎn)，∴OP⊥l，∴點(diǎn)P為⊙O與直線l的切點(diǎn)，∴圓心O在過點(diǎn)P且垂直于BC的直線上，當(dāng)P點(diǎn)在AC邊上時(shí)，此時(shí)r最大，作AP的垂直平分線、并過P作l的垂線，與垂直平分線交于點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)度為半徑作圓，設(shè)OA＝r，過A作AH⊥OP于點(diǎn)H，AE⊥BC于點(diǎn)E，∵AH⊥OH，OH⊥BC．∴AH∥BC，∴∠HAP＝∠C＝30°，∠APH＝60°，∵OA＝OP，∴△OAP為等邊三角形，∴OA＝AP，∵AC＝8，∠C＝30°，AE⊥BC，EF＝2，∴AE＝4，AF＝2，∵l∥BC，∴AP＝12AC＝4∴OA＝4，即r最大為4，當(dāng)A、O、P三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)r最小，如圖：∵A、O、P三點(diǎn)共線，∴AP為⊙O的直徑，∴r＝1，∵P在△ABC內(nèi)部，∴半徑的取值范圍是1≤r＜4．故答案為：1≤r＜4．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，主要考查了圓的相關(guān)性質(zhì)，切線的性質(zhì)，三角形三邊的關(guān)系，等邊三角形的性質(zhì)與判定等等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.2．（2021·江蘇南京·九年級(jí)期中）【概念提出】圓心到弦的距離叫作該弦的弦心距．【數(shù)學(xué)理解】如圖①，在⊙O中，AB是弦，OP⊥AB，垂足為P，則OP的長(zhǎng)是弦AB的弦心距．（1）若⊙O的半徑為5，OP的長(zhǎng)為3，則AB的長(zhǎng)為．（2）若⊙O的半徑確定，下列關(guān)于AB的長(zhǎng)隨著OP的長(zhǎng)的變化而變化的結(jié)論：

①AB的長(zhǎng)隨著OP的長(zhǎng)的增大而增大；②AB的長(zhǎng)隨著OP的長(zhǎng)的增大而減??；③AB的長(zhǎng)隨著OP的長(zhǎng)的確定而確定；④AB的長(zhǎng)與OP的長(zhǎng)無關(guān)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【問題解決】如圖②，已知線段EF，MN，點(diǎn)Q是⊙O內(nèi)一定點(diǎn)．（3）用直尺和圓規(guī)過點(diǎn)Q作弦AB，滿足AB＝EF；（保留作圖痕跡，不寫作法）（4）若弦AB，CD都過點(diǎn)Q，AB＋CD＝MN，且AB⊥CD．設(shè)⊙O的半徑為r，OQ的長(zhǎng)為d，MN的長(zhǎng)為l．①求AB，CD的長(zhǎng)（用含r，d，l的代數(shù)式表示）；②寫出作AB，CD的思路．【答案】（1）8．（2）②③；（3）見解析；（4）①AB＝l-16r2-8d2-【分析】（1）連接OA，先根據(jù)垂徑定理得出AP=12AB，再根據(jù)勾股定理求出AP的長(zhǎng)，即可求得AB（2）設(shè)半徑為r不變，得出AB=2r（3）利用弦心距及線段的垂直平分線作圖即可；（4）①設(shè)AB＝2m，CD＝2n，列出關(guān)于m和n的二元一次方程組求解即可；②類比（3）的作圖方法即可．【詳解】（1）解：連接OA．∵OP⊥AB，∴AP=12AB∵OA=5，OP=3，∴AP=OA∴AB=2AP=8．（2）設(shè)半徑為r不變，∴AB=AP+BP=OA當(dāng)r不變，OP的長(zhǎng)增大時(shí)，AB減小；OP長(zhǎng)確定時(shí)，AB也確定，∴選②③（3）如圖，弦AB，滿足AB＝EF；（4）①解：設(shè)AB＝2m，CD＝2n，如圖，可得：r2-∴AB＝l-16r2-8d②作圖思路：先作斜邊為4r，一條直角邊為22d，另一條直角邊為16r2-8d2的直角三角形；后作斜邊為16r2-8d2，一條直角邊為l，另一條直角邊為16r2-8d2-12【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理及圓的弦心距，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題．3．（2021·江蘇南京·九年級(jí)期中）AB、CD是⊙O中的兩條等弦．（1）如圖①，點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，求證：圓心O在∠BAD的平分線上；（2）如圖②，用直尺和圓規(guī)作弦CD⊥AB（保留作圖痕跡，不寫作法）；（3）若⊙O的半徑為2，AB=m，記弦AB、CD所在的直線交點(diǎn)為P，且兩直線夾角為60°．直接寫出點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系及相應(yīng)的m的取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）當(dāng)點(diǎn)P在圓上時(shí)，m=23；點(diǎn)P在圓外時(shí)，m<23；點(diǎn)P在圓內(nèi)時(shí)，【分析】（1）根據(jù)垂徑定理可得O到AB、CD的距離相等，由角平分線判定定理：到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上，即可知圓心O在∠BAD的平分線上；（2）利用將△AOB順時(shí)針（或逆時(shí)針）旋轉(zhuǎn)90°得到△COD，則即得CD⊥AB，作法：過O點(diǎn)作直徑AE的垂線交與圓O相交于兩點(diǎn)，任取一點(diǎn)為C，再在圓上取點(diǎn)D，使CD=AB（取能使CD⊥AB的一點(diǎn)）即可；（3）根據(jù)交點(diǎn)為P與圓位置關(guān)系分三種情況：在圓內(nèi)、在圓外、在圓上進(jìn)行討論即可．【詳解】解：（1）過O點(diǎn)作OE⊥AB，垂足為E，過O點(diǎn)作OF⊥CD，垂足為F，∵AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，∴OE=OF，∴圓心O在∠BAD的平分線上；（2）如圖2-1，弦CD為所求，（附：如圖2-2，弦CD、弦C'（3）I、當(dāng)弦AB、CD交于圓內(nèi)時(shí)，即：點(diǎn)P在圓內(nèi)時(shí)，如圖3-1：∠APD=60°，則弦AB的取值范圍為：0<m≤2r，即：0<m≤4；II、弦AB、CD所在的直線交點(diǎn)P在圓外時(shí)，過點(diǎn)O作⊥CD,垂足為E，連接OP，∴DE=1∵∠APC=60°，由（1）可知點(diǎn)O在∠APC的平分線，∴∠OPC=1∴OE=12OP∴PE=3∵DE<PE，∴DE<3∵當(dāng)OP最小時(shí)，PE最小，DE最大，OP最小值大于r，故DE最大小于DE<3∴12m<3III、當(dāng)點(diǎn)P在圓上時(shí)，如圖3-3，由前可知：PE=DE=3∴12m=綜上所述：當(dāng)點(diǎn)P在圓上時(shí)，m=23；點(diǎn)P在圓外時(shí)，m<23；點(diǎn)P在圓內(nèi)時(shí)，【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)、垂徑定理及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解題（3）關(guān)鍵是根據(jù)點(diǎn)與圓位置關(guān)系分三種情況進(jìn)行討論，難度不大，但思維要求全面．4．（2022·江蘇鹽城·中考真題）【發(fā)現(xiàn)問題】小明在練習(xí)簿的橫線上取點(diǎn)O為圓心，相鄰橫線的間距為半徑畫圓，然后半徑依次增加一個(gè)間距畫同心圓，描出了同心圓與橫線的一些交點(diǎn)，如圖1所示，他發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)的位置有一定的規(guī)律．【提出問題】小明通過觀察，提出猜想：按此步驟繼續(xù)畫圓描點(diǎn)，所描的點(diǎn)都在某二次函數(shù)圖像上．(1)【分析問題】小明利用已學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，以圓心O為原點(diǎn)，過點(diǎn)O的橫線所在直線為x軸，過點(diǎn)O且垂直于橫線的直線為y軸，相鄰橫線的間距為一個(gè)單位長(zhǎng)度，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2所示．當(dāng)所描的點(diǎn)在半徑為5的同心圓上時(shí)，其坐標(biāo)為___________．(2)【解決問題】請(qǐng)幫助小明驗(yàn)證他的猜想是否成立．(3)【深度思考】小明繼續(xù)思考：設(shè)點(diǎn)P(0,m)，m為正整數(shù)，以O(shè)P為直徑畫⊙M，是否存在所描的點(diǎn)在⊙M上．若存在，求m的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)(-3,4)或(3,4)(2)成立，理由見解析(3)存在，4【分析】（1）先畫出圖形，再結(jié)合實(shí)際操作可得OA=OB=OD=5,OC=4,OC⊥AB,再利用勾股定理求解AC，BC，從而可得答案；（2）解法1：設(shè)半徑為n的圓與直線y=n-1的交點(diǎn)為P(x,n-1)．利用勾股定理可得x2+(n-1)2=n2，即解法2：設(shè)半徑為n的圓與直線y=n-1交點(diǎn)為P(x,n-1)，可得x2+(n-1)2=n2，解方程可得P(±（3）如圖，設(shè)所描的點(diǎn)N(±2n-1,n-1)在⊙M上，由MO=MN，建立方程(m2)2=（1）解：如圖，OA=OB=OD=5,OC=4,OC⊥AB,∴AC=BC=5∴A(-3,4),B(3,4),故答案為：(-3,4)或(3,4)（2）小明的猜想成立．解法1：如圖，設(shè)半徑為n的圓與直線y=n-1的交點(diǎn)為P(x,n-1)．因?yàn)镺P=n，所以x2+(n-1)所以n=1所以y=n-1=1解法2：設(shè)半徑為n的圓與直線y=n-1交點(diǎn)為P(x,n-1)，因?yàn)镺P=n，所以x2+(n-1)2={x=±2n-1,y=n-1，消去∴點(diǎn)在拋物線y=1（3）存在所描的點(diǎn)在⊙M上，理由：如圖，設(shè)所描的點(diǎn)N(±2n-1,n-1)在則MO=MN，因?yàn)镸(0,m所以(m整理得m=n因?yàn)閙，n都是正整數(shù)，所以只有n=2，m=4滿足要求．因此，存在唯一滿足要求的m，其值是4．【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)，垂徑定理的應(yīng)用，坐標(biāo)與圖形，二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，方程的正整數(shù)解問題，理解題意，建立幾何模型與函數(shù)模型是解本題的關(guān)鍵．5．（2021·江蘇南京·九年級(jí)期中）在一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，王老師設(shè)計(jì)了一份活動(dòng)單：已知線段BC＝2，使用作圖工具作∠BAC＝30°，嘗試操作后思考：（1）這樣的點(diǎn)A唯一嗎？（2）點(diǎn)A的位置有什么特征？你有什么感悟？“追夢(mèng)”學(xué)習(xí)小組通過操作、觀察、討論后匯報(bào)：點(diǎn)A的位置不唯一，它在以BC為弦的圓弧上（點(diǎn)B、C除外），…．小華同學(xué)畫出了符合要求的一條圓?。ㄈ鐖D1）．（1）小華同學(xué)提出了下列問題，請(qǐng)你幫助解決．①該弧所在圓的半徑長(zhǎng)為；②△ABC面積的最大值為；（2）經(jīng)過比對(duì)發(fā)現(xiàn)，小明同學(xué)所畫的角的頂點(diǎn)不在小華所畫的圓弧上，而在如圖1所示的弓形內(nèi)部，我們記為A′，請(qǐng)你利用圖1證明∠BA′C＞30°．（3）請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，結(jié)合以上活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，解決問題：如圖2，在平面直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)有一點(diǎn)B，坐標(biāo)為（2，m），過點(diǎn)B作AB⊥y軸，BC⊥x軸，垂足分別為A、C，若點(diǎn)P在線段AB上滑動(dòng)（點(diǎn)P可以與點(diǎn)A、B重合），發(fā)現(xiàn)使得∠OPC＝45°的位置有兩個(gè)，則m的取值范圍為．【答案】（1）①2；②3+2；（2）見解析；（3）2≤m<1+2【分析】（1）①由圓周角定理可得∠BOC＝60°，可證△OBC是等邊三角形，即可求解；②由題意可得當(dāng)點(diǎn)A到BC的距離最大時(shí)，△ABC的面積最大，即可求解；（2）由同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠BHC＝∠BAC，由三角形的外角的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）以BC為邊作等腰直角三角形ODC，以點(diǎn)O為圓心，OD為半徑作圓D，可得當(dāng)點(diǎn)P在OC上方的圓D上時(shí)，∠OPC＝45°，分別求出點(diǎn)B在圓D和線段AB與圓D相切時(shí)，m的值，即可求解．【詳解】（1）①如圖1，設(shè)O為圓心，連接BO，CO，∵∠BAC＝30°，∴∠BOC＝60°，又∵OB＝OC，∴△OBC是等邊三角形，∴OB＝OC＝BC＝2，即半徑為2，故答案為2；②∵△ABC以BC為底邊，BC＝2，∴當(dāng)點(diǎn)A到BC的距離最大時(shí)，△ABC的面積最大，如圖1，過點(diǎn)O作BC的垂線，垂足為E，延長(zhǎng)EO，交圓于D，∴BE＝CE＝1，DO＝BO＝2，∴OE＝OC∴DE＝3+2，∴△ABC的最大面積為12×2×（3+2）＝3+2故答案為：3+2；（2）如圖1﹣1，延長(zhǎng)BA'，交圓于點(diǎn)H，連接CH，∵BC＝BC，∴∠BHC＝∠BAC，∵∠BA'C＝∠BHC+∠A'CH，∴∠BA'C＞∠BHC，∴∠BA'C＞∠BAC，即∠BA'C＞30°；（3）如圖2，以O(shè)C為邊作等腰直角三角形ODC，以點(diǎn)O為圓心，OD為半徑作圓D，∴OD＝CD＝2，∠ODC＝90°，∴當(dāng)點(diǎn)P在OC上方的圓D上時(shí)，∠OPC＝45°，當(dāng)點(diǎn)A或點(diǎn)B在圓D上時(shí)，BC＝OC＝2，即m＝2，當(dāng)AB與圓D相切時(shí)，m＝1+2，∴2≤m<1+2故答案為：2≤m<1+2【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，圓的有關(guān)知識(shí)，確定點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．6．（2022·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C、D、M均為格點(diǎn)．【操作探究】在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，佳佳同學(xué)在如圖①的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺畫了兩條互相垂直的線段AB、CD，相交于點(diǎn)P并給出部分說理過程，請(qǐng)你補(bǔ)充完整：解：在網(wǎng)格中取格點(diǎn)E，構(gòu)建兩個(gè)直角三角形，分別是△ABC和△CDE．在Rt△ABC中，tan在Rt△CDE中，，所以tan∠BAC=所以∠BAC=∠DCE．因?yàn)椤螦CP+∠DCE=∠ACB=90°，所以∠ACP+∠BAC=90°，所以∠APC=90°，即AB⊥CD．(1)【拓展應(yīng)用】如圖②是以格點(diǎn)O為圓心，AB為直徑的圓，請(qǐng)你只用無刻度的直尺，在BM上找出一點(diǎn)P，使PM=AM，寫出作法，并給出證明：(2)【拓展應(yīng)用】如圖③是以格點(diǎn)O為圓心的圓，請(qǐng)你只用無刻度的直尺，在弦AB上找出一點(diǎn)P．使AM2=AP·【答案】(1)tan∠DCE=(2)見解析【分析】（1）取格點(diǎn)N，作射線AN交BM于點(diǎn)P，則AN⊥MO根據(jù)垂徑定理可知，點(diǎn)P即為所求作；（2）取格點(diǎn)I，連接MI交AB于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作．利用正切函數(shù)證得∠FMI=∠MNA，利用圓周角定理證得∠B=∠MNA，再推出△PAM∽△MAB，即可證明結(jié)論．（1）解：【操作探究】在網(wǎng)格中取格點(diǎn)E，構(gòu)建兩個(gè)直角三角形，分別是△ABC和△CDE．在Rt△ABC中，tan在Rt△CDE中，tan∠DCE=所以tan∠BAC=所以∠BAC=∠DCE．因?yàn)椤螦CP+∠DCE=∠ACB=90°，所以∠ACP+∠BAC=90°，所以∠APC=90°，即AB⊥CD．故答案為：tan∠DCE=取格點(diǎn)N，作射線AN交BM于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作；∵∴∠MOD=∠NAC∵∠NAC+∠ANC=90°∴∠ANC+∠DOM=90°∴AN⊥OM∴（2）解：取格點(diǎn)I，連接MI交AB于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作；證明：作直徑AN，連接BM、MN，在Rt△FMI中，tan∠FMI=在Rt△MNA中，tan∠MNA=所以tan∠FMI=∴∠FMI=∠MNA，∵∠B=∠MNA，∴∠AMP=∠B，∵∠PAM=∠MAB，∴△PAM∽△MAB，∴PAAM∴AM2=AP·【點(diǎn)睛】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．7．（2022·江蘇常州·中考真題）（現(xiàn)有若干張相同的半圓形紙片，點(diǎn)O是圓心，直徑AB的長(zhǎng)是12cm，C是半圓弧上的一點(diǎn)（點(diǎn)C與點(diǎn)A、B不重合），連接AC、BC(1)沿AC、BC剪下△ABC，則△ABC是______三角形（填“銳角”、“直角”或“鈍角”）；(2)分別取半圓弧上的點(diǎn)E、F和直徑AB上的點(diǎn)G、H．已知剪下的由這四個(gè)點(diǎn)順次連接構(gòu)成的四邊形是一個(gè)邊長(zhǎng)為6cm(3)經(jīng)過數(shù)次探索，小明猜想，對(duì)于半圓弧上的任意一點(diǎn)C，一定存在線段AC上的點(diǎn)M、線段BC上的點(diǎn)N和直徑AB上的點(diǎn)P、Q，使得由這四個(gè)點(diǎn)順次連接構(gòu)成的四邊形是一個(gè)邊長(zhǎng)為4cm【答案】(1)直角(2)見詳解(3)小明的猜想正確，理由見詳解【分析】（1）AB是圓的直徑，根據(jù)圓周角定理可知∠ACB=90°，即可作答；（2）以A為圓心，AO為半徑畫弧交⊙O于點(diǎn)E，再以E為圓心，EO為半徑畫弧交于⊙O點(diǎn)F連接EF、FO、EA，G、H點(diǎn)分別與A、O點(diǎn)重合，即可；（3）當(dāng)點(diǎn)C靠近點(diǎn)A時(shí)，設(shè)CM=13CA，CN=13CB，可證MN∥AB,推出MN=13AB=4cm，分別以M，N為圓心，MN為半徑作弧交（1）解：如圖，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ACB是直角，即△ABC是直角三角形，故答案為：直角；（2）解：以A為圓心，AO為半徑畫弧交⊙O于點(diǎn)E，再以E為圓心，EO為半徑畫弧交于⊙O點(diǎn)F連接EF、FO、EA，G、H點(diǎn)分別與A、O點(diǎn)重合，即可，作圖如下：由作圖可知AE=EF=FH=HG=OA=12AB=6即四邊形EFHG是邊長(zhǎng)為6cm的菱形；（3）解：小明的猜想正確，理由如下：如圖，當(dāng)點(diǎn)C靠近點(diǎn)A時(shí)，設(shè)CM=13∴CMCA∴MN∥∴MNAB∴MN=1分別以M，N為圓心，MN為半徑作弧交AB于點(diǎn)P，Q，作MD⊥AB于點(diǎn)D，NE⊥AB于點(diǎn)E，∴MN=MP=NQ=4cm∵M(jìn)N∥AB,MD⊥AB，∴MD=NE，在RtΔMDP和RtΔMP=NQMD=NE∴RtΔMDP?∴∠MPD=∠NQE，∴MP//又∵M(jìn)P=NQ，∴四邊形MNQP是平行四邊形，又∵M(jìn)N=MP，∴四邊形MNQP是菱形；同理，如圖，當(dāng)點(diǎn)C靠近點(diǎn)B時(shí)，采樣相同方法可以得到四邊形MNQP是菱形，故小明的猜想正確．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、尺規(guī)作圖、菱形的性質(zhì)與判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用上述知識(shí)解決問題．8．（2022·江蘇泰州·中考真題）已知：△ABC中，D為BC邊上的一點(diǎn).(1)如圖①，過點(diǎn)D作DE∥AB交AC邊于點(diǎn)E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的長(zhǎng)；(2)在圖②，用無刻度的直尺和圓規(guī)在AC邊上做點(diǎn)F，使∠DFA=∠A；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）(3)如圖③，點(diǎn)F在AC邊上，連接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面積等于12CD?AB，以FD為半徑作⊙F，試判斷直線BC與⊙F【答案】(1)2(2)圖見詳解(3)直線BC與⊙F相切，理由見詳解【分析】（1）由題意易得CDBD=23（2）作DT∥AC交AB于點(diǎn)T，作∠TDF=∠ATD，射線DF交AC于點(diǎn)F，則點(diǎn)F即為所求；（3）作BR∥CF交FD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R，連接CR，證明四邊形ABRF是等腰梯形，推出AB=FR，由CF∥BR，推出S△CFB=S△CFR=（1）解：∵DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∴DEAB∵AB=5，BD=9，DC=6，∴DE5∴DE=2；（2）解：作DT∥AC交AB于點(diǎn)T，作∠TDF=∠ATD，射線DF交AC于點(diǎn)F，則點(diǎn)F即為所求；如圖所示：點(diǎn)F即為所求，（3）解：直線BC與⊙F相切，理由如下：作BR∥CF交FD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R，連接CR，如圖，∵∠DFA=∠A，∴四邊形ABRF是等腰梯形，∴AB=FR，∵△FBC的面積等于12∴S△CFB∴CD⊥DF，∵FD是⊙F的半徑，∴直線BC與⊙F相切．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)與判定及切線的判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)與判定及切線的判定是解題的關(guān)鍵．9．（2022·江蘇揚(yáng)州·中考真題）【問題提出】如何用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條直線或圓弧平分已知扇形的面積？【初步嘗試】如圖1，已知扇形OAB，請(qǐng)你用圓規(guī)和無刻度的直尺過圓心O作一條直線，使扇形的面積被這條直線平分；【問題聯(lián)想】如圖2，已知線段MN，請(qǐng)你用圓規(guī)和無刻度的直尺作一個(gè)以MN為斜邊的等腰直角三角形MNP；【問題再解】如圖3，已知扇形OAB，請(qǐng)你用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條以點(diǎn)O為圓心的圓弧，使扇形的面積被這條圓弧平分．（友情提醒：以上作圖均不寫作法，但需保留作圖痕跡）【答案】見解析【分析】【初步嘗試】如圖1，作∠AOB的角平分線所在直線即為所求；【問題聯(lián)想】如圖2，先作MN的線段垂直平分線交MN于點(diǎn)O，再以O(shè)為圓心MO為半徑作圓，與垂直平分線的交點(diǎn)即為等腰直角三角形的頂點(diǎn)；【問題再解】如圖3先作OB的線段垂直平分線交OB于點(diǎn)N，再以N為圓心NO為半徑作圓,與垂直平分線的交點(diǎn)為M，然后以O(shè)為圓心，OM為半徑作圓與扇形OAB所交的圓弧即為所求．【詳解】【初步嘗試】如圖所示，作∠AOB的角平分線所在直線OP即為所求；【問題聯(lián)想】如圖，先作MN的線段垂直平分線交MN于點(diǎn)O，再以O(shè)為圓心MO為半徑作圓，與垂直平分線的交點(diǎn)即為等腰直角三角形的頂點(diǎn)；【問題再解】如圖，先作OB的線段垂直平分線交OB于點(diǎn)N，再以N為圓心NO為半徑作圓,與垂直平分線的交點(diǎn)為M，然后以O(shè)為圓心，OM為半徑作圓與扇形OAB所交的圓弧CD即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，扇形的面積等知識(shí)，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，掌握基本作圖方法．10．（2021·江蘇南通·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于M，N兩點(diǎn)給出如下定義：若點(diǎn)M到x軸，y軸的距離中的最大值等于點(diǎn)N到x軸，y軸的距離中的最大值，則稱M，N兩點(diǎn)互為“等距點(diǎn)”．例如：點(diǎn)P（2，2）與點(diǎn)（﹣2，﹣1）到x軸，y軸的距離中的最大值都等于2，它們互為等距點(diǎn)．已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，3）．(1)在點(diǎn)B（0，﹣2），C（﹣3，2），D（4，3）中，點(diǎn)與點(diǎn)A互為“等距點(diǎn)”；(2)已知直線l：y＝kx+4k+1．①若k＝1，點(diǎn)E在直線l上，且A，E兩點(diǎn)互為“等距點(diǎn)”，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；②若直線l上存在點(diǎn)F，使得A，F(xiàn)兩點(diǎn)互為“等距點(diǎn)”，求k的取值范圍；(3)若⊙N的圓心為（n，2），半徑為2，⊙N上恰有三個(gè)點(diǎn)是點(diǎn)A的“等距點(diǎn)”，直接寫出n的值．【答案】(1)C(2)①E（﹣3，2）或（﹣2，3）；②﹣4≤k≤2．(3)3﹣3，1，﹣1，﹣3+3【分析】（1）根據(jù)“等距點(diǎn)”的定義即可得出答案；（2）①先得出直線l的解析式為y=x+5，設(shè)E（x，x+5），再根據(jù)“等距點(diǎn)”的定義建立方程求解即可；②由y=kx+4k+1=k（x+4）+1，可得直線l經(jīng)過定點(diǎn)（-4，1），再結(jié)合圖形即可得出答案；（3）根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形即可得出答案．(1)解：∵點(diǎn)A（1，3）到x、y軸的距離中最大值為3，∴與A點(diǎn)是“等距點(diǎn)”的點(diǎn)是C．故答案為：C；(2)①當(dāng)k＝1時(shí)，直線l的解析式為y＝x+5，設(shè)E（x，x+5），令|x|＝3，則x＝3或﹣3，若x＝3，則E（3，8），不符合題意，舍去，若x＝﹣3，則E（﹣3，2），點(diǎn)E與點(diǎn)A是“等距點(diǎn)”，令|x+5|＝3，則x＝﹣2或﹣8，若x＝﹣2，則E（﹣2，3），點(diǎn)E與點(diǎn)A是“等距點(diǎn)”，若x＝﹣8，則E（﹣8，﹣3），不符合題意，舍去，綜上所述，E（﹣3，2）或（﹣2，3）；②∵y＝kx+4k+1＝k（x+4）+1，∴x＝﹣4時(shí)，y＝1，即直線l經(jīng)過定點(diǎn)（﹣4，1），若直線y＝kx+4k+1過點(diǎn)（﹣3，3），則k＝2，若直線y＝kx+4k+1過點(diǎn)（﹣3，﹣3），則k＝﹣4；結(jié)合圖形可得﹣4≤k≤2．(3)如圖2，G，H，M三點(diǎn)為點(diǎn)A的“等距點(diǎn)”，∴M（3，2），∴N（1，2），即n＝1．如圖3，G′，H′，M′三點(diǎn)為點(diǎn)A的“等距點(diǎn)”，∴M′（﹣3，2），∴N（﹣1，2），即n＝﹣1．如圖4，P、Q、K三點(diǎn)為點(diǎn)A的“等距點(diǎn)”，過點(diǎn)N作NL⊥PK于點(diǎn)L，∵P（3，3），NP＝2，NL＝1，∴PL＝NP2-NL2∴N（3﹣3，2），即n＝3﹣3．如圖5，P′、Q′、K′三點(diǎn)為點(diǎn)A的“等距點(diǎn)”，過點(diǎn)N作NL⊥P′K′于點(diǎn)L，∵P′（﹣3，3），NP′＝2，NL＝1，∴P′L＝NP2-NL2∴N（﹣3+3，2），即n＝﹣3+3．綜上所述，n的值為1，﹣1，﹣3+3，3﹣3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象的性質(zhì)以及圓的性質(zhì)，此題屬于閱讀理解類型題目，首先讀懂“等距點(diǎn)”的定義，而后根據(jù)概念解決問題，難度較大，需要有扎實(shí)的基礎(chǔ)，培養(yǎng)了閱讀理解、遷移運(yùn)用的能力．11．（2021·江蘇·連云港外國(guó)語(yǔ)學(xué)校一模）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，∠EOF的頂點(diǎn)O在正方形ABCD兩條對(duì)角線的交點(diǎn)處，∠EOF＝90°，將∠EOF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，∠EOF的兩邊分別與正方形ABCD的邊BC和CD交于點(diǎn)E和點(diǎn)F（點(diǎn)F與點(diǎn)C，D不重合）．則CE，CF，BC之間滿足的數(shù)量關(guān)系是______．（2）【類比應(yīng)用】如圖2，若將（1）中的“正方形ABCD”改為“∠BCD＝120°的菱形ABCD”，其他條件不變，當(dāng)∠EOF＝60°時(shí)，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)猜想結(jié)論并說明理由．（3）【拓展延伸】如圖3，∠BOD＝120°，OD＝34，OB＝4，OA平分∠BOD，AB＝13，且OB＞2OA，點(diǎn)C是OB上一點(diǎn)，∠CAD＝60°，求OC【答案】（1）CE+CF＝BC；（2）結(jié)論不成立．CE+CF＝12BC；理由見解析；（3）OC＝【分析】（1）如圖1中，結(jié)論：CE+CF=BC．證明△BOE≌△COF（ASA），即可解決問題．（2）如圖2中，結(jié)論不成立．CE+CF=12BC．連接EF，在CO上截取CJ=CF，連接FJ．首先證明CE+CF=OC，再利用直角三角形30（3）如圖3中，由OB＞2OA可知△BAO是鈍角三角形，∠BAO＞90°，作AH⊥OB于H，設(shè)OH=x．構(gòu)建方程求出x可得OA=1，再利用（2）中結(jié)論即可解決問題．【詳解】（1）如圖1中，結(jié)論：CE+CF＝BC．理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∵∠EOF＝∠BOC＝90°，∴∠BOE＝∠OCF，∴△BOE≌△COF（ASA），∴BE＝CF，∴CE+CF＝CE+BE＝BC．故答案為CE+CF＝BC．（2）如圖2中，結(jié)論不成立．CE+CF＝12BC理由：連接EF，在CO上截取CJ＝CF，連接FJ．∵四邊形ABCD是菱形，∠BCD＝120°，∴∠BCO＝∠OCF＝60°，∵∠EOF+∠ECF＝180°，∴O，E，C，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，∴∠OFE＝∠OCE＝60°，∵∠EOF＝60°，∴△EOF是等邊三角形，∴OF＝FE，∠OFE＝60°，∵CF＝CJ，∠FCJ＝60°，∴△CFJ是等邊三角形，∴FC＝FJ，∠JFC＝∠OFE＝60°，∴∠OFJ＝∠CFE，∴△OFJ≌△EFC（SAS），∴OJ＝CE，∴CF+CE＝CJ+OJ＝OC＝12BC（3）如圖3中，由OB＞2OA可知△BAO是鈍角三角形，∠BAO＞90°，作AH⊥OB于H，設(shè)OH＝x．在Rt△ABH中，BH＝13-3x∵OB＝4，∴13-3x2+x＝解得x＝32或1∴OH＝12或3∴OA＝2OH＝1或3（舍棄），∵∠COD+∠CAD＝180°，∴A，C，O，D四點(diǎn)共圓，∵OA平分∠COD，∴∠AOC＝∠AOD＝60°，∴∠ADC＝∠AOC＝60°，∵∠CAD＝60°，∴△ACD是等邊三角形，由（2）可知：OC+OD＝OA，∴OC＝1﹣34＝1【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，解直角三角形，四點(diǎn)共圓，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．12．（2021·江蘇淮安·一模）如圖1，在四邊形ABCD中，如果對(duì)角線AC和BD相交并且相等，那么我們把這樣的四邊形稱為等角線四邊形．(1)①在“平行四邊形、矩形、菱形”中，一定是等角線四邊形（填寫圖形名稱）；②若M、N、P、Q分別是等角線四邊形ABCD四邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，當(dāng)對(duì)角線AC、BD還要滿足時(shí)，四邊形MNPQ是正方形．(2)如圖2，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，D為平面內(nèi)一點(diǎn)．①若四邊形ABCD是等角線四邊形，且AD=BD，求四邊形ABCD的面積；②設(shè)點(diǎn)E是以C為圓心，1為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)，若四邊形ABED是等角線四邊形，則四邊形ABED的面積的最大值為．【答案】(1)①矩形；②AC⊥BD(2)①3+221；②【分析】（1）①根據(jù)等角線四邊形的定義進(jìn)行判斷即可；②當(dāng)AC⊥BD時(shí)，四邊形MNPQ是正方形，首先證明四邊形MNPQ是菱形，再證明有一個(gè)角是直角即可；（2）①如圖2中，作DE⊥AB于E，利用勾股定理求出相關(guān)線段的長(zhǎng)，再根據(jù)S四邊形②如圖3中，設(shè)AE與BD相交于點(diǎn)Q，連接CE，只要證明當(dāng)AE⊥BD且A、C、E共線時(shí)，四邊形ABED的面積最大即可．(1)解：①在“平行四邊形、矩形、菱形”中，∵矩形的對(duì)角線相等，∴矩形一定是等角線四邊形．故答案為：矩形．②當(dāng)AC⊥BD時(shí)，四邊形MNPQ是正方形．理由如下：如圖1，∵M(jìn)、N、P、Q分別是等角線四邊形ABCD四邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，∴PQ=12AC，MN=12AC，PN=1∵AC=BD，∴MN=NP=PQ=QM，∴四邊形MNPQ是菱形，∵AC⊥BD，∴∠1=90°，∵PQ∥AC，QM∥BD，∴∠3=∠2，∠2=∠1，∴∠1=90°，∴四邊形MNPQ是正方形．故答案為：AC⊥BD．(2)①如圖2，作DE⊥AB于E，∵在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，∴AC=A∵AD=BD，DE⊥AB，∴AE=BE=1∵四邊形ABCD是等角線四邊形，∴AD=BD=AC=5，在Rt△BDE中，DE=B∴S===3+221∴四邊形ABCD的面積為3+221②如圖3中，設(shè)AE與BD相交于點(diǎn)Q，連接CE，作DH⊥AE于H，BG⊥AE于G，∴DH≤DQ，BG≤BQ，∵四邊形ABED是等角線四邊形，∴AE=BD，∵S==≤1即：S四邊形∴當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)H重合時(shí)即AE⊥BD，等號(hào)成立，∵AE=BD，∴S四邊形即線段AE最長(zhǎng)時(shí)，四邊形ABED的面積最大，∵AE≤AC+CE，∴AE≤5+1，∴AE≤6，∴AE的最大值為6，∴當(dāng)A、C、E共線時(shí)，四邊形ABED的面積的最大值為12故答案為：18．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題，考查了中點(diǎn)四邊形，三角形中位線定理，正方形的判定，勾股定理，等腰三角形的三線合一性質(zhì)，垂線段最短，三角形三邊關(guān)系定理，圓等知識(shí)．解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，會(huì)求圓上一點(diǎn)到圓外一定點(diǎn)的距離的最大值或最小值．13．（2022·江蘇·徐州市第十三中學(xué)三模）微探究：如圖①，點(diǎn)P在⊙O上，利用直尺（沒有刻度）和圓規(guī)過點(diǎn)P作⊙O的切線．小明所在的數(shù)學(xué)小組經(jīng)過合作探究，發(fā)現(xiàn)了很多作法，精彩紛呈．作法一：①作直徑PA的垂直平分線交⊙O于點(diǎn)B；②分別以點(diǎn)B、P為圓心，OP為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)C；③作直線PC．作法二：①作直徑PA的四等分點(diǎn)B、C；②以點(diǎn)C為圓心，CA為半徑作弧，交射線PA于點(diǎn)D；③分別以點(diǎn)A、P為圓心，PD、PC為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)E；④作直線PE．(1)以上作法是否正確？選一個(gè)你認(rèn)為正確的作法予以證明；(2)在圖①、圖②中用兩種作法作出符合條件的圖形（與以上作法不同）．不寫作法，保留作圖痕跡．【答案】(1)都正確，證明見解析(2)見解析【分析】（1）作法一，證明四邊形OBCP為正方形，即可判斷；利用勾股定理的逆定理證明△APE是直角三角形，即可判斷；（2）作直線PO，以點(diǎn)P為圓心，OP為半徑作弧，交射線OP于點(diǎn)A；分別以點(diǎn)O、A為圓心，大于OP的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)B；作直線PB．（1）解：以上兩種作法都是正確的；作法一：連接BC，由作法知：OB=BC，OP=PC，OB⊥AP，∵OB=OP，∴OB=BC=OP=PC，∴四邊形OBCP為菱形，∵OB⊥AP，∴菱形OBCP為正方形，∴OP⊥PC，∵OP為⊙O的半徑，∴PC是⊙O的切線；作法二：設(shè)⊙O的半徑為2a，由作法知：PB=BO=OC=AC=AD=a，則PA=4a，PC=PE=3a，AE=PD=5a，∵PE2+PA2=(3a)2+(4a)2=25a2，AE2=(5a)2=25a2，∴PE2+PA2=AE2，∴△APE是直角三角形，且∠APE=90°，∵AP為⊙O的半徑，∴PC是⊙O的切線；（2）解：①作直線PO，以點(diǎn)P為圓心，OP為半徑作弧，交射線OP于點(diǎn)A；②分別以點(diǎn)O、A為圓心，大于OP的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)B；③作直線PB．直線PB是⊙O的切線；【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖，圓的切線，正方形的判定和性質(zhì)，勾股定理的逆定理，熟記各圖形的性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．14．（2022·江蘇揚(yáng)州·三模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x1，y1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x2，y2），且x1≠x2，y1＝y(tǒng)2，給出如下定義：若平面上存在一點(diǎn)P，使△APB是以線段AB為斜邊的直角三角形，則稱點(diǎn)P為點(diǎn)A、點(diǎn)B的“直角點(diǎn)”．(1)已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）．①若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），在點(diǎn)P1（4，3）、P2（3，2）和P3（2，﹣3）中，是點(diǎn)A、點(diǎn)B的“直角點(diǎn)”的是；②點(diǎn)B在x軸的正半軸上，且AB＝42，當(dāng)直線y＝﹣x＋b上存在點(diǎn)A、點(diǎn)B的“直角點(diǎn)”時(shí)，求b的取值范圍；(2)⊙O的半徑為r，點(diǎn)D（0，4）為點(diǎn)E（﹣1，2）、點(diǎn)F（m，2）的“直角點(diǎn)”，若使得△DEF的邊與⊙O有交點(diǎn)，直接寫出半徑r的取值范圍．【答案】(1)①P2、P3；②22﹣3≤b≤5+22(2)2≤r≤25【分析】（1）①利用兩點(diǎn)間的距離公式分別求得各線段平方的值，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可；②首先判斷點(diǎn)A、B的“直角點(diǎn)”在以點(diǎn)C為圓心，22的長(zhǎng)為半徑的⊙C上，分類求得直線y=-x+b與⊙C相切時(shí)，b（2）根據(jù)“直角點(diǎn)”的定義求得點(diǎn)F的坐標(biāo)，設(shè)EF與y軸交點(diǎn)為G，根據(jù)點(diǎn)G、F分別在⊙O上的位置關(guān)系，得到OG=2，利用勾股定理求出OF=25，即可得到⊙O的半徑r（1）①∵AB2=(5-1)2=16，P1A2=(4-1)2+(3-0)2=18，P1B2=(4-5)2+(3-0)2=10，∵18+10≠16，∴P1A2+P1B2≠AB2，P1不是點(diǎn)A、點(diǎn)B的“直角點(diǎn)”；P2A2=(3-1)2+(2-0)2=8，P2B2=(3-5)2+(2-0)2=8，∵8+8=16，∴P2A2+P2B2=AB2，P2是點(diǎn)A、點(diǎn)B的“直角點(diǎn)”；P3A2=(2-1)2+(-3-0)2=4，P3B2=(2-5)2+(-3-0)2=12，∵4+12=16，∴P3A2（2）∵點(diǎn)D（0，4）為點(diǎn)E（﹣1，2）、點(diǎn)F（m，2）的“直角點(diǎn)”，∴EF2=(m+1)2=m2+2m+1，ED2=(0+1)2+(4-2)2=5，DF2=(0-m)2+(4-2)2=m2+4，∵ED2+DF2=EF2【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)，圓，兩點(diǎn)之間的距離公式，勾股定理及其逆定理，“直角點(diǎn)”的新定義，特殊角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是理解掌握新定義，熟練掌握一次函數(shù)性質(zhì)，圓的切線性質(zhì)、兩點(diǎn)之間的距離公式、勾股定理及其逆定理、特殊角的三角函數(shù)值，注意分類討論．15．（2022·江蘇南京·二模）△ABC是一地鐵皮，如何按要求從中剪一個(gè)面積最大的圓？(1)【初步認(rèn)識(shí)】請(qǐng)用直尺和圓規(guī)在圖①中作出面積最大的圓（不寫作法，保留作圖痕跡）．(2)【繼續(xù)探索】若三角形鐵皮上有一破損的孔點(diǎn)D（孔徑大小忽略不計(jì)），要求剪一個(gè)面積最大的圓且圓面無破損，請(qǐng)用直尺和圓規(guī)在圖②中作出滿足要求的圓（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）．(3)【問題解決】如圖③，若AB=AC=10，BC=12，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，破損的孔點(diǎn)D位于EF上（孔徑大小忽略不計(jì)）．設(shè)DE為x，剪出面積最大的圓（圓面無破損）的半徑為r，直接寫出x和r的關(guān)系式以及相應(yīng)x的取值范圍．【答案】(1)作圖見解析部分(2)作圖見解析部分(3)當(dāng)0≤x≤3-22或3+22≤x≤6時(shí)，r=3；當(dāng)3-22<x≤3時(shí)，【分析】（1）作∠ABC的角平分線BE，作∠ACB的角平分線CF，BE交CF于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D，以點(diǎn)O為圓心，OD為半徑作⊙O即可；（2）作∠ABC的角平分線BE，在BE在取一點(diǎn)O1，作⊙O1與AB、BC均相切；連接BD交⊙O1于點(diǎn)D1，連接D1O1，過D作DO∥D1（3）根據(jù)題意畫出圖形，分三種情況解答；(1)解：如圖，⊙O即為所作．(2)①作∠ABC的角平分線BE，在BE在取一點(diǎn)O1，作⊙O1與AB②連接BD交⊙O1于點(diǎn)D1，連接D1O1，過D作③以點(diǎn)O為圓心，OD為半徑作⊙O，則⊙O即為所作．(3)情況一：如圖，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，與AB、AC、BC分別相切于點(diǎn)R、S，G，⊙O與EF交于點(diǎn)M、N，連接RO、SO、MO、GO，則RO=SO=MO=GO=r，連接AO交EF交于點(diǎn)H，連接BO、CO，∴AO平分∠BAC，OG⊥BC，OR⊥AB，OS⊥AC，∵AB=AC=10，∴AO⊥BC，∴點(diǎn)A、O，G三點(diǎn)共線，∴AG⊥BC，AG平分∠BAC，∵BC=12，∴BG=CG=1在Rt△ABG中，AG=A∴S△即12∴r=3，∴GO=MO=3，∵E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，BC=12，AB=AC=10∴EF∥BC，EF=12BC=6∴AHAG=AEAB=∴AH=12AG=4∴OH=AG-AH-OG=1，在Rt△MHO中，MH=M∴NH=MH=22∴EM=3-22，EN=EM+MH+NH=3+2當(dāng)點(diǎn)D在線段EM上，0≤x≤3-22當(dāng)點(diǎn)D在線段NF上，3+22∴當(dāng)0≤x≤3-22或3+22≤x≤6情況二：如圖，當(dāng)⊙O只與AC、BC相切，且點(diǎn)D在⊙O上，則點(diǎn)O在AG右側(cè)，點(diǎn)D在AG左側(cè)，過點(diǎn)O作OT⊥BC于T，OT的反向延長(zhǎng)線交EF于X，交AC于J，⊙O與AC相切于點(diǎn)K，連接DO、KO，∴DO=TO=KO=r，OK⊥AC，∴此時(shí)DE=x的取值范圍是：3-22由情況一可知，AG⊥BC，AG⊥EF，GH=4，∴∠XHG=∠HGT=∠GTX=90°，∴四邊形HGTX是矩形，∴∠HXT=90°，TX=GH=4，TX∥GH，HX=GT，∴∠CJT=∠CAG，OX=TX-TO=4-r，由情況一可知，AG⊥BC，AC=10，GC=6，AG=8，∴sin∠CJT=tan∠CJT=∵OK⊥AC，∴在Rt△JKO中，JO=KO在Rt△JTC中，JT=JO+OT=5r3+r=∴HX=GT=CG-TC=6-2r，∴DX=DH+HX=EH-DE+HX=3-x+6-2r=9-2r-x，在Rt△DXO中，DX∴9-2r-x2解得：x=9-2r-22r-4或x=9-2r+2∴當(dāng)3-22<x≤3時(shí)，情況三：如圖，當(dāng)⊙O只與AB、BC相切，且點(diǎn)D在⊙O上，則點(diǎn)O在AG左側(cè)，點(diǎn)D在AG右側(cè)，過點(diǎn)O作OW⊥BC于W，OW的反向延長(zhǎng)線交EF于Y，交AB于U，⊙O與AB相切于點(diǎn)V，連接DO、VO，∴DO=WO=VO=r，OV⊥AB，∴此時(shí)DE=x的取值范圍是：3<x<3+22由情況一可知，AG⊥BC，AG⊥EF，GH=4，∴∠YHG=∠HGW=∠GWY=90°，∴四邊形HGWY是矩形，∴∠HYW=90°，YW=GH=4，YW∥GH，HY=GW，∴∠BUW=∠BAG，OX=YW-WO=4-r，由情況一可知，AG⊥BC，AB=10，BG=6，AG=8，∴sin∠BUW=tan∠BUW=∵OV⊥AB，∴在Rt△UVO中，UO=VO在Rt△BUW中，UW=UO+OW=5r3+r=∴HY=GW=BG-BW=6-2r，∴DY=DH+YH=DE-EH+YH=x-3+6-2r=3-2r+x，在Rt△DYO中，DY∴3-2r+x2解得：x=2r+22r-4-3或∴當(dāng)3<x<3+22時(shí)，x=2r+2綜上所述，x和r的關(guān)系式以及相應(yīng)x的取值范圍：當(dāng)0≤x≤3-22或3+22≤x≤6時(shí)，r=3；當(dāng)3-22<x≤3時(shí)，【點(diǎn)睛】本題考查作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，考查了三角形的內(nèi)切圓，垂徑定理，等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，三角形的中位線，平行線分線段成比例，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)，一元二次方程等知識(shí)，運(yùn)用了等積法，分類討論的解題方法．解題的關(guān)鍵是理解三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形角平分線的交點(diǎn)．16．（2022·江蘇鹽城·三模）概念學(xué)習(xí)在同一平面內(nèi)，當(dāng)線段與圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，稱線段與圓相接；當(dāng)它們有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，稱線段與圓相交．理解運(yùn)用(1)如圖1，AB為⊙O的切線，切點(diǎn)為B，點(diǎn)P為平面內(nèi)的一點(diǎn)，連接A、P兩點(diǎn)，線段AP與⊙O相接．①命題“若點(diǎn)P在⊙O內(nèi)，則線段AP與⊙O相接．”是命題（填“真”或“假”）；②利用直尺和圓規(guī)畫出點(diǎn)P在⊙O上且符合條件的點(diǎn)P所在圓上部分．

拓展延伸(2)如圖2，在ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以平面內(nèi)任意一點(diǎn)O為圓心，r為半徑畫圓．①若⊙O與ABC三邊都相接，求r的最小值；②若存在⊙O與邊AB、BC相交，與AC相接，請(qǐng)直接寫出r的取值范圍．【答案】(1)①真；②見解析(2)①r的最小值為1；②存在，r的取值范圍為1＜r＜25【分析】（1）①根據(jù)在同一平面內(nèi)，當(dāng)線段與圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，稱線段與圓相接定義即可判斷；②以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交⊙O于點(diǎn)C即可；（2）①在ABC中，先利用勾股定理求出AB=BC2+AC2=5，根據(jù)⊙O與ABC三邊都相接，利用r=AC+BC-AB2=3+4-52=1求解即可；②線段AC與⊙O相接，有三種情況：第一種：A、C兩點(diǎn)，一個(gè)在⊙O內(nèi)，一個(gè)在⊙O外，但BC與⊙O相接，不成立；第二種：直線AC與⊙O相切，切點(diǎn)N在線段AC上時(shí)，如圖2，當(dāng)切點(diǎn)N與點(diǎn)A重合，且⊙O經(jīng)過點(diǎn)B（1）解：①∵點(diǎn)P在⊙O內(nèi)，點(diǎn)A在⊙O外，∴AP與⊙O有一個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)在同一平面內(nèi)，當(dāng)線段與圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，稱線段與圓相接，則線段AP與⊙O相接．是真命題；故答案為：真②以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交⊙O于點(diǎn)C，如圖，∴BC就是滿足題意的部分．（2）解：①在ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB=BC2+AC2=5，∵⊙O與ABC三邊都相接，∴⊙O是ABC的內(nèi)切圓，r最小，∴r=AC+BC-AB2=3+4-52=1；②線段AC與⊙O相接，有三種情況：第一種：A、C兩點(diǎn)，一個(gè)在⊙第二種：直線AC與⊙O相切，切點(diǎn)N在線段AC上時(shí)，如圖2，一方面，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，半徑較大；另一方面，當(dāng)切點(diǎn)N與點(diǎn)A重合時(shí)，半徑較大，∴當(dāng)切點(diǎn)N與點(diǎn)A重合，且⊙O經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，半徑最大，設(shè)半徑為r，連接OB，過點(diǎn)O作OD⊥BC于D，∵AC與⊙O相切于點(diǎn)A，∴∠OAC=∠C=∠ODC=90°，∴四邊形ODCA為矩形，∴OD=AC=3，OA=DC=r，在Rt△OBD中，BD=BC-CD=4-r,∴OB2=OD2+BD2，即r2=32+第三種：A、C兩點(diǎn)，一個(gè)在⊙O上，一個(gè)在⊙O外，如圖，當(dāng)點(diǎn)C在⊙O上，點(diǎn)A在⊙O外時(shí)，r最小時(shí)BC為直徑，r=2，最大時(shí)AB為切線，過點(diǎn)O作OE⊥BC，交BC于F，交AB于E，連接OB，設(shè)OF=m，OB=r，∵OF⊥BC，BC為非直徑的弦，∠C=90°，∴BF=CF=2，EF//AC，∴△BEF∽△BAC，∴EFAC=BFBC=12，∴EF=12AC=32，如圖，當(dāng)點(diǎn)A在⊙O上，點(diǎn)C在⊙O外時(shí)，當(dāng)AC與⊙O相切時(shí)r最小=258，當(dāng)BC與⊙O相切時(shí)r最大，過O作OH⊥AB交AB于G，交BC于H，∵OG⊥AB，AB為非直徑的弦，∴BG=AG=52，∵∠GBH=∠CBA，∠BGH=∠C=90°，∴△HGB∽△ACB，HGAC=BGBC，即HG3=524，∴HG=158，設(shè)OG=n，半徑為r，∵∠BOH+∠OHB=90°，∠ABC+∠OHB=90°，∴∠BOH=∠CBA，∠OBH=∠C=90°，∴△OBH∽△BCA，∴OHBA=OBBC綜上所述，1＜r＜256【點(diǎn)睛】本題考查新定義，切線長(zhǎng)，三角形內(nèi)切圓，垂徑定理，三角形相似判定與性質(zhì)，勾股定理，二元方程組的解法，分類討論思想的運(yùn)用，直線與圓的位置關(guān)系，掌握新定義，切線長(zhǎng)，三角形內(nèi)切圓，垂徑定理，三角形相似判定與性質(zhì)，勾股定理，二元方程組的解法，分類討論思想的運(yùn)用，直線與圓的位置關(guān)系是解題關(guān)鍵．17．（2022·江蘇連云港·二模）（1）如圖①，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB邊上一點(diǎn)，以CD為腰作等腰Rt△CDE，連接BE，則AD與BE的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是（2）如圖②，AB是半圓O的直徑，C、D是半圓O上兩點(diǎn)，且AC=BC，若BD=3，AD=9，小航同學(xué)想探究CD的長(zhǎng)，他想到了利用第（1）問中的解題方法：以CD為腰作等腰直角三角形．請(qǐng)你幫小航同學(xué)完成探究過程；（3）如圖③是某公園的一個(gè)面積為36πm2的圓形廣場(chǎng)示意圖，點(diǎn)O為圓心，公園開發(fā)部門計(jì)劃在該廣場(chǎng)內(nèi)設(shè)計(jì)一個(gè)四邊形運(yùn)動(dòng)區(qū)域ABDC，連接BC、AD，其中等邊△ABC為球類運(yùn)動(dòng)區(qū)域，△BCD為散步區(qū)域，設(shè)AD的長(zhǎng)為x，△BDC的面積為S．①求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；②按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)D為弧BC的中點(diǎn)時(shí)，布局設(shè)計(jì)最佳，直接寫出此時(shí)四邊形運(yùn)動(dòng)區(qū)域ABDC的面積．【答案】（1）相等，垂直；（2）CD=32；（3）①S=34x2【分析】（1）證明△ACD≌△BCE，即可求解；（2）過點(diǎn)C作CE⊥CD交AD于點(diǎn)E，先證明△DCE是等腰直角三角形，可證得△ACE≌△BCD，可得AE＝BD＝3，從而得到DE＝6，即可求解；（3）①在DA上截取DE＝CD，連接CE，過點(diǎn)C作CF⊥AD于點(diǎn)F，過O作OH⊥AB于H，可得△CDE是等邊三角形，從而得到CE＝CD，再由⊙O的面積為36π，可得OA=6cm，從而得到AH=OA?sin∠AOH=33，再證明△BCD≌△ACE，可得S△BCD=S△ACE，設(shè)CD＝2a，則EF＝DF＝a，由勾股定理可得ax-2a2=12x2-54，再由S=S△ACE=12?AE?CF=12x-2a?3a=32【詳解】解：（1）等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴∠A=∠CBA=45°，AC=BC，∵△CDE是等腰直角三角形，∴∠DCE=∠ACB=90°，DC=EC，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠CBE=∠A=45°，∴∠DBE=∠ABC+∠CBE=90°，∴AD⊥BE，故答案為：相等，垂直；（2）過點(diǎn)C作CE⊥CD交AD于點(diǎn)E，如圖：∵AB是半圓O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵CB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠ADC＝45°，∵CE⊥CD，∴∠ACB=∠DCE=90°，∠CED=45°，∴∠ACE＝90°－∠ECB＝∠BCD，△DCE是等腰直角三角形，∴CD=CE，∴△ACE≌△BCD，∴AE＝BD＝3，∴DE＝AD－AE＝9－3＝6，在等腰Rt△DCECD=DE?sin（3）①在DA上截取DE＝CD，連接CE，過點(diǎn)C作CF⊥AD于點(diǎn)F，過O作OH⊥AB于H，如圖：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∵DE＝CD，∴△CDE是等邊三角形，∴CE＝CD，∵⊙O的面積為36π，∴⊙O的半徑為6，即OA＝6cm，∵△ABC是等邊三角形，OH⊥AB，∴∠OAH=30°，∴AB＝2AH，∠AOH＝60°，在Rt△AOH中，AH=OA?sin∴AB=AC=BC=63∵△ABC、△CDE是等邊三角形，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，CE＝CD，AC＝BC，∴∠ACE＝60°－∠ECB＝∠BCD，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴S△BCD設(shè)CD＝2a，則EF＝DF＝a，∴CF=3∵AD＝x，Rt△ACF中，AC∴63化簡(jiǎn)變形得：ax-2a∴S==②如圖，在DA上截取DE＝CD，連接CE，連接OC，OB，由（3）①得：△CDE是等邊三角形，∴∠CDE=∠CED=60°，CE=CD，∵點(diǎn)D為弧BC的中點(diǎn)，∴∠CAD=1∴∠ACD=90°，∴AD為圓O的直徑，∴AD⊥BC，AD=2OA=12，在Rt△ACD中，∠CAD=30°，∴AC=AD?cos∴BC=63∴S四邊形【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，并作出適當(dāng)?shù)妮o助線解答是解題的關(guān)鍵．18．（2022·江蘇·東?？h教育局教研室二模）【問題情境】(1)愛探究的小明在做數(shù)學(xué)題時(shí)遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，AB是⊙O的直徑，P是⊙O上的一動(dòng)點(diǎn)，若AB＝6，則△PAB面積的最大值為．請(qǐng)幫小明直接填空；【模型歸納】(2)小明在完成填空后，對(duì)上面問題中模型進(jìn)行如下歸納：如圖2，AB是⊙O的弦，P是⊙O優(yōu)弧上的一動(dòng)點(diǎn)，過P點(diǎn)作PC⊥AB于C點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)PC經(jīng)過圓心O時(shí)，PC最大．請(qǐng)幫助小明完成這個(gè)結(jié)論的證明；【模型應(yīng)用1】(3)在凸四邊形ABCD中，AB=53，AD=103，∠A=60°，∠C=150°，試求四邊形【模型應(yīng)用2】(4)如圖4是四邊形休閑區(qū)域設(shè)計(jì)示意圖ABCD，已知∠BAD=∠BCD=90°，CB=CD，休閑區(qū)域內(nèi)原有一條筆直小路AC的長(zhǎng)為80米，現(xiàn)為了市民在該區(qū)域內(nèi)散步方便，準(zhǔn)備再修一條長(zhǎng)為30米的小路MN，滿足點(diǎn)M在邊AB上，點(diǎn)N在小路AC上．按設(shè)計(jì)要求需要給圖中陰影區(qū)域（即△ACD與四邊形MBCN，小路寬度忽略不計(jì)）種植花卉，為了節(jié)約成本且滿足設(shè)計(jì)需求，陰影部分的面積要盡可能的?。?qǐng)問，是否存在符合設(shè)計(jì)要求的方案？若存在，請(qǐng)直接寫出陰影部分面積的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)9；(2)證明見解析；(3)450-753(4)存在，2975-2252【分析】（1）過P作PD⊥AB，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到弧AB的中點(diǎn)P1時(shí)，P1O⊥AB，此時(shí)AB邊上的高PD最大，即△PAB的面積最大，根據(jù)三角形的面積公式求解即可；（2）當(dāng)PC經(jīng)過圓心O時(shí)，把此時(shí)的PC記作P1D，過點(diǎn)O作OE⊥PC于點(diǎn)E．連接OP．證明四邊形ODCE為矩形，則OD＝EC．由Rt△OPE中，OP＝OP1＞PE證明P1D＞PC即可；（3）取AD中點(diǎn)E，連接BE．作BD的垂直平分線，垂足為F，在垂直平分線上取一點(diǎn)O，使得OB＝BD，連接OD，易證△OBD和△ABE為等邊三角形．以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑，作圓O．證明點(diǎn)C在圓O上，由△ABD的面積一定，只需求出△BCD面積最大值即可；（4）根據(jù)題意，只需求出△AMN的最大值即可．根據(jù)圓周角定理可得∠BAC=45°，作△AMN的外接圓，設(shè)圓心為O，則∠MON=90°，過O作OH⊥MN于H，求解OM、OH，由（2）中結(jié)論可求解△AMN面積的最大值，再利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求解四邊形ABCD的面積即可求解．(1)解：如圖，過P作PD⊥AB，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到弧AB的中點(diǎn)P1時(shí)，P1O⊥AB，此時(shí)AB邊上的高PD最大，即△PAB的面積最大，最大值為12×6×3=9故答案為：9；(2)證明：如圖，當(dāng)PC經(jīng)過圓心O時(shí)，把此時(shí)的PC記作P1D，過點(diǎn)O作OE⊥PC于點(diǎn)E．連接OP．因?yàn)镻C⊥AB，P1D⊥AB，OE⊥PC，所以四邊形ODCE為矩形．所以O(shè)D＝EC．因?yàn)樵赗t△OPE中，OP＞PE，且OP＝OP1，所以O(shè)P1＞PE．所以O(shè)P1＋OD＞PE＋EC，即P1D＞PC．故當(dāng)且僅當(dāng)PC經(jīng)過圓心O時(shí)，PC最大；(3)解：如圖，取AD中點(diǎn)E，連接BE．作BD的垂直平分線，垂足為F，在垂直平分線上取一點(diǎn)O，使得OB＝BD，連接OD，則OD=OB=BD，∴△OBD為等邊三角形．以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑，作圓O．因?yàn)辄c(diǎn)E為AD中點(diǎn)，AD=103，所以AE=ED=5因?yàn)椤螦＝60°，AE=AB=53，所以△ABE所以BE=53=ED，∠AEB＝所以∠EBF＝∠EDF＝30°，且點(diǎn)E在線段BD的垂直平分線上．所以∠ABD＝90°．所以BD=A所以BF=15在Rt△OBF中，OB=BD=15，∠OBD=60°，所以O(shè)F=OB?sin又因?yàn)椤螩＝150°，∠BOD=60°，所以點(diǎn)C在圓O上．根據(jù)（2）的結(jié)論，當(dāng)C、F、O共線時(shí)，點(diǎn)C到BD邊的最大距離為OC-OF=15-15所以△BCD的最大面積為12因?yàn)椤鰽BD的面積為12所以四邊形ABCD的最大面積為753(4)解：存在，且最小值為2975-2252根據(jù)題意，要使陰影面積最小，只需△AMN的面積最大即可，連接BD，∵四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，CB=CD，∴點(diǎn)A、B、C、D四點(diǎn)共圓，∠CBD=∠CDB=45°，∠ABC+∠ADC=180°，∴∠BAC=∠BDC=45°，作△AMN的外接圓，設(shè)圓心為O，則∠MON=90°，∴△OMN為等腰直角三角形，過O作OH⊥MN于H，∵M(jìn)N=30米，∴OH=MH=12MN=15米，OM=15由（2）模型歸納可得△AMN的最大面積為12×30×(15+152)將△ADC繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△PBC，則AC=PC=80米，∠ACP=90°，∠ADC=∠PBC，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC+∠PBC=180°，即A、B、P共線，∴四邊形ABCD的面積=△ACP的面積=12×80×80∴陰影部分面積的最小值為3200-（225+2252）=（2975-225【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了與圓有關(guān)的知識(shí)、矩形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、線段垂直平分線的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形的面積公式等知識(shí)，涉及知識(shí)點(diǎn)較多，解答的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)利用輔助圓解決最值問題．19．（2022·江蘇泰州·二模）如圖，在⊙O中，AB是直徑，弦EF∥AB．(1)在圖1中，請(qǐng)僅用不帶刻度的直尺畫出劣弧EF的中點(diǎn)P；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)如圖2，在（1）的條件下連接OP、PF，若OP交弦EF于點(diǎn)Q，現(xiàn)有以下三個(gè)選項(xiàng)：①△PQF的面積為32；②EF=6；③PF=10，請(qǐng)你選擇兩個(gè)合適選項(xiàng)作為條件，求⊙O的半徑，你選擇的條件是【答案】(1)見解析(2)①②；①③；②③；半徑為5【分析】（1）直接連接AF，BE交于點(diǎn)C，連接OC并延長(zhǎng)交EF于點(diǎn)P，此點(diǎn)即為所求點(diǎn)．（2）連接OF，設(shè)半徑為r，根據(jù)垂徑定理和勾股定理即可得出答案．(1)如圖所示，連接AF，BE交于點(diǎn)C，連接OC并延長(zhǎng)交EF于點(diǎn)P．(2)第一種情況：選①②，如圖所示，連接OF，設(shè)半徑為r，由題意可知：EQ=FQ=3,OP⊥EF，∵S∴12×3PQ=∴OQ=r-1，∵OQ∴(r-1)2+第二種情況：選①③，如圖所示，連接OF，設(shè)半徑為r，由題意可知：OP⊥EF，∵S∴QF?PQ=3，∵QF∴QF2+P∴QF+PQ=4，∵∠FPQ>45°，∴PQ<QF，由此解得PQ=1，QF=3，∴OQ=r-1，∵OQ∴(r-1)2+第三種情況：選②③，如圖所示，連接OF，設(shè)半徑為r，由題意可知：EQ=FQ=3,OP⊥EF，PF=10∴PQ=P∴OQ=r-1，∵OQ∴(r-1)2+【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理相關(guān)內(nèi)容，并能結(jié)合勾股定理靈活解題．20．（2022·江蘇南京·二模）【概念認(rèn)識(shí)】與矩形一邊相切（切點(diǎn)不是頂點(diǎn)）且經(jīng)過矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做矩形的第Ⅰ類圓；與矩形兩邊相切（切點(diǎn)都不是頂點(diǎn)）且經(jīng)過矩形的一個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做矩形的第Ⅱ類圓．(1)【初步理解】如圖①~③，四邊形ABCD是矩形，⊙O1和⊙O2都與邊AD相切，⊙O2與邊AB相切，⊙O1和⊙O3都經(jīng)過點(diǎn)B，⊙O3經(jīng)過點(diǎn)D，3個(gè)圓都經(jīng)過點(diǎn)C．在這3個(gè)圓中，是矩形(2)【計(jì)算求解】已知一個(gè)矩形的相鄰兩邊的長(zhǎng)分別為4和6，直接寫出它的第Ⅰ類圓和第Ⅱ類圓的半徑長(zhǎng)．(3)【深入研究】如圖④，已知矩形ABCD，用直尺和圓規(guī)作圖．（保留作圖痕跡，并寫出必要的文字說明）①作它的1個(gè)第Ⅰ類圓；②作它的1個(gè)第Ⅱ類圓．【答案】(1)⊙O1(2)258；(3)作圖見詳解【分析】（1）根據(jù)題目中所給定義，就可以解決此問；（2）根據(jù)圓的切線的性質(zhì)定理，構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理，就可以解決此問；（3）第Ⅰ類圓就是作不在同一直線上三點(diǎn)之間線段的垂直平分線，其交點(diǎn)就是圓心，以圓心到三點(diǎn)中任意一點(diǎn)的線段長(zhǎng)為半徑畫出的圓就是第Ⅰ類圓；矩形的Ⅱ類圓的作法就是先作出任意一個(gè)與AB、AD邊相切的圓O，連接AC交圓O于F，再過C作OF平行線，與AM的交點(diǎn)即為所求圓的圓心位置，以該點(diǎn)與C連線的線段為半徑畫圓即可．（1）解：與矩形一邊相切（切點(diǎn)不是頂點(diǎn)）且經(jīng)過矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做矩形的第Ⅰ類圓，⊙O1是符合Ⅰ類圓的定義，是矩形ABCD的第Ⅰ類圓；與矩形兩邊相切（切點(diǎn)都不是頂點(diǎn)）且經(jīng)過矩形的一個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做矩形的第Ⅱ類圓，⊙O2符合Ⅱ類圓的定義，是矩形ABCD的第Ⅱ（2）解：①第Ⅰ類圓⊙O1的半徑，如圖5設(shè)切點(diǎn)為點(diǎn)E，連接O1E并反向延長(zhǎng)O1E交BC于點(diǎn)F，連接O1B∴O1E⊥AD．∵AD∥BC，∴O1F⊥BC．∴O1F垂直平分BC，∴BF=12BC=12×6=3．設(shè)半徑為r1，則O1F=4-r1，設(shè)⊙O2與矩形ABCD切點(diǎn)分別為點(diǎn)E、G，連接O2C、O2G、O2E，并反向延長(zhǎng)O2E交BC于點(diǎn)F．∴O2E⊥AD，O2G⊥AB．∵AD∥BC，∴O2F⊥BC∴四邊形AGO2E和四邊形BGO2F是矩形，∴AE=O2G=BF設(shè)（3）解：矩形的Ⅰ類圓的作圖如下：第一步：作線段BC的垂直平分線，交線段AD于點(diǎn)E；第二步：連接BE，作線段BE的垂直平分線；第三步：線段BC的垂直平分線與作線段BE的垂直平分線的交點(diǎn)就是Ⅰ類圓的圓心O1；第四步：以O(shè)1為圓心，以線段O1B的長(zhǎng)為半徑畫圓，圓⊙O②矩形的Ⅱ類圓的作圖如下：第一步：以B為圓心，AB為半徑畫弧，交BC于M，連接AM，第二步：在AM上任取一點(diǎn)O，過點(diǎn)O作AD的垂線，垂足為E，第三步：以O(shè)為圓心，OE為半徑作圓，則該圓與AB、AD相切，第四步：連接AC，交圓O于F，連接OF，第五步：以C為頂點(diǎn)，作∠ACG=∠AFO，則CO2∥OF，第六步：延長(zhǎng)CG交AM于O2，以O(shè)2為圓心，O2C為半徑畫圓，該圓為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)新定義判斷新知識(shí)、切線的性質(zhì)定理、勾股定理、圓的畫法等知識(shí)．把握?qǐng)A的基礎(chǔ)知識(shí)和準(zhǔn)確的作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．21．（2022·江蘇·揚(yáng)州市廣陵區(qū)教師發(fā)展中心二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC為矩形，A（0，6），C（8，0）．(1)如圖1，D是OC的中點(diǎn)，將△AOD沿AD翻折后得到△AED，AE的延長(zhǎng)線交BC于F．①試判斷線段EF與CF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②求點(diǎn)F的坐標(biāo)；(2)如圖2，點(diǎn)M、N分別是線段AB、OB上的動(dòng)點(diǎn)，ON＝2MB，如果以M、N、B三點(diǎn)中的一點(diǎn)為圓心的圓恰好過另外兩個(gè)點(diǎn)（M、N、B三點(diǎn)不在同一條直線上），求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)①EF＝CF，理由見解析；②8,(2)M【分析】（1）①連接DF，證明△DEF≌△DCF，即可得出結(jié)論；②證明△AOD∽△DCF，得到AOOD＝DCCF，化簡(jiǎn)得CF＝（2）根據(jù)勾股定理得出OB＝62+82＝10，設(shè)BM＝x，以M、（1）①連接DF，由題意，∴AED＝AOD＝90°，∴DEF＝90°，∴DEF＝DCF，∵D是OC的中點(diǎn)，∴OD＝DC，∵OD＝DE，∴DE＝DC，又DF＝DF，∴△DEF≌△DCF，∴EF＝CF；②∵△DEF≌△DCF，∴EDF＝CDF，∴ADF＝90°，∴ADO+CDF＝90°，又∵ADO+OAD＝90°，∴OAD＝CDF，又AOD＝DCF，∴△AOD∽△DCF，∴AOOD＝DCCF∴CF＝OD?DCAO∵A（0，6），C（8，0），D是OC的中點(diǎn)，∴AO＝6，OD＝DC＝4，∴CF＝166＝83∴F（8，83（2）∵BC＝6，OC＝8，∴OB＝62+82＝10，設(shè)①當(dāng)點(diǎn)B為圓心時(shí)，則BM＝BN，∵ON＝2MB，∴10－2x＝x，∴x＝103∴AM＝8－103＝14∴M（143，6②當(dāng)點(diǎn)M為圓心時(shí)，則MB＝MN，過N作NG⊥AB于G，則△BGN∽△BAO，∴GNAO＝BGBA＝∴GN6＝BG8＝∴GN＝35(10－2x)＝6－65x，BG＝45(10－2x)＝8－8GM＝8－85x－x＝8－135∴x2＝(8－135x)2＋(6－65x)2，解得x1＝5（舍去），x2＝∴AM＝8－259＝47∴M（479，6③當(dāng)點(diǎn)N為圓心時(shí)，則MN＝BN，∴BG＝12BM∴8－85x＝12x，解得x＝∴AM＝8－8021＝88∴M（8821，6綜上所述，M點(diǎn)坐標(biāo)為M（143，6），（479，6），（8821【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用和圓的性質(zhì)，是個(gè)綜合題，熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．22．（2022·江蘇揚(yáng)州·二模）如圖，已知∠MON=90°，OT是∠MON的平分線，A是射線OM上一點(diǎn)，OA=8cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AO水平向左作勻速運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，也以1cm/s的速度沿ON豎直向上作勻速運(yùn)動(dòng)．連接PQ，交OT于點(diǎn)B．經(jīng)過O、P、Q三點(diǎn)作圓，交OT于點(diǎn)C，連接PC、QC．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(1)求OP+OQ的值；(2)是否存在實(shí)數(shù)t，使得線段OB的長(zhǎng)度最大？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．(3)在點(diǎn)P，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形OPCQ的面積是否發(fā)生改變，如果變，請(qǐng)說明理由；如果不變，請(qǐng)求出四邊形OPCQ的面積．【答案】(1)8cm(2)存在，4(3)不變，16cm2【分析】（1）根據(jù)題意分別表示出OP,OQ，用含t的式子表示出來相加即可求解；（2）如圖①，過B作BD⊥OP，垂足為D，則BD∥OQ，證明△PDB∽△POQ，設(shè)線段BD的長(zhǎng)為x，則BD=OD=x，OB=2BD=2x，（3）根據(jù)圓周角定理可得∠PQC=∠POC=45°，ΔPCQ(1)由題可得：OP=8-t，OQ=t．∴OP+OQ=8-t+t=8(cm(2)當(dāng)t=4時(shí)，線段OB的長(zhǎng)度最大．如圖①，過B作BD⊥OP，垂足為D，則BD∥OQ．∵OT平分∠MON，∴∠BOD=∠OBD=45°，∴BD=OD，OB=2設(shè)線段BD的長(zhǎng)為x，則BD=OD=x，OB=2BD=2∵BD∥OQ，∴△PDB∽△POQ，∴PDOP∴8-t-x8-t解得：x=8t-∴OB=2∴當(dāng)t=4時(shí)，線段OB的長(zhǎng)度最大，最大為22(3)∵∠POQ=90°，∴PQ是圓的直徑．∴∠PCQ=90°．∵∠PQC=∠POC=45°，∴ΔPCQ∴SΔ在RtΔPOQ中，∴四邊形OPCQ的面積S===4t-1∴四邊形OPCQ的面積為16cm【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式，整式的加減，相似三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，圓周角定理，掌握以上性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．23．（2022·江蘇常州·二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)任意兩點(diǎn)P1x1若x1-x2≥y1若x1-x2<y(1)如圖1，已知點(diǎn)A-1,0，點(diǎn)B是y①若點(diǎn)A與點(diǎn)B的識(shí)別距離為2，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是______；②直接寫出點(diǎn)A與點(diǎn)B的識(shí)別距離的最小值是______；(2)如圖2，已知點(diǎn)C0,1，點(diǎn)D是一次函數(shù)y=34x+3圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．求點(diǎn)C與點(diǎn)(3)如圖3，已知點(diǎn)E0,2，點(diǎn)T是一次函數(shù)y=x+4圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以T為圓心，2長(zhǎng)為半徑作⊙T，設(shè)F是⊙T上任意一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)E與點(diǎn)F的“識(shí)別距離”L滿足4≤L≤8，直接寫出點(diǎn)T的橫坐標(biāo)x【答案】(1)①0,2或0,-2；②1(2)87，(3)2+2≤【分析】（1）根據(jù)識(shí)別距離的定義，直接求解即可；（2）過點(diǎn)C平行于x軸直線，與過點(diǎn)D平行于y軸的直線交于H，根據(jù)定義可知，當(dāng)取點(diǎn)C與點(diǎn)D的“識(shí)別距離”的最小值時(shí)，則x1-x2=y1（3）因?yàn)辄c(diǎn)E與點(diǎn)F的“識(shí)別距離”L滿足4≤L≤8，滿足條件的F位于一、三象限．當(dāng)F在第三象限時(shí)，⊙T位于直線x=-4和直線x=-8之間，L=xF-xE=xF，可求-8+2≤xt≤-4-2；當(dāng)F在第一象限時(shí)，⊙T位于直線y(1)解：設(shè)B的坐標(biāo)為（0，y），根據(jù)識(shí)別距離的概念，可知，∵-1-0=1≠2∴0-y=2解得y=2，或y=-2，∴B的坐標(biāo)為0,2或0,-2，