2023-2024學(xué)年上海市靜安區(qū)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年上海市靜安區(qū)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題一、填空題（）1．用集合符號表示直線l在平面上2．直線過點(diǎn)且傾斜角為，則直線的方程為．3．若球的半徑為1，則球的體積是.4．過點(diǎn)P（－1,3）且垂直于直線x－2y＋3＝0的直線方程是．5．若圓錐的軸截面是邊長為1的正三角形．則圓錐的側(cè)面積是．6．已知向量，，且與互相垂直，則的值是.7．如圖，在三棱臺的9條棱所在直線中，與直線是異面直線的共有條.8．設(shè)正四面體的棱長為1，則該正四面體的高為.9．如圖，在三棱柱中，，，分別為，，的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐體積為，三棱柱的體積為，則10．若，則三棱錐O—ABC的體積為.11．在三棱錐中，底面，是的中點(diǎn)，已知，則異面直線BC與AD所成角的余弦值為．12．如圖所示，在正方體中，AB＝3，M是側(cè)面內(nèi)的動點(diǎn)，滿足，若AM與平面所成的角，則的最大值為.二、選擇題（）13．“是“直線與直線平行”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充要條件14．已知直線l、m和平面、，下列命題中的真命題是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則15．直線經(jīng)過第一、二、四象限，則a，b，c應(yīng)滿足（

）A． B． C． D．16．下列結(jié)論中①若空間向量，，則是的充要條件；②若是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為；③已知，為兩個不同平面，，為兩條直線，，，，，則“”是“”的充要條件；④已知向量為平面的法向量，為直線的方向向量，則是的充要條件.其中正確命題的序號有（

）A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②③④三、解答題（）17．已知直線過點(diǎn).(1)若直線過點(diǎn)，求直線的方程；(2)若直線在軸和軸上的截距相等求直線的方程．18．已知向量，，點(diǎn)，.（1）求；（2）在直線上，是否存在一點(diǎn)E，使得，（O為原點(diǎn)），若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.19．如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，.點(diǎn)M為BC的中點(diǎn).(1)證明：平面平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.20．如圖，棱長為2的正方體中，M、N、P分別是、、的中點(diǎn).(1)證明：M、N、、B四點(diǎn)共面；(2)求異面直線與MN所成角的大?。唬ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）(3)求三棱錐的體積.21．如圖，在長方體中，，，點(diǎn)在棱上運(yùn)動.(1)證明：；(2)設(shè)為棱的中點(diǎn)，在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面，若存在，求的值，若不存在，說明理由；(3)求直線與平面所成角的取值范圍.答案和解析1．【分析】直線l在平面上，利用集合與集合的關(guān)系符合表示即可.【詳解】直線l在平面上，即直線l包含于平面，利用集合與集合的關(guān)系表示為.故2．x=1【詳解】∵直線過點(diǎn)且傾斜角為，∴直線的方程為x=1故x=13．【分析】已知半徑，根據(jù)球的體積公式計算即可.【詳解】已知球的半徑，∴體積.故答案為.4．2x+y-1=0【詳解】試題分析：由題可知，設(shè)直線Ax+By+C=0，與它垂直的直線為-Bx+Ay+D=0，故設(shè)與已知直線垂直的直線為2x+y+D=0，將點(diǎn)P（－1,3）代入，得出D=－1，故直線方程為2x+y-1=0．考點(diǎn)：兩條直線的位置關(guān)系5．【分析】根據(jù)題意可得圓錐的底面半徑和母線長，進(jìn)而根據(jù)圓錐側(cè)面積公式求得結(jié)果.【詳解】若圓錐的軸截面是邊長為1的正三角形，則圓錐的底面半徑，母線，故圓錐的側(cè)面積.故答案為.6．##【分析】向量的垂直用坐標(biāo)表示為，代入即可求出答案.【詳解】，，因?yàn)榕c互相垂直，所以,即，解得.故7．3【分析】利用異面直線的判定定理判斷即可.【詳解】空間直線的位置關(guān)系有平行、相交、異面，即不平行也不相交則異面，由圖可知九條棱中，，，，，與相交，沒有直線與平行，所以與直線是異面直線的共有3條，分別為，，，故38．##【分析】設(shè)正四面體為，過作底面，可知為底面正三角形的中心，然后求解直角三角形得答案．【詳解】如圖，設(shè)正四面體為，過作底面，垂足為，四面體為正四面體，為底面正三角形的中心，連接并延長交于，則為中點(diǎn)，底面邊長為1，，，該正四面體的高為．故．9．【詳解】試題分析：因?yàn)镈，E，分別是AB，AC的中點(diǎn)，所以S△ADE：S△ABC=1：4，又F是AA1的中點(diǎn)，所以A1到底面的距離H為F到底面距離h的2倍．即三棱柱A1B1C1-ABC的高是三棱錐F-ADE高的2倍．所以V1：V2=S△ADE?h/S△ABC?H＝=1：24考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積10．【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求得棱錐底面積和高，結(jié)合棱錐的體積計算公式，即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)已知可得：，即，又，故△的面積；不妨取平面的一個法向量，則點(diǎn)到平面的距離，故三棱錐O—ABC的體積.故答案為.11．##【分析】根據(jù)三棱錐的幾何特征，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量即可求出異面直線BC與AD所成角的余弦值為.【詳解】由底面，平面，所以，又，可得，即兩兩垂直；因此以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則，又是的中點(diǎn)，可得，所以，可得；所以異面直線BC與AD所成角的余弦值為.故12．【分析】以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)，求得的關(guān)系，再根據(jù)平面，可得，解即可.【詳解】解：如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以，則，因?yàn)槠矫?，所以即為AM與平面所成角，即，則，所以當(dāng)時，取得最大值.故答案為.13．D根據(jù)兩條直線平行的條件以及充要條件的定義可得答案.【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行等價于且，即，所以“是“直線與直線平行”的充要條件.故選：D結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查充要條件的判斷，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：（1）若是的必要不充分條件，則對應(yīng)集合是對應(yīng)集合的真子集；（2）是的充分不必要條件，則對應(yīng)集合是對應(yīng)集合的真子集；（3）是的充分必要條件，則對應(yīng)集合與對應(yīng)集合相等；（4）是的既不充分又不必要條件，對的集合與對應(yīng)集合互不包含．14．C【分析】線面平行及線線垂直，線可以有無數(shù)種朝向；線面垂直，線只有一種朝向；面面平行，面只有一種朝向，逐個選項(xiàng)判斷即可.【詳解】對A，若，，則可能有，m與相交不垂直，A錯；對B，若，，則，則可能有，l與相交不垂直，，B錯；對C，若，，則，C對；對D，若，，由于與關(guān)系不確定，故l與m關(guān)系也不確定，D錯.故選：C15．A【分析】寫成斜截式，由斜率和與軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)確定直線經(jīng)過的象限.【詳解】若，則直線不會經(jīng)過三個象限，所以，所以，因?yàn)橹本€經(jīng)過第一、二、四象限，所以斜率，與軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)，解得，故選：A16．B①由可判斷①不正確;②由是的必要不充分條件,可得,從而得到正確;③根據(jù)面面垂直的性質(zhì)和判定定理即可判斷;④結(jié)合利用法向量與方向向量的定義即可判斷.【詳解】解:①空間向量,,則,所以是的充要條件錯誤,故①不正確;②若是的必要不充分條件,則,所以,故②正確;③若,則由條件可得,又,所以;若,則根據(jù)條件得不到,故③不正確;④若,則,因?yàn)闉橹本€的方向向量,所以;若,則,因?yàn)闉槠矫娴姆ㄏ蛄?所以,故④正確.綜上,正確命題的序號為②④.故選:B.本題考查了空間向量平行的充要條件,利用必要不充分條件求參數(shù)范圍,平面與平面垂直的判定和利用法向量與方向向量判定平行和垂直關(guān)系,屬中檔題.17．(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)直線過兩點(diǎn)即可求出直線方程；（2）分類討論直線截距是否為，即可得出直線方程.【詳解】（1）由題意，直線過點(diǎn)，，∴直線方程：，即.（2）由題意，直線過點(diǎn)，且在軸和軸上的截距相等當(dāng)直線過原點(diǎn)時，截距為，方程為當(dāng)直線不過原點(diǎn)時，設(shè)直線，∴，解得：，、∴直線方程為綜上，直線的方程為：或.18．（1）；（2）存在，.（1）根據(jù)向量的坐標(biāo)加法運(yùn)算求出，再利用向量的模長公式即可求出；（2）由向量共線定理和向量的線性運(yùn)算得出，從而得出的坐標(biāo)，再根據(jù)以及向量的數(shù)量積，即可求出的值，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）根據(jù)題意，得，故.（2）由于點(diǎn)在直線上，則，即，由，則，所以，解得，因此在直線上存在點(diǎn)E，使得，此時點(diǎn)E的坐標(biāo)為.本題考查平面向量坐標(biāo)的加法運(yùn)算和向量的模，考查向量的共線定理和向量的線性運(yùn)算，及向量垂直運(yùn)算，考查學(xué)生運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.19．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）由線面垂直性質(zhì)得，根據(jù)已知可證，再應(yīng)用線面、面面垂直的判定證結(jié)論；（2）AM與BD交于點(diǎn)E，連接PE，過點(diǎn)B作BH垂直于PE交其于點(diǎn)H，由面面垂直的性質(zhì)有面PAM，即BH的長為B到面PAM的距離，等面積法求長度即可.【詳解】（1）因?yàn)榈酌?，平面，所?底面為矩形，且，，則，所以Rt△Rt△，易知.又，面，所以平面，而平面，所以平面平面.（2）設(shè)AM與BD交于點(diǎn)E，連接PE，過點(diǎn)B作BH垂直于PE交其于點(diǎn)H，由①知，面面PBD，面面，且面，因此面PAM，線段BH的長為點(diǎn)B到平面PAM的距離.由，解得.因此點(diǎn)B到平面PAM的距離為.20．(1)證明見詳解；(2)；(3).【分析】（1）由已知可證明和，即可證明，進(jìn)而得出結(jié)果；（2），所以即等于異面直線與MN所成角，在中，求出各邊長，用余弦定理即可求出；（3）根據(jù)已知可得，四邊形為梯形，，則，根據(jù)等體積法可知，求出，即可解出.【詳解】（1）證明：如圖1，連結(jié)、、由已知可得，，，所以四邊形為平行四邊形，則.又M、N分別是、的中點(diǎn)，所以，且，所以，且.所以M、N、、B四點(diǎn)共面.（2）如圖2，連結(jié)、、因?yàn)槠矫?，平面，所?因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以.又，所以.同理.在中，.又，在中，有，，，由余弦定理可得，.又，所以異面直線與所成角的大小即等于直線與所成角的大小，即等于.（3）如圖3，，因?yàn)椋?，且M、N、、B四點(diǎn)共面，所以四邊形為梯形，設(shè)梯形高為，則，，所以.設(shè)到平面即到平面的距離為，則，，則，且.因?yàn)槠矫?，平面，，所以到平面的距離等于線段到平面的距離.又，所以，所以，.21．(1)證明詳