廣西專版2023-2024學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第3章函數(shù)的概念與性質(zhì)習(xí)題課一函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值的簡(jiǎn)單應(yīng)用課件新人教A版必修第一冊(cè)

習(xí)題課一函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值的簡(jiǎn)單應(yīng)用一

函數(shù)單調(diào)性的判斷1.函數(shù)單調(diào)性的主要判定方法(1)定義法,即“取值—作差變形—定號(hào)—下結(jié)論”.(2)圖象法,根據(jù)函數(shù)圖象的升、降趨勢(shì)進(jìn)行判斷.(3)直接法,運(yùn)用已知的結(jié)論,直接得到函數(shù)的單調(diào)性.如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的單調(diào)性均可以直接得出.2.判斷函數(shù)單調(diào)性常用的幾個(gè)結(jié)論(1)函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=-f(x)的單調(diào)性相反.(2)函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=f(x)+c(c為常數(shù))的單調(diào)性相同.(3)當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)y=af(x)與函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性相同;當(dāng)a<0時(shí),函數(shù)y=af(x)與函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性相反.(6)若f(x)>0,g(x)>0,且它們?cè)诠矃^(qū)間上都單調(diào)遞增(減),則y=f(x)g(x)在此公共區(qū)間上單調(diào)遞增(減);若f(x)<0,g(x)<0,且它們?cè)诠矃^(qū)間上都單調(diào)遞增(減),則y=f(x)g(x)在此公共區(qū)間上單調(diào)遞減(增).(7)在公共區(qū)間內(nèi),增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù),減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù),增函數(shù)-減函數(shù)=增函數(shù),減函數(shù)-增函數(shù)=減函數(shù).規(guī)律總結(jié)函數(shù)y=2x和

在其公共區(qū)間上均為增函數(shù),利用“增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)”即可判斷原函數(shù)的單調(diào)性.【跟蹤訓(xùn)練1】求函數(shù)f(x)=x2+|x|的單調(diào)區(qū)間.解法一:函數(shù)f(x)=x2+|x|的定義域?yàn)镽.函數(shù)y=x2在區(qū)間(-∞,0]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增;函數(shù)y=|x|在區(qū)間(-∞,0]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以函數(shù)f(x)=x2+|x|的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,0],單調(diào)遞增區(qū)間是[0,+∞).畫出函數(shù)f(x)的圖象(圖略),由圖象可知函數(shù)f(x)=x2+|x|的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,0],單調(diào)遞增區(qū)間是[0,+∞).【典型例題2】已知函數(shù)(1)判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)內(nèi)的單調(diào)性,并用定義證明你的結(jié)論;(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,4]上的最大值與最小值.解:(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.證明如下:?x1,x2∈[1,+∞),且x1<x2,∵x1-x2<0,(x1+1)(x2+1)>0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.(2)由(1)知函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,4]上單調(diào)遞增,規(guī)律總結(jié)答案:(-∞,-1],[1,+∞)

[-1,(0,1]當(dāng)0<x1<x2≤1時(shí),f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1);當(dāng)1≤x1<x2時(shí),f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),所以f(x)在區(qū)間(0,1]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增.同理可得,f(x)在區(qū)間(-∞,-1]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[-1,0)上單調(diào)遞減.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,-1],[1,+∞);單調(diào)遞減區(qū)間是[-1,0),(0,1].二函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一,常見的應(yīng)用有:(1)應(yīng)用單調(diào)性比較大小.(2)已知函數(shù)的單調(diào)性,求函數(shù)解析式中參數(shù)的取值范圍.(3)利用單調(diào)性求函數(shù)的值域或函數(shù)的最值.(4)利用單調(diào)性解抽象不等式.【典型例題4】如果函數(shù)f(x)=x2+bx+c,對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f(2+x)=f(2-x).試比較f(1),f(2),f(4)的大小.解:由題意知,f(x)圖象的對(duì)稱軸為直線x=2,故f(1)=f(3).∵f(x)=x2+bx+c,∴f(x)在區(qū)間[2,+∞)上單調(diào)遞增.∴f(2)<f(3)<f(4),即f(2)<f(1)<f(4).規(guī)律總結(jié)利用單調(diào)性比較大小的方法

(1)利用函數(shù)單調(diào)性可以比較函數(shù)值的大小,即已知f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增,則對(duì)x1,x2∈I,x1<x2?f(x1)<f(x2).

(2)利用單調(diào)性比較函數(shù)值的大小,務(wù)必將自變量x的值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上才能進(jìn)行比較,最后寫結(jié)果時(shí)再還原回去.【跟蹤訓(xùn)練4】若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,則下列不等式成立的是(

)答案:B【典型例題5】已知二次函數(shù)y=x2-2ax+6在區(qū)間(-∞,4]上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

答案:[4,+∞)解析:二次函數(shù)y=x2-2ax+6的圖象的對(duì)稱軸是直線x=a.∵二次函數(shù)y=x2-2ax+6在區(qū)間(-∞,4]上單調(diào)遞減,∴a≥4.答案:

A答案:A答案:B【典型例題7】已知y=f(x)在定義域(-1,1)上是減函數(shù),且f(1-a)<f(2a-1),求a的取值范圍.規(guī)律總結(jié)利用函數(shù)單調(diào)性解不等式的依據(jù)

(1)若y=f(x)在給定區(qū)間上單調(diào)遞增,則當(dāng)f(x1)<f(x2)時(shí),x1<x2;當(dāng)f(x1)>f(x2)時(shí),x1>x2.

(2)若y=f(x)在給定區(qū)間上單調(diào)遞減,則當(dāng)f(x1)<f(x2)時(shí),x1>x2;當(dāng)f(x1)>f(x2)時(shí),x1<x2.

提醒:解答此類問題不要忽視函數(shù)的定義域.規(guī)律總結(jié)1.本題是增函數(shù)定義的逆用:若f(x)是增函數(shù),且f(x1)<f(x2),則x1<x2,利用這個(gè)性質(zhì)可以“脫去”函數(shù)符號(hào)“f”,在使用這個(gè)性質(zhì)時(shí),要注意整體思想的應(yīng)用.

2.解決這類與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式問題時(shí),關(guān)鍵在于將不等式兩邊化成函數(shù)值的結(jié)構(gòu),然后利用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為熟悉的不等式(組).【跟蹤訓(xùn)練8】已知函數(shù)f(x),對(duì)任意的a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且當(dāng)x>0時(shí),f(x)>1.(1)求證:f(x)是R上的增函數(shù);(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.(1)證明:?x1,x2∈R,且x1<x2,則x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1.∴f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1>0.∴f(x1)<f(x2),∴f(x)是R上的增函數(shù).(2)解:∵對(duì)任意a,b∈R,有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,∴f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5,∴f(2)=3.∴f(3m2-m-2)<3=f(2).∵f(x)是R上的增函數(shù),∴3m2-m-2<2,三二次函數(shù)的最值問題【典型例題9】已知函數(shù)f(x)=x2-ax+1,(1)求f(x)在區(qū)間[0,1]上的最大值;(2)當(dāng)a=1時(shí),求f(x)在閉區(qū)間[t,t+1](t∈R)上的最小值.規(guī)律總結(jié)含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題的解法

解決含參數(shù)的二次函數(shù)的最值問題,首先將二次函數(shù)化為y=a(x+h)2+k(a≠0)的形式,再依據(jù)a的符號(hào)確定二次函數(shù)圖象的開口方向,依據(jù)對(duì)稱軸x=-h得出頂點(diǎn)的位置,再根據(jù)x的定義區(qū)間結(jié)合大致圖象確定最大值或最小值.【跟蹤訓(xùn)練9】若函數(shù)f(x)=x2-6x+10在區(qū)間[0,a]上的最小值是2,求實(shí)數(shù)a的值.